Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến (Có đáp án)

Bài tập Hình học Toán 9 ôn thi vào 10

Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến

1. Những tính chất cần nhớ về tiếp tuyến và cát tuyến
2. Một số bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến

Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là phần bài tập về Tiếp tuyến và Cát tuyến Toán lớp 9 được chia làm hai phần: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Phần đầu tiên sẽ tổng hợp lại kiến thức về Tiếp tuyến và Cát tuyến cũng như đưa ra các tính chất giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn về lý thuyết. Phần bài tập được sưu tầm và chọn lọc để các bạn học sinh có thể áp dụng các tính chất phía trên để làm bài. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố, nâng cao thêm kiến thức về phần Tiếp tuyến nói riêng và Hình học lớp 9 nói chung để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Lưu ý: Nếu không tìm thấy nút Tải về bài viết này, bạn vui lòng kéo xuống cuối bài viết để tải về.

Học trực tuyến lớp 9 môn Toán chuyên đề: Tiếp tuyến với đường tròn

Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến

1. Những tính chất cần nhớ về tiếp tuyến và cát tuyến

+ Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB, CD, KCD của một đường tròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC . MD

+ Đảo lại nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm a, B, C, D thuộc một đường tròn.

+ Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC² = MA.MB = MO² - R²

+ Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD, H là trung điểm CD thì năm điểm K, A, H, O, B nằm trên một đường tròn.

+ Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD thì $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{BD}}$ $\frac{A C}{A D} = \frac{B C}{B D}$ .

2. Một số bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến

Bài 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn O, kẻ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Dây cung EN song song với BC. I là giao điểm của DN và BC. Chứng minh rằng IB = IC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác ABOC có:

$\widehat{B} = \widehat{C} = 90^{0}$ $\hat{B} = \hat{C} = 90^{0}$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}$ $\Rightarrow \hat{B} + \hat{C} = 180^{0}$

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn

Xét tam giác CIK và tam giác BIC ta có

$\widehat{I}$ $\hat{I}$ chung

$\widehat{IBC} = \widehat{KCI}$ $\hat{I B C} = \hat{K C I}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cùng cung đó)

Suy ra tam giác CIK đồng dạng với tam giác BIC

$\Rightarrow \frac{IC}{IB} = \frac{IK}{IC} \Rightarrow IC^{2} = IB.IK$ $\Rightarrow \frac{I C}{I B} = \frac{I K}{I C} \Rightarrow I C^{2} = I B . I K$

Vì AC // BD nên $\widehat{ABD} = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$ $\hat{A B D} = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$ (góc trong cùng phía)

$\widehat{OBD} = 120^{0} - 90^{0} = 30^{0}$ $\hat{O B D} = 120^{0} - 90^{0} = 30^{0}$

Mà tam giác BOD cân ở O (OB = OD = R)

$\Rightarrow \widehat{BOD} = 180^{0} - 30^{0} - 30^{0} = 120^{0}$ $\Rightarrow \hat{B O D} = 180^{0} - 30^{0} - 30^{0} = 120^{0}$

Áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau suy ra $\widehat{BAO} = \widehat{CAO} = 30^{0}$ $\hat{B A O} = \hat{C A O} = 30^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BOA} = 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$ $\Rightarrow \hat{B O A} = 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$

Nhận thấy $\widehat{BOA} + \widehat{BOD} = 60^{0} + 120^{0} = 180^{0}$ $\hat{B O A} + \hat{B O D} = 60^{0} + 120^{0} = 180^{0}$

Mà 2 góc ở vị trí kề nhau suy ra A, O, D thẳng hàng

Bài 2: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.

a, Chứng minh rằng ta luôn có MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

b, Khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a, Xét hai tam giác BMT và TMA có

$\widehat{M}$ $\hat{M}$ chung

$\widehat{B} = \widehat{MTA}$ $\hat{B} = \hat{M T A}$ (cùng chắn cung nhỏ AT)

Suy ra tam giác BMT đồng dạng với tam giác TMA

$\Rightarrow \frac{MT}{MA} = \frac{MB}{MT} \Rightarrow MT^{2} = MA.MB$ $\Rightarrow \frac{M T}{M A} = \frac{M B}{M T} \Rightarrow M T^{2} = M A . M B$

Vì cát tuyến MAB kẻ tùy ý nên ta luôn có $MT^{2} = MA.MB$ $M T^{2} = M A . M B$ không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

b, Gọi bán kính đường tròn là R. Ta có

$MT^{2} = MA.MB$ $M T^{2} = M A . M B$

$MT^{2} = (MB - 2R).MB$ $M T^{2} = (M B - 2 R) . M B$

Thay số ta có

$20^{2} = (50 - 2R).50$ $20^{2} = (50 - 2 R) .50$

$400 = 2500 - 100 R$

$R = 21 (c m)$

Bài 3:Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ dây DI qua M. Chứng minh:

a) KIOD là tứ giác nội tiếp

b) KO là phân giác của góc IKD.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a. Để chứng minh $K I O D$ là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góc là rất khó khăn.

Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến, tiếp tuyến.

Ta có: $A I B D$ là tứ giác nội tiếp và $AB \cap ID = M$ $A B \cap I D = M$ nên ta có: $M A . M B = M I . M D$

Mặt khác $K A O B$ là tứ giác nội tiếp nên $M A . M B = M O . M K$

Từ đó suy ra $M O . M K = M I . M D$ hay $K I O D$ là tứ giác nội tiếp.

b. Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $K I O D$ có $IO = OD = R \Rightarrow \widehat{OKI} = \widehat{OKD}$ $I O = O D = R \Rightarrow \hat{O K I} = \hat{O K D}$

suy ra $K O$ là phân giác của góc $I K D$

Bài 4: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Chứng minh

a) CMOD là tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a. Vì $K B$ là tiếp tuyến nên ta có: $KB^{2} = KC.KD = KO^{2} - R^{2}$ $K B^{2} = K C . K D = K O^{2} - R^{2}$

Mặt khác tam giác $K O B$ vuông tại $B$ và $BM\bot KO$ $B M ⊥ K O$ nên $KB^{2} = KM.KO$ $K B^{2} = K M . K O$ suy ra $K C . K D = K M . K O$ hay $C M O D$ là tứ giác nội tiếp .

$b.\ CMOD$ $b . C M O D$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{KMC} = \widehat{ODC},\widehat{OMD} = \widehat{OCD}$ $\hat{K M C} = \hat{O D C}, \hat{O M D} = \hat{O C D}$ .

Mặt khác ta có: $\widehat{ODC} = \widehat{OCD} \Rightarrow \widehat{KMC} = \widehat{OMD}$ $\hat{O D C} = \hat{O C D} \Rightarrow \hat{K M C} = \hat{O M D}$

Trường hợp 1:

Tia $K D$ thuộc nửa mặt phẳng chứa $A$ và bờ là $K O$ (h1)

Hai góc $\widehat{AMC},\widehat{AMD}$ $\hat{A M C}, \hat{A M D}$ có 2 góc phụ với nó tương ứng là $\widehat{KMC},\widehat{ODC}$ $\hat{K M C}, \hat{O D C}$ mà $\widehat{KMC} = \widehat{ODC}$ $\hat{K M C} = \hat{O D C}$ nên $\widehat{AMC} = \widehat{AMD}$ $\hat{A M C} = \hat{A M D}$ hay $M A$ là tia phân giác của góc $\widehat{CMD}$ $\hat{C M D}$

Trường hợp 2:

Tia $K D$ thuộc nửa mặt phẳng chứa $B$ và bờ là $K O$ (h2) thì tương tự ta cũng có $M B$ là tia phân giác của góc $\widehat{CMD}$ $\hat{C M D}$

Suy ra: Đường thẳng $A B$ chứa phân giác của góc $\widehat{CMD}$ $\hat{C M D}$ .

Bài 5: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi là trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua H. Chứng minh BF // CD

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có $HI//BD \Rightarrow \widehat{CHI} = \widehat{CDB}$ $H I / / B D \Rightarrow \hat{C H I} = \hat{C D B}$ .

Mặt khác $\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$ $\hat{C A B} = \hat{C D B}$ cùng chắn cung $C B$ nên suy ra $\widehat{CHI} = \widehat{CAB}$ $\hat{C H I} = \hat{C A B}$ hay $A H I C$ là tứ giác nội tiếp.

Do đó $\widehat{IAH} = \widehat{ICH} \Leftrightarrow \widehat{BAH} = \widehat{ICH}$ $\hat{I A H} = \hat{I C H} \Leftrightarrow \hat{B A H} = \hat{I C H}$ .

Mặt khác ta có $A, K, B, O, H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $\widehat{ICH} = \widehat{BKH} \Rightarrow CI//KB$ $\hat{I C H} = \hat{B K H} \Rightarrow C I / / K B$ $K O$ nên $\widehat{BAH} = \widehat{BKH}$ $\hat{B A H} = \hat{B K H}$

Mà $KB\bot OB \Rightarrow CI\bot OB$ $K B ⊥ O B \Rightarrow C I ⊥ O B$

Nhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề $OB\bot KB$ $O B ⊥ K B$ .Thay vì chứng minh $CI\bot OB$ $C I ⊥ O B$ ta chứng minh $C I / / K B$

--------------

Ngoài Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 môn Toán 9, đề cương ôn tập môn Toán 9 học kì 2 hay một số đề thi ôn thi vào lớp 10 như 40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc, 21 Đề thi vào lớp 10 môn Toán,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với các bài tập về Tiếp tuyến và Cát tuyến này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

22

34.670

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến (Có đáp án)

1,6 MB

Tải tài liệu định dạng .doc
758,1 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!