Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập nâng cao Toán 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn
B. Bài tập vận dụng phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp học sinh làm quen với kỹ năng giải hệ phương trình và áp dụng vào các bài toán thực tế. Với bài tập nâng cao, học sinh sẽ được rèn luyện tư duy logic, khả năng biến đổi linh hoạt và kỹ năng suy luận nhanh chóng. Bài viết này tổng hợp những dạng bài tập phương trình bậc nhất hai ẩn nâng cao kèm lời giải chi tiết, giúp bạn chinh phục các đề kiểm tra và ôn thi hiệu quả.

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
Bộ đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn được chia làm hai phần chính: Lý thuyết và bài tập vận dụng:

Phần lý thuyết sẽ nhắc lại ngắn gọn nội dung của bài học: Phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phần bài tập sẽ đưa ra một số dạng bài tập nâng cao với ví dụ có lời giải và bài tập vận dụng.

Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh củng cố lại kiến thức về bài tập đã học trên lớp đồng thời giúp các bạn nâng cao thêm kỹ năng giải Toán.

Nội dung của Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết, a khác 0 hoặc b khác 0 và x, y là các ẩn.

2. Nhận xét

Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi một đường thẳng:

Với $a \neq 0$ và $b \neq 0$ , khi đó phương trình có dạng và đường thẳng $y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$ là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ. Đó là đồ thị của hàm số bậc nhất.
Với và $b \neq 0$ , khi đó phương trình có dạng và đường thẳng $y = \frac{c}{b}$ là đường thẳng song song với trục hoành. Đó là đồ thị của hàm hằng.
Với $a \neq 0$ và , khi đó phương trình có dạng và đường thẳng $x = \frac{c}{a}$ là đường thẳng song song với trục tung. Đó là đồ thị của hàm hằng.

B. Bài tập vận dụng phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (m - 3)x + (2m - 1)y = 2 (với m là tham số) (1)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m - 3)x + (2m - 1)y = 2 luôn đi qua một điểm cố định M(x₀; y₀) với mọi m là:

(m - 3)x₀ + (2m - 1)y₀ = 2 với mọi m

⇔ mx₀ - 3x₀ + 2my₀ - 2 = 0 với mọi m

⇔ (x₀ + 2y₀)m - (3x₀ + y₀ + 2) = 0 với mọi m

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} + 2y_{0} = 0 \\3x_{0} + y_{0} + 2 = 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - \frac{4}{5} \\y_{0} = \frac{2}{5} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( - \frac{4}{5};\frac{2}{5}\right)$

Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định M.

b. Gọi là khoảng cách từ O đến đường thẳng (1).

Nếu m = 3 thì (1) trở thành 5y = 2, ta có $h = \frac{2}{5}$ (2)

$m = \frac{1}{2}$ thì (1) trở thành $- \frac{5}{2}x = 2$ , ta có $h = \frac{4}{5}$ (3)

$m \neq \frac{1}{2};3$ thì (1) có dạng (m - 3)x + (2m - 1)y = 2.

Gọi A là giao điểm của (1) với trục tung.

Với x = 0 thì $y = \frac{2}{2m - 1}$ , do đó $OA = \left| \frac{2}{2m - 1} \right|$ .

Gọi B là giao điểm của (1) với trục tung.

Với y = 0 thì $y = \frac{2}{m - 3}$ , do đó $OB = \left| \frac{2}{m - 3} \right|$ .

Lúc này $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}}$ $= \frac{3m^{2} - 2m + 10}{4}$ $= \frac{3\left\lbrack \left( m^{2} - 2.m.\frac{1}{3} + \frac{1}{9} \right) + \frac{29}{9} \right\rbrack}{4}$

Hay $\frac{1}{h^{2}} \geq \frac{29}{12} \Rightarrow h^{2} \leq \frac{12}{29}$ (4)

Từ (1), (2), (3) suy ra Max $h = \frac{4}{5}$ khi $m = \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2. Cho hàm số: y = x - 2m - 1; với tham số.

a) Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để $OH = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) Tìm quỹ tích (tập hợp) trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải

a. Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A(2m + 1; 0)

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B(0; -2m - 1)

Ta có: $\Delta$ AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: $\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}}$

Hay $2 = \frac{1}{x_{A}^{2}} + \frac{1}{y_{B}^{2}} \Leftrightarrow 2 = \frac{2}{(2m + 1)^{2}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 1 \end{matrix} \right.$

b. Hoành độ trung điểm I của AB: $x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2m + 1}{2}$

Tung độ trung điểm I của AB: $y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{- (2m + 1)}{2}$

Ta có: y_I = -x_I=> Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng y = -x.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) với m là tham số

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(x_o,y_o) là:

(m – 2)x_o + (m – 1)y_o = 1, với mọi m

$\Leftrightarrow$ mx_o – 2x_o + my_o – y_o – 1 = 0, với mọi m

$\Leftrightarrow$ (x_o + y_o)m – (2x_o + y_o + 1) = 0 với mọi m

$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} x_{o} + y_{o} = 0 \\ 2x_{o} + y_{o} + 1 = 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{o} = - 1 \\ y_{o} = 1 \end{matrix} \right.$

Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).

b. + Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1

do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)

+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1

do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)

+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung.

Ta có: x = 0 $\Rightarrow$ y = $\frac{1}{m - 1}$ , do đó OA = $\frac{1}{|m - 1|}$ .

Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành.

Ta có: y = 0 $\Rightarrow$ x = $\frac{1}{m - 2}$ , do đó OB = $\frac{1}{|m - 2|}$

Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d). Ta có:

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} +\frac{1}{OB^{2}} = (m - 1)^{2} + (m - 2)^{2}$

$= 2m^{2} - 6m + 5 = 2(m -\frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$ .

Suy ra h² 2, max h = $\sqrt{2}$ khi và chỉ khi m = $\frac{3}{2}$ . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = $\sqrt{2}$ khi và chỉ khi m = $\frac{3}{2}$ .

Áp dụng:

Bài 1: Cho đường thẳng (m - 3)x + (2m - 1)y = 2 (với m là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của .

b. Tìm giá trị của để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Bài 2: Cho đường thẳng (4m - 5)x + (3m + )y = 1 (với là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của .

b. Tìm giá trị của để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Bài 3: Cho đường thẳng (2m + 1)x + (2m - 1)y = 4 (với là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của .

b. Tìm giá trị của để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Bài 4: Cho đường thẳng (5m + 8)x + (6m - 1)y = 9 (với m là tham số) (1)

a. Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của .

b. Tìm giá trị của để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (1) là lớn nhất.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của b,c để đường thẳng 4x + by + c = 0 (1) và cx - 3y + 9 = 0 (2) trùng nhau.

Lời giải:

Với b = 0; c = 0, ta có đường thẳng (1), (2) trở thành 4x = 0 và -3y = 0. Hai đường thẳng này không trùng nhau (loại).

Với b = 0; c ≠ 0, ta có đường thẳng (1), (2) trở thành 4x + c = 0 và $\frac{c}{3}x - y + 3 = 0$ . Để hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{matrix} 4 = \frac{c}{3} \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{4}{3} \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.$ (Vô lý)

Với b ≠ 0; c ≠ 0, ta có đường thẳng (1), (2) trở thành $y = - \frac{4}{b}x - \frac{c}{b}$ và $y = \frac{c}{3}x + 3$ .

Để hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{matrix}- \dfrac{4}{b} = \dfrac{c}{3} \\- \dfrac{c}{b} = 3 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}b = 2 \\c = - 6 \\\end{matrix} \right.\ \\\left\{ \begin{matrix}b = - 2 \\c = 6 \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.$ .

Áp dụng:

Bài 1: Tìm các giá trị của b,c để đường thẳng bx + 5y + c = 0 (1) và -7x - cy + 10 = 0 (2) trùng nhau.

Bài 2: Tìm các giá trị của b ,c để đường thẳng 3x +2by + 5c = 0 (1) và 9cx - 3y + 4 = 0 (2) trùng nhau.

Bài 3: Tìm các giá trị của b, c để đường thẳng 5x + 8y + 6c = 0 (1) và 2cx - 7y + 11 = 0 (2) trùng nhau.

Bài 4: Tìm các giá trị của b,c để đường thẳng 5x + 3by + c = 0 (1) và 11cx - y + 6 = 0 (2) trùng nhau.

Bài 5: Tìm các giá trị của b, c để đường thẳng 3x + 5by + 4c = 0 (1) và 9cx - 7y + 16 = 0 (2) trùng nhau.

(Để xem tiếp tài liệu mời tải tài liệu về)

----------------------------------------------------

❓ FAQ – Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Là phương trình có dạng: ax + by = c trong đó x,y là hai ẩn số và a,b không đồng thời bằng 0.

2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có mấy nghiệm?

Có 3 trường hợp:

Một nghiệm duy nhất
Vô số nghiệm
Vô nghiệm

3. Làm sao nhận biết hệ có nghiệm duy nhất?

Khi hai đường thẳng biểu diễn hệ: 👉 Cắt nhau tại một điểm.

4. Những dạng bài nâng cao thường gặp là gì?

Biện luận hệ theo tham số
Tìm điều kiện để hệ có nghiệm
Bài toán thực tế lập hệ phương trình
Tìm giá trị của tham số m

5. Có những phương pháp nào để giải hệ phương trình?

Hai cách phổ biến:

Phương pháp thế
Phương pháp cộng đại số

6. Khi nào nên dùng phương pháp thế?

Nên dùng khi:

Một phương trình dễ biểu diễn theo một ẩn
Hệ có hệ số đơn giản

7. Khi nào nên dùng phương pháp cộng đại số?

Phù hợp khi:

Có thể khử nhanh một ẩn
Hệ có hệ số đối nhau hoặc dễ nhân thêm

8. Sai lầm thường gặp khi giải hệ phương trình là gì?

Biến đổi sai dấu
Tính toán nhầm hệ số
Kết luận thiếu điều kiện

9. Dạng toán này có thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?

Có. Đây là chuyên đề quan trọng:

Xuất hiện thường xuyên trong đề thi
Có cả câu cơ bản và nâng cao

------------------------------------------

Việc luyện tập bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn không chỉ giúp học sinh nắm vững công thức, phương pháp giải, mà còn phát triển tư duy giải quyết vấn đề một cách chủ động. Khi đã thành thạo, bạn sẽ dễ dàng vận dụng để xử lý các bài toán tổng hợp, bài toán có yếu tố thực tế hoặc các dạng bài trong kỳ thi vào 10. Hãy kiên trì luyện tập theo từng dạng bài, đối chiếu đáp án chi tiết để tự kiểm tra tiến bộ và củng cố kiến thức Toán 9 một cách chắc chắn.

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

222,6 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
272,4 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Su kem

4.024

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

B. Bài tập vận dụng phương trình bậc nhất hai ẩn

❓ FAQ – Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có mấy nghiệm?

3. Làm sao nhận biết hệ có nghiệm duy nhất?

4. Những dạng bài nâng cao thường gặp là gì?

5. Có những phương pháp nào để giải hệ phương trình?

6. Khi nào nên dùng phương pháp thế?

7. Khi nào nên dùng phương pháp cộng đại số?

8. Sai lầm thường gặp khi giải hệ phương trình là gì?

9. Dạng toán này có thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?

Bài tập nâng cao phương trình bậc nhất hai ẩn

Tải tài liệu định dạng .doc

Có thể bạn quan tâm

Bộ chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10 đầy đủ các dạng bài

Chuyên đề Toán 9 Kết nối tri thức

Chuyên đề Toán 9 Chân trời sáng tạo

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10