Bài tập nâng cao giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài tập nâng cao giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán lớp 9 do thư viện đề thi VnDoc.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Đây là phần bài tập nâng cao giúp cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài Toán.

Phần lý thuyết sẽ nhắc lại ngắn gọn nội dung của bài học: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Phần bài tập sẽ đưa ra một số dạng bài tập nâng cao với ví dụ có lời giải và bài tập vận dụng.
Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh củng cố lại kiến thức về bài tập đã học trên lớp đồng thời giúp các bạn nâng cao thêm kỹ năng giải Toán.

A. Bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Dạng toán về chuyển động

Ví dụ 1: Trong một cuộc đua xe mô tô, ba tay đua khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên.

Lời giải:

Đối 12 phút = \(\frac{1}{5}\)giờ, 3 phút = \(\frac{1}{20}\)giờ

Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc của người thứ hai \((x > 3)\), \(y\)(km) là chiều dài quãng đường đua \((y > 0)\).

Ta có vận tốc của mô tô thứ nhất là \(x + 15\)(km/h), vận tốc của mô tô thứ hai là \(x - 3\)(km/h).

 Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix} \dfrac{y}{x} - \dfrac{y}{x + 15} = \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{y}{x - 3} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{20} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 75(tm) \\ y = 90(tm) \\ \end{matrix} \right.\).

Vậy vận tốc của mô tô thứ nhất là 90km/h, vận tốc mô tô thứ hai là 75km/h và vận tốc mô tô thứ ba là 72km/h.

Dạng toán về quan hệ các số

Ví dụ 2: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tại thành là 99. Tìm số đã cho.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là \(x\) (đơn vị, \(x \leq 9,x \in \mathbb{N}^{*}\) ) và chữ số hàng đơn vị là \(y\) (đơn vị, \(y \leq 9,y \in \mathbb{N}\) ).

Theo đề bài số mới hơn số đã cho 63 đơn vị. Hơn nữa tổng của hai số là 99 đơn vị. Suy ra ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix} \overline{xy} + \overline{yx} = 99 \\ \overline{yx} - \overline{xy} = 63 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1(tm) \\ y = 8(tm) \\ \end{matrix} \right.\) .

Vậy số cần tìm là 18.

Dạng toán làm chung công việc

Ví dụ 3: Ba công nhân cùng làm 1 công việc thì xong sớm hơn 18h so với người thứ 3 làm một mình, sớm hơn 3h so với người thứ 2 làm một mình và bằng một nửa thời gian so với người 1 làm một mình. Tình thời gian của mỗi người khi làm một mình.

Lời giải:

Gọi thời gian người 1, 2, 3 làm xong công việc lần lượt là \(x,y,z\) (giờ, \(x,y,z > 0\) ).

Trong một giờ mỗi người làm được \(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\) công việc. Thời gian cả 3 người cùng làm xong công việc là \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} +\dfrac{1}{z}}\)giờ.

Theo bài ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} = z - 18 = y - 3 = \dfrac{x}{2}\)

Giải phương trình trên bằng cách tách thành những phương trình nhỏ, ta được: \(x = 4,y - 5,z = 20\) .

Ví dụ 4: Để lựa chọn học sinh khối 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lượng học kì II, với tổng số 99 học sinh được các thầy cô lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán, 45 học sinh giỏi Văn, 48 học sinh giỏi Tiếng Anh, 25 học sinh giỏi cả Toán và Văn, 22 học sinh giỏi cả Toán và Anh, 15 học sinh giỏi cả Văn và Anh, 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Văn, Anh.

Lời giải:

Gọi số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Văn, Anh là \(x\) (học sinh, \(x > 0,x \in \mathbb{Z}\) )

Số học sinh chỉ giỏi môn Toán là \(y = 50 - 25 - (22 - x)\) học sinh.

Số học sinh chỉ giỏi môn Văn là \(z = 44 - 25 - (15 - x)\) học sinh.

Số học sinh chỉ giỏi môn Anh là \(t = 48 - 22 - (15 - x)\) học sinh.

Do có 6 học sinh không giỏi bất kì môn nào nên ta có: \(99 - 6 = y + z + t \Rightarrow x = 12\) .

Vậy số học sinh giỏi cả 3 môn là 12 học sinh.

Dạng toán có nội dung hình học – hóa học

Dạng toán dân số, lãi suất, tăng trưởng

Ví dụ 5: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu.

Lời giải:

Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk 0 < x < 600.

Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x (sản phẩm).

Số sản phẩm vượt mức của tổ I là \(x.\frac{18}{100}\) (sản phẩm).

Số sản phẩm vượt mức của tổ II là \((600 - x).\frac{21}{100}\) (sản phẩm).

Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch của hai tổ là 120 sản phẩm ta có pt

\(\frac{18x}{100} + \frac{21(600 - x)}{100} = 120\) x = 20 (thoả mãn yêu cầu của bài toán)

Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 200 (sản phẩm)

Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 400 (sản phẩm)

B. Bài tập vận dụng giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 1: Một đoàn khách du lịch đi tham quan bằng ô tô. Họ quyết định mỗi chiếc ô tô phải chở một số hành khách như nhau. Ban đầu họ định cho mỗi ô tô chở 22 hành khách những như vậy thì thừa ra một người. Về sau khi bớt đi một ô tô thì có thể phân phối số khách hành như nhau lên mỗi xe ô tô còn lại. Hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu hành khách du lịch, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở được không quá 32 người.

Bài 2: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị.

Bài 3: Cho ba vòi nước A, B, C cùng chảy vào một cái bể. Vòi A, B chảy đầy bể trong 71 phút. Vòi A, C chảy đầy bể trong 63 phút. Vòi B, C chảy đầy bể trong 56 phút.

a, Mỗi vòi chảy đầy bể trong bao nhiêu phút, cả ba vòi cùng mở một lúc thì trong bao phút thì đầy bể?

b, Biết vòi C chảy 10 lít ít hơn mỗi phút so với vòi A, B cùng chảy một lúc. Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi?

Bài 4: Một người mua 30 con chim gồm 3 loại chim sẻ, chim ngói và chim bồ câu hết tất cả 30 đồng. Biết rằng 3 con chim sẻ giá 1 đồng, 2 con chim ngói giá 1 đồng và mỗi con chim bồ câu giá 2 đồng. Hỏi mỗi loại có mấy con?

Bài 5: Đoạn đường AB dài 160km. Một ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B đến A khởi hành cùng vào một thời điểm. Sau một thời gian hai xe gặp nhau tại điểm C, đoạn đường AC dài 120km. Khi đi tới B, ô tô liền quay trở lại ngay và đuổi kịp xe máy tại điểm D. Tính vận tốc của hai xe biết từ khi khởi hành tới lúc hai xe gặp nhau tại điểm D là 4 giờ và vận tốc của hai xe không đổi?

Bài 6: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị.

Bài 7: Có ba thùng đựng nước:

Lần thứ nhất, người ta đổ ở thùng 1 sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó đang có.

Lần thứ hai, người ta đổ ở thùng 2 sang hai thùng kia một số nước gấp đôi số nước ở mỗi thùng đó đang có.

Lần thức ba, người ra đổ ở thùng 3 sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó đang có.

Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nước. Tính số nước ở mỗi thùng lúc đầu.

Bài 8: Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi chọn các môn Toán, Văn và Anh trên tổng số 111 học sinh. Kết quả có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 63 học sinh giỏi Anh. Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả Toán và Anh và 34 học sinh giỏi cả Văn và Anh. Biết rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu, xác định số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Văn, Anh.

Bài 9: Một trường có 2392 học sinh. Trong đó có một học sinh đạt giải trong kì thi quốc tế, một số học sinh đạt giải quốc qua, một số đạt giải của tỉnh và một số đạt giải của trường (không có học sinh nào đạt cả hai giải). Biết rằng số các học sinh đạt mỗi giải nói trên cũng là các chữ số của học sinh còn lại, và số học sinh đạt giải quốc tế ít hơn số học sinh đạt giải quốc gia, số học sinh đạt giải quốc gia ít hơn số học sinh đạt giải tỉnh và số học sinh đạt giải tỉnh ít hơn số học sinh đạt giải trường. Hãy cho biết số học sinh đạt mỗi giải nói trên và số học sinh còn lại không đạt giải.

Bài 10: Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ. Người A và C làm xong công việc trong 63 giờ, người B và C làm xong công việc trong 56 giờ. Hỏi ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?

Bài 11: Một bè nứa trôi tự do với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước. Một ca nô cùng rời bến A để xuôi dòng song. Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay trở về bến A ngay. Thời gian cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về A, khi còn cách bến A 36km thì gặp bè nứa. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.

Bài 12: Cùng một thời điểm, một chiếc xe tải xuất phát từ thành phố A đến thành phố B và một chiếc xe con xuất phát từ thành phố B về thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc không đổi và gặp nhau tại một điểm cách A 20km. Cả hai xe đến A và B lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần 2 tại điểm C. Biết thời gian xe con đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ.

Bài 13: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Biết rằng nếu xen vào giữa hai chữ số trên chính chữ số phải tìm thì số đó tăng thêm 5480 đơn vị.

Bài 14: Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7 và chia số lớn cho 5 thì thương thứ nhất kém thương thứ hai 4 đơn vị. Tìm hai số đó.

Bài 15: Cho ba vòi nước A, B, C cùng chảy vào một cái bể. Vòi A, B chảy đầy bể trong 71 phút. Vòi A, C chảy đầy bể trong 63 phút. Vòi B, C chảy đầy bể trong 56 phút.

a, Mỗi vòi chảy đầy bể trong bao nhiêu phút, cả ba vòi cùng mở một lúc thì trong bao phút thì đầy bể?

b, Biết vòi C chảy 10 lít ít hơn mỗi phút so với vòi A, B cùng chảy một lúc. Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi?

Bài 16: Một đàn ngựa giá 204 triệu đồng. Có ba người mua ngựa nhưng mỗi người đều không đủ tiền. Nên:

Người thứ nhất nói với 2 người kia là cho tôi vay một nửa tổng số tiền của họ thì đủ tiền mua.

Người thứ hai nói với 2 người kia là cho tôi vay 1/3 tổng số tiền của họ thì đủ tiền mua.

Người thứ ba nói với 2 người kia là cho tôi vay 1/4 tổng số tiền của học thì đủ tiền mua.

Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền?

(Để xem tiếp tài liệu mời tải tài liệu về)

----------------------------------------------------

Trên đây là tuyển chọn các bài tập nâng cao giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, kèm theo lời giải chi tiết giúp bạn nắm vững phương pháp phân tích đề, lựa chọn ẩn và thiết lập hệ phương trình phù hợp. Đây là dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ, đề thi vào lớp 10 cũng như đề thi học sinh giỏi. Việc luyện tập nhiều dạng bài nâng cao sẽ giúp bạn rèn luyện kỹ năng tư duy, phân tích logic và phản xạ nhanh khi gặp các đề toán phức tạp. Hãy kiên trì luyện tập, kết hợp xem lại lý thuyết và các ví dụ mẫu để nắm chắc cách lập hệ phương trình theo từng dạng bài như: bài toán năng suất, chuyển động, quan hệ số – tuổi, và bài toán hình học có ẩn.

Đừng quên tiếp tục khám phá các chuyên đề Toán 9 nâng cao khác như: phương trình – bất phương trình chứa tham số, hệ thức lượng, bất đẳng thức và bài toán cực trị,… để phát triển toàn diện năng lực giải toán và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Chúc bạn học tốt và luôn tự tin chinh phục mọi thử thách!