VnDoc.com

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đẳng cấp

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đẳng cấp
II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đẳng cấp

1. Định nghĩa về hệ phương trình đẳng cấp

+ Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau

+ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2} \end{array} \right.$ với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Để giải hệ phương trình đẳng cấp này, ta thực hiện các bước sau:

Phương trình $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\left( 1 \right)\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2}\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = {a_1}\left( 1 \right)\\ g\left( {x;y} \right) = {a_2}\left( 2 \right) \end{array} \right.$

+ Bước 1: Nhân phương trình (1) với và phương trình (2) với rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do

+ Bước 2: Phương trình có hai ẩn x và y. Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0 thay vào phương trình để tìm ra y hoặc x. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình

- Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0, chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của ẩn x hoặc y

+ Bước 3: Giải phương trình với ẩn $\frac{x}{y}$ $\frac{x}{y}$ hoặc $\frac{y}{x}$ $\frac{y}{x}$ rồi sau đó tìm được nghiệm của hệ phương trình.

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bxy + cy^{2} = d\ \ \ \ \ \ (1) \\ mx^{2} + nxy + py^{2} = q\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} ax^{2} + bxy + cy^{2} = d\ \ \ \ \ \ (1) \\ mx^{2} + nxy + py^{2} = q\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

4. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Lấy phương trình (1) nhân với q và phương trình (2) nhân với d rồi trừ theo vế như sau:

$\left\{ \begin{matrix} q.\left( ax^{2} + bxy + cy^{2} \right) = d.q\ \\ d.\left( mx^{2} + nxy + py^{2} \right) = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} q.\left( ax^{2} + bxy + cy^{2} \right) = d.q\ \\ d.\left( mx^{2} + nxy + py^{2} \right) = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} = d.q\ \\ d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} = d.q\ \\ d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} = d.q\ \\ \end{matrix} \right.$ , trừ hai vế của hai phương trình ta được phương trình sau:

$\left( q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} \right) - \left( d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} \right) = 0$ $\left( q.ax^{2} + q.bxy + q.cy^{2} \right) - \left( d.mx^{2} + d.nxy + d.py^{2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow (qa - dm)x^{2} + (qb - dn)xy + (qc - dp)y^{2} = 0$ $\Leftrightarrow (qa - dm)x^{2} + (qb - dn)xy + (qc - dp)y^{2} = 0$

Giải phương trình bậc hai ẩn x theo y hoặc y theo x. Thực hiện các bước giải bình thường rồi kết luận nghiệm

II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Có $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = 2\left( 1 \right)\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) = 2\left( 1 \right)\\ {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} 2{x^3} + 2{y^3} - {x^2}y - 2x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0\left( 3 \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} 2{x^3} + 2{y^3} - {x^2}y - 2x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0\left( 3 \right) \end{array}$

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Với x = 0, y = 0 thay vào phương trình (1) có 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho $y^3$ ta được:

$2{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1 = 0$ $2{\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} - {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1 = 0$

Đặt $t = \frac{x}{y}$ $t = \frac{x}{y}$

Phương trình trở thành:

_{$2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = - 1\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$}

Với $t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y$ $t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y$, thay vào phương trình (1) có:

${x^3} + {x^3} = 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$ ${x^3} + {x^3} = 1 \Leftrightarrow 2{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Rightarrow y = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$

Với $t = - 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 1 \Leftrightarrow x = - y$ $t = - 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = - 1 \Leftrightarrow x = - y$, thay vào phương trình (2) có:

${x^3} - {x^3} = 1 \Leftrightarrow 0{x^3} = 1$ ${x^3} - {x^3} = 1 \Leftrightarrow 0{x^3} = 1$(vô lý)

Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = 2x$ $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = 2x$, thay vào phương trình (2) có:

${x^3} + 8{x^3} = 1 \Leftrightarrow 9{x^3} = 1 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}} \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}$ ${x^3} + 8{x^3} = 1 \Leftrightarrow 9{x^3} = 1 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}} \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}};\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}};\frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}} \right)$ $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}};\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{9}}};\frac{2}{{\sqrt[3]{9}}}} \right)$

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} (5x - 4y)(3x + 2y) = 7y - 2x \\ (5y - 4x)(3y + 2x) = 7x - 2y \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} (5x - 4y)(3x + 2y) = 7y - 2x \\ (5y - 4x)(3y + 2x) = 7x - 2y \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Với y = 0 thì hệ trở thành : $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 9 \\ 2x^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 9 \\ 2x^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$=> y=0 không là nghiệm

Đặt : x = ty => $\left\{ \begin{matrix} t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + 3y^{2} = 9 \\ 2t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + y^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + 3y^{2} = 9 \\ 2t^{2}y^{2} + 2ty^{2} + y^{2} = 2 \\ \end{matrix} \right.$

$= > \left\{ \begin{matrix} y^{2}\left( t^{2} + 2t + 3 \right) = 9 \\ y^{2}\left( 2t^{2} + 2t + 1 \right) = 2 \\ \end{matrix} \right.\ = > t = \frac{- 3}{8}$ $= > \left\{ \begin{matrix} y^{2}\left( t^{2} + 2t + 3 \right) = 9 \\ y^{2}\left( 2t^{2} + 2t + 1 \right) = 2 \\ \end{matrix} \right.\ = > t = \frac{- 3}{8}$ hoặc : $t = \frac{- 1}{2}$ $t = \frac{- 1}{2}$

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Từ hệ phương trình đã cho ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy + y^{2} = 3 \\ z^{2} + yz + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x^{2} - \dfrac{2}{y} \right)^{2} = \dfrac{- 3}{4}\left( y^{2} - 4 \right) \\ \left( z^{2} + \dfrac{y}{2} \right)^{2} = \dfrac{- 1}{4}\left( 4 - y^{2} \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x^{2} - \dfrac{2}{y} \right)^{2} = \dfrac{- 3}{4}\left( y^{2} - 4 \right) \\ \left( z^{2} + \dfrac{y}{2} \right)^{2} = \dfrac{- 1}{4}\left( 4 - y^{2} \right) \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} - 4 < 0 \\ 4 - y^{2} < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y^{2} - 4 < 0 \\ 4 - y^{2} < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $= > y^{2} - 4 = 0 = > y = \pm 2$ $= > y^{2} - 4 = 0 = > y = \pm 2$ $= > x = \pm 1,z = \pm 1$ $= > x = \pm 1,z = \pm 1$

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} + y^{2}\ (1) \\ \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}\ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} + y^{2}\ (1) \\ \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}\ \ (2) \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

$\sqrt{x^{2} + 91} - \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2} + y^{2} - x^{2}$ $\sqrt{x^{2} + 91} - \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2} + y^{2} - x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} = \frac{y - x}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + (y - x)(y + x)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} = \frac{y - x}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + (y - x)(y + x)$

$\Leftrightarrow (x - y).\left( \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} + \frac{1}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + x + y \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - y).\left( \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} + \frac{1}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + x + y \right) = 0$

⇔ x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2)

Vậy từ hệ trên ta có: $\sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}$ $\sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^{2} - 9$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^{2} - 9$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$

$\Leftrightarrow (x - 3)\left\lbrack (x + 3)\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - 3)\left\lbrack (x + 3)\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} \right\rbrack = 0$ ⇔ x = 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x = y = 3

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1 \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1 \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y\end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1(1) \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y(2)\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1(1) \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y(2)\end{matrix} \right.$. Điều kiện xác định: $x + y > 0$.

(1) ⇔ $(x + y)^{2} - 1 - 2xy\left( 1 - \frac{1}{x + y} \right) = 0$ $(x + y)^{2} - 1 - 2xy\left( 1 - \frac{1}{x + y} \right) = 0$ ⇔ $(x + y - 1)(x^{2} + y^{2} + x + y) = 0$ $(x + y - 1)(x^{2} + y^{2} + x + y) = 0$ ⇔ $x + y - 1 = 0$ (vì $x + y > 0$ nên $x^{2} + y^{2} + x + y > 0$ $x^{2} + y^{2} + x + y > 0$)

Thay $x = 1 - y$ vào (2) ta được: $1 = x^{2} - (1 - x)$ $1 = x^{2} - (1 - x)$ ⇔ $x^{2} + x - 2 = 0$ $x^{2} + x - 2 = 0$ ⇔ $\left\lbrack \begin{matrix} x = 1\ \ \ (y = 0) \\ x = - 2\ \ (y = 3) \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = 1\ \ \ (y = 0) \\ x = - 2\ \ (y = 3) \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2y^{2} - x^{2} = 1 \\ 2x^{3} - y^{3} = 2y - x \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2y^{2} - x^{2} = 1 \\ 2x^{3} - y^{3} = 2y - x \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $2x^{3} - y^{3} = \left( 2y^{2} - x^{2} \right)(2y - x) \Leftrightarrow x^{3} + 2x^{2}y + 2xy^{2} - 5y^{3} = 0$ $2x^{3} - y^{3} = \left( 2y^{2} - x^{2} \right)(2y - x) \Leftrightarrow x^{3} + 2x^{2}y + 2xy^{2} - 5y^{3} = 0$

Khi $y = 0$ thì hệ VN.

Khi $y \neq 0$ $y \neq 0$, chia 2 vế cho $y^{3} \neq 0$ $y^{3} \neq 0$ ta được: $\left( \frac{x}{y} \right)^{3} + 2\left( \frac{x}{y} \right)^{2} + 2\left( \frac{x}{y} \right) - 5 = 0$ $\left( \frac{x}{y} \right)^{3} + 2\left( \frac{x}{y} \right)^{2} + 2\left( \frac{x}{y} \right) - 5 = 0$

Đặt $t = \frac{x}{y}$ $t = \frac{x}{y}$, ta có : $t^{3} + 2t^{2} + 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = x \\ y^{2} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = 1,x = y = - 1$ $t^{3} + 2t^{2} + 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = x \\ y^{2} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = 1,x = y = - 1$

-------------------------------------------------------------

Hiểu rõ bản chất của hệ phương trình đẳng cấp và nắm vững các phương pháp giải hiệu quả sẽ giúp bạn tự tin chinh phục các câu hỏi khó trong đề thi tuyển sinh lớp 10. Bằng cách luyện tập đều đặn, phân tích từng dạng bài và ghi nhớ các bước giải chuẩn, bạn sẽ từng bước nâng cao tư duy toán học và khả năng xử lý biến phức tạp. Hãy tiếp tục theo dõi các chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 khác của chúng tôi để có chiến lược ôn thi toàn diện và đạt kết quả như mong đợi.

Tải về

Chọn file muốn tải về: