Toán 9 Kết nối tri thức Bài 18: Hàm số y = ax^2 (a khác 0)

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 18: Hàm số y = ax² (a khác 0) cung cấp hướng dẫn giải chi tiết, dễ hiểu cho toàn bộ các câu hỏi thảo luận và bài tập thực hành trong Sách giáo khoa Toán 9 (Tập 2) từ trang 5 đến trang 8. Qua đó, học sinh không chỉ nắm vững đặc điểm đồ thị và tính chất biến thiên của hàm số bậc hai mà còn rèn luyện kỹ năng trình bày bài giải khoa học. Đây là nguồn tham khảo hữu ích giúp các em tự tin củng cố kiến thức nền tảng và nâng cao tư duy giải toán, chuẩn bị hành trang vững chắc cho các kỳ thi quan trọng. Mời các bạn cùng theo dõi và luyện tập.

Mở đầu trang 4 Toán 9 Tập 2

Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) như Hình 6.1 và được treo trên các đỉnh tháp. Tìm chiều cao CH của dây cáp biết điểm H cách tâm O của cây cầu 100 m (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng).

Hướng dẫn giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Vì các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) được treo trên các đỉnh tháp nên đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm B(200; 75).

Thay x = 200 và y = 75 vào hàm số y = ax², ta được:

75 = a . 200², hay 40 000a = 75, suy ra a = 0,001875 (thỏa mãn a ≠ 0).

Khi đó ta có hàm số y = 0,001875x².

Chiều cao CH của dây cáp chính là tung độ của điểm C thuộc đồ thị hàm số y = 0,001875x².

Thay hoành độ điểm C là x = 100 vào hàm số y = 0,001875x², ta được:

y = 0,001875 . 100² = 18,75.

Vậy chiều cao CH của dây cáp là 18,75 mét.

1. Hàm số y = ax² (a≠0)

Hoạt động 1 trang 5 Toán 9 Tập 2: Khi thả một vật rơi tự do và bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường chuyển động s (mét) của vật được cho bằng công thức s = 4,9t², trong đó t là thời gian chuyển động của vật (giây).

a) Hoàn thành bảng sau vào vở:

b) Giả sử một vật rơi tự do từ độ cao 19,6 m so với mặt đất. Hỏi sau bao lâu vật chạm đất?

Hướng dẫn giải:

a) Thay t = 0 vào công thức s = 4,9t², ta được: s = 4,9 . 0² = 0.

Thay t = 1 vào công thức s = 4,9t², ta được: s = 4,9 . 1² = 4,9.

Thay t = 2 vào công thức s = 4,9t², ta được: s = 4,9 . 2² = 19,6.

Ta hoàn thành được bảng như sau:

b) Vật rơi tự do từ độ cao 19,6 mét so với mặt đất tức là quãng đường chuyển động của vật là s = 19,6 (m).

Từ bảng kết quả câu a, ta thấy khi t = 2 (giây) thì s = 19,6 (mét).

Vậy nếu một vật rơi tự do từ độ cao 19,6 m so với mặt đất thì sau 2 giây vật sẽ chạm đất.

Hoạt động 2 trang 5 Toán 9 Tập 2 : a) Viết công thức tính diện tích S của hình tròn bán kính r.

b) Hoàn thành bảng sau vào vở (lấy π = 3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Hướng dẫn giải:

a) Công thức tính diện tích S của hình tròn bán kính r là:

S = πr² (đơn vị diện tích).

b) Thay r = 1 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 1² = 3,14.

Thay r = 2 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 2² = 12,56.

Thay r = 3 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 3² = 28,26.

Thay r = 4 và π = 3,14 vào công thức S = πr², ta được: S = 3,14 . 4² = 50,24.

Ta hoàn thành được bảng như sau:

Luyện tập 1 trang 5 Toán 9 Tập 2. Cho hàm số \(y=-\frac{3}{2}x^2\). Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

Hướng dẫn giải:

Ta có bảng sau:

x	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3
\(y=-\frac{3}{2}x^2\)	\(-\frac{27}{2}\)	– 6	\(-\frac{3}{2}\)	0	\(-\frac{3}{2}\)	– 6	\(-\frac{27}{2}\)

Vận dụng 1 trang 5 Toán 9 Tập 2. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a (cm) và chiều cao 15 cm.

a) Viết công thức tính thể tích V của hình chóp theo a và tính giá trị của V khi a = 5 cm

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình chóp thay đổi thế nào?

Hướng dẫn giải:

a) Thể tích của hình chóp là: \(\frac{1}{3}.S.h=\frac{1}{3}a^2.15=5a^{2^{ }}\) (cm³)

Khi a = 5 cm, ta có: V = 5 . 5² = 125 cm³.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần, tức 2a cm thì thể tích của hình chóp là:

\(\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\left(2a\right)^2.15=20a^2\)

Vậy thể tích của hình chóp tăng lên 4 lần nếu độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần.

2. Đồ thị của hàm số y = ax² (a≠0)

Hoạt động 3 trang 6 Toán 9 Tập 2 : Cho hàm số y = 2x².

a) Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2x²) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = 2x².

Hướng dẫn giải:

a) Thay lần lượt các giá trị x = –3; x = –2; …; x = 3 vào hàm số y = 2x², ta được bảng giá trị:

b) Biểu diễn các điểm (–3; 18); (–2; 8); (–1; 2); (0; 0); (1; 2); (2; 8) và (3; 18) trong bảng giá trị ở câu a và các điểm (x; 2x²) với x ∈ ℝ trên mặt phẳng tọa độ Oxy, sau đó nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = 2x² như sau:

Hoạt động 4 trang 6 Toán 9 Tập 2. Xét đồ thị của hàm số y = 2x² đã vẽ ở HĐ3 (H.6.3).

a) Đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục hoành? Điểm nào là điểm thấp nhất của đồ thị?

b) So sánh hoành độ và tung độ của các cặp điểm thuộc đồ thị: A(1; 2) và A'(– 1; 2); B(2; 8) và B'(– 2; 8). Từ đó hãy nhận xét mối liên hệ về vị trí giữa các cặp điểm nêu trên.

c) Tìm điểm C có hoành độ \(x=\frac{1}{2}\) thuộc đồ thị. Xác định tọa độ của điểm C' đối xứng với điểm C qua trục tung Oy và cho biết điểm C' có thuộc đồ thị đã cho hay không.

Hướng dẫn giải:

a) Từ đồ thị Hình 6.3, ta thấy đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Điểm thấp nhất của đồ thị là điểm O(0; 0)

b) Các cặp điểm thuộc đồ thị có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau.

⇒ Các cặp điểm nêu trên đối xứng với nhau qua trục tung.

c) Ta có tọa độ điểm \(C\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) thuộc đồ thị

Tọa độ điểm \(C'\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) cũng thuộc đồ thị.

Luyện tập 2 trang 8 Toán 9 Tập 2. Vẽ đồ thị của hàm số . Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng 2 và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Hướng dẫn giải:

a) Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

x	– 2	– 1	0	1	2
	2		0		2

Biểu diễn các điểm (– 2; 2), (– 1; ), (0; 0), (1; ) và (2; 2) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số như hình sau:

b) Ta có: y = 2 nên hay x² = 4

⇒ x = 2 hoặc x = – 2

Vậy có hai điểm cần tìm là (2; 2) và (–2; 2). Hai điểm này đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

Vận dụng 2 trang 8 Toán 9 Tập 2 : Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Hướng dẫn giải:

Vì các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) được treo trên các đỉnh tháp nên đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm B(200; 75).

Thay x = 200 và y = 75 vào hàm số y = ax², ta được:

75 = a . 200², hay 40 000a = 75, suy ra a = 0,001875 (thỏa mãn a ≠ 0).

Khi đó ta có hàm số y = 0,001875x².

Chiều cao CH của dây cáp chính là tung độ của điểm C thuộc đồ thị hàm số y = 0,001875x².

Thay hoành độ điểm C là x = 100 vào hàm số y = 0,001875x², ta được:

y = 0,001875 . 100² = 18,75.

Vậy chiều cao CH của dây cáp là 18,75 mét.

Bài 6.1 trang 8 Toán 9 Tập 2 : Cho hàm số y = 0,25x². Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

Hướng dẫn giải:

Thay lần lượt các giá trị x = –3; x = –2; …; x = 3 vào hàm số y = 0,25x², ta được bảng giá trị:

x	–3	–2	–1	0	1	2	3
y	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25

Bài 6.2 trang 8 Toán 9 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a (cm) và chiều cao 10 cm.

a) Viết công thức tính thể tích V của lăng trụ theo a và tính giá trị của V khi a = 2 cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình lăng trụ thay đổi thế nào?

Hướng dẫn giải:

a) Thể tích của hình lăng trụ đứng đó là: V = Bh = 10a² (cm³).

Vậy công thức tính thể tích V của lăng trụ là V = 10a² (cm³).

Khi a = 2 cm, thay vào công thức V = 10a², ta được:

V = 10 . 2² = 40 (cm³).

Vậy V = 40 cm³ khi a = 2 cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì độ dài cạnh đáy lúc này là 2a (cm).

Thể tích của hình lăng trụ lúc này là:

V’ = B’.h = 10 . (2a)² = 40a² = 4V (cm³).

Vậy nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình lăng trụ tăng lên 4 lần.

Bài 6.3 trang 8 Toán 9 Tập 2: Diện tích toàn phần S (cm²) của hình lập phương, tức là tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai mặt đáy là một hàm số của độ dài cạnh a (cm).

a) Viết công thức của hàm số này.

b) Sử dụng công thức nhận được ở câu a để tính độ dài cạnh của một hình lập phương có diện tích toàn phần là 54 cm².

Hướng dẫn giải:

a) Diện tích toàn phần của hình lập phương là:

S = 2 . a² + 4 . a² = 6a² (cm²).

Vậy công thức của hàm số cần tìm là: S = 6a² (cm²).

b) Ta có S = 54 cm², thay vào công thức S = 6a², ta được:

54 = 6a², hay a² = 9. Suy ra a = 3 (do a > 0).

Vậy một hình lập phương có diện tích toàn phần là 54 cm² thì có độ dài cạnh bằng 3 cm.

Bài 6.4 trang 8 Toán 9 Tập 2. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 3x²              b)

Hướng dẫn giải:

a) y = 3x²

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

x	– 2	– 1	0	1	2
y = 3x2	12	3	0	3	12

Biểu diễn các điểm (– 2; 12), (– 1; 3), (0; 0), (1; 3) và (2; 12) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số như hình sau:

b)

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

x	– 2	– 1	0	1	2
			0

Biểu diễn các điểm (– 2; ), (– 1; ), (0; 0), (1; ) và (2; ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số như hình sau:

Bài 6.5 trang 8 Toán 9 Tập 2 : Biết rằng đường cong trong Hình 6.6 là một parabol y = ax².

a) Tìm hệ số a.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ x = –2.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ y = 8.

Hướng dẫn giải:

a) Do parabol y = ax² trong Hình 6.6 đi qua điểm có tọa độ (2; 2) nên ta thay x = 2 và y = 2 vào hàm số y = ax² thì được:

2 = a . 2², hay 4a = 2. Suy ra a = .

b) Trên Hình 6.6, ta thấy parabol đi qua điểm có tọa độ (–2; 2).

Vậy điểm thuộc parabol có hoành độ x = –2 thì có tung độ là 2.

c) Với a = ta có hàm số

Thay y = 8 vào hàm số trên, ta được: , hay x² = 16.

Suy ra x = 4 hoặc x = –4.

Vậy các điểm thuộc parabol cần tìm là (–4; 8) và (4; 8).

Bài 6.6 trang 9 Toán 9 Tập 2: Trong Hình 6.7 có hai đường cong là đồ thị của hai hàm số y = –3x² và y = x². Hãy cho biết đường nào là đồ thị của hàm số y = –3x².

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) là đường cong parabol nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0.

Quan sát Hình 6,7, ta thấy đường cong màu đỏ nằm phía trên trục hoành và đường cong màu xanh nằm phía dưới trục hoành.

Mặt khác, hàm số y = –3x² có hệ số a = –3 < 0. Do vậy, đường cong màu xanh chính là đồ thị của hàm số y = –3x².

Bài 6.7 trang 9 Toán 9 Tập 2. Đề bài: Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol y = ax² như Hình 6.8. Biết chiều rộng của chân cổng là AB = 6 cm và chiều cao của cổng là OI = 4,5 cm.

a) Tìm hệ số a dựa vào các dữ kiện trên. Từ đó, tính độ dài đoạn HK biết H cách điểm chính giữa cổng I là 2 m.

b) Để vận chuyển hàng qua cổng, người ta dự định sử dụng một xe tải có chiều rộng 2 m, chiều cao 3 m. Hỏi xe tải này có thể đi qua được cổng vòm đó hay không?

Hướng dẫn giải:

a) Trong Hình 6.8 ta thấy đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm (3; 4,5)

⇒ 4,5 = a . 3²

⇒ 4,5 = 9a

⇒ a =

Do đó HK = x = (m)

b) Do xe tải có chiều rộng 2 m nên ta tính chiều cao cổng tại vị trí cách I 1 m, tức x = 1.

Khi đó chiều cao cổng là m

Vì chiều cao cổng lớn hơn chiều cao của xe nên xe có thể qua được cổng vòm.

---------------------------------------------------------

Giải bài tiếp theo:

• Giải bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn
• Giải luyện tập chung trang 19
• Giải bài 20: Định lí Viète và ứng dụng
• Giải bài 21: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Giải luyện tập chung trang 29