VnDoc.com

Bài tập Toán 9 Phương trình chứa ẩn ở mẫu có đáp án

Chuyên đề Phương trình toán 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 9

A. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Điều kiện xác định của phương trình
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
B. Ví dụ minh họa giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
C. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
- D. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Trong chương trình Toán 9, dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu là một nội dung quan trọng trong chuyên đề Phương trình Toán 9, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi tuyển sinh vào 10. Dạng toán này giúp học sinh rèn luyện khả năng xử lý mẫu thức, tìm điều kiện xác định, và biến đổi để giải phương trình một cách chính xác.

Bài viết Bài tập Toán 9 Phương trình chứa ẩn ở mẫu có đáp án sẽ cung cấp hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản, phương pháp giải chi tiết, cùng bài tập minh họa và đáp án cụ thể, giúp học sinh nắm vững cách giải và tự tin chinh phục mọi dạng bài liên quan đến ẩn ở mẫu.

A. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn tất cả các mẫu thức trong phương trình đểu khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4 (Kết luận): Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

B. Ví dụ minh họa giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Ví dụ 1. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu dưới đây:

a) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x +2} = \frac{4}{x^{2} - 4}\ \ \ \ \ \ \ (1)$

b) $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x + 3} +\frac{4}{x^{2} + 2x - 3} = 0\ \ (2)$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Điều kiện xác định: $x^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0$

$\Leftrightarrow x - 2 \neq 0$ và $x + 2 \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq 2$ và $x \neq - 2$

Mẫu thức chung: $x^{2} - 4$

Ta có $(1) \Leftrightarrow \frac{(x + 2)^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{(x - 2)^{2}}{x^{2} - 4} = \frac{4}{x^{2} - 4}$

Khử mẫu ta được: $x^{2} + 4x + 4 - x^{2} + 4x - 4 = 4$

$\Leftrightarrow 8x = 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

Tập nghiệm của (1): $S = \left\{ \frac{1}{2} \right\}$

Chú ý: $x^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$ và $x \neq - 2$ không được viết:

$\Leftrightarrow x \neq 2$ hoặc $x \neq - 2$

b) Ta có: $x^{2} + 2x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 3) \neq 0$

$\Leftrightarrow x - 1 \neq 0$ và $x + 3 \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq 1$ và $x \neq - 3$

Mẫu thức chung:

Ta có phương trình $(2) \Leftrightarrow \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} + \frac{4}{(x - 1)(x + 3)} = 0$

Khử mẫu ta được:

$x^{2} + 3x + x + 3 - x^{2} + x - 2x + 2 + 4 = 0$

$\Leftrightarrow 3x = - 9 \Leftrightarrow x = - 3$ (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của : $S = \left\{ \varnothing \right\}$

Ví dụ 2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: $\frac{1}{x - 1} + \frac{2x^{2} - 5}{x^{3} - 1} = \frac{4}{x^{2} + x + 1}\ \ \ \ \ \ \ (1)$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $x^{3} - 1 = (x - 1)\left(x^{2} + x + 1 \right)$

Điều kiện xác định: $(x - 1)\left( x^{2} + \ x + \ 1 \right)\ \neq \ 0$

$\ x \neq - 1$ (vì $x^{2} + \ x + \ 1\ = \ \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi x thuộc R)

Mẫu thức chung: $(x - 1)\left( x^{2} + \ x + \ 1 \right)$

Ta có phương trình $(1) \Leftrightarrow \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} + \frac{2x^{2} - 5}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} = \frac{4(x - 1)}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)}$

Khử mẫu ta được: $x^{2} + \ x\ + 1\ + \ 2x^{2} - 5\ = \ 4x\ - \ 4$

$\begin{matrix}\Leftrightarrow 3x^{2} - \ 3x\ = \ 0\hfill \\\Leftrightarrow 3x(x\ - 1)\ = \ 0\end{matrix}$

$\ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $\ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc x = 1

Đối chiếu với điều kiện $\ x \neq - 1$ , ta lấy nghiệm x = 0

Tập nghiệm của (1): S = {0}

Ví dụ 3. Giải phương trình: $\frac{13}{(x - 3)(2x + 7)} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{x^{2} - 9}$ (1).

Hướng dẫn giải

Ta có: $x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Điều kiện xác định: $\ x + 3 \neq 0;x - 3 \neq 0$ và $2x + 7 \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq - 3;x \neq 3\ và\ x \neq - \frac{7}{2}$

Mẫu thức chung:

Quy đồng và khử mẫu, ta được:

$13(x + 3) + x^{2} - 9 = 6(2x + 7)$

$13x + 39 + x^{2} - 9 = 12x + 42$

$x^{2} + x - 12 = 0$

(x + 4)(x - 3) = 0

x = -4 hoặc x = 3

Đối chiếu với ĐKXĐ, ta lấy x = -4 làm nghiệm.

Vây tập nghiệm của (1) là S = {-4}.

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\frac{1}{4x^{2} - 12x + 9} - \frac{3}{9 - 4x^{2}} = \frac{4}{4x^{2} + 12x + 9}$ (1).

Hướng dẫn giải

Ta có:

$4x^{2} + 12x + 9 = (2x + 3)^{2}$

$9 - 4x^{2} = - \left( 4x^{2} - 9 \right) = - (2x + 3)(2x - 3)$

$4x^{2} - 12x + 9 = (2x - 3)^{2}$

ĐKXĐ: $\ 2x + 3 \neq 0$ và $2x - 3 \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq - \frac{3}{2}\ và\ x \neq \frac{3}{2}$

Mẫu thức chung: $(2x + 3)^{2}(2x - 3)^{2}$

Quy đổng và khử mẫu ta được:

$\ (2x + 3)^{2} + 3\left( 4x^{2} - 9 \right) = 4(2x - 3)^{2}$

$4x^{2} + 12x + 9 + 12x^{2} - 27 = 4\left( 4x^{2} - 12x + 9 \right)$

$x = \frac{9}{10}$

Đối chiếu với điều kiện xác định, ta lấy $x = \frac{9}{10}$

Vây tập nghiệm của (1) là $S = \left\{ \frac{9}{10} \right\}$ .

C. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài tập 1. Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu dưới đây:

a) $\frac{1}{x - 5} - \frac{3}{x^{2} - 6x + 5} = \frac{5}{x - 1}\ \ \ (3)$ b) $\frac{x - 1}{x} + \frac{1 - 2x}{x^{2} + x} = \frac{1}{x + 1}\ \ \ \ \ (4)$

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{x - 1} - \frac{3x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1}(2)$

b) $\frac{- 7x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}(3)$

Bài tập 3. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1}{x^{2} + 4x + 3} + \frac{1}{x^{2} + 8x + 15} = \frac{1}{6}$ (2)

b) $\frac{2}{4 - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 2x} = \frac{x - 4}{x^{2} + 2x}$ (3)

Bài tập 4. Xác định tất cả các nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{x^{2} + 5x + 6} + \frac{1}{x^{2} + 7x + 12} + \frac{1}{x^{2} + 9x + 20} + \frac{1}{x^{2} + 11x + 30} = \frac{1}{8}$ (2)

D. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

a) Ta có $x^{2} - 6x + 5\ = \ (x - 1)(x - 5)$

Điều kiện xác định: $(x - 1)(x - 5) \neq 0 \Leftrightarrow x\ \neq 1;\ x \neq \ 5$

Mẫu thức chung:

Ta có phương trình (3) $\Leftrightarrow \frac{x - 1}{(x - 1)(x - 5)} - \frac{3}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{5(x - 5)}{(x - 1)(x - 5)}$

Khử mẫu ta được:

$\ - 4x = - 21$

$x = \frac{21}{4}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của phương trình (3): $S = \left\{ \left. \ \frac{21}{4} \right\} \right.$ .

b) Ta có $x^{2} + x = \ x.(x + 1)$

ĐKXĐ: $x(x + 1) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0;\ x \neq - 1$

Mẫu thức chung:

Ta có phương trình (4) $\Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{1 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{x}{x(x + 1)}$

Khử mẫu ta được: $x^{2} + \ x\ - \ x\ - \ 1\ + \ 1\ - \ 2x\ = \ x$

$\Leftrightarrow x^{2} - \ 3x\ = \ 0$ $\Leftrightarrow x(x - 3) = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$ hoặc x = 3

Vì $x \neq 0$ nên ta lấy nghiệm x = 3

Tập nghiệm của (4): S = {3}.

Bài tập 2.

a) Ta có $:\ x^{3} - \ 1\ = \ (x - 1)\left( x^{2} + \ x + \ 1 \right)$

ĐKXĐ: $(x - 1)\left( x^{2} + \ x + \ 1 \right)\ \neq \ 0$

$\ x \neq - 1$ vì $x^{2} + \ x + 1 = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}$ > 0 với mọi x thuộc R

Mẫu thức chung: $(x - 1)\left( x^{2} + \ x + \ 1 \right)$

Quy đồng khử mẫu, ta được:

$2.\left( \ x^{2} + \ x + \ 1 \right)\ - \ 3x^{2} = \ x(x - 1)$

$\Leftrightarrow 2\ x^{2} + \ 2x + \ 2\ - \ 3x^{2} = \ x^{2} - x$

$\Leftrightarrow 2\ x^{2} - \ 3x\ - \ 2\ = \ 0$

$\Leftrightarrow 2\ x^{2} - \ 4x\ + \ x\ - \ 2\ = \ 0$

$\Leftrightarrow (x - 2).(2x + 1)\ = \ 0$

$\Leftrightarrow x - \ 2\ = \ 0$ hoặc $\ 2x + \ 1\ = \ 0$

$\Leftrightarrow x\ = \ 2$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Tập nghiệm của (2): $S = \left\{ 2; - \frac{1}{2} \right\}$

b) Ta có: $\ x^{3} + \ 1\ = \ (x + 1)\left( x^{2} - \ x + \ 1 \right)$

ĐKXĐ: $x + 1 \neq \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

$\Leftrightarrow x\ \neq \ - 1$ (vì $x^{2} - \ x + \ 1\ = \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}$ > 0 với mọi x thuộc R)

Mẫu thức chung: $(x + 1)\left( x^{2} - \ x + \ 1 \right)$

Quy đồng khử mẫu ta được

$- 7x^{2} + \ 4\ = \ 5.(x + 1)\ - \ \left( x^{2} - x\ + 1 \right)$

$- 7x^{2} + \ 4\ = \ 5x + 5 - \ x^{2} + x\ - 1$

$- 6x^{2} - 6x\ = \ 0$

$- 6x\ (x + 1)\ = \ 0$

$\Leftrightarrow x = \ 0$ hoặc $x\ + \ 1\ = \ 0$

$\Leftrightarrow x\ = \ 0$ (không thỏa mãn điều kiện xác định) hoặc (thỏa mãn điều kiện xác định)

Tập nghiệm của (3) S = {0}

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

------------------------------------------------------------------

Dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 9 không chỉ yêu cầu học sinh nắm chắc quy tắc biến đổi đại số mà còn phải biết xác định điều kiện để phương trình có nghiệm đúng. Thông qua việc luyện tập các bài tập có đáp án chi tiết, học sinh sẽ củng cố kiến thức, rèn kỹ năng trình bày bài toán rõ ràng và chính xác.

Hy vọng bài viết Bài tập Toán 9 Phương trình chứa ẩn ở mẫu có đáp án sẽ là tài liệu hữu ích giúp bạn họ tốt chuyên đề Phương trình Toán 9 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng.

Một số tài liệu tham khảo thêm:

Tải về

Chọn file muốn tải về: