Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đẳng cấp

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đẳng cấp
II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đẳng cấp

1. Hệ phương trình đẳng cấp là gì?

Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp là hệ mà các hạng tử trong mỗi phương trình đều có cùng bậc đối với các ẩn số. Trong chương trình bồi dưỡng Toán 9, dạng toán này thường xuất hiện với các biểu thức bậc hai hoặc bậc ba và yêu cầu vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp biến đổi để tìm nghiệm.

+ Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau

+ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2} \end{array} \right.$ với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau.

Làm thế nào để nhận biết hệ phương trình đẳng cấp?

Một hệ phương trình được xem là đẳng cấp khi:

Mỗi hạng tử trong cùng một phương trình có cùng bậc.
Không xuất hiện hằng số độc lập (hoặc có thể đưa về dạng đẳng cấp sau khi biến đổi).
Các biểu thức thường đối xứng hoặc có cấu trúc giống nhau.

Việc nhận diện đúng dạng toán giúp lựa chọn phương pháp giải phù hợp ngay từ đầu.

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực hiện các bước sau:

Phương trình $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\left( 1 \right)\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2}\left( 2 \right) \end{array} \right.$

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với và phương trình (2) với rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do

+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình

- Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y

+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn $\frac{x}{y}$ hoặc $\frac{y}{x}$ rồi sau đó tìm được nghiệm của hệ phương trình.

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bxy + cy^{2} = d\ \ \ \ \ \ (1) \\ mx^{2} + nxy + py^{2} = q\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

4. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Lấy phương trình (1) nhân với q và phương trình (2) nhân với d rồi trừ theo vế như sau:

$\left\{ \begin{matrix} q.\left( ax^{2} + bxy + cy^{2} \right) = d.q\ \\ d.\left( mx^{2} + nxy + py^{2} \right) = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} = d.q\ \\ d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$ , trừ hai vế của hai phương trình ta được phương trình sau:

$\left( q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} \right) - \left( d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow (qa - dm)x^{2} + (qb - dn)xy + (qc - dp)y^{2} = 0$

Giải phương trình bậc hai ẩn x theo y hoặc y theo x. Thực hiện các bước giải bình thường rồi kết luận nghiệm

II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = 2\left( 1 \right)\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Lấy (1) – (2) ta có:

2x³ + 2y³ - x²y - 2xy² - y³ = 0 ⇔ 2x³ - x²y - 2xy² + y³ = 0 (3)

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Với x = 0, y = 0 thay vào phương trình (1) có 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được:

$2{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1 = 0$

Đặt $t = \frac{x}{y}$

Phương trình trở thành:

Với $t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y$ , thay vào phương trình (1) có:

${x^3} + {x^3} = 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$

Với $t = - 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 1 \Leftrightarrow x = - y$ , thay vào phương trình (2) có:

x³ - x³ = 1 ⇔ 0x³ = 1(vô lý)

Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = 2x$ , thay vào phương trình (2) có:

${x^3} + 8{x^3} = 1 \Leftrightarrow 9{x^3} = 1 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}} \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}};\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}};\frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}} \right)$ .

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} (5x - 4y)(3x + 2y) = 7y - 2x \\ (5y - 4x)(3y + 2x) = 7x - 2y \\ \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Với y = 0 thì hệ trở thành : $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 9 \\ 2x^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ => y=0 không là nghiệm

Đặt : x = ty => $\left\{ \begin{matrix} t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + 3y^{2} = 9 \\ 2t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + y^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$

$= > \left\{ \begin{matrix} y^{2}\left( t^{2} + 2t + 3 \right) = 9 \\ y^{2}\left( 2t^{2} + 2t + 1 \right) = 2 \\ \end{matrix} \right.\ = > t = \frac{- 3}{8}$ hoặc : $t = \frac{- 1}{2}$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Từ hệ phương trình đã cho ta có: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x^{2} - \dfrac{2}{y} \right)^{2} = \dfrac{- 3}{4}\left( y^{2} - 4 \right) \\ \left( z^{2} + \dfrac{y}{2} \right)^{2} = \dfrac{- 1}{4}\left( 4 - y^{2} \right) \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} - 4 < 0 \\ 4 - y^{2} < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $= > y^{2} - 4 = 0 = > y = \pm 2$ $= > x = \pm 1,z = \pm 1$

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} + y^{2}\ (1) \\ \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}\ \ (2) \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

$\sqrt{x^{2} + 91} - \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2} + y^{2} - x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} = \frac{y - x}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + (y - x)(y + x)$

$\Leftrightarrow (x - y).\left( \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} + \frac{1}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + x + y \right) = 0$

⇔ x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2)

Vậy từ hệ trên ta có:

$\sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^{2} - 9$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$

$\Leftrightarrow (x - 3)\left\lbrack (x + 3)\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} \right\rbrack = 0$ ⇔ x = 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x = y = 3

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1 \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y\end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1(1) \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y(2)\end{matrix} \right.$ .

Điều kiện xác định: x + y > 0.

(1) ⇔ $(x + y)^{2} - 1 - 2xy\left( 1 - \frac{1}{x + y} \right) = 0$

⇔ (x + y - 1).(x² + y² + x + y) = 0

⇔ x + y - 1 = 0 (vì x + y > 0 nên x² + y² + x + y > 0)

Thay x = 1 - y vào (2) ta được:

1 = x² - (1 - x) ⇔ x² + x - 2 = 0 ⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} x = 1\ \ \ (y = 0) \\ x = - 2\ \ (y = 3) \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2y^{2} - x^{2} = 1 \\ 2x^{3} - y^{3} = 2y - x \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

2x³ - y³ = (2y² - x²)(2y - x) ⇔ x³ + 2x²y + 2xy² - 5y³ = 0

Khi y = 0 thì hệ VN.

Khi y ≠ 0, chia 2 vế cho y³ ≠ 0 ta được: $\left( \frac{x}{y} \right)^{3} + 2\left( \frac{x}{y} \right)^{2} + 2\left( \frac{x}{y} \right) - 5 = 0$

Đặt $t = \frac{x}{y}$ , ta có :

$t^{3} + 2t^{2} + 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = x \\ y^{2} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = 1,x = y = - 1$ .

-----------------------------------------------------

Chuyên đề Cách giải hệ phương trình đẳng cấp là một trong những nội dung nâng cao quan trọng của Toán 9 luyện thi vào lớp 10 , giúp học sinh rèn luyện tư duy biến đổi đại số, kỹ năng phân tích và lựa chọn phương pháp giải tối ưu. Việc nắm vững các kỹ thuật như đặt ẩn phụ , đặt tỉ số , phân tích thành nhân tử hay biến đổi tương đương sẽ giúp xử lý hiệu quả nhiều dạng bài xuất hiện trong đề thi tuyển sinh và các kỳ thi học sinh giỏi.

Hy vọng bộ bài tập hệ phương trình đẳng cấp có đáp án cùng lời giải chi tiết trong bài viết sẽ là tài liệu ôn tập hữu ích, giúp bạn củng cố kiến thức, tránh các lỗi thường gặp và nâng cao kỹ năng giải toán. Đừng quên khám phá thêm các chuyên đề liên quan như hệ phương trình đối xứng , phương trình chứa tham số , phương trình bậc hai , bất đẳng thức , định lý Viète và bộ đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án để hoàn thiện nền tảng kiến thức, tự tin chinh phục mục tiêu đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: