Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập Toán 9

Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập toán 9 tồng hợp các kiến thức quan trọng được học trong chương trình Toán 9 học kì 1 và học kì 2. Với các dạng bài tập Toán 9 này, các em sẽ được ôn tập và luyện đề về căn thức, phương trình bậc hai, phương trình vô tỉ, hệ thức lượng trong tam giác, tiếp tuyến của đường tròn... Hy vọng bộ tài liệu này giúp các em học tập tốt hơn môn Toán lớp 9, nâng cao kỹ năng giải Toán 9 và đạt kết quả cao trong học tập..

• Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9
• Căn thức và các bài toán liên quan đến căn thức trong Toán lớp 9
• Đề thi học kì 2 lớp 9

I. Tổng hợp kiến thức Toán đại số lớp 9

1. Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

+ Điều kiện để căn thức có nghĩa: \(\sqrt A\) có nghĩa khi \(A \ge 0\)

+ Các công thức biến đổi căn thức:

\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)	\(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)\)
\(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)\)	\(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B \left( {B \ge 0} \right)\)
\(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)\)	\(A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \left( {A < 0;B \ge 0} \right)\)
\(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\left( {B > 0} \right)\)	\(\frac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp B} \right)}}{{A - {B^2}}}\left( {A \ge 0;A \ne {B^2}} \right)\)

\(\frac{C}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\left( {A \ge 0;B \ge 0;A \ne B} \right)\)

+ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ:

\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\(\left( {a - {b^2}} \right) = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

\({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)

\({\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)

\({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)

\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)

^{\({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\)}

2. Chương 2: Hàm số bậc nhất

* Hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) có tính chất:

+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0

+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0

* Hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0; b) và B(-b/a; 0)

* Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Xét đường thẳng \(y = ax + b\left( d \right)\) và \(y = a'x + b'\left( {d'} \right)\). Khi đó:

+ (d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi a khác a’

+ (d) // (d’) khi và chỉ khi a = a’ và b khác b’

+ (d) trùng với (d’) khi và chỉ khi a = a’ và b = b’

3. Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhât hai ẩn

* Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ a'x + b'y = c' \end{array} \right.\)

+ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\)

+ Hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\)

+ Hệ phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\)

* Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

+ Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

4. Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn

* Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Công thức nghiệm: \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

- Nếu \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

- Nếu \(\Delta = 0\), phương trình có nghiêm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

- Nếu \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm

+ Công thức nghiệm thu gọn \(\Delta ' = b{'^2} - ac\left( {b = 2b'} \right)\)

- Nếu \(\Delta ' > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

- Nếu \(\Delta ' = 0\), phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}\)

- Nếu \(\Delta ' < 0\), phương trình vô nghiệm

* Hệ thức Vi ét: nếu \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)

* Hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) có tính chất:

+ Nếu a > 0, hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0, hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

* Hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường cong parabol đi qua gốc tọa độ O (0;0)

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành

* Ví trí tương đối của đường thẳng và đường cong parabol: Xét đường thẳng \(y = ax + b\left( d \right)\) và \(y = a{x^2}\left( P \right)\)

+ (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm, khi phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và đường cong có hai nghiệm phân biệt

+ (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm, khi phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và đường cong có nghiêm kép

+ (d) không cắt (P), khi phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và đường cong vô nghiệm

II. Tổng hợp kiến thức Toán hình lớp 9

1. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

+ Tỉ số lượng giác của góc nhọn

+ Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:

b = a.sinB = a.cosC

b = c.cotB = c.cotC

c = a.sinC = a.cosB

c = b.tanC = b.cotB

2. Chương 2, 3: Đường tròn và góc với đường tròn

* Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: trong một đường tròn:

+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

+ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

* Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

* Liên hệ giữa cung và dây: trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

* Tiếp tuyến của đường tròn

+ Tính chất của tiếp tuyến: tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

+ Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

- Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính

+ Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó

+ Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau: nếu MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:

- MA = MB

- MO là phân gác của góc AMB và OM là phân giác của góc AOB với O là tâm của đường tròn

* Góc với đường tròn

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

+ Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

+ Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90⁰ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thừ chắn nửa đường tròn

+ Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

* Với C là độ dài đường tròn, R là bán kính, l là độ dài cung thì:

+ Độ dài đường tròn: \(C = 2\pi R\)

+ Độ dài cung tròn: \(l = \frac{{\pi R{n^0}}}{{{{180}^0}}}\)

+ Diện tích hình tròn: \(S = \pi {R^2}\)

+ Diện tích hình quạt tròn: \(S = \frac{{\pi {R^2}{n^0}}}{{{{360}^0}}}\)

3. Chương 4: Hình trụ, hình nón, hình cầu

* Với h là chiều cao và l là đường sinh thì:

+ Diện tích xung quanh của hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi R.h\)

+ Diện tích toàn phần hình trụ: \({S_{tp}} = 2\pi R.h + 2\pi {R^2}\)

+ Thể tích của hình trụ: \(V = S.h + \pi {R^2}h\)

+ Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi Rl\)

+ Diện tích toàn phần hình nón: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\)

+ Thể tích hình nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)

4. Các dạng bài tập thường gặp

* Chứng minh hai góc bằng nhau:

+ Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba

+ Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác

+ Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau

+ Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù với góc thứ ba)

+ Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc

+ Hai góc cùng ở vị trí so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị

+ Hai góc ở vị trí đối đỉnh

+ Hai góc của cùng một tam giác cân hoặc đều

+ Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng

+ Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau

* Chứng minh hai đường thẳng song song

+ Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba

+ Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc vớ đường thẳng thứ ba

+ Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong, vị trí so le ngoài hoặc ở vị trí đồng vị

+ Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn

+ Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

+ Chúng song song với hai đường thẳng vuông góc khác

+ Chứng minh chúng là chân đường cao trong một tam giác

+ Đường kính đi qua trung điểm của dây và dây

+ Chứng là phân giác của hai góc kề bù nhau

* Chứng minh ba đường thẳng đồng quy: chứng minh chúng là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực hoặc ba đường phân giác trong

* Chứng minh hai tam giác bằng nhau: sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác thường, tam giác vuông

* Chứng minh hai tam giác đồng dạng: sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác thường, tam giác vuông

* Chứng minh đẳng thức hình học: sử dụng cặp cạnh tỉ lệ của hai tam giác đồng dạng

* Chứng minh tứ giác nội tiếp

+ Tứ giác có tổng hai góc bằng 180^o

+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm

+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc

* Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

* Các bài toán tính độ dài cạnh, độ lớn góc

 ------------------- 

Như vậy VnDoc đã chia sẻ tới các bạn các kiến thức và dạng bài tập Toán 9 cơ bản. Với các dạng bài tập Toán 9 cả năm này, các em sẽ được ôn tập và luyện đề về căn thức, phương trình bậc hai, phương trình vô tỉ, hệ thức lượng trong tam giác, tiếp tuyến của đường tròn... Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các em ôn tập chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học kì, cũng như ôn thi vào lớp 10. Chúc các em ôn thi tốt.

Chương trình học lớp 9 sẽ nặng hơn các lớp khác trong khối THCS, đặc biệt là môn Toán. Để có thể học tốt các môn và giải bài tập các môn nhanh hơn, mời các em tham khảo mục giải bài tập Toán 9 nói riêng và giải bài tập các môn lớp 9 nói chung mà chúng tôi chuẩn bị. Để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời bạn đọc cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn Ngữ văn lớp 9, Tiếng Anh lớp 9, Hóa học lớp 9...