VnDoc.com

Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét

Bài tập ôn tập chương 4 Đại số lớp 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

Chuyên đề Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét Đại số lớp 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là phần bài tập về Phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét được chia làm hai phần: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Phần lý thuyết sẽ tổng hợp cách giải phương trình bậc hai, công thức nghiệm thu gọn, định lý Vi-ét và ứng dụng. Phần bài tập được sưu tầm và chọn lọc với 112 bài tập được phân dạng từ cơ bản đến nâng cao. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố lại kiến thức về Phương trình bậc hai một ẩn đồng thời nắm vững các kiến thức để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

A. Cách giải phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 ( a $\neq$ $\neq$ 0) $\mathbf{;\ }\Delta$ $\mathbf{;\ }\Delta$= b² - 4ac
Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ $\frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$; x₂ = $\frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ $\frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ = $\frac{- b}{2a}$ $\frac{- b}{2a}$
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiêm thu gọn.
$\Delta$ $\Delta$ = b^'2 - ac
Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{- b$ $\frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$; x₂ = $\frac{- b$ $\frac{- b' - \sqrt{\Delta}}{a}$
Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ = $\frac{- b$ $\frac{- b'}{a}$
Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.

B. Hệ thức Viète

1. Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình thì: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.$

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : $X^{2} - X.S + P = 0$ $X^{2} - X.S + P = 0$
(Điều kiện để có u và v là $S^{2} \geq 4P$ $S^{2} \geq 4P$)

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : $x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a}$ $x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a}$

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm : $x_{1} = - 1;x_{2} = \frac{- c}{a}$ $x_{1} = - 1;x_{2} = \frac{- c}{a}$

5. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax²+bx+c = 0 (a $\neq$ $\neq$ 0) có:

Có nghiệm (có hai nghiệm)
Vô nghiệm
Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)
Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)
Hai nghiệm cùng dấu
Hai nghiệm trái dấu
Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)
Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)
Hai nghiệm đối nhau
Hai nghiệm nghịch đảo nhau
Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ a.c < 0 và S < 0
Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ a.c < 0 và S > 0

6. Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

C. Bài tập phương trình bậc hai chứa tham số

Bài tập 1: Định giá trị của tham số m để phương trình: $x^{2} + m(m + 1)x + 5m + 20 = 0$ $x^{2} + m(m + 1)x + 5m + 20 = 0$

Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.

Bài tập 2: Cho phương trình: $x^{2} + mx + 3 = 0$ $x^{2} + mx + 3 = 0$ (1). Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.

Bài tập 3: Cho phương trình $x^{2} - 8x + m + 5 = 0$ $x^{2} - 8x + m + 5 = 0$ (1). Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của phương trình trong trường hợp này.

Bài tập 4: Cho phương trình $(m - 4)x^{2} - 2mx + m - 2 = 0$ $(m - 4)x^{2} - 2mx + m - 2 = 0$ (1)

a) m = ? thì (1) có nghiệm là x = $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$.

b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.

Bài tập 5: Cho phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ $x^{2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m.

b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .

c) Giả sử $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1) CMR : M = $\left( 1 - x_{2} \right)x_{1} + \left( 1 - x_{1} \right)x_{2}$ $\left( 1 - x_{2} \right)x_{1} + \left( 1 - x_{1} \right)x_{2}$ không phụ thuộc m.

Bài tập 6: Cho phương trình: $x^{2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0$ $x^{2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0$ (1)

a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m.

b) Đặt M = $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ ( $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1)). Tìm min M.

Bài tập 7: Cho 3 phương trình

$\begin{matrix} x^{2} + ax + b - 1 = 0(1); \\ x^{2} + bx + c - 1 = 0(2); \\ x^{2} + cx + a - 1 = 0(3). \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} x^{2} + ax + b - 1 = 0(1); \\ x^{2} + bx + c - 1 = 0(2); \\ x^{2} + cx + a - 1 = 0(3). \\ \end{matrix}$

Chứng minh rằng trong 3 phương trình ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài tập 8: Cho phương trình: $x^{2} - (a - 1)x - a^{2} + a - 2 = 0$ $x^{2} - (a - 1)x - a^{2} + a - 2 = 0$ (1)

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấu với mọi a. Tìm min B = $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$.

b) Giả sử $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1)

a = ? thì (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1} < 1 < x_{2}$ $x_{1} < 1 < x_{2}$.
a = ? thì (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ = 6.
m = ? thì (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $3x_{1} - 4x_{2} = 11$ $3x_{1} - 4x_{2} = 11$.
Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương.
Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ không phụ thuộc m.

Bài tập 9: Cho phương trình

$x^{2} - 2(a - 1)x + 2a - 5 = 0$ $x^{2} - 2(a - 1)x + 2a - 5 = 0$

a) Chứng minh (1) có hai nghiệm vói mọi a.

b) a=? thì (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1} < 1 < x_{2}$ $x_{1} < 1 < x_{2}$.

c) $a =$ ? thì (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$.

Bài tập 10: Cho phương trình

$2x^{2} + (2m - 1)x + m - 1 = 0$ $2x^{2} + (2m - 1)x + m - 1 = 0$

a) $m =$ ? thì (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $3x_{1} - 4x_{2} = 11$ $3x_{1} - 4x_{2} = 11$.

b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dương.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ không phụ thuộc $m$.

Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dương -> vô lý

Bài tập 11: Cho hai phương trình

$\begin{matrix} & x^{2} - (2m + n)x - 3m = 0(1) \\ & x^{2} - (m + 3n)x - 6 = 0(2) \end{matrix}$ $\begin{matrix} & x^{2} - (2m + n)x - 3m = 0(1) \\ & x^{2} - (m + 3n)x - 6 = 0(2) \end{matrix}$

Tìm $m$ và $n$ để (1) và (2) tương đương.
Bài tập 12: Cho phương trình: $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là $kb^{2} - (k + 1)^{2}ac = 0(k \neq 0)$ $kb^{2} - (k + 1)^{2}ac = 0(k \neq 0)$

Bài tập 13: Cho phương trình

$mx^{2} + 2(m - 4)x + m + 7 = 0$ $mx^{2} + 2(m - 4)x + m + 7 = 0$

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1} - 2x_{2} = 0$ $x_{1} - 2x_{2} = 0$.

c) Tìm một hệ thức giữa $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ độc lập với $m$.

Bài tập 14: Cho phương trình

$x^{2} - (2m + 3)x + m^{2} + 3m + 2 = 0$ $x^{2} - (2m + 3)x + m^{2} + 3m + 2 = 0$

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.

b) Tìm $m$ để phưong trình có hai nghiệm đối nhau.

c) Tìm một hệ thức giữa $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ độc lập với $m$.

Bài tập 15: Cho phương trình;

$(m - 2)x^{2} + 2(m - 4)x + (m - 4)(m + 2) = 0$ $(m - 2)x^{2} + 2(m - 4)x + (m - 4)(m + 2) = 0$

a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình (1) có nghiệm kép.

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$. Tìm một hệ thức giữa $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ độc lập với m.

c) Tính theo m biểu thức $A = \frac{1}{x_{1} + 1} + \frac{1}{x_{2} + 1}$ $A = \frac{1}{x_{1} + 1} + \frac{1}{x_{2} + 1}$;

d) Tìm m để $A = 2$.

Bài tập 16: Cho phương trình:

$x^{2} - mx - 4 = 0$ $x^{2} - mx - 4 = 0$

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}$ $A = \frac{2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}$.

c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên.

Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phương trình $x^{2} + kx + 7 = 0$ $x^{2} + kx + 7 = 0$ có hai nghiệm hơn kém nhau một đơn vị.

Bài tập 18: Cho phương trình:

$x^{2} - (m + 2)x + m + 1 = 0$ $x^{2} - (m + 2)x + m + 1 = 0$

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

c) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm âm.

Bài tập 19: Cho phương trình:

$x^{2} - (m + 1)x + m = 0$ $x^{2} - (m + 1)x + m = 0$

a) CMR phương rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ theo m.

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$.

Bài tập 20: Cho phương trình

$x^{2} + (2m + 1)x + m^{2} + 3m = 0$ $x^{2} + (2m + 1)x + m^{2} + 3m = 0$

a) Giải phương trình (1) vói $m = - 3$.

b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó.

Bài tập 21: Cho phương trình

$x^{2} - 12x + m = 0$ $x^{2} - 12x + m = 0$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ toả mãn $x_{2} = x_{1}^{2}$ $x_{2} = x_{1}^{2}$.

Bài tập 22: Cho phương trình

$(m - 2)x^{2} - 2mx + 1 = 0$ $(m - 2)x^{2} - 2mx + 1 = 0$

a) Giải phương trình vói $m = 2$.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $\left( 1 + 2x_{1} \right)\left( 1 + 2x_{2} \right) = - 1$ $\left( 1 + 2x_{1} \right)\left( 1 + 2x_{2} \right) = - 1$.

Bài tập 24: Cho phương trình

$(m - 2)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$ $(m - 2)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0$

a) Tìm $m$ để phương trình (1) là phương trình bậc hai.

b) Giải phương trình khi $m = \frac{3}{2}$ $m = \frac{3}{2}$.

c) Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.

Bài tập 25: Cho phương trình

$x^{2} + px + q = 0$ $x^{2} + px + q = 0$

a) Giải phương trình khi $p = - (3 + \sqrt{3})$ $p = - (3 + \sqrt{3})$; $q = 3\sqrt{3}$ $q = 3\sqrt{3}$.

b) Tìm $p,q$ để phương trình (1) có hai nghiệm: $x_{1} = - 2,x_{2} = 1$ $x_{1} = - 2,x_{2} = 1$

c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dương $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thì phương trình $qx^{2} + px + 1 = 0$ $qx^{2} + px + 1 = 0$ có hai nghiệm dương $x_{3},x_{4}$ $x_{3},x_{4}$

d) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $3x_{1}va3x_{2};\frac{1}{x_{1}^{2}}$ $3x_{1}va3x_{2};\frac{1}{x_{1}^{2}}$ và $\frac{1}{x_{2}^{2}}$ $\frac{1}{x_{2}^{2}}$; $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ và $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ $\frac{x_{2}}{x_{1}}$

Bài tập 26: Cho phương trình

$x^{2} - (2m - 1)x - m = 0$ $x^{2} - (2m - 1)x - m = 0$

a) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: $x_{1} - x_{2} = 1$ $x_{1} - x_{2} = 1$;

c) Tìm m để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 6x_{1}x_{2}$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 6x_{1}x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 27: Cho phương trình

$x^{2} - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0$ $x^{2} - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0$

a) Giải phương trình với $m = - 6$.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$. Tìm GTNN của biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 10x_{1}x_{2}$ $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 10x_{1}x_{2}$

---------------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 9 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm môn Ngữ văn lớp 9...

Tải về

Chọn file muốn tải về: