VnDoc.com

Các dạng Toán Vi ét thi vào lớp 10

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2021

Bài trước

Tải về

Bài sau

Các bài toán có sử dụng hệ thức và hệ quả của hệ thức Vi-ét

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Định lý Vi-ét thuận
- Định lý Vi-ét đảo
Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp

Các bài toán có sử dụng hệ thức và hệ quả của hệ thức Vi-ét cung cấp lý thuyết Hệ thức Vi-ét; kèm các bài tập vận dụng định lý Vi-ét cho các em tham khảo, dễ dàng giải các bài tập liên quan.

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2}+b x+c=0\; \; (a \neq 0)$ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_1; \; x_2$ $x_{1}; x_{2}$ . Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức dưới đây:

$\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Hệ quả

Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a}$ $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{c}{a}$
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a}$ $x_{1} = - 1; x_{2} = - \frac{c}{a}$

Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số thực $x_1; \; x_2$ $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\ {x_1}{x_2} = P \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {{S^2} - 4P \geqslant 0} \right)$ ${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = S \\ x_{1} x_{2} = P \end{matrix} (S^{2} - 4 P ⩾ 0)$

thì $x_1; \; x_2$ $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ${x^2} - Sx + P = 0$ $x^{2} - S x + P = 0$

Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp

Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm $x_{1}=1$ $x_{1} = 1$ còn nghiệm kia là $x_{2}=\frac{c}{a}$ $x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình (1) có một nghiệm là $x_{1}=-1$ $x_{1} = - 1$ . còn nghiệm kia là $x_{2}=-\frac{c}{a}$ $x_{2} = - \frac{c}{a}$ .

Với những phương trình bậc hai có hệ số a, b, c đơn giản có thể dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của chúng.

Tìm hai nghiệm khi biết tổng và tích của chúng

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2}+b x+c=0\; \; (a \neq 0)$ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_1; \; x_2$ $x_{1}; x_{2}$ . Khi đó hai nghiệm này thỏa mãn hệ thức dưới đây:

$\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Giải hệ phương trình để tìm hai nghiệm $x_1; \; x_2$ $x_{1}; x_{2}$

Tính giá trị của biểu thức có chứa các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Ta cần biến đổi các số hạng trong biểu thức về dạng tổng hoặc tích của các nghiệm của phương trình, rồi dùng công thức: $x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}$ $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ và $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , thế $\frac{c}{a}$ $\frac{c}{a}$ vào vị trí của $x_{1} x_{2}$ , thế $-\frac{b}{a}$ $- \frac{b}{a}$ vào vị trí của $x_{1}+x_{2}$ $x_{1} + x_{2}$ , kết quả thu được chính là giá trị của biểu thức cần tìm

Xác định tính chất các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^{2}+b x+c=0\; \; (a \neq 0)$ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ (1)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: $\frac{c}{a}<0$ $\frac{c}{a} < 0$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ $Δ > 0$ (hoặc $\Delta$ $Δ^{'} > 0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\frac{c}{a}>0$ $\frac{c}{a} > 0$ (điều kiện để hai nghiệm là cùng dấu)
$-\frac{b}{a}>0$ $- \frac{b}{a} > 0$ (điều kiện để có hai nghiệm dương)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ $Δ > 0$ (hoặc $\Delta$ $Δ^{'} > 0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\frac{c}{a}>0$ $\frac{c}{a} > 0$ (điều kiện để hai nghiệm là cùng dấu)
$-\frac{b}{a}>0$ $- \frac{b}{a} > 0$ (điều kiện để có hai nghiệm âm)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn số m cho trước khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ $Δ > 0$ (hoặc $\Delta$ $Δ^{'} > 0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\left( {{x_1} - m} \right)\left( {{x_2} - m} \right) > 0$ $(x_{1} - m) (x_{2} - m) > 0$
$\left( {{x_1} - m} \right) + \left( {{x_2} - h} \right) < 0$ $(x_{1} - m) + (x_{2} - h) < 0$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng lớn hơn số m cho trước khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ $Δ > 0$ (hoặc $\Delta$ $Δ^{'} > 0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\left( {{x_1} - m} \right)\left( {{x_2} - m} \right) > 0$ $(x_{1} - m) (x_{2} - m) > 0$
$\left( {{x_1} - m} \right) + \left( {{x_2} - h} \right) > 0$ $(x_{1} - m) + (x_{2} - h) > 0$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn một hằng số m cho trước khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta>0$ $Δ > 0$ (hoặc $\Delta$ $Δ^{'} > 0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\left( {{x_1} - m} \right)\left( {{x_2} - m} \right) < 0$ $(x_{1} - m) (x_{2} - m) < 0$

Bài tập áp dụng hệ thức Vi - ét

Bài 1. Tìm điều kiện của $m$ đề phương trình: $x^{2} + 2(m + 1)x + 2m = 0(1)$ $x^{2} + 2 (m + 1) x + 2 m = 0 (1)$ .

a. Có hai nghiệm trái dấu.

b. Có hai nghiệm cùng âm.

c. Có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3.

Giải

a. Theo hệ thức Vi-ét, ta có $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$ $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ nên phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: $\frac{2m}{1} < 0 \Leftrightarrow m < 0$ $\frac{2 m}{1} < 0 \Leftrightarrow m < 0$ .

Vậy với $m < 0$ phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

b. Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm các điều kiện sau cần phải được thỏa mãn.

$\Delta^{$ $Δ^{^{'}} = (m + 1)^{2} - 2 m > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 1 > 0$ hiển nhiên đúng với mọi $m$ .
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2m}{1} > 0 \Leftrightarrow m > 0$ $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2 m}{1} > 0 \Leftrightarrow m > 0$ .
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{2(m + 1)}{1} < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{2 (m + 1)}{1} < 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .

Kết hợp cả ba điều kiện này, ta thấy với $m > 0$ thì cả hai nghiệm của phương trình (1) đều âm.

c. Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3, các điều kiện sau cần phải được thỏa mãn:

$\ ^{*}\left( x_{1} - 3 \right)\left( x_{2} - 3 \right) > 0 \Leftrightarrow x_{1}x_{2} - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 9 > 0$ $^{*} (x_{1} - 3) (x_{2} - 3) > 0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} - 3 (x_{1} + x_{2}) + 9 > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2m}{1} - 3\left( - \frac{2(m + 1)}{1} \right) + 9 > 0$ $\Leftrightarrow \frac{2 m}{1} - 3 (- \frac{2 (m + 1)}{1}) + 9 > 0$

${\Leftrightarrow 2m + 6m + 6 + 9 > 0 }{\Leftrightarrow 8m + 15 > 0 }{\Leftrightarrow m > - \frac{15}{8}}$ $\Leftrightarrow 2 m + 6 m + 6 + 9 > 0 \Leftrightarrow 8 m + 15 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{15}{8}$

$\left( x_{1} - 3 \right) + \left( x_{2} - 3 \right) < 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 6 < 0$ $(x_{1} - 3) + (x_{2} - 3) < 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 6 < 0$

${\Leftrightarrow - \frac{2(m + 1)}{1} - 6 < 0 }{\Leftrightarrow 2m + 8 > 0 }{\Leftrightarrow m > - 4}$ $\Leftrightarrow - \frac{2 (m + 1)}{1} - 6 < 0 \Leftrightarrow 2 m + 8 > 0 \Leftrightarrow m > - 4$

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có với $m > - \frac{15}{8}$ $m > - \frac{15}{8}$ phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3.

Bài 2. Hãy tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a. $100x^{2} + 99x - 1 = 0$ $100 x^{2} + 99 x - 1 = 0$

b. $x^{2} - 5x + 6 = 0$ $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Giài

a. Do $100 - 99 + (- 1) = 0$ nên phương trình $a$ có một nghiệm là $x = - 1$ , còn nghiệm kia sẽ là: $x = - \frac{( - 1)}{100} = \frac{1}{100}$ $x = - \frac{(- 1)}{100} = \frac{1}{100}$ .

b. Ta thấy phương trình $b$ có biệt thức là một số dương (vì $5^{2} - 4.1.6 = 1 > 0$ $5^{2} - 4.1 .6 = 1 > 0$ ) nên phương trình $b$ có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có tổng hai nghiệm bằng 5 và tích hai nghiệm bằng 6

Ta nhận thấy được cặp số 2 và 3 là thỏa mãn hệ thức. Vậy hai nghiệm của phương trình là: $x_{1} = 3$ $x_{1} = 3$ và $x_{2} = 2$ $x_{2} = 2$ .

