Toán 9 Kết nối tri thức Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải Toán 9 Kết nối tri thức Bài 3 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 21, trang 22, trang 23.

Giải Toán 9 trang 21

Hoạt động 1 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Xét bài toán ở tình huống mở đầu. Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính. Biểu thị khối lượng của vật qua x và y.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính (x > 0, y > 0).

Vật có khối lượng 124 g nên ta có x + y = 124.

Vậy biểu thức biểu thị khối lượng của vật qua x và y là: x + y = 124.

Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Biểu thị thể tích của vật qua x và y.\(\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\left( {c{m^3}} \right).\)

Hướng dẫn giải

Thể tích của vật là \(15\,c{m^3}\) nên ta có phương trình \(\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\left( {c{m^3}} \right).\)

Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn x,y nhận được ở hoạt động 1 và hoạt động 2. Từ đó trả lời câu hỏi ở Tình huống mở đầu.

Hướng dẫn giải

Qua hoạt động 1 và hoạt động 2, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\end{array} \right.\)

Từ phương trình đầu ta có \(x = 124 - y\) thay vào phương trình thứ hai ta được \(\frac{{124 - y}}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\) nên \(\frac{{19}}{{623}}y + \frac{{1240}}{{89}} = 15\) hay \(y = 35.\)

Với \(y = 35\) thì ta có \(x = 124 - 35 = 89.\)

Vậy vật đó có 89 g đồng và 35 gam kẽm.

Giải Toán 9 trang 22

Luyện tập 1 trang 22 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài 170km. Sau khi xe khách xuất phát từ 1 giờ 40 phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó 40 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km.

Hướng dẫn. Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xe tải và \(y\left( {km/h} \right)\) là vận tốc xe khách \(x,y > 0.\) Chú ý rằng hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau khi tổng quãng đường hai xe đã đi bằng 170 km.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xe tải và \(y\left( {km/h} \right)\) là vận tốc xe khách \(x,y > 0.\)

Thời gian di chuyển của xe khách từ HCM đến điểm gặp nhau là 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút \(= \frac{8}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe khách đi được là \(\frac{8}{3}.y\left( {km} \right).\)

Thời gian di chuyển của xe tải từ Cần Thơ đến điểm gặp nhau là 40 phút \(= \frac{2}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}x\left( {km} \right).\)

Vì hai xe di chuyển ngược chiều nên tổng quãng đường hai xe đi được chính là khoảng cách từ HCM đến Cần Thơ nên ta có phương trình: \(\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\left( {km} \right).\)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có phương trình \(y - x = 15\)

Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\\y - x = 15\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 15 + x\) thế vào phương trình đầu ta được \(\frac{8}{3}\left( {15 + x} \right) + \frac{2}{3}x = 170\) suy ra \(\frac{{10}}{3}x + 40 = 170\) nên \(x = 39\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 39\) ta có \(y = 15 + 39 = 54\left( {t/m} \right).\)

Vậy vận tốc của xe tải là 39 km/h và vận tốc của xe khách là 54 km/h.

Giải Toán 9 trang 23

Luyện tập 2 trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là \(x;y\) giờ \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút \(= \frac{4}{3}\) giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) (bể).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}.\left( 1 \right)\)

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút \(= \frac{1}{6}\) giờ) thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6}.\frac{1}{x} = \frac{1}{{6x}}\) (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút \(= \frac{1}{5}\) giờ) thì vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{5}.\frac{1}{y} = \frac{1}{{5y}}\) (bể).

Thì hai vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước.

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{5}\) ta được \(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\), từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) - \left( {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5x}}} \right) = \frac{3}{{20}} - \frac{2}{{15}}\) suy ra \(\frac{1}{{30x}} = \frac{1}{{60}}\) nên \(x = 2\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (1) ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) nên \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.

Bài 1.15 trang 23 Toán 9 Tập 1

Tìm số tự nhiên N có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng 12, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn N là 36 đơn vị.

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên N có hai chữ số có dạng \(\overline{ab} \ (0 < a,b \le 9, \ a,b \in N)\)

Do tổng của hai chữ số bằng 12 nên ta có phương trình:

a + b = 12 (1)

Hai chữ số được viết theo thứ tự ngược lại có dạng \(\overline{ba}\)

Do khi viết theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn N 36 đơn vị, nên ta có phương trình:

\(\overline{ba} -\overline{ab} =36\)

(10b + a) - (10a + b) = 36

- a + b = 4 (2)

Từ (1) và (2) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} a+b = 12 \\ -a + b=4 \end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được 2b = 16, suy ra b = 8.

Thế b = 8 vào phương trình thứ hai thứ nhất của hệ, ta được a + 8 = 12, suy ra a = 4.

Các giá trị a = 4 và b = 8 thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy số tự nhiên N cần tìm là: 48.

Bài 1.16 trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu "?"):

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi số thứ nhất bị mờ là x, số thứ hai bị mờ là y (x > 0, y > 0 ).

Số lần bắn là 100 nên ta có: 25 + 42 + x + 15 + y = 100 hay x + y = 18. (1)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có phương trình:

10 . 25 + 9 . 42 + 8x + 7 . 15 + 6y = 100 . 8,69

250 + 378 + 8x + 105 + 6y = 869

8x + 6y = 136

4x + 3y = 68. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\4x + 3y = 68;\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 54\\4x + 3y = 68;\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được –x = –14 hay x = 14 (thỏa mãn điều kiện).

Thế x = 14 vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có 14 + y = 18 suy ra y = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.

Bài 1.17 trang 23 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch 4 095 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái?

Hướng dẫn giải

Gọi số thóc của hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) (x, y > 0).

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình x + y = 3 600 (tấn thóc).

Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 115%x = 1,15x (tấn thóc).

Đội thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 112%y = 1,12y (tấn thóc).

Nên năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc, ta có phương trình

1,15x + 1,12y = 4095.

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3600\\1,15x + 1,12y = 4095;\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 3 600 – x. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

1,15x + 1,12(3 600 – x) = 4 095, tức là 0,03x + 4 032 = 4 095.

Suy ra 0,03x = 63 hay x = 2 100 (thỏa mãn điều kiện).

Từ đó y = 3 600 – 2 100 = 2415 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 2415 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 1680 tấn thóc.

Bài 1.18 trang 23 Toán 9 Tập 1

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công viêc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Hướng dẫn giải

Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc. (Điều kiện x, y > 16).

Trong một giờ, người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\)(công việc)

Người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\)(công việc);

Hai người làm được: \(\frac{1}{16}\) (công việc)

Do đó ta có phương trình:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\) (1)

Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 25% công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: (I) \(\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}}\\{\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.\)

Nếu đặt \(u=\frac{1}{x}\) và \(v=\frac{1}{y}\) thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{u + v = \dfrac{1}{{16}}}\\{3u + 6v = \dfrac{1}{4}}\end{array} } \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ mới, ta có \(u=\frac{1}{16}-v\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta được

\(3\left(\frac{1}{16}-v\right)+6v=\frac{1}{4}\) hay \(\frac{3}{16}+3v=\frac{1}{4}\). Suy ra \(v=\frac{1}{24}\).

Do đó \(u=\frac{1}{16}-\frac{1}{24}=\frac{1}{48}\)

Từ đó ta có:

\(u=\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\) suy ra x = 24.

\(v=\frac{1}{y}=\frac{1}{48}\) suy ra y = 48.

Các giá trị x = 24 và y = 48 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.