Không dùng máy tính sắp xếp các tỉ số lượng giác theo yêu cầu
Cách sắp xếp tỉ số lượng giác của góc nhọn không dùng máy tính
Trong chương trình Toán 9, việc nắm vững tỉ số lượng giác của góc nhọn là nền tảng quan trọng để học tốt phần Hình học và chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10. Một trong những dạng toán thường gặp là sắp xếp các tỉ số lượng giác theo yêu cầu mà không dùng máy tính. Đây là dạng bài rèn luyện khả năng tư duy logic, kỹ năng biến đổi và so sánh các giá trị lượng giác, đồng thời giúp học sinh củng cố bản chất của sin, cos, tan, cot trong tam giác vuông.
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách nhận diện dạng toán, phương pháp sắp xếp nhanh chóng và hiệu quả, đi kèm ví dụ minh họa cụ thể để học sinh dễ hiểu và vận dụng.
A. Kiến thức cần nhớ để sắp xếp tỉ số lượng giác
- Với hai góc nhọn
\(\alpha,\beta\) và \(\alpha + \beta = 90{^\circ}\) thì
\(\sin\alpha = \cos\beta;\ \ \cos\alpha =
\sin\beta;\ \ \tan\alpha = \tan\beta;\ \ \cot\alpha =
\cot\beta\).
- Với góc nhọn \(\alpha \left( {0^\circ < \alpha < 90^\circ } \right)\), ta có
\(0 < \sin\alpha < 1;0 <
\cos\alpha < 1\).
- Nếu \(\alpha\) tăng thì \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\) tăng; còn \(\cos\alpha\) và \(\cot\alpha\) giảm.
B. Bài tập ví dụ minh họa sắp xếp các tỉ số lượng giác theo thứ tự yêu cầu
Bài tập 1. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không sử dụng máy tính):
a) \(cos48{^\circ},sin25{^\circ},cos62{^\circ},sin75{^\circ},sin48{^\circ}\).
b) \(tan25{^\circ},cot73{^\circ},tan70{^\circ},cot22{^\circ},cot50{^\circ}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(cos48{^\circ} =
sin42{^\circ},cos62{^\circ} = sin28{^\circ}\).
Khi góc nhọn \(\alpha\) tăng dần từ \(0{^\circ}\)đến \(90{^\circ}\) thì \(\sin\alpha\) tăng dần nên:
\(sin25{^\circ} < sin28{^\circ} <
sin42{^\circ} < sin48{^\circ} < sin75{^\circ}\).
\(\Rightarrow sin25{^\circ} <
cos62{^\circ} < cos48{^\circ} < sin48{^\circ} <
sin75{^\circ}\).
Bài tập 2. Sắp xếp các tỉ số lượng giác \(sin40{^\circ},cos67{^\circ},sin35{^\circ},cos44{^\circ}35',sin28{^\circ}10'\) theo thứ tự tăng dần.
A. \(cos67{^\circ} < sin35{^\circ} <
sin38{^\circ}10' < sin40{^\circ} <
cos45{^\circ}25'\).
B. \(cos67{^\circ} <
cos45{^\circ}25' < sin40{^\circ} < sin28{^\circ}10' <
sin35{^\circ}\).
C. \(cos67{^\circ} >
sin28{^\circ}10' > sin35{^\circ} > sin40{^\circ} >
cos45{^\circ}25'\).
D. \(cos67{^\circ} <
sin28{^\circ}10' < sin35{^\circ} < sin40{^\circ} <
cos45{^\circ}25'\).
Hướng dẫn giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
- Trong các góc nhọn góc lớn hơn sin lớn hơn
+ Ta có:
\(cos67{^\circ} =
sin23{^\circ};cos45{^\circ}25' = sin44{^\circ}35'\).
\(sin23{^\circ} < sin35{^\circ} <
sin38{^\circ}10' < sin40{^\circ} <
sin44{^\circ}35'\)
Vậy \(cos67{^\circ} < sin35{^\circ} <
sin38{^\circ}10' < sin40{^\circ} <
cos45{^\circ}25'\)
Vậy A đúng
+ Ta có:
\(cos67{^\circ} =
sin23{^\circ};cos45{^\circ}25' = sin44{^\circ}35'\)
\(cos67{^\circ} < cos45{^\circ}25'
< sin40{^\circ} < sin28{^\circ}10' <
sin35{^\circ}\)
Suy ra \(sin23{^\circ} <
sin44{^\circ}35' < sin40{^\circ} < sin28{^\circ}10' <
sin35{^\circ}\)(Vô lý)
Vậy B sai
+ \(sin35{^\circ} >
sin40{^\circ}\)là sai.
Nên C sai
+\(cos67{^\circ} =
sin23{^\circ};cos45{^\circ}25' = sin44{^\circ}35'\)
\(cos67{^\circ} < sin28{^\circ}10'
< sin35{^\circ} < sin40{^\circ} <
cos45{^\circ}25'\)
\(sin23{^\circ} < sin28{^\circ}10'
< sin35{^\circ} < sin40{^\circ} <
sin44{^\circ}35'\)
Nên D đúng.
C. Bài tập tự ôn tập có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần \(cot70{^\circ};tan33{^\circ};cot55{^\circ};tan28{^\circ};cot40{^\circ}\)?
A. \(tan28{^\circ} < tan33{^\circ} <
cot40{^\circ} < cot55{^\circ} < cot70{^\circ}\).
B. \(tan28{^\circ} < cot70{^\circ} <
tan33{^\circ} < cot55{^\circ} < cot40{^\circ}\).
C. \(cot70{^\circ} < tan28{^\circ} <
tan33{^\circ} < cot55{^\circ} < cot40{^\circ}\).
D. \(cot70{^\circ} > tan28{^\circ} >
tan33{^\circ} > cot55{^\circ} > cot40{^\circ}\).
Bài tập 2. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần (không sử dụng máy tính):
a) \(cos48{^\circ},sin25{^\circ},cos62{^\circ},sin75{^\circ},sin48{^\circ}\).
b) \(tan25{^\circ},cot73{^\circ},tan70{^\circ},cot22{^\circ},cot50{^\circ}\).
Bài tập 3. Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn
a) \(sin24{^\circ},cos35{^\circ},sin54{^\circ},cos70{^\circ},sin78{^\circ}\).
b)\(cot24{^\circ},tan16{^\circ},cot57{^\circ}67',cot30{^\circ},tan80{^\circ}\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-----------------------------------------------------------------
Như vậy, để sắp xếp các tỉ số lượng giác của góc nhọn không dùng máy tính, học sinh cần dựa vào định nghĩa lượng giác trong tam giác vuông, kết hợp với việc phân tích mối quan hệ giữa sin, cos, tan, cot. Khi luyện tập thường xuyên, các em sẽ hình thành thói quen so sánh nhanh, tránh nhầm lẫn, đồng thời tăng cường kỹ năng xử lý dạng toán khó trong đề thi.
Việc thành thạo dạng toán này không chỉ giúp học sinh làm tốt chuyên đề Tỉ số lượng giác Toán 9, mà còn tạo nền tảng vững chắc cho Hình học và Đại số ở bậc THPT. Hãy luyện tập qua nhiều ví dụ, tự xây dựng bảng so sánh và thử thách bản thân với những bài tập nâng cao để đạt hiệu quả học tập tối đa.
