Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình
Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt thường gặp trong các đề thi vào lớp 10. Dạng bài này giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy, vận dụng định lý Vi-ét và các kỹ thuật biến đổi biểu thức thông minh. Thay vì giải phương trình để tìm nghiệm, học sinh sẽ khai thác mối liên hệ giữa các nghiệm để tính giá trị biểu thức một cách nhanh chóng. Cùng khám phá cách giải hiệu quả và ví dụ minh họa rõ ràng trong chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10 dưới đây.
A. Cách tính giá trị của biểu thức đối xứng
Phương pháp giải
Bước 1. Chứng tỏ phương trình bậc hai luôn có nghiiệm.
Bước 2. Áp dụng hệ thức Viète: 
\(\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a}\end{matrix} \right.\)
Bước 3. Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng \(x_{1} + x_{2}\) và \(x_{1}.x_{2}\) rồi áp dụng bước 2.
B. Một số công thức thường sử dụng
\(A^{2} - B^{2} = (A - B)(A +
B)\) \(A^{2} + B^{2} = (A + B)^{2} -
2AB\)
\((A - B)^{2} = (A + B)^{2} -
4AB\) \(A^{2} + B^{2} = (A + B)\left( A^{2} +
B^{2} - AB \right)\)
\(A^{3} - B^{3} = (A - B)\left( A^{2} +
B^{2} + AB \right)\) \(|A| = | - A|\)
\(|A|^{2} = A^{2}\) \(|A \pm B|^{2} = (A \pm
B)^{2}\)
C. Bài tập minh họa tính giá trị của biểu thức nghiệm phương trình bậc hai
Bài tập 1. Gọi \(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(x^{2} + 5x - 2 =
0\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:
| a) \(A = \frac{1}{x_{1}} +
\frac{1}{x_{2}}\) |
b) \(B = {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2}\) |
c) \(C = \frac{1}{{x_{1}}^{2}} +
\frac{1}{{x_{2}}^{2}}\) |
| d) \(D = {x_{1}}^{3} +
{x_{2}}^{3}\) |
e) \(E = \frac{1}{{x_{1}}^{3}} +
\frac{1}{{x_{2}}^{3}}\) |
f) \(F = \left| x_{1} - x_{2}
\right|\) |
Hướng dẫn giải
Ta có: \(x^{2} + 5x - 2 = 0\)
\(\Delta = 5^{2} - 4.( - 2).1 = 33 >
0\) suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - 5 \\
x_{1}.x_{2} = - 2
\end{matrix} \right.\)
a) Ta có: \(A = \frac{1}{x_{1}} +
\frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{- 5}{- 2} =
\frac{5}{2}\)
b) Ta có: \(B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} =
\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 5^{2} - 2.( - 2) =
29\)
c) Ta có:
\(C = \frac{1}{{x_{1}}^{2}} +
\frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2}}{{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}}\) \(= \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2}
- 2x_{1}.x_{2}}{{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}} = \frac{5^{2} - 2.( - 2)}{( -
2)^{2}} = \frac{29}{4}\)
d) Ta có:
\(D = {x_{1}}^{3} +
{x_{2}}^{3}\) \(= \left( x_{1} + x_{2} \right)\left(
{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} \right)\)\(= - 155\)
e) Ta có: \(E = \frac{1}{{x_{1}}^{3}} +
\frac{1}{{x_{2}}^{3}} = \frac{{x_{1}}^{3} +
{x_{2}}^{3}}{{x_{1}}^{3}.{x_{2}}^{3}} = \frac{C}{( - 2)^{3}} =
\frac{155}{8}\)
f) Ta có: \(F = \left| x_{1} - x_{2}
\right|\)
\(\Rightarrow F^{2} = \left( x_{1} - x_{2}
\right)^{2} = {x_{1}}^{2} - 2x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} +
x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}\)
\(\Rightarrow F^{2} = ( - 5)^{2} - 4.( - 2)
= 33 \Rightarrow F = \sqrt{33}\) vì \(F
> 0\)
Bài tập 2. Gọi \(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(x^{2} - 3x - 7 =
0\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:
a) \(M = {x_{1}}^{4} +
{x_{2}}^{4}\) b) \(B = \left( 3x_{1} + x_{2}
\right)\left( 3x_{2} + x_{1} \right)\)
Hướng dẫn giải
Xét phương trình \(x^{2} - 3x - 7 =
0\)
Vì \(ac = - 7 < 0\) suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 3 \\
x_{1}.x_{2} = - 7
\end{matrix} \right.\)
a) Ta có:
\(M = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left(
{x_{1}}^{2} \right)^{2} + \left( {x_{2}}^{2} \right)^{2}\) \(= \left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}
\right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\)
\(= \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
\right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} \right\rbrack^{2} -
2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}\) \(= \left\lbrack 3^{2} - 2.( - 7)
\right\rbrack^{2} - 2( - 7)^{2} = 431\)
b) Ta có:
\(B = \left( 3x_{1} + x_{2} \right)\left(
3x_{2} + x_{1} \right)\) \(= 9x_{1}.x_{2} + 3x_{1} + 3{x_{1}}^{2} +
3{x_{2}}^{2} + x_{1}.x_{2}\)
\(= 3\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
\right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} \right\rbrack + 10x_{1}.x_{2}\)\(= 1\)
D. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Gọi \(x_{1};x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(3x^{2} + 5x - 6
= 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:
a) \(P = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} +
\frac{x_{2} + 2}{x_{2}}\) b) \(Q = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} +
\frac{x_{1}}{x_{2} - 1}\)
Bài tập 2. Cho phương trình \(x^{2} - 12x +
4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_{1};x_{2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(P =
\frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\sqrt{x_{1}} +
\sqrt{x_{2}}}\).
Bài tập 3. Cho phương trình \(x^{2} + 3x -
1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \(x_{1};x_{2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{\left|
x_{1} - x_{2} \right|}{{x_{1}}^{2}x_{2} +
x_{1}{x_{2}}^{2}}\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
----------------------------------------------------------------
Qua bài viết này, các em đã nắm được phương pháp tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không cần giải phương trình, dựa trên mối liên hệ giữa các nghiệm theo định lý Vi-ét. Đây là một kỹ năng quan trọng, không chỉ giúp giải nhanh bài tập trong các đề thi vào lớp 10 mà còn giúp rèn luyện khả năng tư duy logic và kỹ năng biến đổi biểu thức.
Để học tốt hơn, học sinh nên luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự và kết hợp ôn tập với các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 khác như: phương trình bậc hai, bất phương trình, hệ phương trình, đồ thị hàm số... Việc học đều và đúng trọng tâm sẽ giúp các em tự tin chinh phục kỳ thi tuyển sinh. Hãy lưu lại bài viết, chia sẻ cho bạn bè cùng học, và tiếp tục khám phá nhiều nội dung chất lượng khác trên website của chúng tôi!