Bài 3. Tìm hai số $x$ và $y$ trong các trường hợp sau:

a. $x + y = 32; x y = 231$ .

b. $x - y = 3; x y = 2$ .

Giải

a. Ta có: $S = 32; P = 231$ nên hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $X^{2} - 32X + 231 = 0$ $X^{2} - 32 X + 231 = 0$ , biệt thức $\Delta$ $Δ$ của phương trình này bằng

$\Delta^{$ $Δ^{^{'}} = 16^{2} - 231 = 256 - 231 = 25 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, do đó hai số cần tìm là: $\left\{ \begin{matrix} x = 16 + \sqrt{25} = 21 \\ y = 16 - \sqrt{25} = 11 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x = 16 + \sqrt{25} = 21 \\ y = 16 - \sqrt{25} = 11 \end{matrix}$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = 11 \\ y = 21 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x = 11 \\ y = 21 \end{matrix}$

b. Ta viết lại điều kiện trên dưới dạng: $x + (- y) = 3; x (- y) = - 2$ , do đó $S = 3;P = - 2;\Delta = 3^{2} - 4.( - 2) = 9 + 8 = 17 > 0$ $S = 3; P = - 2; Δ = 3^{2} - 4. (- 2) = 9 + 8 = 17 > 0$ .

Do vậy ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ - y = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ y = - \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \right.$ ${\begin{matrix} x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ - y = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ y = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \end{matrix}$

Vậy hai số cần tìm là: $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ y = - \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ y = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \end{matrix}$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ y = - \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \\ y = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \end{matrix}$

Bài 4. Cho phương trình: $x^{2} + 5x + 6 = 0$ $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ (1). Gọi $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình, không tính giá trị của $x_{1}$ $x_{1}$ và $x_{2}$ $x_{2}$ hãy tính giá trị của biểu thức sau:

$A = \frac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}}$ $A = \frac{6 x_{1}^{2} + 10 x_{1} x_{2} + 6 x_{2}^{2}}{5 x_{1} x_{2}^{3} + 5 x_{1}^{3} x_{2}}$

Giải

Ta biến đổi biểu thức trên như sau:

$\begin{matrix} \dfrac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}} \\= \dfrac{6\left( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \right) + 10x_{1}x_{2}}{5x_{1}x_{2}\left( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \right)} \\ = \dfrac{6}{5x_{1}x_{2}} + \dfrac{2}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \\ = \dfrac{6}{5x_{1}x_{2}} + \dfrac{2}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}. \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \frac{6 x_{1}^{2} + 10 x_{1} x_{2} + 6 x_{2}^{2}}{5 x_{1} x_{2}^{3} + 5 x_{1}^{3} x_{2}} \\ = \frac{6 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 10 x_{1} x_{2}}{5 x_{1} x_{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})} \\ = \frac{6}{5 x_{1} x_{2}} + \frac{2}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \\ = \frac{6}{5 x_{1} x_{2}} + \frac{2}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}} . \end{matrix}$

Do $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = 6;x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - 5$ $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 6; x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - 5$ nên:

$\frac{6}{5x_{1}x_{2}} + \frac{2}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}} = \frac{6}{5.6} + \frac{2}{25 - 12} = \frac{1}{5} + \frac{2}{13} = \frac{23}{65}.$ $\frac{6}{5 x_{1} x_{2}} + \frac{2}{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}} = \frac{6}{5.6} + \frac{2}{25 - 12} = \frac{1}{5} + \frac{2}{13} = \frac{23}{65} .$

Vậy $A = \frac{23}{65}$ $A = \frac{23}{65}$ .

Các dạng Toán Vi ét thi vào lớp 10

Đáp án sử dụng hệ thức hệ quả của Vi-ét

Các dạng Toán Vi ét thi vào lớp 10

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

18

64.827

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Công chúa Tuyết

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Các dạng Toán Vi ét thi vào lớp 10

1,3 MB

Tải file định dạng .DOC
646,9 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán