Bài tập Toán 9: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Trong chương trình Toán lớp 9, chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương là một phần kiến thức trọng tâm thuộc chuyên đề căn bậc hai và hằng đẳng thức. Nắm vững mối quan hệ này sẽ giúp học sinh giải nhanh các bài toán rút gọn biểu thức, giải phương trình và giải bài toán thực tế hiệu quả hơn.

Bài viết dưới đây tổng hợp bài tập Toán 9: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương kèm lời giải chi tiết, giúp học sinh luyện tập, củng cố lý thuyết và nâng cao kỹ năng vận dụng công thức. Các bài tập được phân chia theo mức độ từ cơ bản đến nâng cao, phù hợp để học tại nhà, luyện thi, hoặc dùng làm tài liệu giảng dạy trên lớp.

Nếu bạn đang tìm bài tập Toán lớp 9 có lời giải sát chương trình học, thì đây sẽ là nguồn tài liệu hữu ích không nên bỏ qua.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Nhắc lại lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

+ Định lý: Với hai số a và b không âm, ta có: \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b\)

+ Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

+ Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khi phương kết quả đó.

B. Bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn phương án trả lời đúng khi nói về liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương:

A. \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b\)	B. \(\sqrt {ab} = - \sqrt a .\sqrt b\) với \(a \ge 0;b \ge 0\)
C. \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b\) với \(a \ge 0;b \ge 0\)	D. \(\sqrt {ab} = - \sqrt a .\sqrt b\) khi \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqipv0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyqaiabgw % MiZkaaicdaaaa!395A! $A \ge 0\)

Câu 2: Với a, b, c là ba số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\sqrt {abc} = \sqrt a .\sqrt b .\sqrt c\)	B. \(\sqrt {abc} = - \sqrt a .\sqrt b .\sqrt c\)
C. \(\sqrt {abc} = \sqrt a .\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right)\)	D. \(\sqrt {abc} = \sqrt a .\sqrt b + \sqrt a .\sqrt c + \sqrt b .\sqrt c\)

Câu 3: Khai phương tích 64.100.25 được kết quả là:

A. 200

B. 4

C. 40

D. 400

Câu 4: Kết quả của phép tính \(\sqrt {0,05} .\sqrt {3,2}\) là:

A. 0,16

B. 0,4

C. 1,6

D. 0,04

Câu 5: Kết quả của phép tính \(\sqrt {6 - \sqrt {27} } .\sqrt {6 + \sqrt {27} }\) là:

A. 3

B. 9

C. 4

D. 16

Câu 6: Kết quả của phép tính \(\sqrt{81} - \sqrt{80}.\sqrt{0,2}\) bằng:

A. \(3 - \sqrt{2}\)                B. \(3\sqrt{2}\)                   C. \(5\)                      D. \(\sqrt{2}\)

Câu 7: Rút gọn biểu thức \(\sqrt{16b} + 2\sqrt{40b} - 3\sqrt{90b}\) với \(b \geq 0\) là:

A. \(3\sqrt{b}\)                    B. \(2\sqrt{b} - 5\sqrt{b}\)              C. \(4\sqrt{b} + 5\sqrt{10b}\)                D. \(4\sqrt{b} - 5\sqrt{10b}\)

Câu 8: Kết quả của phép tính \(\sqrt{\left( 2 - \sqrt{5} \right)^{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{20}\) là:

A. \(2\)              B. \(- \sqrt{5}\)                 C. \(\sqrt{5}\)                         D. \(- 2\)

Câu 9: Khử mẫu của biểu thức lấy căn \(\sqrt{x^{2} - \frac{x^{2}}{7}}\) với \(x < 0\) là:

A. \(\frac{x}{7}\sqrt{3}\)                  B. \(- \frac{x}{7}\sqrt{42}\)                   C. \(- \frac{1}{7}x\)                    D. \(7\sqrt{x}\)

Câu 10: Biểu thức \(\sqrt{(3 - 2x)^{2}} = ?\)

A. \(3 -2x\) hoặc \(2x - 3\)                         B. \(2x - 3\)

C. \(3 -2x\)                                             D. \(3- 2x\) và \(3 + 2x\)

Câu 11: \(\sqrt{\left( 3 - \sqrt{10} \right)^{2}}\) bằng:

A. \(\sqrt{10} + 3\)                 B. \(3 -\sqrt{10}\)                    C. \(\sqrt{10} - 3\)                       D. \(10 - \sqrt{3}\)

Câu 12: Tính \(\sqrt{121.100}\) ta được:

A. \(12100\)                B. \(1210\)                 C. \(110\)                     D. \(101\)

Câu 13: Tính \(\sqrt{0,1}.\sqrt{360}\) ta được

A. \(36\)                   B. \(6\)                  C. \(360\)                     D. \(60\)

Câu 14: Giá trị của biểu thức M = \(\sqrt{\left(\sqrt{2} - 1 \right)^{2}} +\sqrt{\left( \sqrt{2} + 1 \right)^{2}}\) là:

A. 2                     B. 0              C. \(- 2\)                     D.\(2\sqrt{2}\)

Câu 15: Rút gọn biểu thức \(3\sqrt{a^{2}b} + a\sqrt{b}\), với: \(a < 0\) và \(b \geq 0\) ta được:

A. \(- 2a\sqrt{b}\)                    B. \(- 4a\sqrt{b}\)                  C.\(4a\sqrt{b}\)                       D. \(4\sqrt{a^{2}b}\)

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Tính:

a, \(\sqrt 7 .\sqrt {63}\)	b, \(\sqrt {2,5} .\sqrt {30} .\sqrt {48}\)	c, \(\sqrt {0,4} .\sqrt {6,4} .\sqrt {13} .\sqrt {0,13}\)
d, \(\sqrt {1,44.8100}\)	e, \(\sqrt {27.150.2}\)	f, \(\sqrt {5.11.77.35}\)

Bài 2: Tính:

a, \(\sqrt {\sqrt 3 + \sqrt 2 } .\sqrt {\sqrt 3 - \sqrt 2 }\)	b, \(\sqrt {12 - \sqrt {108} } .\sqrt {12 + \sqrt {108} }\)
c, \(\sqrt 2 .\left( {\sqrt 8 - \sqrt {32} + 3\sqrt {18} } \right)\)	d, \(\left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }\)

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a, \(\sqrt {0,64{a^2}}\)với \(a \ge 0\)	b, \(\sqrt {{a^2}{{\left( {a - 5} \right)}^2}}\) với \(0 \le a < 5\)
c, \(\sqrt {8.\left( {2{x^2} - 4x + 2} \right)}\) với \(a \ge 1\)	d, \(\sqrt {12a} .\sqrt {5a} .\sqrt {20a} .\sqrt {3a}\) với \(a \ge 0\)

Bài 4: Chứng minh rằng: \(\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } = 2\).

Bài 5. Thực hiện phép tính

a. \(3\sqrt{1\frac{1}{3}} - 3\sqrt{147} + \frac{3}{5}\sqrt{75}\)                  b. \(\left( 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} \right).\sqrt{5} + \sqrt{60}\)

c. \(\sqrt{81} - \sqrt{80}.\sqrt{0,2}\)                              d. \(\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{20}\)

Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) \(ab + b\sqrt{a} + \sqrt{a} + 1\) (với \(a \geq 0\)).

b) \(4a + 1\) (với \(a < 0\)).

C. Lời giải bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

I. Bài tập trắc nghiệm

1 - C	2 - A	3 - D	4 - B	5 - A
6 - C	7 - D	8 - D	9 - B	10 - A
11 - C	12 - C	13 -B	14 - D	15 - A

II. Bài tập tự luận

Bài 1:

a, \(\sqrt 7 .\sqrt {63} = \sqrt {7.63} = \sqrt {7.7.9} = \sqrt {49} .\sqrt 9 = 7.3 = 21\)

b, \(\sqrt {2,5} .\sqrt {30} .\sqrt {48} = \sqrt {2,5.30.48} = \sqrt {25.144} = \sqrt {25} .\sqrt {144} = 5.12 = 60\)

c, \(\sqrt {0,4} .\sqrt {6,4} .\sqrt {13} .\sqrt {0,13} = \sqrt {2,56} .\sqrt {1,69} = 1,6.1,3 = 2,08\)

d, \(\sqrt {1,44.8100} = \sqrt {1,44.100.81} = \sqrt {144.81} = \sqrt {144} .\sqrt {81} = 12.9 = 108\)

e, \(\sqrt {27.150.2} = \sqrt {27.300} = \sqrt {27.3.100} = \sqrt {81.100} = \sqrt {81} .\sqrt {100} = 9.10 = 90\)

f, \(\sqrt {5.11.77.35} = \sqrt {11.11.5.7.35} = \sqrt {11.11.35.35} = 11.35 = 385\)

Bài 2:

a, \(\sqrt {\sqrt 3 + \sqrt 2 } .\sqrt {\sqrt 3 - \sqrt 2 } = \sqrt {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)} = \sqrt {3 - 2} = \sqrt 1 = 1\)

b, \(\sqrt {12 - \sqrt {108} } .\sqrt {12 + \sqrt {108} } = \sqrt {\left( {12 - \sqrt {108} } \right)\left( {12 + \sqrt {108} } \right)}\)

\(= \sqrt {144 - 108} = \sqrt {36} = 6\)

c, \(\sqrt 2 .\left( {\sqrt 8 - \sqrt {32} + 3\sqrt {18} } \right) = \sqrt 2 .\sqrt 8 - \sqrt 2 .\sqrt {32} + 3.\sqrt 2 .\sqrt {18}\)

\(= \sqrt {16} - \sqrt {64} + 3\sqrt {64} = 4 - 8 + 24 = 20\)

d, \(\left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} } = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {3 - 2\sqrt 3 .\sqrt 5 + 5}\)

\(= \sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 2\)

Bài 3:

a, \(\sqrt {0,64{a^2}} = \sqrt {0,64} .\sqrt {{a^2}} = 0,6a\) với \(a \ge 0\)

b, \(\sqrt {{a^2}{{\left( {a - 5} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2}} = \left| a \right|.\left| {a - 5} \right| = a.\left( {5 - a} \right)\)với \(0 \le a < 5\)

c, \(\sqrt {8.\left( {2{x^2} - 4x + 2} \right)} = \sqrt {8.2.\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)} = \sqrt {16} .\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} = 4\left( {x - 1} \right)\) với \(a \ge 1\)

d, \(\sqrt {12a} .\sqrt {5a} .\sqrt {20a} .\sqrt {3a} = \sqrt {12.5.20.3.{a^4}} = \sqrt {3600{a^4}} = 60{a^2}\)với \(a \ge 0\)

Bài 4:

Xét vế trái có:

\(\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} }\)

\(= \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\sqrt 2 .\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} }\)

\(= \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }\)

\(= \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\sqrt {3 - 2\sqrt 3 .\sqrt 5 + 5}\)

\(= \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}}\)

\(= \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)\)

\(= \left( {4 + \sqrt {15} } \right){\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)^2} = \left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {8 - 2\sqrt {15} } \right)\)

\(= 2\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right) = 2\left( {16 - 15} \right) = 2.1 = 2\)

Bài 5

a. Ta có:

\(3\sqrt{1\frac{1}{3}} - 3\sqrt{147} + \frac{3}{5}\sqrt{75}\)

\(= \ 3\sqrt{\frac{4}{3}}\ - \ 3\sqrt{49.3}\ + \ \frac{3}{5}\sqrt{25.3}\)

\(= \ 2\sqrt{3}\ - \ 21\sqrt{3}\ + \ 3\sqrt{3}\ = \ - 16\sqrt{3}\)

b. Ta có:

\((3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}).\sqrt{5} + \sqrt{60}\)

= \(15 - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15}\)

= 15

c. Ta có:

\(\sqrt{81} - \sqrt{80}.\sqrt{0,2} = \sqrt{9^{2}} - \sqrt{80.0,2}\)

\(= 9 - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5\)

d. Ta có:

\(\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} = \left| 2 - \sqrt{5} \right| - \frac{1}{2}.2\sqrt{5}\)

\(= \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5} = - 2\)

Bài 6

a. Với \(a \geq 0\) ta có: \(ab + b\sqrt{a} + \sqrt{a} + 1\)

\(= b\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1) + (\sqrt{a} + 1)\)

\(= (\sqrt{a} + 1)(b\sqrt{a} + 1)\)

b. Với \(a < 0\) \(\Rightarrow - a > 0\)

Ta có: \(4a = - 4.( - a) = - (2\sqrt{- a})^{2}\)

\(\Rightarrow 1 + 4a = 1^{2} - (2\sqrt{- a})^{2}\)

\(= (1 - 2\sqrt{- a})(1 + 2\sqrt{- a})\)

---------------------------------------------------------------

Trên đây là hệ thống bài tập Toán 9: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương được chọn lọc kỹ lưỡng, bám sát nội dung sách giáo khoa và có lời giải chi tiết, dễ hiểu. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp học sinh lớp 9 rèn luyện thêm kỹ năng tính toán, tư duy logic và củng cố kiến thức nền tảng vững chắc cho các chuyên đề tiếp theo.

Để học tốt Toán lớp 9, học sinh nên luyện tập đều đặn, kết hợp giữa lý thuyết và thực hành qua các bài tập tự luận, trắc nghiệm. Ngoài ra, phụ huynh và giáo viên có thể sử dụng tài liệu này làm bài tập bổ trợ, đề kiểm tra hoặc đề cương ôn tập.

Hãy lưu lại và chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích. Đừng quên theo dõi website của chúng tôi để cập nhật thêm nhiều bài tập Toán lớp 9 có lời giải, phân dạng chi tiết theo từng chuyên đề, phục vụ cho việc học tập và giảng dạy một cách hiệu quả nhất.