Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9

Bài tập nâng cao hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập nâng cao Toán 9
Tải về
Dạng tài liệu: Toán Lớp 9
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập nâng cao hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập nâng cao hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán lớp 9 do thư viện đề thi VnDoc.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Đây là phần bài tập nâng cao giúp cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài Toán.

Nội dung của Bài tập nâng cao hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết hệ phương trình

1. Định nghĩa hệ phương trình

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} \end{matrix}\right.

Trong đó a_{1}x+b_{1}y=c_{1} và a_{2}x+b_{2}y=c_{2} là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Mỗi nghiệm chung của hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ.

Giải hệ hai phương trình là ta đi tìm tất cả các nghiệm chung của hai phương trình bậc nhất hai ẩn có trong hệ.

Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm.

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Minh họa hình học hệ phương trình

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ. Do đó, trên cùng một mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm chung của hai đường thẳng (d_{1}):a_{1}x+b_{1}y=c_{1} và (d_{2}):a_{2}x+b_{2}y=c_{2}.

Khi đó, nếu:

  • (d_1) cắt (d_2) thì hệ có một nghiệm duy nhất và tập nghiệm của hệ được biểu diễn bởi giao điểm của và .
  • (d_1)//(d_2)thì hệ vô nghiệm và tập nghiệm là tập rỗng.
  • (d_1) trùng với (d_2) thì hệ có vô số nghiệm và tập nghiệm được biểu diễn bởi (d_1) .

3. Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

3.1. Phương pháp thế

3.2. Phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hệ phương trình là những số bằng nhau (hoặc đối nhau).

Bước 2: Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình để được một phương trình một ẩn. Thay thế một trong hai phương trình của hệ bởi phương trình một ẩn ta được một hệ mới.

Bước 3: Giải phương trình một ẩn ta tìm được giá trị của ẩn đó. Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó vào phương trình còn lại của hệ ta tìm được giá trị tương ứng của ẩn kia. Cặp giá trị tương ứng vừa tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

4. Một số hệ phương trình nâng cao

4.1. Hệ đối xứng loại 1

  • Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của cho nhau thì phương trình đó không đổi.
  • Tính chất: Nếu là một nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ.
  • Cách giải. Đặt \left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = x.y \\ \end{matrix} \right. điều kiện S^{2} \geq 4P , quy hệ phương trình về 2 ẩn S,P .

4.2. Hệ đối xứng loại 2

  • Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia
  • Tính chất: Nếu là một nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ.
  • Cách giải. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng (x - y)\left\lbrack f(x,y) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y = 0 \\ f(x,y) = 0 \\ \end{matrix} \right. .

4.3. Hệ đẳng cấp

  • Định nghĩa: Hệ đẳng cấp là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp.
  • Cách giải.Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạp ra phương trình đẳng cấp bậc n: a_{1}x^{n} + a_{k}x^{n - k}.y^{k} + ... + a_{n}y^{n} = 0.

Từ đó ta xét hai trường hợp:

+ y = 0 thay vào để tìm x.

+ y \neq 0 ta đặt x = tythì thu được phương trình a_{1}t^{n} + a_{k}t^{n - k} + ... + a_{n} = 0.

Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x,y. (Cách làm cũng tương tự với trường hợp y = tx)

B. Bài tập vận dụng giải hệ phương trình nâng cao

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{6x} + \dfrac{1}{5y} = \dfrac{2}{15} \\ \end{matrix} \right.

Lời giải:

Trước khi giải hệ phương trình, ta phải đặt điều kiện cho các ẩn để hệ phương trình có nghĩa. Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0.

Đặt \frac{1}{x} = a và \frac{1}{y} = b (Khi đặt ẩn ta lưu ý đặt điều kiện nếu có).

Khi đó hệ phương trình trở thành \left\{ \begin{matrix} a + b = \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{6}a + \dfrac{1}{5}b = \dfrac{2}{15} \\ \end{matrix} \right..

Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình, ta được \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{1}{2}(tm) \\ b = \dfrac{1}{4}(tm) \\ \end{matrix} \right..

Với \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{1}{2} \\ b = \dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right. ta có \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2(tm) \\ y = 4(tm) \\ \end{matrix} \right..

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 4)

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:

\left\{ \begin{matrix} (x + 3)(y - 5) = xy \\ (x - 2)(y + 5) = xy \\ \end{matrix} \right.

Đáp số:(x;y)=(12;25)

\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x}{y} - \dfrac{x}{y + 12} = 1 \\ \dfrac{x}{y - 12} - \dfrac{x}{y} = 2 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số:(x; y) = (144; 36)

\left\{ \begin{matrix} 4(x + y) = 5(x - y) \\ \frac{40}{x + y} + \frac{40}{x - y} = 9 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số:(x;y)=(9;1)

\left\{ \begin{matrix} |x - 2| + 2|y - 1| = 9 \\ x + |y - 1| = - 1 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (-3; 3) hoặc(x;y)=(-3;-1)

\left\{ \begin{matrix} x + y + |x| = 25 \\ x - y + |y| = 30 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (16; -7)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:\left\{ \begin{matrix} x + y + 2xy = 2 \\ x^{3} + y^{3} = 8 \\ \end{matrix} \right..

Lời giải:

Ta biến đổi hệ phương trình thành \left\{ \begin{matrix} x + y + 2xy = 2 \\ (x + y)(x^{2} + xy + y^{2}) = 8 \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y + 2xy = 2 \\ (x + y)\left\lbrack (x + y)^{2} - xy \right\rbrack = 8 \\ \end{matrix} \right. .

Đặt \left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = x.y \\ \end{matrix} \right. điều kiện S2 ≥ 4P, hệ trở thành:

\left\{ \begin{matrix} S + 2P = 2 \\ S.(S^{2} - P) = 8 \\ \end{matrix} \right.

Giải hệ trên rồi với ẩn S; P.

Khi tìm được S,P, ta sẽ tính được nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 2) hoặc (x; y) = (2; 0)..

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau

a, \left\{ \begin{matrix} 2(x + y) = 3\left( \sqrt[3]{x^{2}y} + \sqrt[3]{xy^{2}} \right) \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (-2; 3) hoặc (x; y) = (3; -2)

b, \left\{ \begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 19 \\ (x + y)(8 + xy) = 2 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (8; 64) hoặc (x; y) = (64; 8)

c, \left\{ \begin{matrix} x + y - \sqrt{xy} = 3 \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (3; 3)

d, \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{2xy} = 8\sqrt{2} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (4; 4)

e, \left\{ \begin{matrix} (x + y)\left( 1 + \dfrac{1}{xy} \right) = 5 \\ \left( x^{2} + y^{2} \right)\left( 1 + \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} \right) = 9 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x;y) = \left( 1;\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \right) hoặc (x;y) = \left( \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2};1 \right)

f, \left\{ \begin{matrix} x^3y(1 + y) + x^{2}y^{2}(2 + y) + xy^{3} - 30 = 0 \\ x^2y + x\left( 1 + y + y^{2} \right) + y - 11 = 0 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (1; 2) hoặc (x; y) = (2; 1) hoặc (x;y) = \left( \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2};\frac{5 \mp \sqrt{21}}{2} \right)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:\left\{ \begin{matrix} x^{2} + \sqrt{x} = 2y \\ y^{2} + \sqrt{y} = 2x \\ \end{matrix} \right..

Lời giải:

Điều kiện x,y \geq 0. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

x^{2} + \sqrt{x} - \left( y^{2} + \sqrt{y} \right) = 2(y - x)

\Leftrightarrow \left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left\lbrack \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) \right\rbrack = 0.

Vì \left\lbrack \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) \right\rbrack > 0 nên phương trình đã cho tương đương với x = y.

Thế x=y vào một trong hai phương trình trên ta được nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 0)hoặc (x; y) = (1; 1) hoặc \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right).

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau

a, \left\{ \begin{matrix} (x - 1)\left( y^{2} + 6 \right) = y\left( x^{2} + 1 \right) \\ (y - 1)\left( x^{2} + 6 \right) = x\left( y^{2} + 1 \right) \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (2; 2) hoặc (x; y) = (3; 3) hoặc (x; y) = (2; 3) hoặc (x; y) = (3; 2)

b, \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x - 1 + \sqrt{2x + 1} = y \\ y^{3} + 3y - 1 + \sqrt{2y + 1} = x \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (0; 0)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:\left\{ \begin{matrix} x^3 - 8x = y^{3} + 2y \\ x^2 - 3 = 3\left( y^{2} + 1 \right) \\ \end{matrix} \right..

Lời giải:

Ta biến đổi hệ phương trình thành \left\{ \begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 8x + 2y \\ x^{2} + 3y^{2} = 6 \\ \end{matrix} \right..

Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta được phương trình đẳng cấp bậc 3:

6(x3 + y3) = (8x + 2y)(x2 + 3y2).

Từ đó ta có lời giải sau:

Vì x = 0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y = tx.

Khi đó hệ trở thành:

\left\{ \begin{matrix} x^{3} - 8x = t^{3}x^{3} + 2tx \\ x^{2} - 3 = 3\left( t^{2}x^{2} + 1 \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2}\left( 1 - t^{3} \right) = 2t + 8 \\ x^{2}\left( 1 - 3t^{2} \right) = 6 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{1 - t^{3}}{1 - 3t^{2}} = \frac{t + 4}{3}

\Leftrightarrow 3\left( 1 - t^{3} \right) = (t + 4)\left( 1 - 3t^{2} \right)\Leftrightarrow 12t^{2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = \dfrac{1}{3} \\ t = - \dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.

Với t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2}\left( 1 - 3t^{2} \right) = 6 \\ y = \dfrac{x}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \pm 3 \\ y = \pm 1 \\ \end{matrix} \right..

Với t = - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \pm \dfrac{4\sqrt{78}}{13} \\ y = \mp \dfrac{\sqrt{78}}{13} \\ \end{matrix} \right..

Suy ra ta được các cặp nghiệm của hệ phương trình.

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau

a, \left\{ \begin{matrix} 5x^{2}y - 4xy^{2} + 3y^{3} - 2(x + y) = 0 \\ xy\left( x^{2} + y^{2} \right) + 2 = (x + y)^{2} \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x; y) = (1; 1), (x; y) = (-1; -1); (x;y) = \left( \frac{2\sqrt{2}}{5};\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right), ; -(x;y) = \left( - \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}; - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \right)

b, \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 2y + 3} + 2y - 3 = 0 \\ 2\left( 2y^{3} + x^{3} \right) + 3y(x + 1)^{2} + 6x(x + 1) + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x;y) = \left( - \frac{14}{9};\frac{5}{18} \right)

c, \left\{ \begin{matrix} 2\left( 2x + \sqrt{y} \right) = \sqrt{2x + 6} - y \\ \dfrac{1}{3x} + \dfrac{2x}{3y} = \dfrac{x + \sqrt{y}}{2x^{2} + y} \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x;y) = \left( \frac{\sqrt{17} - 3}{4};\frac{13 - 3\sqrt{17}}{2} \right)

d, \left\{ \begin{matrix} 3x^{3} - y^{3} = \dfrac{1}{x + y} \\ x^{2} + y^{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x;y) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right),\left( - \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) hoặc (x;y) = \left( \frac{2\sqrt{5}}{5};\frac{- \sqrt{5}}{5} \right),\left( \frac{- 2\sqrt{5}}{5};\frac{\sqrt{5}}{5} \right)

e, \left\{ \begin{matrix} x^{2}\sqrt{y + 1} - 2xy - 2x = 1 \\ x^{3} - 3x - 3xy = 6 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x;y) = \left( \sqrt[3]{9};\frac{1}{\sqrt[3]{9}} - 1 \right)

f, \left\{ \begin{matrix} xy + x^{2}\sqrt{y} = 2 \\ 2xy^{2} + \left( x^{3} + 2x - 3 \right)y + x^{3} = 3 \\ \end{matrix} \right.

Đáp số: (x;y) = (1;1),\left( \frac{1}{\sqrt[3]{3}};\frac{4}{\sqrt[3]{9}} \right)

(Để xem tiếp tài liệu mời tải tài liệu về)

----------------------------------------------------

❓ FAQ – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Đây là hệ gồm: 👉 Hai phương trình chứa hai ẩn số thường ký hiệu là x và y.

2. Những phương pháp giải hệ phương trình thường dùng là gì?

  • Phương pháp thế
  • Phương pháp cộng đại số
  • Đặt ẩn phụ trong bài nâng cao

Chọn file muốn tải về:

Bài tập nâng cao hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

290,6 KB

  • Tải tài liệu định dạng .doc

    506,5 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
Đang cập nhật / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
3.308 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này