VnDoc.com

Các dạng Toán Vi ét thi vào lớp 10

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán Có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Các bài toán có sử dụng hệ thức và hệ quả của hệ thức Vi-ét

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Định lý Vi-ét thuận
- Định lý Vi-ét đảo
Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp

Trong kỳ thi vào lớp 10 môn Toán, các bài tập liên quan đến định lý Viète luôn chiếm vị trí quan trọng, xuất hiện ở nhiều dạng đề khác nhau. Việc nắm vững các dạng Toán Viète không chỉ giúp học sinh giải nhanh phương trình bậc hai mà còn hỗ trợ trong nhiều dạng toán mở rộng như tính giá trị biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, hay bài toán có tham số. Bài viết này tổng hợp đầy đủ các dạng Toán Viète thi vào lớp 10, kèm đáp án và lời giải chi tiết, giúp bạn ôn tập hiệu quả và tự tin chinh phục điểm cao.

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2}+b x+c=0\; \; (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_1; \; x_2$ . Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức dưới đây:

$\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hệ quả

Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a}$
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a}$

Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số thực $x_1; \; x_2$ thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\ {x_1}{x_2} = P \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {{S^2} - 4P \geqslant 0} \right)$

thì $x_1; \; x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ${x^2} - Sx + P = 0$

Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp

Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm $x_{1}=1$ còn nghiệm kia là $x_{2}=\frac{c}{a}$ .

Nếu thì phương trình (1) có một nghiệm là $x_{1}=-1$ . còn nghiệm kia là $x_{2}=-\frac{c}{a}$ .

Với những phương trình bậc hai có hệ số a, b, c đơn giản có thể dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của chúng.

Tìm hai nghiệm khi biết tổng và tích của chúng

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2}+b x+c=0\; \; (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_1; \; x_2$ . Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức dưới đây:

$\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Giải hệ phương trình để tìm hai nghiệm $x_1; \; x_2$

Tính giá trị của biểu thức có chứa các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Ta cần biến đổi các số hạng trong biểu thức về dạng tổng hoặc tích của các nghiệm của phương trình, rồi dùng công thức: $x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}$ và $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ , thế $\frac{c}{a}$ vào vị trí của , thế $-\frac{b}{a}$ vào vị trí của $x_{1}+x_{2}$ , kết quả thu được chính là giá trị của biểu thức cần tìm

Xác định tính chất các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2}+b x+c=0\; \; (a \neq 0)$ (1)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: $\frac{c}{a}<0$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ (hoặc $\Delta'>0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\frac{c}{a}>0$ (điều kiện để hai nghiệm là cùng dấu)
$-\frac{b}{a}>0$ (điều kiện để có hai nghiệm dương)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ (hoặc $\Delta'>0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\frac{c}{a}>0$ (điều kiện để hai nghiệm là cùng dấu)
$-\frac{b}{a}>0$ (điều kiện để có hai nghiệm âm)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn số m cho trước khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ (hoặc $\Delta'>0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\left( {{x_1} - m} \right)\left( {{x_2} - m} \right) > 0$
$\left( {{x_1} - m} \right) + \left( {{x_2} - h} \right) < 0$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng lớn hơn số m cho trước khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ (hoặc $\Delta'>0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\left( {{x_1} - m} \right)\left( {{x_2} - m} \right) > 0$
$\left( {{x_1} - m} \right) + \left( {{x_2} - h} \right) > 0$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn một hằng số m cho trước khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ (hoặc $\Delta'>0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\left( {{x_1} - m} \right)\left( {{x_2} - m} \right) < 0$

Bài tập áp dụng hệ thức Vi - ét

Bài 1. Tìm điều kiện của đề phương trình: $x^{2} + 2(m + 1)x + 2m = 0(1)$ .

a. Có hai nghiệm trái dấu.

b. Có hai nghiệm cùng âm.

c. Có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3.

Giải

a. Theo hệ thức Vi-ét, ta có $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$ nên phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: $\frac{2m}{1} < 0 \Leftrightarrow m < 0$ .

Vậy với phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

b. Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm các điều kiện sau cần phải được thỏa mãn.

$\Delta^{'} = (m + 1)^{2} - 2m > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 1 > 0$ hiển nhiên đúng với mọi .
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2m}{1} > 0 \Leftrightarrow m > 0$ .
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{2(m + 1)}{1} < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .

Kết hợp cả ba điều kiện này, ta thấy với thì cả hai nghiệm của phương trình (1) đều âm.

c. Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3, các điều kiện sau cần phải được thỏa mãn:

$\ ^{*}\left( x_{1} - 3 \right)\left( x_{2} - 3 \right) > 0 \Leftrightarrow x_{1}x_{2} - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 9 > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2m}{1} - 3\left( - \frac{2(m + 1)}{1} \right) + 9 > 0$

${\Leftrightarrow 2m + 6m + 6 + 9 > 0 }{\Leftrightarrow 8m + 15 > 0 }{\Leftrightarrow m > - \frac{15}{8}}$

$\left( x_{1} - 3 \right) + \left( x_{2} - 3 \right) < 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 6 < 0$

${\Leftrightarrow - \frac{2(m + 1)}{1} - 6 < 0 }{\Leftrightarrow 2m + 8 > 0 }{\Leftrightarrow m > - 4}$

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có với $m > - \frac{15}{8}$ phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3.

Bài 2. Hãy tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a. $100x^{2} + 99x - 1 = 0$

b. $x^{2} - 5x + 6 = 0$

Giài

a. Do nên phương trình có một nghiệm là , còn nghiệm kia sẽ là: $x = - \frac{( - 1)}{100} = \frac{1}{100}$ .

b. Ta thấy phương trình có biệt thức là một số dương (vì $5^{2} - 4.1.6 = 1 > 0$ ) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có tổng hai nghiệm bằng 5 và tích hai nghiệm bằng 6

Ta nhận thấy được cặp số 2 và 3 là thỏa mãn hệ thức. Vậy hai nghiệm của phương trình là: $x_{1} = 3$ và $x_{2} = 2$ .

Bài 3. Tìm hai số và trong các trường hợp sau:

a. .

b. .

Giải

a. Ta có: nên hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $X^{2} - 32X + 231 = 0$ , biệt thức $\Delta$ của phương trình này bằng

$\Delta^{'} = 16^{2} - 231 = 256 - 231 = 25 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, do đó hai số cần tìm là: $\left\{ \begin{matrix} x = 16 + \sqrt{25} = 21 \\ y = 16 - \sqrt{25} = 11 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = 11 \\ y = 21 \\ \end{matrix} \right.$

b. Ta viết lại điều kiện trên dưới dạng: , do đó $S = 3;P = - 2;\Delta = 3^{2} - 4.( - 2) = 9 + 8 = 17 > 0$ .

Do vậy ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ - y = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ y = - \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \right.$

Vậy hai số cần tìm là: $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ y = - \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ y = - \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Bài 4. Cho phương trình: $x^{2} + 5x + 6 = 0$ (1). Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình, không tính giá trị của $x_{1}$ và $x_{2}$ hãy tính giá trị của biểu thức sau:

$A = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}}$

Giải

Ta biến đổi biểu thức trên như sau:

$\begin{matrix} \dfrac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}} \\= \dfrac{6\left( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \right) + 10x_{1}x_{2}}{5x_{1}x_{2}\left( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \right)} \\ = \dfrac{6}{5x_{1}x_{2}} + \dfrac{2}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \\ = \dfrac{6}{5x_{1}x_{2}} + \dfrac{2}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}. \\ \end{matrix}$

Do $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = 6;x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - 5$ nên:

$\frac{6}{5x_{1}x_{2}} + \frac{2}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}} = \frac{6}{5.6} + \frac{2}{25 - 12} = \frac{1}{5} + \frac{2}{13} = \frac{23}{65}.$

Vậy $A = \frac{23}{65}$ .

3. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1. Giá trị nào là một trong các nghiệm của phương trình: ${x^2} - 2000x - 2001 = 0$

A. 1 B. -2 C. 2001 D. -2001

Bài 1. Cho phương trình $\left( 1 - \sqrt{3} \right)x^{2} - 2x - \left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2} = 0$ , phát biểu nào sau đây đúng:

a. Phương trình vô nghiệm

b. Phương trình có nghiệm kép

c. Phương trình có hai nghiệm phân biệt, tổng của chúng bằng $- 1 - \sqrt{3}$ .

d. Phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng $1 - \sqrt{3}$ .

Bài 3. Cho phương trình $x^{2} - bx + 6 = 0$ , giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt, biết rằng một nghiệm của phương trình là 2, nghiệm còn lại của phương trình sẽ là:

A. 1 B. 3 C. -3 D. -2001

Bài 4. Tìm x, y biết x + y =8; xy = 12.

Bài 5. Cho phương trình $x^{2} - bx + c = 0;(a \neq 0)$ có nghiệm $x_{1}$ và $x^{2}$ . Khi đó biểu thức $P = \left( 2x_{1} - 3x_{2} \right)\left( 2x_{2} - 3x_{1} \right)$ bằng:

A. $\frac{- 6b^{2} - 25ac}{a^{2}}$ B. $\frac{6b^{2} + 25ac}{a^{2}}$ C. $\frac{6b^{2} - 25ac}{a^{2}}$ D. $\frac{- 6b^{2} + 25ac}{a^{2}}$

Bài 6. Để phương trình $x^{2}(m + 1)x + 2m - 11 = 0$ có hai nghiệm nhỏ hơn 2, thì tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì?

Bài 7. Để phương trình $x^{2} + 2mx + m^{2} + m - 1 = 0$ có tổng của hai nghiệm bằng -6, thì tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì?

A. B.

C. D. Không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện

Bài 8. Để phương trình $x^{2} + 2mx + m^{2} + m - 1 = 0$ có tích hai nghiệm bằng -1, thì tham số m thỏa mãn điều kiện gì?

Bài 9. Cho phương trình $x^{2} - (m + 1)x + m = 0$ . Tìm tham số m để tổng bình phương các nghiệm là nhỏ nhất.

Bài 10. Biết phương trình $x^{2} - 2mx + 2m - 3 = 0$ với m là tham số. Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn điều kiện ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 5$ . Tính giá trị của biểu thức $x_{1} + x_{2}$ ?

Bài 11. Cho phương trình $x^{2} - 2mx + 4m - 7 = 0$ với m là tham số, có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4$ . Khi đó ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ bằng bao nhiêu?

A. 14 B. 8 C. –4 D. $\frac{1}{14}$

Bài 12. Cho phương trình: $936x^{2} - 63x - 999 = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2};\left( x_{1} < x_{2} \right)$ . Tính giá trị của biểu thức $x_{1} + 9x_{2}$ ?

Bài 14. Tích các nghiệm của phương trình $\left| x^{2} - 2x + 2 \right| = 2$ bằng bao nhiêu?

A. 2 B. -1 C. 0 D. $\frac{3}{2}$

Bài 15. Biết phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia, ta có:

A. $3b^{2} - 16ca = 0$ B. $2b^{2} - ca = 0$

C. $3b^{2} + 8ca = 0$ D. $b^{2} - 8ca = 0$

Bài 16. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $mx^{2} + 2mx + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm trái dấu:

A. B. C. D.

Bài 17. Để phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x - m^{2} = 0$ có hai nghiệm cùng dương thì

A. $0 < m < \frac{1}{2}$ B. Phương trình không có hai nghiệm cùng cương

C. $m > \frac{1}{2}$ D.

Bài 18. Để phương trình $x^{2} - 2(m + 3)x + 6m = 0$ (với m là tham số) có hai nghiệm cùng câm thì

A. B. $- 3 \leq m \leq 0$

C. D. Phương trình không có hai nghiệm cùng âm

Bài 19. Để phương trình $x^{2} - 3x + a = 0$ có hai nghiệm, một nghiệm lớn hơn 1 còn nghiệm kia nhỏ hơn 1 thì a phải thỏa mãn điều kiện gì?

Đáp án sử dụng hệ thức hệ quả của Vi-ét

Bài 1.

Chọn C

Với phương trình $x^{2} - 2000x - 2001 = 0$ ta dễ dàng thấy được

nên phương trình có một nghiệm còn một nghiệm là $- \frac{- 2001}{1} = 2001$

Bài 2.

Chọn C

Với phương trình $\left( 1 - \sqrt{3} \right)x^{2} - 2x - \left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2} = 0$ ta có:

$\Delta = 1 + \left( 1 - \sqrt{3} \right)\left( 1 - \sqrt{3} \right)^{2} = 1 + \left( 1 - \sqrt{3} \right)^{3} > 0$

Do $\left( 1 - \sqrt{3} \right) > \left( 1 - \sqrt{4} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( 1 - \sqrt{3} \right)^{3} > - 1$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Viète ta có tổng của hai nghiệm bằng $- \frac{- 2}{1 - \sqrt{3}} = \frac{2}{1 - \sqrt{3}} = - 1 - \sqrt{3}$ và tích của chúng bằng $\frac{- \left( 1 - \sqrt{3} \right)^{2}}{1 - \sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$

Bài 3.

Chọn C

Vì tích hai nghiệm của phương trình $x^{2} - bx + 6 = 0$ bằng 6 nên nếu một nghiệm của phương trình bằng 2 thì nghiệm còn lại của phương trình sẽ là 3.

Bài 4.

Vì $\left\{ \begin{matrix} x + y = 8 \\ xy = 12 \end{matrix} \right.$ nên chúng là nghiệm của phương trình: $X^{2} - 8X + 12 = 0$

Giải phương trình này ta có: $\Delta' = 16 - 12 = 4 > 0$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $X_{1} = 6;X_{2} = 2$

Do vậy ta thu được kết quả $\left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 2 \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \end{matrix} \right.$ .

Bài 5.

Chọn C

Ta biến đổi biểu thức $P = \left( 2x_{1} - 3x_{2} \right)\left( 2x_{2} - 3x_{1} \right)$ như sau:

$P = \left( 2x_{1} - 3x_{2} \right)\left( 2x_{2} - 3x_{1} \right)$

$= 4x_{1}x_{2} - 6{x_{1}}^{2} - 6{x_{2}}^{2} + 9x_{1}x_{2}$

$= 13x_{1}x_{2} - 6{x_{1}}^{2} - 6{x_{2}}^{2} = 25x_{1}x_{2} - 6\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2}$

Thay $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.$ vào biểu thức P thu gọn ta được:

$P = 25.\frac{c}{a} - 6\left( \frac{- b}{a} \right)^{2} = \frac{25c}{a} - \frac{6b^{2}}{a^{2}} = \frac{25ca - 6b^{2}}{a^{2}}$

Bài 6.

Để phương trình $x^{2} + 2(m + 1)x + 2m - 11 = 0$ có hai nghiệm nhỏ hơn 2 thì các điều kiện sau đây phải được thỏa mãn:

Phương trính có hai nghiệm phân biệt:

$\Delta' = (m + 1)^{2} - 2m + 11 > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2m + 1 - 2m + 11 > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + 12 > 0$ điều này đúng với mọi tham số m.

$\left( x_{1} - 2 \right) + \left( x_{2} - 2 \right) < 0$ (trong hai nghiệm phải có ít nhất một nghiệm njor hơn 2).

$\left( x_{1} - 2 \right) + \left( x_{2} - 2 \right) < 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 4 < 0$

$\Leftrightarrow - 2(m + 1) - 4 < 0 \Leftrightarrow 2m + 6 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Kết hợp với ba điều kiện ta được $m > \frac{1}{2}$ .

Bài 7.

Chọn D

Để phương trình $x^{2} + 2mx + m^{2} + m - 1 = 0$ có tổng của hai nghiệm bằng -6 thì hai điều kiện sau cần phải được thỏa mãn:

Phương trình phải có hai nghiệm phân biệt

$\Delta' = m^{2} - m^{2} - m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < 1$

Tổng hai nghiệm bằng -6

$- 2m = - 6 \Leftrightarrow m = 3$

Kết hợp cả hai điều kiện trên ta thấy không có giá trị nào của tham số m để tổng hai nghiệm của phương trình $x^{2} + 2mx + m^{2} + m - 1 = 0$ bằng -6.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

------------------------------------------------------

Trên đây là hệ thống các dạng Toán Viète thường gặp trong đề thi vào lớp 10 môn Toán, kèm lời giải chi tiết giúp bạn nắm chắc phương pháp làm bài.

Để đạt kết quả tốt, bạn nên luyện tập nhiều bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời ghi nhớ các hệ thức Viète và kỹ năng biến đổi biểu thức. Việc rèn luyện thường xuyên sẽ giúp bạn làm chủ tốc độ và độ chính xác khi làm bài thi.

Hãy lưu lại tài liệu này và chia sẻ cho bạn bè cùng ôn tập để tăng cơ hội đạt điểm tối đa trong kỳ thi vào lớp 10 sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: