Toán 9 Kết nối tri thức Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 2 trang 27, giúp các em nắm vững kiến thức và luyện giải môn Toán lớp 9. Mời các bạn tham khảo.
Giải Toán 9 trang 27
Bài 6.28 trang 27 Toán 9 Tập 2:
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 m2 . Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tìm các kích thước của mảnh đất đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), điều kiện: x > 0.
Chiều dài của mảnh đất là: 
\(\frac{{360}}{x}\left( m \right).\)
Khi tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là: \(x + 3\left( m \right).\)
Khi giảm chiều dài đi 4m thì chiều dài mới là: \(\frac{{360}}{x} - 4\left( m \right).\)
Diện tích mới của của đất là:
\(\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{{360}}{x} - 4} \right) = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {360 - 4x} \right)}}{x}\left( {{m^2}} \right)\)
Vì tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:
\(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {360 - 4x} \right)}}{x} = 360\)
Nhân cả hai vế của phương trình với x, để khử mẫu ta được phương trình:
\(\left( {x + 3} \right)\left( {360 - 4x} \right) = 360x\)
\(- 4{x^2} + 348x + 1080 = 360x,\) suy ra \({x^2} + 3x - 270 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.\left( { - 270} \right) = 1089 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {1089} }}{2} = 15\left( {tm} \right);{x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt {1089} }}{2} = - 18\) (loại)
Do đó, chiều rộng của mảnh đất là 15m và chiều dài của mảnh đất là: \(\frac{{360}}{{15}} = 24\left( m \right).\)
Bài 6.29 trang 27 Toán 9 Tập 2:
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 1 200 000 người lên 1 452 000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Hướng dẫn giải:
Gọi x là tốc độ trung bình tăng dân số của thành phố (x được cho dưới dạng số thập phân, x > 0).
Số dân của thành phố sau năm thứ nhất là: 1 200 000.(1 + x) (người).
Số dân của thành phố sau năm thứ hai là:
1 200 000.(1 + x).(1 + x) = 1 200 000.(1 + x)2 (người).
Theo bài, ta có phương trình:
1 200 000.(1 + x)2 = 1 452 000
(1 + x)2 = 1,21
1 + x = 1,1 (do x > 0).
x = 0,1 (thỏa mãn).
Vậy tốc độ gia tăng dân số của thành phố đó là 0,1 = 10%.
Bài 6.30 trang 27 Toán 9 Tập 2:
Một thanh sô cô la có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 12 cm, chiều rộng 7 cm và độ dày 3 cm. Do giá nguyên liệu ca cao tăng nhưng vẫn muốn giữ nguyên giá bán nên nhà sản xuất quyết định giảm 10% thể tích của mỗi thanh sô cô la. Để thực hiện việc này, nhà sản xuất dự định làm thanh sô cô la mới có cùng độ dày 3 cm như thanh cũ, nhưng chiều dài và chiều rộng sẽ giảm đi cùng một số centimét. Hỏi kích thước của thanh sô cô la mới là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của cm)?
Hướng dẫn giải:
Gọi x (cm) là số centimét mà chiều dài và chiều rộng bị giảm (0 < x < 7).
Chiều dài và chiều rộng thanh sô cô la sau giảm lần lượt là: 12 – x (cm) và 7 – x (cm).
Thể tích của thanh sô cô la mới là: (12 – x)(7 – x).3 (cm3).
Theo bài, thể tích thanh sô cô la giảm 10% so với ban đầu nên thể tích của thanh sô cô la mới là:
(12.7.3).(100% – 10%) = 252 . 90% = 226,8 (cm3).
Khi đó, ta có phương trình:
(12 – x)(7 – x).3 = 226,8
(12 – x)(21 – 3x) = 226,8
252 – 36x – 21x + 3x2 – 226,8 = 0
3x2 – 57x + 25,2 = 0
15x2 – 285x + 126 = 0
5x2 – 95x + 42 = 0.
Ta có ∆ = (–95)2 – 4.5.42 = 8 185 > 0.
Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
\(x1 = \frac{95 + \sqrt{8185} }{2.5}\) ≈ 18,55 (loại)
\(x2 = \frac{95 - \sqrt{8185} }{2.5}\) ≈ 0,45 (loại) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy chiều dài và chiều rộng thanh sô cô la mới lần lượt là: 12 – 0,45 = 11,55 (cm) và 7 – 0,45 = 6,55 (cm).
Bài 6.31 trang 27 Toán 9 Tập 2:
Một máy bay khởi hành từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh, sau đó nghỉ 96 phút và tiếp tục bay về Hà Nội với vận tốc lớn hơn lúc đi là 100km/h. Tổng thời gian của cả hành trình, kể cả từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là 6 giờ. Tính vận tốc của máy bay lúc đi, biết quãng đường Hà Nội – Thành phố Hồ Chí Minh dài khoảng 1200km.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc máy bay lúc đi là x (km/h), điều kiện: \(x > 0\).
Vận tốc máy bay lúc về là: \(x + 100\left( {km/h} \right)\).
Thời gian lúc đi của máy bay là: \(\frac{{1200}}{x}\) (giờ).
Thời gian lúc về của máy bay là: \(\frac{{1200}}{{x + 100}}\) (giờ).
Vì máy bay nghỉ 96 phút\(= \frac{8}{5}\) giờ và tổng thời gian của cả hành trình, kể cả từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là 6 giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{{1200}}{x} + \frac{8}{5} + \frac{{1200}}{{x + 100}} = 6\)
\(\frac{{1200}}{x} + \frac{{1200}}{{x + 100}} = \frac{{22}}{5}\)
Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình ta được:
\(\frac{{6000\left( {x + 100} \right)}}{{5x\left( {x + 100} \right)}} + \frac{{6000x}}{{5x\left( {x + 100} \right)}} = \frac{{22x\left( {x + 100} \right)}}{{5x\left( {x + 100} \right)}}\)
Nhân cả hai vế của phương trình với \(5x\left( {x + 100} \right)\) để khử mẫu ta được phương trình bậc hai:
\(6000\left( {x + 100} \right) + 6000x = 22x\left( {x + 100} \right)\)
\(3000x + 300\;000 + 3000x = 11{x^2} + 1100x\)
\(11{x^2} - 4900x - 300\;000 = 0\)
Ta có:
\(\operatorname\Deltaʹ={(-2450)}^2-11.{(-300\hspace{0.278em}000)}=9\hspace{0.278em}302\hspace{0.278em}500\Rightarrow\sqrt{\operatorname\Deltaʹ}\;=3050\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{2450 - 3050}}{{11}} = \frac{{ - 600}}{{11}}\left( {ktm} \right);{x_2} = \frac{{2450 + 3050}}{{11}} = 500\)(tm)
Vậy vận tốc lúc đi của máy bay là \(500km/h\).
Bài 6.32 trang 27 Toán 9 Tập 2
Một ô tô khách khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng. Sau đó 30 phút, một ô tô con xuất phát từ cùng địa điểm ở Hà Nội và cũng đi về Hải Phòng trên cùng tuyến đường, với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 20km/h. Hai xe đến cùng một địa điểm ở Hải Phòng tại một thời điểm. Hãy tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng quãng đường Hà Nội – Hải Phòng dài khoảng 120km.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc của ô tô khách là x (km/h), điều kiện: \(x > 0\).
Vận tốc của ô tô con là \(x + 20\left( {km/h} \right)\).
Thời gian ô tô khách đi quãng đường Hà Nội – Hải Phòng là: \(\frac{{120}}{x}\) (giờ)
Thời gian ô tô con đi quãng đường Hà Nội – Hải Phòng là: \(\frac{{120}}{{x + 20}}\) (giờ)
Vì xe ô tô khách xuất phát trước ô tô con 30 phút \(= \frac{1}{2}\)giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{{120}}{{x + 20}} + \frac{1}{2} = \frac{{120}}{x}\)
Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình ta được:
\(\frac{{240x}}{{2x\left( {x + 20} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 20} \right)}}{{2x\left( {x + 20} \right)}} = \frac{{240\left( {x + 20} \right)}}{{2x\left( {x + 20} \right)}}\)
Nhân cả hai vế của phương trình với \(2x\left( {x + 20} \right)\) để khử mẫu ta được phương trình bậc hai:
\(240x + x\left( {x + 20} \right) = 240\left( {x + 20} \right)\)
\(240x + {x^2} + 20x = 240x + 4800\)
\({x^2} + 20x - 4800 = 0\)
Ta có: \(\operatorname\Deltaʹ=10^2+4800=4900>0\Rightarrow\sqrt{\operatorname\Deltaʹ}\;=70\), phương trình có hai nghiệm phân biệt
\(x_1=\;-10+70=60{(tm)},x_2=\;-10-70=\;-80{(ktm)}\)
Vậy vận tốc của ô tô khách là 60km/h, vận tốc của ô tô con là: \(60 + 20 = 80\left( {km/h} \right)\).
Bài 6.33 trang 27 Toán 9 Tập 2
Một xưởng may phải may 1 500 chiếc áo trong thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng may đã may được nhiều hơn 10 chiếc áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Do đó, ba ngày trước khi hết thời hạn, xưởng đã may được 1 320 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may xong bao nhiêu chiếc áo?
Hướng dẫn giải:
Gọi số áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là x (chiếc), điều kiện: \(x \in \mathbb{N}*\).
Theo kế hoạch, số ngày may xong 1 500 chiếc áo là: \(\frac{{1\;500}}{x}\) (ngày).
Thực tế, mỗi ngày xưởng may số chiếc áo là: \(x + 10\) (chiếc).
Thực tế, 1 320 chiếc áo được may trong số ngày là: \(\frac{{1320}}{{x + 10}}\) (ngày)
Vì ba ngày trước khi hết thời hạn, xưởng may được 1320 áo nên ta có phương trình:
\(\frac{{1\;500}}{x} - 3 = \frac{{1320}}{{x + 10}}\)
Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình ta được:
\(\frac{{1\;500\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{3x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{1320x}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\)
Nhân cả hai vế của phương trình với \(x\left( {x + 10} \right)\) để khử mẫu ta được phương trình bậc hai:
\(1500\left( {x + 10} \right) - 3x\left( {x + 10} \right) = 1320x\)
\(500x + 5000 - {x^2} - 10x = 440x\)
\({x^2} - 50x - 5000 = 0\)
Ta có: \(\operatorname\Deltaʹ={(-25)}^2+5000=5625\Rightarrow\sqrt{\operatorname\Deltaʹ}\;=75\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=25+75=100{(tm)};x_2=25-75=\;-50{(ktm)}\)
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may xong 100 cái áo.
