Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
• Chuyên đề Hệ phương trình lớp 9
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 5: Hệ phương trình
• Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đẳng cấp

1. Định nghĩa về hệ phương trình đẳng cấp

+ Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau

+ \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2} \end{array} \right.\) với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực hiện các bước sau:

Phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\left( 1 \right)\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2}\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với và phương trình (2) với rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do

+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình

- Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y

+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn \(\frac{x}{y}\) hoặc \(\frac{y}{x}\) rồi sau đó tìm được nghiệm của hệ phương trình

III. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Có \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = 2\left( 1 \right)\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

Lấy (1) – (2) ta có:

\(\begin{array}{l} 2{x^3} + 2{y^3} - {x^2}y - 2x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0\left( 3 \right) \end{array}\)

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Với x = 0, y = 0 thay vào phương trình (1) có 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho \(y^3\) ta được:

\(2{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1 = 0\)

Đặt \(t = \frac{x}{y}\)

Phương trình trở thành:

_{\(2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1\\ t = \frac{1}{2} \end{array} \right.\)}

Với \(t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y\), thay vào phương trình (1) có:

\({x^3} + {x^3} = 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\)

Với \(t = - 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 1 \Leftrightarrow x = - y\), thay vào phương trình (2) có:

\({x^3} - {x^3} = 1 \Leftrightarrow 0{x^3} = 1\)(vô lý)

Với \(t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = 2x\), thay vào phương trình (2) có:

\({x^3} + 8{x^3} = 1 \Leftrightarrow 9{x^3} = 1 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}} \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}};\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}};\frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}} \right)\)

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đẳng cấp

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11\\ {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 \end{array} \right.\)	2, \(\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - 3xy = 4\\ {x^2} - 4xy + {y^2} = 1 \end{array} \right.\)
3, \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} + 3xy + {y^2} = 15\\ {x^2} + xy + 2{y^2} = 8 \end{array} \right.\)	4, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - xy + 3{y^2} = 9\\ 2{x^2} + xy + 4{y^2} = 10 \end{array} \right.\)
5, \(\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 5xy - 4{y^2} = 38\\ 5{x^2} - 9xy - 3{y^2} = 15 \end{array} \right.\)	6, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy - {y^2} = 29\\ 5{x^2} - xy - {y^2} = - 11 \end{array} \right.\)
7, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3xy + {y^2} = - 1\\ 3{x^2} - xy + 3{y^2} = 13 \end{array} \right.\)	8, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2xy + 3{y^2} = 9\\ {x^2} - 4xy + 5{y^2} = 5 \end{array} \right.\)
9, \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy - {y^2} = 180\\ {x^2} - xy - {y^2} = - 11 \end{array} \right.\)	10, \(\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - xy + 3{y^2} = 13\\ {x^2} + 4xy - 2{y^2} = - 6 \end{array} \right.\)

-----------------

Ngoài chuyên đề hệ phương trình đẳng cấp Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!