VnDoc.com

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến

Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Đề thi HSG

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Tài liệu giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và kỹ năng giải bài tập, biết cách phân bổ thời gian làm bài sao cho hợp lý. Mời các bạn cùng tham khảo

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các câu hỏi bài tập trong chuyên đề về Tiếp tuyến, Cát tuyến, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

A. Những tính chất cần nhớ

1. Nếu hai đường thẳng chứa các dây $AB,CD,KCD$của một đường tròn cắt nhau tại $M$ thì $MA.MB = MC.MD$

2. Đảo lại nếu hai đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau tại $M$ và $MA.MB = MC.MD$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ thuộc một đường tròn.

3. Nếu $MC$ là tiếp tuyến và $MAB$ là cát tuyến thì $MC^{2} = MA.MB = MO^{2} - R^{2}$ $MC^{2} = MA.MB = MO^{2} - R^{2}$

4. Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD,H$ , là trung điểm $CD$ thì năm điểm $K,A,H,O,B$ nằm trên một đường tròn.

5. Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ thì $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$

Ta có: $\widehat{KAC} = \widehat{ADK} \Rightarrow \Delta KAC \sim \Delta KAD \Leftrightarrow \frac{AC}{AD} = \frac{KC}{KA}$ $\widehat{KAC} = \widehat{ADK} \Rightarrow \Delta KAC \sim \Delta KAD \Leftrightarrow \frac{AC}{AD} = \frac{KC}{KA}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{BC}{BD} = \frac{KC}{KB}$ $\frac{BC}{BD} = \frac{KC}{KB}$ mà $KA = KB$ nên suy ra $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$

Chú ý: Những tứ giác quen thuộc $ACBD$ như trên thì ta luôn có: $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD}$ và $\frac{CA}{CB} = \frac{DA}{DB}$ $\frac{CA}{CB} = \frac{DA}{DB}$

B. Những bài toán tiêu biểu

Bài 1: Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm $OK$ và $AB$. Vẽ dây $DI$ qua $M$. Chứng minh

a. $KIOD$ là tứ giác nội tiếp

b. $KO$ là phân giác của góc $IKD$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Để chứng minh $KIOD$ là tứ giác nội tiếp việc chỉ ra các góc là rất khó khăn.

Ta phải dựa vào các tính chất của cát tuyến , tiếp tuyến.

Ta có: $AIBD$ là tứ giác nội tiếp và $AB \cap ID = M$ $AB \cap ID = M$ nên ta có: $MA.MB = MI.MD$

Mặt khác $KAOB$ là tứ giác nội tiếp nên $MA.MB = MO.MK$

Từ đó suy ra $MO.MK = MI.MD$ hay $KIOD$ là tứ giác nội tiếp.

b. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác $KIOD$ . Ta có $IO = OD = R \Rightarrow \widehat{OKI} = \widehat{OKD}$ $IO = OD = R \Rightarrow \widehat{OKI} = \widehat{OKD}$

suy ra $KO$ là phân giác của góc $IKD$

Bài 2: Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm $OK$ và $AB$. Chứng minh

a. $CMOD$ là tứ giác nội tiếp

b. Đường thẳng $AB$ chứa phân giác của góc $CMD$

Vì $KB$ là tiếp tuyến nên ta có: $KB^{2} = KC.KD = KO^{2} - R^{2}$ $KB^{2} = KC.KD = KO^{2} - R^{2}$

Mặt khác tam giác $KOB$ vuông tại $B$ và $BM\bot KO$ $BM\bot KO$ nên $KB^{2} = KM.KO$ $KB^{2} = KM.KO$ suy ra

$KC.KD = KM.KO$ hay $CMOD$ là tứ giác nội tiếp

$CMOD$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{KMC} = \widehat{ODC},\widehat{OMD} = \widehat{OCD}$ $\widehat{KMC} = \widehat{ODC},\widehat{OMD} = \widehat{OCD}$.

Mặt khác ta có: $\widehat{ODC} = \widehat{OCD} \Rightarrow \widehat{KMC} = \widehat{OMD}$ $\widehat{ODC} = \widehat{OCD} \Rightarrow \widehat{KMC} = \widehat{OMD}$

Trường hợp 1:

Tia $KD$ thuộc nửa mặt phẳng chứa $A$ và bờ là $KO$ (h1)

Hai góc $\widehat{AMC},\widehat{AMD}$ $\widehat{AMC},\widehat{AMD}$ có 2 góc phụ với nó tương ứng là $\widehat{KMC},\widehat{ODC}$ $\widehat{KMC},\widehat{ODC}$ mà $\widehat{KMC} = \widehat{ODC}$ $\widehat{KMC} = \widehat{ODC}$ nên $\widehat{AMC} = \widehat{AMD}$ $\widehat{AMC} = \widehat{AMD}$ hay $MA$ là tia phân giác của góc $\widehat{CMD}$ $\widehat{CMD}$

Trường hợp 2:

Tia $KD$ thuộc nửa mặt phẳng chứa $B$ và bờ là $KO$ (h2) thì tương tự ta cũng có $MB$ là tia phân giác của góc $\widehat{CMD}$ $\widehat{CMD}$

Suy ra Đường thẳng $AB$ chứa phân giác của góc $\widehat{CMD}$ $\widehat{CMD}$.

Bài 3. Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Gọi $H$ là trung điểm $CD$ . Vẽ dây $AF$ đi qua $H$. Chứng minh $BF//CD$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Để chứng minh $BF//CD$ ta chứng minh $\widehat{AHK} = \widehat{AFB}$ $\widehat{AHK} = \widehat{AFB}$

Ta có $\widehat{A FB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB}$ $\widehat{A FB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB}$ (Tính chất góc nội tiếp chắn cung $AB$).

Mặt khác $KO$ là phân giác góc $\widehat{AOB}$ $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{AOK} = \widehat{BOK} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} \Rightarrow \widehat{AFB} = \widehat{AOK}$ $\widehat{AOK} = \widehat{BOK} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} \Rightarrow \widehat{AFB} = \widehat{AOK}$. Vì $A,K,B,O,H$cùng nằm trên đường tròn đường kính $KO$ nên $\widehat{AHK} = \widehat{AOK} \Rightarrow \widehat{AFB} = \widehat{AHK} \Leftrightarrow BF//CD$ $\widehat{AHK} = \widehat{AOK} \Rightarrow \widehat{AFB} = \widehat{AHK} \Leftrightarrow BF//CD$

Bài 4. Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Gọi $H$ là trung điểm $CD$. Đường thẳng qua $H$ song song với $BD$ cắt $AB$ tại $I$ . Chứng minh $CI\bot OB$ $CI\bot OB$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có $HI//BD \Rightarrow \widehat{CHI} = \widehat{CDB}$ $HI//BD \Rightarrow \widehat{CHI} = \widehat{CDB}$. Mặt khác $\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$ $\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$ cùng chắn cung $CB$ nên suy ra $\widehat{CHI} = \widehat{CAB}$ $\widehat{CHI} = \widehat{CAB}$ hay $AHIC$ là tứ giác nội tiếp.

Do đó $\widehat{IAH} = \widehat{ICH} \Leftrightarrow \widehat{BAH} = \widehat{ICH}$ $\widehat{IAH} = \widehat{ICH} \Leftrightarrow \widehat{BAH} = \widehat{ICH}$.

Mặt khác ta có $A,K,B,O,H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $KO$ nên $\widehat{BAH} = \widehat{BKH}$ $\widehat{BAH} = \widehat{BKH}$

Từ đó suy ra $\widehat{ICH} = \widehat{BKH} \Rightarrow CI//KB$ $\widehat{ICH} = \widehat{BKH} \Rightarrow CI//KB$.

Mà $KB\bot OB \Rightarrow CI\bot OB$ $KB\bot OB \Rightarrow CI\bot OB$

Nhận xét: Mấu chốt bài toán nằm ở vấn đề $OB\bot KB$ $OB\bot KB$.Thay vì chứng minh $CI\bot OB$ $CI\bot OB$ ta chứng minh $CI//KB$.

Bài 5: Cho đường tròn $(O)$ dây cung $ADI$. Gọi $I$ là điểm đối xứng với $A$ qua $D$. Kẻ tiếp tuyến $IB$ với đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ cắt $IB$ ở $K$. Gọi $C$ là giao điểm thứ hai của $KD$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $BC//AI$.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta cần chứng minh: $\widehat{AIK} = \widehat{KBC}$ $\widehat{AIK} = \widehat{KBC}$

Mặt khác ta có: $\widehat{KBC} = \widehat{CAB} = \frac{1}{2}sd\widehat{CB}$ $\widehat{KBC} = \widehat{CAB} = \frac{1}{2}sd\widehat{CB}$ nên ta sẽ chứng minh $\widehat{AIK} = \widehat{CAB}$ $\widehat{AIK} = \widehat{CAB}$ hay $\Leftrightarrow \Delta BID\sim\Delta BCA$ $\Leftrightarrow \Delta BID\sim\Delta BCA$

Thật vậy theo tính chất 5 ta có: $\frac{CB}{CA} = \frac{DB}{DA}$ $\frac{CB}{CA} = \frac{DB}{DA}$ mà $DA = DI \Rightarrow \frac{CB}{CA} = \frac{DB}{DI}$ $DA = DI \Rightarrow \frac{CB}{CA} = \frac{DB}{DI}$

Tứ giác $ACBD$ nội tiếp nên $\widehat{BCA} = \widehat{BDI}$ $\widehat{BCA} = \widehat{BDI}$

$\Rightarrow \Delta BID\sim\Delta BCA \Rightarrow \widehat{AIK} = \widehat{CAB}$ $\Rightarrow \Delta BID\sim\Delta BCA \Rightarrow \widehat{AIK} = \widehat{CAB}$

Hay $\widehat{AIK} = \widehat{KBC} \Rightarrow BC//AI$ $\widehat{AIK} = \widehat{KBC} \Rightarrow BC//AI$

Bài 6: Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm $OK$ và $AB$. Vẽ dây $CF$ qua $M$. Chứng minh $DF//AB$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Kẻ $OH\bot CD$ $OH\bot CD$

Ta chứng minh được: $CMOD$ là tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên $\widehat{M_{1}} = \widehat{D_{1}}$ $\widehat{M_{1}} = \widehat{D_{1}}$ mà $\widehat{M_{1}} + \widehat{M_{2}} = 90^{0};\widehat{D_{1}} + \widehat{DOH} = 90^{0}$ $\widehat{M_{1}} + \widehat{M_{2}} = 90^{0};\widehat{D_{1}} + \widehat{DOH} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{M_{2}} = \widehat{DOH}$ $\Rightarrow \widehat{M_{2}} = \widehat{DOH}$.

Mặt khác ta có: $\widehat{CFD} = \frac{1}{2}\widehat{COD},\widehat{DOH} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$ $\widehat{CFD} = \frac{1}{2}\widehat{COD},\widehat{DOH} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$

$\Rightarrow \widehat{CFD} = \widehat{DOH}$ $\Rightarrow \widehat{CFD} = \widehat{DOH}$.

Từ đó suy ra $\widehat{M_{2}} = \widehat{CFD} \Leftrightarrow DF//AB$ $\widehat{M_{2}} = \widehat{CFD} \Leftrightarrow DF//AB$

Chú ý: $DF//AB \Rightarrow ABFD$ $DF//AB \Rightarrow ABFD$ là hình thang cân có hai đáy là $AB,DF \Rightarrow \widehat{OMD} = \widehat{OMF}$ $AB,DF \Rightarrow \widehat{OMD} = \widehat{OMF}$

Bài 7: Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Gọi $M$ là giao điểm $OK$ và $AB$. Kẻ $OH$ vuông góc với $CD$ cắt $AB$ ở $E$. Chứng minh

a) $CMOE$ là tứ giác nội tiếp.

b) $CE,DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Theo bài toán 2, ta có $CMOD$

là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{CMK} = \widehat{ODC} = \widehat{OCD}$ $\widehat{CMK} = \widehat{ODC} = \widehat{OCD}$.

Do đó các góc phụ với chúng

bằng nhau: $\widehat{CME} = \widehat{COE}$ $\widehat{CME} = \widehat{COE}$.

Suy ra $CMOE$ là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).

b) Cũng theo bài toán 2, $CMOD$ nội tiếp.

Mặt khác $CMOE$ là tứ giác nội tiếp nên $E,C,M,O,D$ thuộc một đường tròn.

Từ đó dễ chứng minh $CE,DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

----------------------------------------------------

Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Tải về

Chọn file muốn tải về: