Ứng dụng bất đẳng thức giải phương trình vô tỉ và hệ vô tỉ

Giải phương trình vô tỉ và hệ vô tỉ bằng cách dùng bất đẳng thức 

Phương trình vô tỉ và hệ phương trình vô tỉ là một trong những dạng toán phức tạp thường gặp trong chương trình Toán THPT và các kỳ thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT. Trong nhiều trường hợp, việc vận dụng bất đẳng thức như AM-GM, Cauchy-Schwarz, Bunyakovsky … là chìa khóa để giải nhanh và chính xác các bài toán này. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ và hệ vô tỉ, cung cấp ví dụ minh họa rõ ràng, giúp học sinh hiểu bản chất và áp dụng hiệu quả trong quá trình học và luyện thi.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x \neq \frac{1}{2}\) (*)

Ta có \((1) \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2x + 2}{2x - 1}} + (2x - 1) = 4.\)

TH1: \(2x - 1 < 0 \Rightarrow VT < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

TH2: \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}.\)

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho 4 số dương ta có:

\(\sqrt[3]{\frac{(x - 1)^{2} + 1}{2x - 1}} + \sqrt[3]{\frac{(x - 1)^{2} + 1}{2x - 1}} + \sqrt[3]{\frac{(x - 1)^{2} + 1}{2x - 1}} + (2x - 1) \geq 4\).

Đẳng thức xảy ra khi \(x = 1.\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x^{2}(2 - x^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow |x| \leq \sqrt{2}\) (*)

Ta có: \((2) \Leftrightarrow |x|\left( 13\sqrt{2 - x^{2}} + 9\sqrt{2 + x^{2}} \right) = 32\)

Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có được:

\(x^{2}\left\lbrack \sqrt{13}\sqrt{13(2 - x^{2})} + 3\sqrt{3}\sqrt{3(2 +x^{2})} \right\rbrack^{2}\)\(\leq x^{2}\left\lbrack (13 + 27)(26 - 13x^{2}+ 6 + 3x^{2}) \right\rbrack\)

\(\Leftrightarrow x^{2}\left\lbrack \sqrt{13}\sqrt{13(2 - x^{2})} +3\sqrt{3}\sqrt{3(2 + x^{2})} \right\rbrack^{2} \leq 40x^{2}(32 -10x^{2})\)

Mặt khác: \(40x^{2}\left( 32 - 10x^{2} \right) = 4.10x^{2}\left( 32 - 10x^{2} \right) \leq \left\lbrack 10x^{2} + \left( 32 - 10x^{2} \right) \right\rbrack^{2} = 32^{2}\)

Vậy \(|x|\left( 13\sqrt{2 - x^{2}} + 9\sqrt{2 + x^{2}} \right) \leq 32\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x = 1.\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{3} - 3x^{2} + y + 2 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có: \(x^{3} - 3x + 2 = (y + 1)^{3} - 3(y + 1) + 2\)

\(\Leftrightarrow x^{3} - 3x = (y + 1)^{3} - 3(y + 1)\)

\(\Leftrightarrow x^{3} - (y + 1)^{3} = 3\left\lbrack x - (y + 1)\right\rbrack\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = y + 1(1) \\x^{2} + x(y + 1) + (y + 1)^{2} = 3(2) \\\end{matrix} \right.\)

Từ (1): \(\Rightarrow y = x - 1 \Rightarrow \sqrt{x - 2} + \sqrt{x^{3} - 3x^{2} + x + 1} = x^{2} - 3x + 3.\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x - 2} + \sqrt{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 1 \right)} = x^{2} - 3x + 3.\)

Theo Cô Si ta có: \(\left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 2).1} \leq \dfrac{x - 2 + 1}{2} = \dfrac{x - 1}{2} \\\sqrt{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 1 \right)} \leq \dfrac{x^{2} - x - 2}{2}\\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow VT \leq \dfrac{x^{2} -3}{2}\)

Từ đó ta được: \(x^{2} - 3x + 3 \leq \frac{x^{2} - 3}{2} \Leftrightarrow (x - 3)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = 3(TM).\)

Ta có: \((2) \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{x}{2} + (y + 1)^{2} \right\rbrack + \frac{3x^{2}}{4} \geq 0 + \frac{3.2^{2}}{4} = 3\) (do \(x \geq 2\)).

Đẳng thức xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2} + (y + 1) = 0 \\x = 2 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - 2 \\\end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện để hệ có nghiệm: \(x,y,z \geq 0.\)

Ta dễ thấy \((x,y,z) = (0,0,0)\) là một nghiệm của hệ phương trình.

Với \(x,y,z \geq 0\) ta nhân ba phương trình với nhau được:

\(\begin{matrix} \frac{8x^{2}y^{2}z^{2}}{\left( x^{2} + 1 \right)\left( y^{2} + 1 \right)\left( z^{2} + 1 \right)} = xyz \\ \Leftrightarrow \left( x^{2} + 1 \right)\left( y^{2} + 1 \right)\left( z^{2} + 1 \right) = 8xyz. \\ \end{matrix}\)

Theo Cô Si ta có: \(\left\{ \begin{matrix}x^{2} + 1 \geq 2x > 0 \\y^{2} + 1 \geq 2y > 0 \\z^{2} + 1 \geq 2z > 0 \\\end{matrix} \right.\)\(\Rightarrow \left( x^{2} + 1 \right)\left( y^{2}+ 1 \right)\left( z^{2} + 1 \right) \geq 8xyz.\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(x = y = z = 1.\)

-------------------------------------------------------

Qua bài viết, bạn đã được trang bị kiến thức nền tảng về cách sử dụng bất đẳng thức trong giải phương trình và hệ vô tỉ. Phương pháp này không chỉ giúp rút gọn quá trình giải toán mà còn phát triển tư duy phân tích và đánh giá điều kiện nghiệm. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để thành thạo phương pháp này, đặc biệt khi chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng như thi tốt nghiệp THPT hay thi học sinh giỏi. Đừng quên theo dõi website/blog để cập nhật thêm nhiều tài liệu Toán học hữu ích khác nhé!