Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến

Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Đề thi HSG

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Tài liệu giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và kỹ năng giải bài tập, biết cách phân bổ thời gian làm bài sao cho hợp lý. Mời các bạn cùng tham khảo

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các câu hỏi bài tập trong chuyên đề về Tiếp tuyến, Cát tuyến, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

A. Những tính chất cần nhớ

1. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB, CD, KCD của một đường tròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC.MD

2. Đảo lại nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A; B; C; D thuộc một đường tròn.

3. Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì $MC^{2} = MA.MB = MO^{2} - R^{2}$

4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD, H, là trung điểm CD thì năm điểm K; A; G; O; B nằm trên một đường tròn.

5. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD thì $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$

Ta có: $\widehat{KAC} = \widehat{ADK} \Rightarrow \Delta KAC \sim \Delta KAD \Leftrightarrow \frac{AC}{AD} = \frac{KC}{KA}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{BC}{BD} = \frac{KC}{KB}$ mà KA = KB nên suy ra $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$

Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có: $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$ và $\frac{CA}{CB} = \frac{DA}{DB}$

B. Những bài toán tiêu biểu

Bài 1: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ dây DI qua M. Chứng minh

a. KIOD là tứ giác nội tiếp.

b. KO là phân giác của góc IKD.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Để chứng minh KIOD là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góc là rất khó khăn.

Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến , tiếp tuyến.

Ta có: AIBD là tứ giác nội tiếp và AB ∩ ID = M nên ta có: MA.MB = MI.MD

Mặt khác KAOB là tứ giác nội tiếp nên MA.MB = MO.MK

Từ đó suy ra MO.MK = MI.MD hay KIOD là tứ giác nội tiếp.

b. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD . Ta có $IO = OD = R \Rightarrow \widehat{OKI} = \widehat{OKD}$

suy ra KO là phân giác của góc IKD.

Bài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Chứng minh

a. CMOD là tứ giác nội tiếp

b. Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD.

Vì KB là tiếp tuyến nên ta có: KB² = KC.KD = KO² - R²

Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và $BM\bot KO$ nên KB² = KM.KO suy ra

KC.KD = KM.KO hay CMOD là tứ giác nội tiếp

CMOD là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{KMC} = \widehat{ODC},\widehat{OMD} = \widehat{OCD}$ .

Mặt khác ta có: $\widehat{ODC} = \widehat{OCD} \Rightarrow \widehat{KMC} = \widehat{OMD}$

Trường hợp 1:

Tia thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO (h1)

Hai góc $\widehat{AMC},\widehat{AMD}$ có 2 góc phụ với nó tương ứng là $\widehat{KMC},\widehat{ODC}$ mà $\widehat{KMC} = \widehat{ODC}$ nên $\widehat{AMC} = \widehat{AMD}$ hay MA là tia phân giác của góc $\widehat{CMD}$

Trường hợp 2:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO (h2) thì tương tự ta cũng có MB là tia phân giác của góc $\widehat{CMD}$

Suy ra Đường thẳng B chứa phân giác của góc $\widehat{CMD}$ .

Bài 3. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi H là trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua H. Chứng minh BF//CD.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Để chứng minh BF // CD ta chứng minh $\widehat{AHK} = \widehat{AFB}$

Ta có $\widehat{A FB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB}$ (Tính chất góc nội tiếp chắn cung ).

Mặt khác KO là phân giác góc $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{AOK} = \widehat{BOK} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} \Rightarrow \widehat{AFB} = \widehat{AOK}$ .

Vì A; K; B O; H cùng nằm trên đường tròn đường kính KO nên

$\widehat{AHK} = \widehat{AOK} \Rightarrow \widehat{AFB} = \widehat{AHK} \Leftrightarrow BF//CD$

Bài 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi H là trung điểm CD. Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I . Chứng minh $CI\bot OB$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có $HI//BD \Rightarrow \widehat{CHI} = \widehat{CDB}$ . Mặt khác $\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$ cùng chắn cung CB nên suy ra $\widehat{CHI} = \widehat{CAB}$ hay AHIC là tứ giác nội tiếp.

Do đó $\widehat{IAH} = \widehat{ICH} \Leftrightarrow \widehat{BAH} = \widehat{ICH}$ .

Mặt khác ta có A, K, B, O, H cùng nằm trên đường tròn đường kính KO nên $\widehat{BAH} = \widehat{BKH}$

Từ đó suy ra $\widehat{ICH} = \widehat{BKH} \Rightarrow CI//KB$ .

Mà $KB\bot OB \Rightarrow CI\bot OB$

Nhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề $OB\bot KB$ . Thay vì chứng minh $CI\bot OB$ ta chứng minh CI//KB.

Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI. Gọi I là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt IB ở K . Gọi C là giao điểm thứ hai của KD với đường tròn (O). Chứng minh rằng BC // AI.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta cần chứng minh: $\widehat{AIK} = \widehat{KBC}$

Mặt khác ta có: $\widehat{KBC} = \widehat{CAB} = \frac{1}{2}sd\widehat{CB}$ nên ta sẽ chứng minh $\widehat{AIK} = \widehat{CAB}$ hay $\Leftrightarrow \Delta BID\sim\Delta BCA$

Thật vậy theo tính chất 5 ta có: $\frac{CB}{CA} = \frac{DB}{DA}$ mà $DA = DI \Rightarrow \frac{CB}{CA} = \frac{DB}{DI}$

Tứ giác ACBD nội tiếp nên $\widehat{BCA} = \widehat{BDI}$

$\Rightarrow \Delta BID\sim\Delta BCA \Rightarrow \widehat{AIK} = \widehat{CAB}$

Hay $\widehat{AIK} = \widehat{KBC} \Rightarrow BC//AI$

Bài 6: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽ dây CF qua M. Chứng minh DF//AB.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Kẻ $OH\bot CD$

Ta chứng minh được: AMOD là tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên $\widehat{M_{1}} = \widehat{D_{1}}$ mà $\widehat{M_{1}} + \widehat{M_{2}} = 90^{0};\widehat{D_{1}} + \widehat{DOH} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{M_{2}} = \widehat{DOH}$ .

Mặt khác ta có: $\widehat{CFD} = \frac{1}{2}\widehat{COD},\widehat{DOH} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$

$\Rightarrow \widehat{CFD} = \widehat{DOH}$ .

Từ đó suy ra $\widehat{M_{2}} = \widehat{CFD} \Leftrightarrow DF//AB$

Chú ý: $DF//AB \Rightarrow ABFD$ là hình thang cân có hai đáy là $AB,DF \Rightarrow \widehat{OMD} = \widehat{OMF}$

Bài 7: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Kẻ OH vuông góc với CD cắt AB ở E. Chứng minh

a) CMOE là tứ giác nội tiếp.

b) CE; DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Theo bài toán 2, ta có CMOD

là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{CMK} = \widehat{ODC} = \widehat{OCD}$ .

Do đó các góc phụ với chúng

bằng nhau: $\widehat{CME} = \widehat{COE}$ .

Suy ra CMOE là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).

b) Cũng theo bài toán 2, CMOD nội tiếp.

Mặt khác CMOE là tứ giác nội tiếp nên E; C; M; O; D thuộc một đường tròn.

Từ đó dễ chứng minh CE; DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 8. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Vẽ đường kính AI. Các dây IC, ID cắt KO theo thứ tự ở G, N. Chứng minh rằng OG = ON.

Hướng dẫn giải

Ta vẽ trong hình trường hợp O và A nằm khác phía đối với CD. Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Để chứng minh OG = ON, ta sẽ chứng minh $\Delta IOG = \Delta AON$ .

Ta đã có $OI = OA,\widehat{IOG} = \widehat{AON}$ , cần chứng minh $\widehat{CIA} = \widehat{IAN}$ , muốn vậy phải có AN // CI. Ta sẽ chứng minh $\widehat{AND} = \widehat{CID}$ . Chú ý đến AI là đường kính, ta có $\widehat{ADI} = 90^{0}$ , do đó ta kẻ $AM\bot OK$

Ta có AMND là tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat{AND} = \widehat{AMD}$ (1)

Sử dụng bài 2, ta có CMOD là tứ giác nội tiếp và $\widehat{AMD} = \frac{1}{2}\widehat{CMD} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AND} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$ . Ta lại có $\widehat{CID} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$ nên $\widehat{AND} = \frac{1}{2}\widehat{CID}$ .

HS tự giải tiếp.

Bài 9. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyến KA; KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng $\widehat{ADC} = \widehat{MDB}$ .

Giải:

Kẻ $OH\bot CD$ , cắt AB ở E.

Theo bài 7 ,EC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo bài toán quen thuộc 3, ta có ECMD là tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat{EBD} = \widehat{ECD}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CBD} = \widehat{EMD}$ .

Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau: $\widehat{CAD} = \widehat{BMD} \Rightarrow \Delta CAD\sim\Delta BMD$ (g.g) nên $\widehat{ADC} = \widehat{MDB}$

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

----------------------------------------------------

FAQ – Bồi Dưỡng HSG Toán 9 Chuyên Đề Tiếp Tuyến, Cát Tuyến

1. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn, gọi là tiếp điểm.

Một tính chất quan trọng là tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Đây là kiến thức nền tảng trong các bài toán hình học Toán 9 nâng cao.

2. Cát tuyến của đường tròn là gì?

Cát tuyến là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Trong các bài toán hình học, cát tuyến thường được sử dụng để thiết lập các hệ thức và chứng minh quan hệ hình học quan trọng.

3. Chuyên đề tiếp tuyến và cát tuyến có vai trò gì trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9?

Đây là một trong những chuyên đề trọng tâm giúp học sinh:

Rèn luyện tư duy hình học.
Thành thạo kỹ năng chứng minh.
Khai thác các tính chất đặc biệt của đường tròn.
Giải quyết các bài toán vận dụng cao.

Chuyên đề này thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp trường và cấp tỉnh.

4. Những tính chất tiếp tuyến thường gặp trong bài tập HSG Toán 9 là gì?

Các tính chất quan trọng gồm:

Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm ngoài đường tròn có độ dài bằng nhau.
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung liên hệ với góc nội tiếp.

Đây là những kiến thức xuất hiện thường xuyên trong các bài toán nâng cao.

5. Hệ thức tiếp tuyến – cát tuyến được áp dụng như thế nào?

Khi từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ một tiếp tuyến và một cát tuyến, ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đoạn thẳng tương ứng.

Hệ thức này thường được sử dụng để:

Tính độ dài đoạn thẳng.
Chứng minh đẳng thức hình học.
Giải các bài toán cực trị.

6. Những dạng bài tập tiếp tuyến và cát tuyến thường gặp là gì?

Các dạng bài phổ biến gồm:

Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.
Tính độ dài đoạn thẳng.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Bài toán cực trị hình học.

Đây là nhóm bài toán thường gặp trong đề thi học sinh giỏi lớp 9.

Tải về

Chọn file muốn tải về: