Trục căn thức ở mẫu Toán 9 Nâng cao
Cách trục căn thức ở mẫu có căn thức (nâng cao)
Trong chương trình Toán 9, trục căn thức ở mẫu là kỹ năng quan trọng khi biến đổi và rút gọn các biểu thức chứa căn. Ở mức độ nâng cao, bài toán thường kết hợp nhiều căn thức, phân thức và yêu cầu học sinh nhận diện cách biến đổi phù hợp thay vì chỉ áp dụng công thức máy móc. Chuyên đề Trục căn thức ở mẫu Toán 9 Nâng cao cung cấp hệ thống bài tập và lời giải có đáp án, giúp học sinh Toán 9 Kết nối tri thức củng cố kỹ năng, đồng thời chuẩn bị tốt hơn cho quá trình ôn thi vào 10 môn Toán.
A. Cách trục căn thức ở mẫu
Trục căn thức ở mẫu
\(\begin{array}{l}
\frac{M}{{\sqrt A }} = \frac{{M\sqrt A }}{A}\left( {A > 0} \right);{\rm{ }}\\
\frac{M}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{M\left( {\sqrt A \mp \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\left( {A \ge 0;B \ge 0;A \ne B} \right)
\end{array}\)
B. Bài tập minh họa trục căn thức ở mẫu mức khó
Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu số: \(A = \frac{{59}}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 7 }}\).
Hướng dẫn giải
Hướng giải toán: Chúng ta không thể vận dụng một lần hằng đẳng thức để khử đồng thời ba căn thức ở mẫu được. Do vậy, chúng ta tìm cách giảm bớt số căn ở mẫu bằng hằng đẳng thức:
.\(\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b - \sqrt c } \right)\)\(= {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} - c = a + b - c + 2\sqrt {ab}\)
Sau đó khử thường mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu của mẫu với biểu thức liên hợp.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(A = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2} - 7}} = \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{2\sqrt {15} + 1}}\)
\(= \frac{{59\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} - 1} \right)}}{{60 - 1}}\)
\(= \left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)\left( {2\sqrt {15} - 1} \right)\)
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:
\(B = \left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}} \right).\left( {\sqrt 3 - 4\sqrt {\frac{1}{3}} + 2} \right).\sqrt {0,2}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(B = \frac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - 5}}.\left( {\sqrt 3 - \frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 2} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
\(B = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {15} - 5 + 1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt {15} + 5 - 1 - \sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{2\sqrt 3 - 1}}.\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
\(B = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3 - 1}}.\frac{{6 - \sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
\(B = \frac{{10\sqrt 3 .\left( {6 - \sqrt 3 } \right)}}{{15\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)}} = \frac{{2\left( {6\sqrt 3 - 3} \right)}}{{3\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)}} = \frac{{2.3.\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)}}{{3.\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)}} = 2\)
Vậy rút gọn biểu thức ta được kết quả B = 2.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
\(R = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)
Hướng dẫn giải
Hướng giải toán. Nhận xét thấy rằng, mẫu thức chứa biểu thức căn “chồng chất”. Do vậy trước khi thực hiện rút gọn, chúng ta nên khai căn “chồng chất” trước đã. Quan sát thấy, để biến đổi căn “chồng chất” này, chúng ta chỉ cần làm xuất hiện \(2\sqrt 5\).
Do vậy chúng ta có hai hướng biến đổi nhằm xuất hiện yêu cầu đó:
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt 2\).
Cách 2. Nhân hai vế với \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Lời giải chi tiết
Cách 1. Mỗi phân thức nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt 2\), ta được:
\(R = \frac{{3\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)
\(R = \frac{{3\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt 5 + 1}} + \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{2 - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}\)
.\(R = \frac{{3\sqrt 2 + \sqrt {10} }}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{3 - \sqrt 5 }}\)
\(R = \frac{{\left( {3\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {3\sqrt 2 - \sqrt {10} } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\(R = \frac{{9\sqrt 2 - 3\sqrt {10} + 3\sqrt {10} - 5\sqrt 2 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt {10} - 3\sqrt {10} - 5\sqrt 2 }}{{9 - 5}}\)
\(R = \frac{{8\sqrt 2 }}{4} = 2\sqrt 2\)
Cách 2. Nhân hai vế với \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta được:
\(R.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)
\(R.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{2 + \sqrt 5 + 1}} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{2 - \sqrt 5 + 1}}\)
\(R.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 - \sqrt 5 }} = 2\)
Vậy rút gọn biểu thức ta được \(R = 2\sqrt 2\).
C. Bài tập tự rèn luyện trục căn thức ở mẫu
Bài tập 1. Trục căn thức ở mẫu:
a) \(\frac{1}{{2 + \sqrt 5 + 2\sqrt 2 + \sqrt {10} }}\);
b) \(\frac{{15}}{{\sqrt {10} - \sqrt {20} + \sqrt {40} - \sqrt 5 + \sqrt {80} }}\);
c) \(\frac{{2\sqrt {10} }}{{\sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 7 }}\).
Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức:
a) \(A = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {2024} + \sqrt {2025} }}\);
b) \(T = \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 + \sqrt {10} }} + \frac{1}{{\sqrt {10} + \sqrt {13} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {3022} + \sqrt {3025} }}\).
Bài tập 3: Chứng minh rằng:
.\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} + \frac{1}{{\sqrt 9 + \sqrt {11} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {97} + \sqrt {99} }} > \frac{9}{4}\)
(Còn tiếp)
D. Đáp án bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1.
a) Ta có:
\(\frac{1}{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right) + \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 5 } \right)}} = \frac{1}{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\)
.\(= \frac{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 5} \right)\left( {1 - 2} \right)}} = \left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\)
b) Ta có:
\(\frac{{15}}{{\sqrt {10} - 2\sqrt 5 + 2\sqrt {10} + \sqrt 5 + 4\sqrt 5 }}\)\(= \frac{{15}}{{3\sqrt {10} + 3\sqrt 5 }} = \frac{5}{{\sqrt {10} + \sqrt 5 }}\)
.\(= \frac{{5\left( {\sqrt {10} - \sqrt 5 } \right)}}{{10 - 5}} = \sqrt {10} - \sqrt 5\)
c) Ta có:
.\(\frac{{2\sqrt {10} \left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2} - 7}}\)\(= \frac{{2\sqrt {10} \left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 - \sqrt 7 } \right)}}{{7 + 2\sqrt {10} - 7}} = \sqrt 2 + \sqrt 5 - \sqrt 7\)
✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.
--------------------------------------
Nắm vững cách trục căn thức ở mẫu sẽ giúp học sinh Toán 9 xử lý hiệu quả nhiều dạng biểu thức chứa căn, đặc biệt là các bài toán biến đổi và rút gọn ở mức độ nâng cao. Khi luyện tập, học sinh nên chú ý điều kiện xác định, lựa chọn biểu thức liên hợp và kiểm tra từng bước biến đổi để hạn chế sai sót. Với hệ thống bài tập có đáp án, chuyên đề này có thể được sử dụng như tài liệu tham khảo cho Toán 9 Kết nối tri thức và quá trình ôn thi vào 10 môn Toán.
