VnDoc.com

Tính giá trị biểu thức lượng giác Toán 9

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập rút gọn biểu thức lượng giác Toán 9

A. Công thức lượng giác lớp 9
B. Bài tập tính giá trị biểu thức lượng giác Toán 9
C. Bài tập tự rèn luyện tính giá trị biểu thức lượng giác có đáp án chi tiết

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề Tính giá trị biểu thức lượng giác là một nội dung quan trọng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và áp dụng các công thức lượng giác cơ bản. Đây là dạng toán thường xuất hiện trong các đề kiểm tra và đặc biệt là trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

Việc tính giá trị biểu thức lượng giác đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các công thức quen thuộc cũng như các giá trị đặc biệt của sin, cos, tan ở những góc quen thuộc. Thông qua đó, học sinh không chỉ rèn luyện được khả năng tư duy, mà còn hình thành kỹ năng giải toán nhanh, chính xác và logic. Bài viết này sẽ cung cấp lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải chi tiết và hệ thống bài tập minh họa kèm đáp án, giúp các em tự tin chinh phục mọi dạng toán liên quan.

A. Công thức lượng giác lớp 9

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$	$\tan\alpha.cot\alpha = 1$ $\tan\alpha.cot\alpha = 1$
$sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$	$1 + tan^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$ $1 + tan^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$	$1 + cot^{2}\alpha = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$ $1 + cot^{2}\alpha = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$

Với hai góc nhọn $\alpha,\beta$ $\alpha,\beta$ và $\alpha + \beta = 90{^\circ}$ $\alpha + \beta = 90{^\circ}$ thì

$\sin\alpha = \cos\beta;\ \ \cos\alpha = \sin\beta;\ \ \tan\alpha = \tan\beta;\ \ \cot\alpha = \cot\beta$ $\sin\alpha = \cos\beta;\ \ \cos\alpha = \sin\beta;\ \ \tan\alpha = \tan\beta;\ \ \cot\alpha = \cot\beta$.

Với góc nhọn , $\alpha \left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)$ $\alpha \left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)$ ta có

$0 < \sin\alpha < 1;0 < \cos\alpha < 1$ $0 < \sin\alpha < 1;0 < \cos\alpha < 1$.

Nếu $\alpha$ $\alpha$ tăng thì $\sin\alpha$ $\sin\alpha$ và $\tan\alpha$ $\tan\alpha$ tăng; còn $\cos\alpha$ $\cos\alpha$ và $\cot\alpha$ $\cot\alpha$ giảm.

B. Bài tập tính giá trị biểu thức lượng giác Toán 9

Bài tập 1. Tính giá trị biểu thức $A\ = \ 2025.sin^{2}\ 25{^\circ} + \ 2025.\ sin^{2}\ 65{^\circ}$ $A\ = \ 2025.sin^{2}\ 25{^\circ} + \ 2025.\ sin^{2}\ 65{^\circ}$.

Hướng dẫn giải

Ta có : $A\ = \ 2025.sin^{2}\ 25{^\circ} + \ 2025.\ sin^{2}\ 65{^\circ}$ $A\ = \ 2025.sin^{2}\ 25{^\circ} + \ 2025.\ sin^{2}\ 65{^\circ}$

$= \ 2025.\left( sin^{2}\ 25{^\circ} + \ sin^{2}\ 65{^\circ} \right)$ $= \ 2025.\left( sin^{2}\ 25{^\circ} + \ sin^{2}\ 65{^\circ} \right)$

$= \ 2025.\left( sin^{2}\ 25{^\circ} + \ cos^{2}\ 25{^\circ} \right)$ $= \ 2025.\left( sin^{2}\ 25{^\circ} + \ cos^{2}\ 25{^\circ} \right)$

$= 2025.1 = 2025$

Bài tập 2. Giá trị biểu thức $P\ = \ 2024.cos^{2}\ 10{^\circ} + \ 2024.\ cos^{2}\ 80{^\circ}$ $P\ = \ 2024.cos^{2}\ 10{^\circ} + \ 2024.\ cos^{2}\ 80{^\circ}$

A. $2023$ B. $2024$ C. $2025$ D. $2026$.

Hướng dẫn giải

Ta có : $P\ = \ 2024.cos^{2}\ 10{^\circ} + \ 2024.\ cos^{2}\ 80{^\circ}$ $P\ = \ 2024.cos^{2}\ 10{^\circ} + \ 2024.\ cos^{2}\ 80{^\circ}$

$= \ 2024.\left( cos^{2}\ 10{^\circ} + \ cos^{2}\ 80{^\circ} \right)$ $= \ 2024.\left( cos^{2}\ 10{^\circ} + \ cos^{2}\ 80{^\circ} \right)$

$= \ 2024.\left( cos^{2}\ 10{^\circ} + \ sin^{2}\ 10{^\circ} \right)$ $= \ 2024.\left( cos^{2}\ 10{^\circ} + \ sin^{2}\ 10{^\circ} \right)$

$= 2024.1= 2024$

Chọn đáp án B.

Bài tập 3. Cho $\tan x = 3$ $\tan x = 3$. Tính $P = \frac{2sinx - \cos x}{\sin x + \cos x}$ $P = \frac{2sinx - \cos x}{\sin x + \cos x}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\tan x = 3 \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \Rightarrow \sin x = 3cosx.$ $\tan x = 3 \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \Rightarrow \sin x = 3cosx.$

Khi đó $P = \frac{2.3cosx - \cos x}{3cosx + \cos x} = \frac{5cosx}{4cosx} = \frac{5}{4}$ $P = \frac{2.3cosx - \cos x}{3cosx + \cos x} = \frac{5cosx}{4cosx} = \frac{5}{4}$

Bài tập 4. Khẳng định nào đúng, sai?

A. $\sin 20^\circ < \sin 70^\circ$ $\sin 20^\circ < \sin 70^\circ$. B. $\cot40{^\circ}< \cot50{^\circ}$ $\cot40{^\circ}< \cot50{^\circ}$.

C. $\tan20{^\circ}.\tan70{^\circ} =2$ $\tan20{^\circ}.\tan70{^\circ} =2$. D. $\sin^{2}10{^\circ} +\sin^{2}80^0 = \frac{1}{2}$ $\sin^{2}10{^\circ} +\sin^{2}80^0 = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

- Vì góc tăng thì tỉ số sin tăng nên đáp án A đúng

- Vì góc tăng thì cot giảm nên đáp án B sai

- Ta có $tan70{^\circ} = cot20{^\circ}$ $tan70{^\circ} = cot20{^\circ}$nên $tan20{^\circ}.tan70{^\circ} = tan20{^\circ}.cot20{^\circ} = 1$ $tan20{^\circ}.tan70{^\circ} = tan20{^\circ}.cot20{^\circ} = 1$ nên đáp án C sai

- Do hai góc phụ nhau nên $sin10{^\circ} = cos80{^\circ}$ $sin10{^\circ} = cos80{^\circ}$nên $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}80{^\circ} = cos^{2}10{^\circ} + sin^{2}80{^\circ} = 1$ $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}80{^\circ} = cos^{2}10{^\circ} + sin^{2}80{^\circ} = 1$.

Nên đáp án D sai.

Bài tập 5. Cho $\alpha$ $\alpha$ là góc nhọn. Thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Tính $\sin\alpha,cot\alpha,tan\alpha$ $\sin\alpha,cot\alpha,tan\alpha$ biết $\cos\alpha = \frac{1}{5}$ $\cos\alpha = \frac{1}{5}$.

b) Tính $\cos\alpha,tan\alpha,cot\alpha$ $\cos\alpha,tan\alpha,cot\alpha$ biết $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ $\sin\alpha = \frac{2}{3}$.

c) Cho $\tan\alpha = 2$ $\tan\alpha = 2$. Tính $\sin\alpha,cos\alpha,cot\alpha$ $\sin\alpha,cos\alpha,cot\alpha$.

d) Cho $\cot\alpha = 3$ $\cot\alpha = 3$. Tính $\sin\alpha,cos\alpha,tan\alpha$ $\sin\alpha,cos\alpha,tan\alpha$.

Hướng dẫn giải

a) Cho $\cos\alpha = \frac{1}{5},0{^\circ} < \alpha < 90{^\circ}$ $\cos\alpha = \frac{1}{5},0{^\circ} < \alpha < 90{^\circ}$.

Ta có: $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$.

$\Rightarrow sin^{2}\alpha + \frac{1}{25} = 1 \Rightarrow sin^{2}\alpha = \frac{24}{25}$ $\Rightarrow sin^{2}\alpha + \frac{1}{25} = 1 \Rightarrow sin^{2}\alpha = \frac{24}{25}$.

$\Rightarrow \sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ $\Rightarrow \sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2\sqrt{6}}{5}:\frac{1}{5} = 2\sqrt{6}$ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2\sqrt{6}}{5}:\frac{1}{5} = 2\sqrt{6}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$ $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$.

b) Cho $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ $\sin\alpha = \frac{2}{3}$ .

$cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ $cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2}{3}:\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2}{3}:\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

c) Ta có: $\tan\alpha = 2 \Rightarrow \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \Rightarrow \sin\alpha = 2.cos\alpha$ $\tan\alpha = 2 \Rightarrow \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \Rightarrow \sin\alpha = 2.cos\alpha$.

Mặt khác: $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$.

Nên $(2cos\alpha)^{2} + cos^{2}\alpha = 1 \Rightarrow 5cos^{2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $(2cos\alpha)^{2} + cos^{2}\alpha = 1 \Rightarrow 5cos^{2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Vậy: $\sin\alpha = 2;cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5};cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{2}$ $\sin\alpha = 2;cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5};cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{2}$.

d) Cho $\cos\alpha = 3 \Rightarrow \tan\alpha = \frac{1}{3}$ $\cos\alpha = 3 \Rightarrow \tan\alpha = \frac{1}{3}$.

$cos^{2}\alpha = \frac{1}{tan^{2}\alpha + 1} = 1:\left( \frac{1}{9} + 1 \right) = \frac{9}{10}$ $cos^{2}\alpha = \frac{1}{tan^{2}\alpha + 1} = 1:\left( \frac{1}{9} + 1 \right) = \frac{9}{10}$.

$\Rightarrow \cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ $\Rightarrow \cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ $sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$.

$\Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$ $\Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

C. Bài tập tự rèn luyện tính giá trị biểu thức lượng giác có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Tính giá trị biểu thức

$A = sin^{2}15{^\circ} + sin^{2}25{^\circ} + ... + sin^{2}65{^\circ} + sin^{2}75{^\circ} + tan15{^\circ}tan25{^\circ}...tan65{^\circ}tan75{^\circ}$ $A = sin^{2}15{^\circ} + sin^{2}25{^\circ} + ... + sin^{2}65{^\circ} + sin^{2}75{^\circ} + tan15{^\circ}tan25{^\circ}...tan65{^\circ}tan75{^\circ}$

A. $0$. B. $5$. C. $\frac{9}{2}$ $\frac{9}{2}$. D. $4$.

Bài tập 2. Rút gọn biểu thức $G = \left( 1 - sin^{2}x \right)cot^{2}x + 1 - cot^{2}x$ $G = \left( 1 - sin^{2}x \right)cot^{2}x + 1 - cot^{2}x$ ta được:

A. $\frac{1}{\sin x}$ $\frac{1}{\sin x}$. B. $\frac{1}{\cos x}$ $\frac{1}{\cos x}$. C. $sin^{2}x$ $sin^{2}x$. D. $\cos x$ $\cos x$.

Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $A = \frac{cot^{2}x - cos^{2}x}{cot^{2}x} + \frac{\sin x.cosx}{\cot x}$ $A = \frac{cot^{2}x - cos^{2}x}{cot^{2}x} + \frac{\sin x.cosx}{\cot x}$ ta được:

A. $A = 1$. B. $A = 2$. C. $A = 3$. D. $A = 4$.

Bài tập 4. Tính giá trị biểu thức $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ} + ... + sin^{2}70{^\circ} + sin^{2}80{^\circ}$ $sin^{2}10{^\circ} + sin^{2}20{^\circ} + ... + sin^{2}70{^\circ} + sin^{2}80{^\circ}$

A. $0$. B. $8$. C. $5$. D. $4$.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu!

--------------------------------------------------------------

Tóm lại, chuyên đề “Tính giá trị biểu thức lượng giác Toán 9” là phần kiến thức không thể bỏ qua đối với học sinh chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán. Khi nắm vững các công thức cơ bản, kết hợp với việc luyện tập đa dạng dạng bài, học sinh sẽ rèn được khả năng biến đổi linh hoạt, tính toán chính xác và tư duy toán học logic.

Để đạt kết quả cao, học sinh nên thường xuyên luyện tập với các bài tập có lời giải chi tiết, kết hợp ôn lại kiến thức nền tảng và áp dụng vào các dạng toán nâng cao. Đây chính là bước chuẩn bị quan trọng để tự tin chinh phục các đề thi tuyển sinh và học tốt môn Toán ở bậc THPT.

Tải về

Chọn file muốn tải về: