VnDoc.com

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đẳng cấp

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đẳng cấp
II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp
- VI. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đẳng cấp

1. Định nghĩa về hệ phương trình đẳng cấp

+ Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau

+ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2} \end{array} \right.$ ${\begin{cases} f (x; y) = a_{1} \\ g (x; y) = a_{2} \end{cases}$ với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực hiện các bước sau:

Phương trình $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\left( 1 \right)\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2}\left( 2 \right) \end{array} \right.$ ${\begin{cases} f (x; y) = a_{1} (1) \\ g (x; y) = a_{2} (2) \end{cases}$

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với và phương trình (2) với rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do

+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình

- Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y

+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn $\frac{x}{y}$ $\frac{x}{y}$ hoặc $\frac{y}{x}$ $\frac{y}{x}$ rồi sau đó tìm được nghiệm của hệ phương trình.

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bxy + cy^{2} = d\ \ \ \ \ \ (1) \\ mx^{2} + nxy + py^{2} = q\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} a x^{2} + b x y + c y^{2} = d (1) \\ m x^{2} + n x y + p y^{2} = q (2) \end{matrix}$

4. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Lấy phương trình (1) nhân với q và phương trình (2) nhân với d rồi trừ theo vế như sau:

$\left\{ \begin{matrix} q.\left( ax^{2} + bxy + cy^{2} \right) = d.q\ \\ d.\left( mx^{2} + nxy + py^{2} \right) = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} q . (a x^{2} + b x y + c y^{2}) = d . q \\ d . (m x^{2} + n x y + p y^{2}) = d . q \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} = d.q\ \\ d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} q . a x^{2} + q . b x y + q . c y^{2} = d . q \\ d . m x^{2} + d . n x y + d . p y^{2} = d . q \end{matrix}$ , trừ hai vế của hai phương trình ta được phương trình sau:

$\left( q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} \right) - \left( d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} \right) = 0$ $(q . a x^{2} + q . b x y + q . c y^{2}) - (d . m x^{2} + d . n x y + d . p y^{2}) = 0$

$\Leftrightarrow (qa - dm)x^{2} + (qb - dn)xy + (qc - dp)y^{2} = 0$ $\Leftrightarrow (q a - d m) x^{2} + (q b - d n) x y + (q c - d p) y^{2} = 0$

Giải phương trình bậc hai ẩn x theo y hoặc y theo x. Thực hiện các bước giải bình thường rồi kết luận nghiệm

II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} + y^{3} = 1 \\ x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3} = 2 \end{cases}$

Hướng dẫn giải

Có $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = 2\left( 1 \right)\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2\left( 2 \right) \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} + y^{3} = 1 \\ x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 (x^{3} + y^{3}) = 2 (1) \\ x^{2} y + 2 x y^{2} + y^{3} = 2 (2) \end{cases}$

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} 2{x^3} + 2{y^3} - {x^2}y - 2x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0\left( 3 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} 2 x^{3} + 2 y^{3} - x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x^{3} - x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{3} = 0 (3) \end{array}$

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Với x = 0, y = 0 thay vào phương trình (1) có 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho $y^{3}$ ta được:

$2{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1 = 0$ $2 {(\frac{x}{y})}^{3} - {(\frac{x}{y})}^{2} - 2 (\frac{x}{y}) + 1 = 0$

Đặt $t = \frac{x}{y}$ $t = \frac{x}{y}$

Phương trình trở thành:

_{$2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 1 \\ t = \frac{1}{2} \end{array}$}

Với $t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y$ $t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y$ , thay vào phương trình (1) có:

${x^3} + {x^3} = 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$ $x^{3} + x^{3} = 1 \Leftrightarrow 2 x^{3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Với $t = - 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 1 \Leftrightarrow x = - y$ $t = - 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 1 \Leftrightarrow x = - y$ , thay vào phương trình (2) có:

${x^3} - {x^3} = 1 \Leftrightarrow 0{x^3} = 1$ $x^{3} - x^{3} = 1 \Leftrightarrow 0 x^{3} = 1$ (vô lý)

Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = 2x$ $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = 2 x$ , thay vào phương trình (2) có:

${x^3} + 8{x^3} = 1 \Leftrightarrow 9{x^3} = 1 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}} \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}$ $x^{3} + 8 x^{3} = 1 \Leftrightarrow 9 x^{3} = 1 \Leftrightarrow x^{3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \Rightarrow y = \frac{2}{\sqrt[3]{9}}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}};\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}};\frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}} \right)$ $(x; y) = (\frac{1}{\sqrt[3]{2}}; \frac{1}{\sqrt[3]{2}}); (x; y) = (\frac{1}{\sqrt[3]{9}}; \frac{2}{\sqrt[3]{9}})$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} (5x - 4y)(3x + 2y) = 7y - 2x \\ (5y - 4x)(3y + 2x) = 7x - 2y \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} (5 x - 4 y) (3 x + 2 y) = 7 y - 2 x \\ (5 y - 4 x) (3 y + 2 x) = 7 x - 2 y \end{matrix}$

Hướng dẫn giải

Với y = 0 thì hệ trở thành : $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 9 \\ 2x^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} = 9 \\ 2 x^{2} = 2 \end{matrix}$ => y=0 không là nghiệm

Đặt : x = ty => $\left\{ \begin{matrix} t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + 3y^{2} = 9 \\ 2t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + y^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} t^{2} y^{2} + 2 t y^{2} + 3 y^{2} = 9 \\ 2 t^{2} y^{2} + 2 t y^{2} + y^{2} = 2 \end{matrix}$

$= > \left\{ \begin{matrix} y^{2}\left( t^{2} + 2t + 3 \right) = 9 \\ y^{2}\left( 2t^{2} + 2t + 1 \right) = 2 \\ \end{matrix} \right.\ = > t = \frac{- 3}{8}$ $=> {\begin{matrix} y^{2} (t^{2} + 2 t + 3) = 9 \\ y^{2} (2 t^{2} + 2 t + 1) = 2 \end{matrix} => t = \frac{- 3}{8}$ hoặc : $t = \frac{- 1}{2}$ $t = \frac{- 1}{2}$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} - x y + y^{2} = 3 \\ z^{2} + y z + 1 = 0 \end{matrix}$

Hướng dẫn giải

Từ hệ phương trình đã cho ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} - x y + y^{2} = 3 \\ z^{2} + y z + 1 = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x^{2} - \dfrac{2}{y} \right)^{2} = \dfrac{- 3}{4}\left( y^{2} - 4 \right) \\ \left( z^{2} + \dfrac{y}{2} \right)^{2} = \dfrac{- 1}{4}\left( 4 - y^{2} \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow {\begin{matrix} {(x^{2} - \frac{2}{y})}^{2} = \frac{- 3}{4} (y^{2} - 4) \\ {(z^{2} + \frac{y}{2})}^{2} = \frac{- 1}{4} (4 - y^{2}) \end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} - 4 < 0 \\ 4 - y^{2} < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow {\begin{matrix} y^{2} - 4 < 0 \\ 4 - y^{2} < 0 \end{matrix}$ $= > y^{2} - 4 = 0 = > y = \pm 2$ $=> y^{2} - 4 = 0 => y = \pm 2$ $= > x = \pm 1,z = \pm 1$ $=> x = \pm 1, z = \pm 1$

Kết luận nghiệm của hệ phương trình

VI. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đẳng cấp

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11\\ {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} 3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 11 \\ x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} = 17 \end{cases}$	2, $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - 3xy = 4\\ {x^2} - 4xy + {y^2} = 1 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} y^{2} - 3 x y = 4 \\ x^{2} - 4 x y + y^{2} = 1 \end{cases}$
3, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\\ {x^2} + xy + 2{y^2} = 8 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} 2 x^{2} + 3 x y + y^{2} = 15 \\ x^{2} + x y + 2 y^{2} = 8 \end{cases}$	4, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - xy + 3{y^2} = 9\\ 2{x^2} + xy + 4{y^2} = 10 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} - x y + 3 y^{2} = 9 \\ 2 x^{2} + x y + 4 y^{2} = 10 \end{cases}$
5, $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 5xy - 4{y^2} = 38\\ 5{x^2} - 9xy - 3{y^2} = 15 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} 3 x^{2} + 5 x y - 4 y^{2} = 38 \\ 5 x^{2} - 9 x y - 3 y^{2} = 15 \end{cases}$	6, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy - {y^2} = 29\\ 5{x^2} - xy - {y^2} = - 11 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} + x y - y^{2} = 29 \\ 5 x^{2} - x y - y^{2} = - 11 \end{cases}$
7, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3xy + {y^2} = - 1\\ 3{x^2} - xy + 3{y^2} = 13 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} - 3 x y + y^{2} = - 1 \\ 3 x^{2} - x y + 3 y^{2} = 13 \end{cases}$	8, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2xy + 3{y^2} = 9\\ {x^2} - 4xy + 5{y^2} = 5 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} = 9 \\ x^{2} - 4 x y + 5 y^{2} = 5 \end{cases}$
9, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy - {y^2} = 180\\ {x^2} - xy - {y^2} = - 11 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} + x y - y^{2} = 180 \\ x^{2} - x y - y^{2} = - 11 \end{cases}$	10, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - xy + 3{y^2} = 13\\ {x^2} + 4xy - 2{y^2} = - 6 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} 2 x^{2} - x y + 3 y^{2} = 13 \\ x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} = - 6 \end{cases}$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a, $\left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 3xy + y^{2} = 12 \\ x^{2} + 8y^{2} = 14 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 2 x^{2} + 3 x y + y^{2} = 12 \\ x^{2} + 8 y^{2} = 14 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 3xy + y^{2} - 3 = 0 \\ x^{2} - 2xy - 2y^{2} - 6 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 2 x^{2} - 3 x y + y^{2} - 3 = 0 \\ x^{2} - 2 x y - 2 y^{2} - 6 = 0 \end{matrix}$

Bài 3: Xác định nghiệm của các hệ phương trình sau:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + 4y^{2} + xy = 6 \\ 3x^{2} + 8y^{2} = 14 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + 4 y^{2} + x y = 6 \\ 3 x^{2} + 8 y^{2} = 14 \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} - 4y^{2} + 5xy = 38 \\ 5x^{2} - 3y^{2} - 9xy = 15 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 3 x^{2} - 4 y^{2} + 5 x y = 38 \\ 5 x^{2} - 3 y^{2} - 9 x y = 15 \end{matrix}$

Bài 4: Xác định nghiệm của các hệ phương trình sau:

a, $\left\{ \begin{matrix} 3y^{2} - 2xy = 160 \\ y^{2} - 3xy - 2x^{2} = 8 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 3 y^{2} - 2 x y = 160 \\ y^{2} - 3 x y - 2 x^{2} = 8 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3xy + y^{2} = - 1 \\ 3x^{2} - xy + 3y^{2} = 13 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} - 3 x y + y^{2} = - 1 \\ 3 x^{2} - x y + 3 y^{2} = 13 \end{matrix}$

Bài 5: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2xy + y^{2} = 11 \\ x^{2} + 2xy + 3y^{2} = 17 + m \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 3 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 11 \\ x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} = 17 + m \end{matrix}$

a, Giải hệ phương trình khi m = 10.

b, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 6: Giải các hệ phương trình dưới đây:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 2xy + 3y^{2} = 9 \\ 2x^{2} - 13xy + 15y^{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} = 9 \\ 2 x^{2} - 13 x y + 15 y^{2} = 0 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 5xy - 4y^{2} = - 3 \\ 9y^{2} + 11xy - 8x = 6 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} - 5 x y - 4 y^{2} = - 3 \\ 9 y^{2} + 11 x y - 8 x = 6 \end{matrix}$

-----------------

Ngoài chuyên đề hệ phương trình đẳng cấp Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

12

18.108

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

271,7 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
125 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!