Bài tập nâng cao hàm số y=ax^2

Bài tập nâng cao hàm số \(y=ax^2\)

Bài tập nâng cao hàm số \(y=ax^2\) Toán lớp 9 do thư viện đề thi VnDoc.com sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Đây là phần bài tập nâng cao giúp cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài Toán.

• Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
• Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn
• Bài tập nâng cao hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Bài tập nâng cao giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phần lý thuyết sẽ nhắc lại ngắn gọn nội dung của bài học: Hàm số \(y=ax^2\)
Phần bài tập sẽ đưa ra một số dạng bài tập nâng cao với ví dụ có lời giải và bài tập vận dụng.
Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh củng cố lại kiến thức về bài tập đã học trên lớp đồng thời giúp các bạn nâng cao thêm kỹ năng giải Toán.

A. Hàm số bậc hai

1. Tập xác định của hàm số bậc hai

Hàm số \(y=ax^2 (a\hspace{0,2cm} \text{khác} \hspace{0,2cm}0)\) xác định với mọi x thuộc R.

2. Tính chất của hàm số bậc hai

+ Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến với x<0, đồng biến với x>0, bằng 0 với x=0.

+ Nếu a<0 thì hàm số đồng biến với x<0, nghịch biến với x>0, bằng 0 với x=0.

3. Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số là một parabol đi qua gốc tọa độ và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Nhận xét

+ Nếu a>0 thì y>0 với mọi x khác 0. Khi x=0, giá trị nhỏ nhất của hàm số là y=0.

+ Nếu a<0 thì y<0 với mọi x khác 0. Khi x=0, giá trị lớn nhất của hàm số là y=0.

B. Bài tập nâng cao hàm số bậc hai 

Ví dụ 1: Cho parabol \(y=\frac{1}{4}x^2\), điểm A(0;1) và đường thẳng có phương trình y= -1. Gọi M là một điểm bất kì thuộc parabol. Chứng minh rằng MA bằng khoảng cách MH từ điểm M đến đường thẳng d.

Hướng dẫn giải chi tiết

Hình vẽ minh họa 

Gọi điểm \(M(x;y)\) là một điểm bất kì thuộc parabol. Khoảng cách từ điểm \(M\) tới \(Ox\) bằng \(y\) . Do đó ta luôn có \(MH = y + 1(1)\) .

Goi \(I\) là hình chiếu của \(M\) lên trục \(Oy\) . Kh đó ta có \(MI = |x|\)

Điểm \(A(0;a) \Rightarrow AI = |y - 1|\)

Áp dụng định lý Pytago có: \(MA^{2} = MI^{2} + AI^{2} = x^{2} + (y - 1)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2y + 1\)

Do \(y = \frac{1}{4}x^{2}\) nên thay \(x^{2}\) bởi \(4y\) ta được

\(MA^{2} = 4y + y^{2} - 2y^{2} + 1 = (y + 1)^{2} \Rightarrow MA = |y + 1|\)

Mà \(a = \frac{1}{4} > 0\) nên \(y \geq 0\) do đó \(MA = |y + 1| = y + 1(2)\) .

Từ (1) và (2) ta có \(MA = MH\) .

Ví dụ 2: Cho điểm A(0;a), gọi d là đường thẳng có phương trình y= -a. Chứng minh rằng quỹ tích của điểm M(x;y) sao cho khoảng cách MH từ M tới d bằng là một parabol.

Hướng dẫn giải chi tiết

Hình vẽ minh họa 

Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \(M(x;y)\) và \(A(0;a)\) ta có

\(MA^{2} = (x - 0)^{2} + (y - a)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2}\)

Lại có khoảng cách \(MH = |y + a|\) hay \(MH^{2} = (y + a)^{2} = y^{2} + 2ay + a^{2}\)

Theo đề bài \(MA^{2} = MH^{2}\)

\(\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2ay + a^{2} = y^{2} + 2ay + a^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 4ay \Leftrightarrow y = \frac{1}{4a}x^{2}\)

Do đó quý tích của \(M\) là parabol \(y = \frac{1}{4a}x^{2}\).

Chú ý: Tổng quát, cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A, quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách MA bằng khoảng cách từ M đến d là một parabol. Khi đó điểm A gọi là tiêu điểm, đường thẳng d gọi là đường chuẩn của parabol.

C. Bài tập áp dụng

Bài 1: Thiết diện đi qua trục của một chiếc bát có dạng parabol. Hãy xác định phương trình của parabol đó, biết rằng độ sâu OC = 1cm và đường kính AB = 4cm.

Bài 2: Một cổng dạng parabol có kích thước là OC = 6m, AB = 6m. Viết phương trình của parabol ấy.

Bài 3: Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{3}x|x|\).

Bài 4: Tìm tọa độ của điểm M thuộc parabol \(y = ax^{2}\) (parabol này đi qua điểm \(A( - 2;2)\)), biết khoảng cách ta M đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ M đến trục tung.

Bài 5: Gọi C là một điểm tùy ý nằm trên parabol \(y = - \frac{1}{2}x^{2}\). Gọi K là trung điểm của OC. Khi điểm C di chuyển trên parabol đó thì điểm K di chuyển trên đường nào?

(Để xem tiếp tài liệu mời tải tài liệu về)

----------------------------------------------------

Ngoài Bài tập nâng cao hàm số \(y=ax^2\), mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán 9 như 40 đề luyện thi học sinh giỏi Toán 9, Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 môn Toán Phòng GD&ĐT Tân Kỳ, Nghệ An năm học 2019 - 2020... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với Bài tập nâng cao hàm số \(y=ax^2\) của chương 4 Toán 9 này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!