Chuyên đề Toán 9 Phép quay

Phép quay là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt trong phần hình học không gian và các bài toán liên quan đến phép biến hình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu lý thuyết trọng tâm về phép quay, định nghĩa, tâm quay, góc quay, các tính chất cơ bản, cũng như cách vận dụng phép quay vào giải các bài toán hình học lớp 9. Tài liệu được biên soạn rõ ràng, dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa cụ thể, giúp học sinh nắm chắc kiến thức và tự tin áp dụng vào các dạng đề thi.

A. Phép quay là gì?

Phép quay thuận chiều tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiếu kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo (Hình a).

Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều tâm O (Hình b). Phép quay và phép quay giữ nguyên mọi điểm.

Tính chất phép quay Toán 9

• Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm H thành một điểm của H.
• Người ta nghĩ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều H thành các đỉnh của H thì phép quay đó giữ nguyên .

B. Các dạng bài tập phép quay lớp 9

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Dễ thấy ABCDEF là lục giác đều nên .

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn (R) nên hay .

Tương tự tứ giác ABDF nội tiếp đường tròn (R) nên hay .

Tương tự ta có .

b) Ba đỉnh A; C; E của tam giác đều ACE chia đường tròn (O) thành ba cung bằng nhau: .

Do đó có 6 phép quay tâm O giữ nguyên tam giác đó là:

Phép quay 120⁰; 240⁰ thuận chiều hoặc 120⁰ ngược chiều.

Nhận xét: Có tất cả 6 phép quay 120⁰; 240⁰; 360⁰ tâm O thuận chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ giữ nguyên tam giác.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Tam giác ABC đều nên AB = AC. Do đó C thuộc đường tròn (A; AB).

Xét đường tròn (A; AB), ta có:

Khi đó điểm B biến thành điểm C qua phép quay thuận chiều 60⁰ tâm A.

b) Ta có:

Khi đó điểm B biến thành điểm C qua phép quay ngược chiếu 300⁰ tâm A.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta có bốn điểm A; B; C; D thuộc đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Ta có .

Có 8 phép quay giữ nguyên hình vuông ABCD là:

Phép quay 90⁰; 180⁰; 270⁰; 360⁰ tâm O thuận chiều.

Phép quay 90⁰; 180⁰; 270⁰; 360⁰ tâm O ngược chiều.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Cách dựng: Phép quay ngược chiều 90⁰ tâm A, biến điểm B biến thành điểm B'.

Xác định điểm B' theo hướng dẫn sau:

Vẽ đường tròn (A; AB) và tia Ax sao cho , tia Ax cắt đường tròn (A; AB) tại điểm B'.

Tương tự ta dựng được điểm C'.

Hướng dẫn giải

Phép quay thuận chiếu tâm O biến điểm M thành điểm N là hình d, vì ta có OM = ON và .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Phép quay ngược chiểu 60⁰ tâm O biến A thành D.

Ta có: OD = OA và nên tam giác AOD là tam giác đều =>AD = OA = OD = R ( R là bán kính đường tròn (O)).

Chứng minh tương tự, ta có: BE = CF = R => AD = BE = CF = R (*)

Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O), ta có: OD = OA = OB (1)

Lại có mà (cmt)

Từ (1) và (2) => Tam giác DOB là tam giác đều => Chứng minh tương tự các tam giác ECC và FOA cũng là tam giác đều => DB = EC = EA = R (**)

Từ (*) và (3)

Dễ thấy (4)

Từ (3) và (4) => ADBECF là một lục giác đều.

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Hãy chỉ ra các phép quay biến tam giác thành chính nó.

Bài 2. Cho hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O. hãy cho biết các phép quay thuận chiều lần lượt 90⁰; 180⁰; 270⁰ với tâm O sẽ biến các điểm A; B; C; D thành những điểm nào?

Bài 3. Cho hình vuông ABCD có tâm O như hình vẽ. Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D thì các điểm B; C; D tương ứng biến thành các điểm nào?

Bài 4. Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O (Hình vẽ).

a) Phép quay ngược chiêu tâm O biến điểm A thành điểm B thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Chỉ ra ba phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho.

D. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1

Hướng dẫn: Tương tự câu b, bài toán 1, có tất cả 6 phép quay đó là phép quay 120⁰; 240⁰; 360⁰ tâm thuận chiều và ngược chiều.

Bài 2

Hình vẽ minh họa

Các phép quay thuận chiều lần lượt là 90⁰; 180⁰; 270⁰ với tâm O biến các điểm A, B, C, D thành những điểm tương ứng cho bởi bảng sau:

Đỉnh Phép quay cùng chiều	A	B	C	D
900	B	C	D	A
1800	C	D	A	B
2700	D	A	B	C

Bài 3

Ta có ABCD là hình vuông nên OA = OB = OC = OD và .

Ta có: .

Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D là phép quay 3.90⁰ = ^2700. Khi đó điểm B biến thành điểm A, điểm C biến thành điểm B và điểm D biến thành điểm B.

Bài 4

Hình vẽ minh họa

a) Phép quay ngược chiều 72⁰ tâm O biến điểm A, biến B thì các điểm B, C, D, E lần lượt biến thành các điểm C, E, D và A.

b) Ba phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều:

1. Phép quay ngược chiểu 144⁰;

2. Phép quay ngược chiểu 216⁰;

3. Phép quay thuận chiểu 72⁰.

Bạn hãy tìm thêm những phép quay còn lại giữ nguyên hình ngũ giác đều.

Bài 5.

Đa giác đều 12 cạnh ABCDEFGHIKLM nội tiếp đường tròn (O) (Xem hình vē).

Ta co:

và

Và OA = OB = OC = OD = ... (bán kính đường tròn ngoại tiếp)

Ta chọn phép quay thuận chiểu (hoặc ngược chiểu) góc quay 30⁰; 60⁰; 90⁰; 120⁰ biến đa giác đã cho thành chính nó.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

---------------------------------------------------

Vừa rồi là toàn bộ nội dung chuyên đề Phép quay Toán 9, bao gồm lý thuyết cần nhớ và các dạng bài tập ứng dụng thường gặp. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về phép quay, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và làm chủ nội dung hình học lớp 9. Đừng quên kết hợp với các chuyên đề khác như phép tịnh tiến, phép đối xứng để hệ thống hóa kiến thức toàn diện. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!