Chuyên đề Toán 9 Phép quay

Phép quay là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 9, đặc biệt trong phần hình học không gian và các bài toán liên quan đến phép biến hình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu lý thuyết trọng tâm về phép quay, định nghĩa, tâm quay, góc quay, các tính chất cơ bản, cũng như cách vận dụng phép quay vào giải các bài toán hình học lớp 9. Tài liệu được biên soạn rõ ràng, dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa cụ thể, giúp học sinh nắm chắc kiến thức và tự tin áp dụng vào các dạng đề thi.

A. Phép quay là gì?

Phép quay thuận chiều \(\alpha{^\circ}\ \ (0{^\circ} < \alpha{^\circ} < 360{^\circ})\) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiếu kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo \(\alpha{^\circ}\) (Hình a).

Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều \(\alpha{^\circ}\) tâm O (Hình b). Phép quay \(0{^\circ}\) và phép quay \(360{^\circ}\) giữ nguyên mọi điểm.

Tính chất phép quay Toán 9

• Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm H thành một điểm của H.
• Người ta nghĩ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều H thành các đỉnh của H thì phép quay đó giữ nguyên \(H\).

B. Các dạng bài tập phép quay lớp 9

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy \(ABCDEF\) là lục giác đều nên \(\widehat{ABF} = \widehat{AFE} = \widehat{FED} = \widehat{EDC}\)\(= \widehat{DCB} = \widehat{CBA} =120{^\circ}\).

Ta có tứ giác \(ABCF\) nội tiếp đường tròn \((R)\) nên \(\widehat{BCF} = \widehat{BAF} = 180^{\circ}\) hay \(\widehat{BCF} + 120{^\circ} = 180{^\circ}\)\(\Rightarrow \widehat{BCF} = 180{^\circ} - 120{^\circ} = 60{^\circ}\).

Tương tự tứ giác \(ABDF\) nội tiếp đường tròn \((R)\) nên \(\widehat{BDF} = \widehat{BAF} = 180{^\circ}\) hay \(\widehat{BDF} + 120{^\circ} = 180{^\circ}\)\(\Rightarrow \widehat{BDF} = 180{^\circ} - 120{^\circ} = 60{^\circ}\).

Tương tự ta có \(\widehat{BEF} = 60{^\circ}\).

b) Ba đỉnh \(A,C,E\) của tam giác đều \(ACE\) chia đường tròn (O) thành ba cung bằng nhau: \(sd\widehat{AC} = sd\widehat{CE} = sd\widehat{EA} = 120{^\circ}\).

Do đó có 6 phép quay tâm O giữ nguyên tam giác đó là:

Phép quay \(120{^\circ},240{^\circ}\) thuận chiều hoặc \(120{^\circ}\) ngược chiều.

Nhận xét: Có tất cả 6 phép quay \(120{^\circ},240{^\circ},360{^\circ}\) tâm O thuận chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ giữ nguyên tam giác.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = AC\). Do đó \(C\) thuộc đường tròn \((A;AB)\).

Xét đường tròn \((A;AB)\), ta có: \(\widehat{BAC} = 60{^\circ}\) \(\Rightarrow sd\widehat{BmC} = 60{^\circ}\)

Khi đó điểm \(B\) biến thành điểm \(C\) qua phép quay thuận chiều \(60{^\circ}\) tâm \(A\).

b) Ta có: \(sd\widehat{BnC} = 360{^\circ} - sd\widehat{BmC} = 360{^\circ} - 60{^\circ} = 300{^\circ}\)

Khi đó điểm \(B\) biến thành điểm \(C\) qua phép quay ngược chiếu \(300{^\circ}\) tâm \(A\).

Hướng dẫn giải

Ta có bốn điểm \(A,B,C,D\) thuộc đường tròn tâm \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Ta có \(AC\bot BD\).

Có 8 phép quay giữ nguyên hình vuông \(ABCD\) là:

Phép quay \(90{^\circ},180{^\circ},270{^\circ},360{^\circ}\) tâm O thuận chiều.

Phép quay \(90{^\circ},180{^\circ},270{^\circ},360{^\circ}\) tâm \(O\) ngược chiều.

Hướng dẫn giải

Cách dựng: Phép quay ngược chiêu \(90{^\circ}\) tâm \(A\), biến điểm \(B\) biến thành điểm \(B'\).

Xác định điểm \(B'\) theo hướng dẫn sau:

Vẽ đường tròn \((A;AB)\) và tia \(Ax\) sao cho \(\widehat{BAx} = 90{^\circ}\), tia \(Ax\) cắt đường tròn \((A;AB)\) tại điểm \(B'\).

Tương tự ta dựng được điểm \(C'\).

Hướng dẫn giải

Phép quay thuận chiếu \(60^{\circ}\) tâm O biến điểm M thành điểm N là hình d, vì ta có \(OM = ON\) và \(\widehat{MON} = 60^{\circ}\).

Hướng dẫn giải

Phép quay ngược chiểu \(60^{\circ}\) tâm \(O\) biến \(A\) thành \(D\).

Ta có: \(OD = OA\) và \(\widehat{AOD} = 60^{\circ}\) nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều \(\Rightarrow AD = OA = OD = R\) ( \(R\) là bán kính đường tròn (O)).

Chứng minh tương tự, ta có: \(BE = CF = R\) \(\Rightarrow AD = BE = CF = R\) (*)

Tam giác \(ABC\) đểu nội tiếp đường tròn ( \(O\) ), ta có: \(OD = OA = OB\) (1)

Lại có \(\widehat{AOB} = 120^{\circ}\) mà \(\widehat{AOD} = 60^{\circ}\) (cmt) \(\Rightarrow \widehat{DOB} = 60^{\circ}(2)\)

Từ (1) và \((2) \Rightarrow\) Tam giác \(DOB\) là tam giác đều. \(\rightarrow\) chứng minh tương tự các tam giác ECC và FOA cũng là tam giác đều \(\Rightarrow DB = EC = EA = R\left( \ ^{**} \right)\)

Từ (*) và \(\left( \ ^{**} \right) \Rightarrow AD = DB = BE = EC = CE = EA( = R)\) (3)

Dễ thấy \(\widehat{ADB} = \widehat{DBE} = \widehat{BEC} = \widehat{ECF} = \widehat{CFA} = \widehat{FAD}\) (4)

Từ (3) và \((4) \Rightarrow ADBECF\) là một lục giác đều.

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1. Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn (O). Hãy chỉ ra các phép quay biến tam giác thành chính nó.

Bài 2. Cho hình vuông nội tiếp đường tròn tâm \(O\). hãy cho biết các phép quay thuận chiều lần lượt \(90{^\circ},180{^\circ},270{^\circ}\) với tâm \(O\) sẽ biến các điểm \(A,B,C,D\) thành những điểm nào?

Bài 3. Cho hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) như hình vẽ. Phép quay thuận chiều tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(D\) thì các điểm \(B,C,D\) tương ứng biến thành các điểm nào?

Bài 4. Cho hình ngũ giác đều \(ABCDE\) có tâm \(O\) (Hình vẽ).

a) Phép quay ngược chiêu tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(B\) thì các điểm \(B,C,D,E\) tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Chỉ ra ba phép quay tâm \(O\) giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho.

D. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1

Hướng dẫn: Tương tự câu b, bài toán 1, có tất cả 6 phép quay đó là phép quay \(120{^\circ},240{^\circ},360{^\circ}\) tâm \(O\) thuận chiều và ngược chiều.

Bài 2

Hình vẽ minh họa

Các phép quay thuận chiều lần lượt là \(90{^\circ},180{^\circ},270{^\circ}\) với tâm \(O\) biến các điểm \(A,B,C,D\) thành những điểm tương ứng cho bởi bảng sau:

Đỉnh Phép quay cùng chiều	A	B	C	D
900	B	C	D	A
1800	C	D	A	B
2700	D	A	B	C

Bài 3

Ta có \(ABCD\) là hình vuông nên \(OA = OB = OC = OD\) và \(AC\bot BD\).

Ta có: \(\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOA} = 90{^\circ}\).

Phép quay thuận chiều tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(D\) là phép quay \(3.90{^\circ} = 270{^\circ}\). Khi đó điểm \(B\) biến thành điểm \(A\), điểm \(C\) biến thành điểm \(B\) và điểm \(D\) biến thành điểm \(B\).

Bài 4

Hình vẽ minh họa

a) Phép quay ngược chiều \(72{^\circ}\) tâm \(O\) biến điểm \(A\), biến \(B\) thì các điểm \(B,C,D,E\) lần lượt biến thành các điểm \(C,D,E\) và \(A\).

b) Ba phép quay tâm \(O\) giữ nguyên hình ngũ giác đều:

1. Phép quay ngược chiểu \(144^{\circ}\);

2. Phép quay ngược chiểu \(216^{\circ}\);

3. Phép quay thuận chiểu \(72^{\circ}\).

Bạn hãy tìm thêm nhữg phép quay còn lại giữ nguyên hình ngũ giác đểu.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

---------------------------------------------------

Vừa rồi là toàn bộ nội dung chuyên đề Phép quay Toán 9, bao gồm lý thuyết cần nhớ và các dạng bài tập ứng dụng thường gặp. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về phép quay, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và làm chủ nội dung hình học lớp 9. Đừng quên kết hợp với các chuyên đề khác như phép tịnh tiến, phép đối xứng để hệ thống hóa kiến thức toàn diện. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!