VnDoc.com

Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

A. Cách tính giá trị của biểu thức đối xứng
B. Một số công thức thường sử dụng
C. Bài tập minh họa tính giá trị của biểu thức nghiệm phương trình bậc hai
D. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt thường gặp trong các đề thi vào lớp 10. Dạng bài này giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy, vận dụng định lý Vi-ét và các kỹ thuật biến đổi biểu thức thông minh. Thay vì giải phương trình để tìm nghiệm, học sinh sẽ khai thác mối liên hệ giữa các nghiệm để tính giá trị biểu thức một cách nhanh chóng. Cùng khám phá cách giải hiệu quả và ví dụ minh họa rõ ràng trong chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10 dưới đây.

A. Cách tính giá trị của biểu thức đối xứng

Phương pháp giải

Bước 1. Chứng tỏ phương trình bậc hai luôn có nghiệm.

Bước 2. Áp dụng hệ thức Viète: $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a}\end{matrix} \right.$

Bước 3. Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}.x_{2}$ rồi áp dụng bước 2.

B. Một số công thức thường sử dụng

$A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B)$ $A^{2} + B^{2} = (A + B)^{2} - 2AB$

$(A - B)^{2} = (A + B)^{2} - 4AB$ $A^{2} + B^{2} = (A + B)\left( A^{2} + B^{2} - AB \right)$

$A^{3} - B^{3} = (A - B)\left( A^{2} + B^{2} + AB \right)$

$|A|^{2} = A^{2}$ $|A \pm B|^{2} = (A \pm B)^{2}$

C. Bài tập minh họa tính giá trị của biểu thức nghiệm phương trình bậc hai

Bài tập 1. Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} + 5x - 2 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$	b) $B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$	c) $C = \frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}}$
d) $D = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$	e) $E = \frac{1}{{x_{1}}^{3}} + \frac{1}{{x_{2}}^{3}}$	f) $F = \left\| x_{1} - x_{2} \right\|$

Hướng dẫn giải

Ta có: $x^{2} + 5x - 2 = 0$

$\Delta = 5^{2} - 4.( - 2).1 = 33 > 0$ suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1}.x_{2} = - 2 \end{matrix} \right.$

a) Ta có: $A = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{- 5}{- 2} = \frac{5}{2}$

b) Ta có: $B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 5^{2} - 2.( - 2) = 29$

c) Ta có:

$C = \frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}}$ $= \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}}{{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}} = \frac{5^{2} - 2.( - 2)}{( - 2)^{2}} = \frac{29}{4}$

d) Ta có:

$D = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} \right)$

e) Ta có: $E = \frac{1}{{x_{1}}^{3}} + \frac{1}{{x_{2}}^{3}} = \frac{{x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}}{{x_{1}}^{3}.{x_{2}}^{3}} = \frac{C}{( - 2)^{3}} = \frac{155}{8}$

f) Ta có: $F = \left| x_{1} - x_{2} \right|$

$\Rightarrow F^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = {x_{1}}^{2} - 2x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}$

$\Rightarrow F^{2} = ( - 5)^{2} - 4.( - 2) = 33 \Rightarrow F = \sqrt{33}$ vì F > 0.

Bài tập 2. Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3x - 7 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

a) $M = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4}$ b) $B = \left( 3x_{1} + x_{2} \right)\left( 3x_{2} + x_{1} \right)$

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x² - 3x - 7 = 0

Vì ac = -7 < 0 suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 3 \\ x_{1}.x_{2} = - 7 \end{matrix} \right.$

a) Ta có:

$M = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left( {x_{1}}^{2} \right)^{2} + \left( {x_{2}}^{2} \right)^{2}$ $= \left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$

$= \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} \right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$ $= \left\lbrack 3^{2} - 2.( - 7) \right\rbrack^{2} - 2( - 7)^{2} = 431$

b) Ta có:

$B = \left( 3x_{1} + x_{2} \right)\left( 3x_{2} + x_{1} \right)$ $= 9x_{1}.x_{2} + 3x_{1} + 3{x_{1}}^{2} + 3{x_{2}}^{2} + x_{1}.x_{2}$

$= 3\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} \right\rbrack + 10x_{1}.x_{2}$

D. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1. Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $3x^{2} + 5x - 6 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

a) $P = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} + \frac{x_{2} + 2}{x_{2}}$ b) $Q = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{1}}{x_{2} - 1}$

Bài tập 2. Cho phương trình $x^{2} - 12x + 4 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1};x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}}$ .

Bài tập 3. Cho phương trình $x^{2} + 3x - 1 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1};x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $Q = \frac{\left| x_{1} - x_{2} \right|}{{x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}}$ .

Bài tập 4. Cho phương trình $2x^{2} - 3x - 6 = 0$ . Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ . Tính ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ và $x_{1}\ ^{3} + x_{2}\ ^{3}$ .

Bài tập 5. Cho phương trình $x^{2} - 6x + 8 = 0$ .

Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $M = x_{1}\ ^{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}$ , với $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn: Chứng minh phương trình có nghiệm.

Ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Bài tập 6. Cho phương trình $x^{2} - x + m - 1 = 0$ (*).

a) Tìm đế phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ .

b) Hãy tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ theo .

Hướng dẫn:

*) Phương trình đã cho có hai nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta \geq 0 \end{matrix} \right.$ (không cần hai nghiệm phân biệt).

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Bài tập 7. Theo phương trình $3x^{2} + 2x - 6 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức A $\ A = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}$ ; trong đó $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Bài tập 8. Cho phương trình $3x^{2} - 7x - 4 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình, hãy tính.

a) $A = \left| x_{1} - x_{2} \right|$ b) $B = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}}$

Hướng dẫn:

1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm.

2. Áp dụng định lí Vi-et, tính:

$A^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$ . Từ đó tính A.

Bài tập 9. Cho phương trình $x^{2} - 2x + m + 2 = 0$ . Tìm để phương trình có nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ .

Hướng dẫn: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, áp dụng hệ thức Viète tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ qua $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$

Bài tập 10. Cho phương trình $x^{2} - 2mx + 2m - 3 = 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ trong đó $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn: Trước hết phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm sau đó áp dụng hệ thức Viète để tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ qua các hệ số.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1

Ta có: nên phương trình luôn có hai nghiệm khác dấu.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{3} \\ x_{1}.x_{2} = - 2 \end{matrix} \right.$

a) Ta có:

$P = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} + \frac{x_{2} + 2}{x_{2}} = \frac{x_{2}\left( x_{1} + 2 \right) + x_{1}\left( x_{2} + 2 \right)}{x_{1}x_{2}}$

$= \frac{x_{1}x_{2} + 2x_{2} + x_{1}x_{2} + 2x_{1}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$

$= \frac{2\left( \frac{- 5}{3} \right) + 2.( - 2)}{- 2} = \frac{11}{3}$

b) Ta có:

$Q = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{1}}{x_{2} - 1} = \frac{x_{2}\left( x_{2} - 1 \right) + x_{1}\left( x_{1} - 1 \right)}{\left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2} - 1 \right)}$

$= \frac{{x_{1}}^{2} - x_{1} + {x_{2}}^{2} - x_{2}}{x_{1}x_{2} - x_{1} - x_{2} + 1} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)}{x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1}$

$= \frac{\left( - \frac{5}{3} \right)^{2} - 2.( - 2) - \left( - \frac{5}{3} \right)}{- 2 - \left( - \frac{5}{3} \right) + 1} = \frac{38}{3}$ .

Bài tập 2.

Vì $\Delta' = ( - 6)^{2} - 1.4 = 32 > 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 12 > 0 \\ x_{1}.x_{2} = 4 > 0 \end{matrix} \right.$ do đó phương trình có hai nghiệm dương.

Ta có:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = 12^{2} - 2.4 = 136$

$\left( \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} \right)^{2} = x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 12 + 2\sqrt{4} = 16$

$\Rightarrow \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = 4;\left( \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} > 0 \right)$

Vậy $P = \frac{136}{4} = 34$ .

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

----------------------------------------------------------------

Qua bài viết này, các em đã nắm được phương pháp tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không cần giải phương trình, dựa trên mối liên hệ giữa các nghiệm theo định lý Vi-ét. Đây là một kỹ năng quan trọng, không chỉ giúp giải nhanh bài tập trong các đề thi vào lớp 10 mà còn giúp rèn luyện khả năng tư duy logic và kỹ năng biến đổi biểu thức.

Để học tốt hơn, học sinh nên luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự và kết hợp ôn tập với các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 khác như: phương trình bậc hai, bất phương trình, hệ phương trình, đồ thị hàm số... Việc học đều và đúng trọng tâm sẽ giúp các em tự tin chinh phục kỳ thi tuyển sinh. Hãy lưu lại bài viết, chia sẻ cho bạn bè cùng học, và tiếp tục khám phá nhiều nội dung chất lượng khác trên website của chúng tôi!

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình

487,7 KB

File word

Chia sẻ bởi:
Su kem

1

105

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!