Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Cách giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là nội dung quan trọng khi học về hệ phương trình và các bài toán cần tìm đồng thời nhiều đại lượng chưa biết. Trong chuyên đề này, học sinh Toán 9 sẽ được củng cố khái niệm, nhận biết dạng hệ, tìm nghiệm và vận dụng phương pháp giải vào các bài tập phù hợp. Nội dung được trình bày theo hướng dễ hiểu, có đáp án, giúp học sinh chủ động luyện tập và nâng cao kỹ năng giải toán khi ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

A. Cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\\ {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3} \end{array} \right.\)

Điều kiện \({a_1};{a_2};{a_3};{b_1};{b_2};{b_3};{c_1};{c_2};{c_3}\) không đồng thời bằng 0.

Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, chúng ta thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn. Đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tương tự như vậy, hệ phương trình bậc nhất n ẩn là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l} {a_1}{x_1} + {b_1}{x_2} + ... + {c_1}{x_n} = {d_1}\\ {a_2}{x_1} + {b_2}{x_2} + ... + {c_2}{x_n} = {d_2}\\ ......\\ {a_n}{x_1} + {b_n}{x_2} + ... + {c_n}{x_n} = {d_n} \end{array} \right.\)

Điều kiện \({a_1};{a_2};...;{a_n};{b_1};{b_2};...;{b_n};...;{c_1};{c_2};...;{c_n}\) không đồng thời bằng 0.

Tương tự như trên, ta cũng làm giảm bớt số ẩn bằng cách dùng phương pháp thế, phương pháp cộng.

Tuy nhiên phụ thuộc vào mỗi bài, ta có những cách giải thích hợp và ngắn gọn.

B. Bài tập ví dụ minh họa giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Hướng dẫn giải

Phân tích bài toán:

Phương trình bậc nhất ba ẩn. Ta có thể khử bớt một ẩn để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế:

Cách 1. Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa về hệ phương trình hai ẩn x, y.

Cách 2. Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x và y thế vào phương trình (2) và (3) ta cũng được hệ phương trình hai ẩn x, y.

Lời giải chi tiết

Cách 1. Từ phương trình (1) và (2) ta có: x - 2y = -6

Từ phương trình (2) và (3) ta có: x + 3y = 9

Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = - 6\\ x + 3y = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5y = 15\\ x + 3y = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 3 \end{array} \right.\)

Thay vào phương trình (1) ta tính được z = 8

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) = (0; 3; 8)

Cách 2. Từ phương trình (1) ta được : z = 1 - x - y.

Thay vào phương trình (2) và (3) ta được :

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 11 - x - y = 5\\ 3x + 2y + 11 - x - y = 14 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = - 6\\ 2x + y = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = - 6\\ 4x + 2y = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 3 \end{array} \right.\)

Thay vào phương trình (1) ta tính được z = 8

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) = (0; 3; 8).

Hướng dẫn giải

Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được

5(x + y+ z) =60 => x + y + z = 12 (4)

Từ phương trình (4) thay vào các phương trình (1); (2); (3) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x + 12 = 22\\ 2y + 12 = 20\\ 2z + 12 = 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5\\ y = 4\\ z = 3 \end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) = (5;4;3)

Hướng dẫn giải

Cách 1: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{4} - \frac{y}{3} - \frac{z}{{12}} = 1\\ \frac{x}{3} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{5} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 4y - z = 12{\rm{ (1)}}\\ 10x + 3y + 6z = 30{\rm{ (2)}} \end{array} \right.\)

Từ phương trình (2) và (1), lấy vế trừ vế ta được: 

\(7\left( {x + y + z} \right) = 18 \Rightarrow x + y + z = \frac{{18}}{7}\) không đổi.

Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: z = 3x - 4y -12 (3). Thế vào phương trình (2) ta được:

10x + 3y + 6(3x - 4y - 12) = 30

⇔ 10x + 3y + 18x - 24y - 72 = 30

\(\Leftrightarrow 28x - 21y = 102 \Rightarrow x = \frac{{102 + 21y}}{{28}}\)

Thay vào (3) ta có: \(z = \frac{{3.\left( {102 + 21y} \right)}}{{28}} - 4y - 12 \Rightarrow z = \frac{{ - 49y - 30}}{{28}}\)

Xét \(x + y + z = \frac{{102 + 21y}}{{28}} + y + \frac{{ - 49y - 30}}{{28}} = \frac{{18}}{7}\) không đổi.

C. Bài tập tự rèn luyện giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bài tập 1. Giải hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 4{\rm{ (1)}}\\ 3x - 2y + 2z = 3{\rm{ (2)}}\\ 5x + 4y = 9{\rm{ (3)}} \end{array} \right.\)     b) \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3z - 5 = 0{\rm{ (1)}}\\ 2x - 5y + 4z - 3 = 0{\rm{ (2)}}\\ 3x - 4y + 2z - 7 = 0{\rm{ (3)}} \end{array} \right.\)     c) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 4{\rm{ (1)}}\\ 2x - 3y + 3z = 6{\rm{ (2)}}\\ x - 3y + 4z = 6{\rm{ (3)}} \end{array} \right.\)

Bài tập 2. Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + y + z + t = 11{\rm{ (1)}}\\ x + 2y + z + t = 12{\rm{ (2)}}\\ x + y + 2z + t = 13{\rm{ (3) }}\\ x + y + z + 2t = 14{\rm{ (4)}} \end{array} \right.\)

Bài tập 3. Giải hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 4{\rm{ (1)}}\\ x + y - z - t = 8{\rm{ (2)}}\\ x - y + z - t = 12{\rm{ (3) }}\\ x - y - z + t = 16{\rm{ (4)}} \end{array} \right.\)        b) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z - t = 8{\rm{ (1)}}\\ y + z + t - x = 6{\rm{ (2)}}\\ z + t + x - y = 4{\rm{ (3) }}\\ t + x + y - z = 2{\rm{ (4)}} \end{array} \right.\)

Bài tập 4. Giải hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 6{\rm{ (1)}}\\ y + z + t = 9{\rm{ (2)}}\\ z + t + u = 12{\rm{ (3) }}\\ t + u + x = 10{\rm{ (4)}}\\ u + x + y = 8{\rm{ (5)}} \end{array} \right.\)          b) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 4{\rm{ (1)}}\\ y + z - t = 5{\rm{ (2)}}\\ z + t - u = 6{\rm{ (3) }}\\ t + u - x = 12{\rm{ (4)}}\\ u + x - y = 8{\rm{ (5)}} \end{array} \right.\)

Bài tập 5. Giải hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3y + 5z + 3t = 34{\rm{ (1)}}\\ x + y + 2z + t = 13{\rm{ (2)}}\\ x + 2y + 5z + 4t = 36{\rm{ (3)}}\\ x + 3y + 8z + 5t = 51{\rm{ (4)}} \end{array} \right.\)               b) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 10{\rm{ (1)}}\\ x + 2y - z + t = 6{\rm{ (2)}}\\ x + 3y + z - t = 6{\rm{ (3)}}\\ x - y + 2z + 2t = 13{\rm{ (4)}} \end{array} \right.\)

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

-----------------------------------

Qua chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, học sinh có thể hệ thống lại cách nhận dạng hệ, xác định nghiệm và thực hiện các bước giải một cách chính xác. Khi luyện tập, cần chú ý biến đổi tương đương, kiểm tra nghiệm và đối chiếu với điều kiện của bài toán nếu có. Việc kết hợp kiến thức lý thuyết với các bài tập có đáp án sẽ giúp củng cố chuyên đề hệ phương trình Toán 9, đồng thời tạo nền tảng tốt cho quá trình ôn thi vào lớp 10 môn Toán.