Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp học sinh làm quen với kỹ năng giải hệ phương trình và áp dụng vào các bài toán thực tế. Với bài tập nâng cao, học sinh sẽ được rèn luyện tư duy logic, khả năng biến đổi linh hoạt và kỹ năng suy luận nhanh chóng. Bài viết này tổng hợp những dạng bài tập phương trình bậc nhất hai ẩn nâng cao kèm lời giải chi tiết, giúp bạn chinh phục các đề kiểm tra và ôn thi hiệu quả.

• Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
• Bộ đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn được chia làm hai phần chính: Lý thuyết và bài tập vận dụng:

• Phần lý thuyết sẽ nhắc lại ngắn gọn nội dung của bài học: Phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Phần bài tập sẽ đưa ra một số dạng bài tập nâng cao với ví dụ có lời giải và bài tập vận dụng.

Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh củng cố lại kiến thức về bài tập đã học trên lớp đồng thời giúp các bạn nâng cao thêm kỹ năng giải Toán.

Nội dung của Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết, a khác 0 hoặc b khác 0 và x, y là các ẩn.

2. Nhận xét

Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi một đường thẳng:

• Với \(a \neq 0\) và \(b \neq 0\) , khi đó phương trình có dạng \(ax + by = c\) và đường thẳng \(y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\) là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ. Đó là đồ thị của hàm số bậc nhất.
• Với \(a = 0\) và \(b \neq 0\) , khi đó phương trình có dạng \(by = c\) và đường thẳng \(y = \frac{c}{b}\) là đường thẳng song song với trục hoành. Đó là đồ thị của hàm hằng.
• Với \(a \neq 0\) và \(b = 0\) , khi đó phương trình có dạng \(ax = c\) và đường thẳng \(x = \frac{c}{a}\) là đường thẳng song song với trục tung. Đó là đồ thị của hàm hằng.

B. Bài tập vận dụng phương trình bậc nhất hai ẩn

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \((m - 3)x + (2m - 1)y = 2\) luôn đi qua một điểm cố định \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) với mọi \(m\) là:

\((m - 3)x_{0} + (2m - 1)y_{0} = 2\) với mọi \(m\)

\(\Leftrightarrow mx_{0} - 3x_{0} + 2my_{0} - y_{0} - 2 = 0\) với mọi \(m\)

\(\Leftrightarrow \left( x_{0} + 2y_{0} \right)m - \left( 3x_{0} + y_{0} + 2 \right) = 0\)với mọi \(m\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} + 2y_{0} = 0 \\3x_{0} + y_{0} + 2 = 0 \\\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - \frac{4}{5} \\y_{0} = \frac{2}{5} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( - \frac{4}{5};\frac{2}{5}\right)\)

Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định \(M\).

b. Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng (1).

Nếu \(m = 3\) thì (1) trở thành \(5y = 2\), ta có \(h = \frac{2}{5}\)(2)

\(m = \frac{1}{2}\) thì (1) trở thành \(- \frac{5}{2}x = 2\), ta có \(h = \frac{4}{5}\)(3)

\(m \neq \frac{1}{2};3\) thì (1) có dạng \((m - 3)x + (2m - 1)y = 2\).

Gọi \(A\) là giao điểm của (1) với trục tung.

Với \(x = 0\) thì \(y = \frac{2}{2m - 1}\), do đó \(OA = \left| \frac{2}{2m - 1} \right|\).

Gọi \(B\) là giao điểm của (1) với trục tung.

Với \(y = 0\) thì \(y = \frac{2}{m - 3}\), do đó \(OB = \left| \frac{2}{m - 3} \right|\).

Lúc này \(\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}}\)

\(= \frac{3m^{2} - 2m + 10}{4}\)\(= \frac{3\left\lbrack \left( m^{2} - 2.m.\frac{1}{3} + \frac{1}{9} \right) + \frac{29}{9} \right\rbrack}{4}\)

Hay \(\frac{1}{h^{2}} \geq \frac{29}{12} \Rightarrow h^{2} \leq \frac{12}{29}\)(4)

Từ (1), (2), (3) suy ra Max\(h = \frac{4}{5}\) khi \(m = \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

a. Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A\((2m + 1;0)\)

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B\((0; - 2m - 1)\)

Ta có: \(\Delta\)AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: \(\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}}\)

Hay \(2 = \frac{1}{x_{A}^{2}} + \frac{1}{y_{B}^{2}} \Leftrightarrow 2 = \frac{2}{(2m + 1)^{2}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 1 \end{matrix} \right.\)

b. Hoành độ trung điểm I của AB: \(x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2m + 1}{2}\)

Tung độ trung điểm I của AB: \(y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{- (2m + 1)}{2}\)

Ta có: \(y_{I} = - x_{I} \Rightarrow\) Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng \(y = - x\).

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(x_o,y_o) là:

(m – 2)x_o + (m – 1)y_o = 1, với mọi m

\(\Leftrightarrow\) mx_o – 2x_o + my_o – y_o – 1 = 0, với mọi m

\(\Leftrightarrow\) (x_o + y_o)m – (2x_o + y_o + 1) = 0 với mọi m

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{ \begin{matrix} x_{o} + y_{o} = 0 \\ 2x_{o} + y_{o} + 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{o} = - 1 \\ y_{o} = 1 \end{matrix} \right.\)

Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).

b. + Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1

do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)

+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1

do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)

+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung.

Ta có: x = 0 \(\Rightarrow\) y = \(\frac{1}{m - 1}\), do đó OA = \(\frac{1}{|m - 1|}\).

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành.

Ta có: y = 0 \(\Rightarrow\) x = \(\frac{1}{m - 2}\), do đó OB = \(\frac{1}{|m - 2|}\)

Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d). Ta có:

\(\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} +\frac{1}{OB^{2}} = (m - 1)^{2} + (m - 2)^{2}\)

\(= 2m^{2} - 6m + 5 = 2(m -\frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}\).

Suy ra h² 2, max h = \(\sqrt{2}\) khi và chỉ khi m = \(\frac{3}{2}\). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = \(\sqrt{2}\) khi và chỉ khi m = \(\frac{3}{2}\).

Áp dụng:

Bài 1: Cho đường thẳng \((m - 3)x + (2m - 1)y = 2\) (với \(m\)là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

b. Tìm giá trị của \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Bài 2: Cho đường thẳng \((4m - 5)x + (3m + 1)y = 1\) (với \(m\) là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

b. Tìm giá trị của \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Bài 3: Cho đường thẳng \((2m + 1)x + (2m - 1)y = 4\) (với \(m\)là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

b. Tìm giá trị của \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Bài 4: Cho đường thẳng \((5m + 8)x + (6m - 1)y = 9\) (với \(m\)là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

b. Tìm giá trị của \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Lời giải:

Với \(b = 0,c = 0\), ta có đường thẳng (1), (2) trở thành \(4x = 0\)và \(- 3y = 0\). Hai đường thẳng này không trùng nhau (loại).

Với \(b = 0,c \neq 0\), ta có đường thẳng (1), (2) trở thành \(4x + c = 0\)và \(\frac{c}{3}x - y + 3 = 0\). Để hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{matrix} 4 = \frac{c}{3} \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{4}{3} \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\)(Vô lý)

Với \(b \neq 0,c \neq 0\), ta có đường thẳng (1), (2) trở thành \(y = - \frac{4}{b}x - \frac{c}{b}\) và \(y = \frac{c}{3}x + 3\).

Để hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{matrix}- \dfrac{4}{b} = \dfrac{c}{3} \\- \dfrac{c}{b} = 3 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}b = 2 \\c = - 6 \\\end{matrix} \right.\ \\\left\{ \begin{matrix}b = - 2 \\c = 6 \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.\).

Áp dụng:

Bài 1: Tìm các giá trị của \(b,c\) để đường thẳng \(bx + 5y + c = 0\) (1) và \(- 7x - cy + 10 = 0\) (2) trùng nhau.

Bài 2: Tìm các giá trị của \(b,c\) để đường thẳng \(3x + 2by + 5c = 0\) (1) và \(9cx - 3y + 4 = 0\) (2) trùng nhau.

Bài 3: Tìm các giá trị của \(b,c\) để đường thẳng \(5x + 8y + 6c = 0\) (1) và \(2cx - 7y + 11 = 0\) (2) trùng nhau.

Bài 4: Tìm các giá trị của \(b,c\) để đường thẳng \(5x + 3by + c = 0\) (1) và \(11cx - y + 6 = 0\) (2) trùng nhau.

Bài 5: Tìm các giá trị của \(b,c\) để đường thẳng \(3x + 5by + 4c = 0\) (1) và \(9cx - 7y + 16 = 0\) (2) trùng nhau.

(Để xem tiếp tài liệu mời tải tài liệu về)

----------------------------------------------------

Việc luyện tập bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn không chỉ giúp học sinh nắm vững công thức, phương pháp giải, mà còn phát triển tư duy giải quyết vấn đề một cách chủ động. Khi đã thành thạo, bạn sẽ dễ dàng vận dụng để xử lý các bài toán tổng hợp, bài toán có yếu tố thực tế hoặc các dạng bài trong kỳ thi vào 10. Hãy kiên trì luyện tập theo từng dạng bài, đối chiếu đáp án chi tiết để tự kiểm tra tiến bộ và củng cố kiến thức Toán 9 một cách chắc chắn.