VnDoc.com

Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Lý thuyết và bài tập môn Toán 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Căn thức bậc hai - Hằng đẳng thức √A² = |A|

A. Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
- I. Căn thức bậc hai
- II. Hằng đẳng thức √A2 = |A|
B. Giải Toán 9
C. Giải Bài tập Toán 9
D. Bài tập Toán 9

Trong chương trình Toán 9, việc nắm chắc kiến thức về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức là vô cùng quan trọng, bởi đây là nền tảng để giải quyết nhiều dạng bài toán phức tạp hơn sau này. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức với lý thuyết ngắn gọn, ví dụ minh họa dễ hiểu và bài tập vận dụng có lời giải. Bài học không chỉ giúp các em học sinh củng cố kiến thức cơ bản mà còn hỗ trợ ôn luyện hiệu quả cho các kỳ kiểm tra và thi học kỳ. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 9, Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

I. Căn thức bậc hai

1. Nhắc lại về biểu thức đại số

+ Những biểu thức bao gồm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa không chỉ trên số mà còn trên chữ (đại diện cho các số) được gọi là biểu thức đại số.

2. Căn thức bậc hai

+ Định nghĩa: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A$ $\sqrt A$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

+ $\sqrt A$ $\sqrt A$ xác định (hoặc có nghĩa) khi biểu thức dưới dấu căn có giá trị không âm, hay A lấy giá trị không âm

+ Ví dụ: Với giá trị nào của x thì $\sqrt {3x - 2}$ $\sqrt {3x - 2}$ xác định?

Lời giải:

Để $\sqrt {3x - 2}$ $\sqrt {3x - 2}$ có nghĩa thì $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$ $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$

II. Hằng đẳng thức √A² = |A|

+ Định lý: Với mọi số a, ta có $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$ $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$

Chứng minh:

Thật vậy, theo định nghĩa giá trị tuyệt đối có $\left| a \right| \ge 0\,\,\,\forall a$ $\left| a \right| \ge 0\,\,\,\forall a$

Nếu $a \ge 0$ $a \ge 0$ thì $\left| a \right| = a$ $\left| a \right| = a$ nên ${\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}$ ${\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}$

Nếu $a < 0$ thì $\left| a \right| = - a$ $\left| a \right| = - a$ nên ${\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {\left( { - a} \right)^2} = {a^2}$ ${\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {\left( { - a} \right)^2} = {a^2}$

Vậy ${\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}$ ${\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}$ với mọi số a hay $\left| a \right|$ $\left| a \right|$ chính là căn bậc hai số học của ${a^2}$ ${a^2}$, tức là $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$ $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$ (điều phải chứng minh)

+ Tổng quát: với A là một biểu thức ta có $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$, có nghĩa là:

$\sqrt {{A^2}} = A$ $\sqrt {{A^2}} = A$ nếu $A \ge 0$ $A \ge 0$ (tức là A lấy giá trị không âm)

Và $\sqrt {{A^2}} = - A$ $\sqrt {{A^2}} = - A$ nếu $A < 0$ (tức là A lấy giá trị âm)

+ Ví dụ:

a) Rút gọn biểu thức: $\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}^2}}$ $\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}^2}}$

b) Rút gọn $\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2}}$ $\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2}}$ với $x < 4$

Lời giải:

a) Có $\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 7 } \right| = 3 - \sqrt 7$ $\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 7 } \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 7 } \right| = 3 - \sqrt 7$(vì $3 > \sqrt 7$ $3 > \sqrt 7$)

b) Có $\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2}} = \left| {x + 4} \right| = - \left( {x + 4} \right)$ $\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2}} = \left| {x + 4} \right| = - \left( {x + 4} \right)$(vì x < 4)

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{9x^{2}} - 2x$ $\sqrt{9x^{2}} - 2x$ với $x < 0$

b) $\sqrt{25x^{2}} + 3x$ $\sqrt{25x^{2}} + 3x$ với $x \geq 0$ $x \geq 0$

c) $\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}}$ $\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}}$ với $x \geq 4$ $x \geq 4$

d) $\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$ $\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$ với $0 \leq x \leq 1$ $0 \leq x \leq 1$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{9x^{2}} - 2x$ $\sqrt{9x^{2}} - 2x$ với $x < 0$

$\sqrt{9x^{2}} - 2x = |3x| - 2x = - 3x - 2x = - 5x$ $\sqrt{9x^{2}} - 2x = |3x| - 2x = - 3x - 2x = - 5x$

b) $\sqrt{25x^{2}} + 3x$ $\sqrt{25x^{2}} + 3x$ với $x \geq 0$ $x \geq 0$

$\sqrt{25x^{2}} + 3x = |5x| + 3x = 5x + 3x = 8x$ $\sqrt{25x^{2}} + 3x = |5x| + 3x = 5x + 3x = 8x$

c) $\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}}$ $\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}}$ với $x \geq 4$ $x \geq 4$

$\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}} = \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 4} + 4}$ $\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}} = \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x - 4} + 4}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{x - 4} - 2 \right)^{2}} = \left| \sqrt{x - 4} - 2 \right| = \sqrt{x - 4} - 2$ $= \sqrt{\left( \sqrt{x - 4} - 2 \right)^{2}} = \left| \sqrt{x - 4} - 2 \right| = \sqrt{x - 4} - 2$

d) $\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$ $\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$ với $0 \leq x \leq 1$ $0 \leq x \leq 1$

$\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$ $\sqrt{x - 2\sqrt{x} + + 1} + \sqrt{x + 2\sqrt{x} + 1}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}}$ $= \sqrt{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}}$

$= \left| \sqrt{x} - 1 \right| + \left| \sqrt{x} + 1 \right|$ $= \left| \sqrt{x} - 1 \right| + \left| \sqrt{x} + 1 \right|$

$= 1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 = 2$ $= 1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 = 2$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}$ $\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}$ với $- 2 \leq x \leq 0$ $- 2 \leq x \leq 0$

b) $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$ $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$ với $x < 2$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}$ $\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}$ với $- 2 \leq x \leq 0$ $- 2 \leq x \leq 0$

$\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}} = \sqrt{(x + 2)^{2}} - |x|$ $\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}} = \sqrt{(x + 2)^{2}} - |x|$

$= |x + 2| - |x| = x + 2 - x = 2$

b) $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$ $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$ với $x < 2$

$|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$ $|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}$

$= - (x - 2) + \frac{\sqrt{(x - 2)^{2}}}{x - 2}$ $= - (x - 2) + \frac{\sqrt{(x - 2)^{2}}}{x - 2}$

$= 2 - x + \frac{|x - 2|}{x - 2} = 2 - x + \frac{2 - x}{x - 2} = 2 - x - 1 = 1 - x$ $= 2 - x + \frac{|x - 2|}{x - 2} = 2 - x + \frac{2 - x}{x - 2} = 2 - x - 1 = 1 - x$

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^{2} + 3x} = 2$ $\sqrt{x^{2} + 3x} = 2$ b) $\sqrt{x^{2} + x + \frac{1}{4}} = x$ $\sqrt{x^{2} + x + \frac{1}{4}} = x$

c) $\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 2$ $\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 2$ d) $\sqrt{x + 2} = x + 2$ $\sqrt{x + 2} = x + 2$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^{2} + 3x} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 3x = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} \right.$ $\sqrt{x^{2} + 3x} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 3x = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 1;x = - 4$

b) $\sqrt{x^{2} + x + \frac{1}{4}} = x$ $\sqrt{x^{2} + x + \frac{1}{4}} = x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} + x + \frac{1}{4} = x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = - \frac{1}{4}(ktm) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} + x + \frac{1}{4} = x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = - \frac{1}{4}(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 2$ $\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2}} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( \sqrt{x - 1} - 1 \right)^{2}} = 2$

$\Leftrightarrow \left| \sqrt{x - 1} - 1 \right| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x - 1} - 1 = 2 \\ \sqrt{x - 1} - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left| \sqrt{x - 1} - 1 \right| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x - 1} - 1 = 2 \\ \sqrt{x - 1} - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 9 \\ \sqrt{x - 1} = - 1(L) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 10$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 9 \\ \sqrt{x - 1} = - 1(L) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 10$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 10$.

d) $\sqrt{x + 2} = x + 2$ $\sqrt{x + 2} = x + 2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ x + 2 = (x + 2)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ x^{2} + 3x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ x + 2 = (x + 2)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ x^{2} + 3x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ (x + 1)(x + 2) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x + 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ (x + 1)(x + 2) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x + 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = - 1;x = - 2$.

B. Giải Toán 9

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 9, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 9. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

C. Giải Bài tập Toán 9

Sách bài tập Toán 9 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Giải bài tập SBT Toán 9 bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

D. Bài tập Toán 9

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Căn bậc hai này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Bài tập về Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ cũng như Bài tập nâng cao do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

Bài tập Toán 9: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

----------

Trên đây là toàn bộ kiến thức trọng tâm của Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức mà các em cần nắm vững. Việc hiểu rõ cách biến đổi căn thức và vận dụng hằng đẳng thức sẽ giúp giải các bài toán nhanh hơn, chính xác hơn. Đừng quên luyện tập thêm nhiều dạng bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán. Nếu thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ và theo dõi để cập nhật thêm nhiều tài liệu học tốt môn Toán lớp 9 nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: