Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trong chương trình Toán lớp 9, dạng bài "Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất" là một dạng toán quen thuộc và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Đây là dạng bài vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và điều kiện tồn tại nghiệm duy nhất dựa vào định thức, hệ số.

Tài liệu dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách nhận diện nhanh dạng bài, nắm vững điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, cũng như cách biến đổi và tìm tham số m hợp lý. Các ví dụ minh họa và bài tập có đáp án chi tiết giúp bạn nắm chắc phương pháp, tránh nhầm lẫn và tự tin xử lý các câu hỏi liên quan đến hệ phương trình chứa tham số. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

II. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải 

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = m + 3\\ \left( {m - 5} \right)x + 3y = 6 \end{array} \right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow \frac{{m - 5}}{3} \ne \frac{3}{{ - 2}} \Leftrightarrow m - 5 \ne \frac{{ - 9}}{2} \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\)

Vậy với  thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 2} \right)x + \left( {m + 2} \right)y = 3\\ x + 3y = 4 \end{array} \right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{1} \ne \frac{{m + 2}}{3}\\ \Leftrightarrow 3\left( {m + 1} \right) \ne m + 2\\ \Leftrightarrow 3m + 3 \ne m + 2\\ \Leftrightarrow 2m \ne - 1\\ \Leftrightarrow m \ne \frac{{ - 1}}{2} \end{array}\)

Vậy với \(m \ne \frac{{ - 1}}{2}\)thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2(3 - 2y) + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 6 - 3y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{2m - 7}{3} \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\) nhận \((x;y) = \left( \frac{2m - 7}{3};\frac{8 - m}{3} \right)\) là nghiệm.

Mặt khác theo bài ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( x_{0};y_{0} \right)\) với \(x_{0} = y_{0}\) nên

\(\frac{2m - 7}{3} = \frac{8 - m}{3}\)

\(\Leftrightarrow 2m - 7 = 8 - m \Leftrightarrow 3m = 15 \Leftrightarrow m = 5\)

Vậy \(m = 5\) là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (2) ta có: \(y = 3m - 1 - mx\)

Thế vào phương trình (1) ta được:

\(x + m(3m - 1 - mx) = m + 1\)

\(\Leftrightarrow \left( m^{2} - 1 \right) = 3m^{2} - 2m - 1\ \ \ (3)\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là \(m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1\)

Khi đó hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m^{2} - 2m - 1}{m^{2} - 1} = \dfrac{(m - 1)(3m + 1)}{(m - 1)(m + 1)} \\ y = 3m - 1 - m.\dfrac{3m + 1}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m + 1}{m + 1} = 3 - \dfrac{2}{m + 1} \\ y = \dfrac{m - 1}{m + 1} = 1 - \dfrac{2}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.\)

Để \(x;y\mathbb{\in Z}\) thì \(\frac{2}{m + 1}\mathbb{\in Z \Rightarrow}(m + 1) \in \left\{ - 2; - 1;1;2 \right\}\)

\(\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 2;0;1 \right\}\)

Kết hợp điều kiện \(m \neq \pm 1\) chỉ có \(m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}\)thỏa mãn.

Vậy \(m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}\) là các giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (1) ta có: \(y = m - (m - 1)x\) thay vào phương trình (2) ta được:

\(x + (m - 1)\left\lbrack m - (m - 1)x \right\rbrack = 2\)

\(\Leftrightarrow \left( m^{2} - 2m \right)x = m^{2} - m - 2\)

\(\Leftrightarrow m(m - 2)x = (m - 2)(m + 1)\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow x - y = 1\) là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

a) Trừ từng vế của phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

\((2 - m)x + (m - 2)y = 0\)

\(\Leftrightarrow (2 - m)(x - y) = 0\)

Với m = 2 thay vào hệ ta được \(\left\{ \begin{matrix} 2x + 2y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Hệ vô số nghiệm

Với \(m \neq 2 \Rightarrow x = y\) thay vào (1) ta được: \((2 + m)x = 1(*)\)

Nếu \(m = - 2\) thì phương trình (*) trở thành \(0x = 1\) (vô nghiệm)

Do đó hệ vô nghiệm

Nếu \(m \neq - 2\) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất \(x = y = \frac{1}{m + 2}\)

Ta có:

\(x;y\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{1}{m + 2}\mathbb{\in Z \Rightarrow}m + 2 \in \left\{ - 1;1 \right\}\)

\(\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}\).

Vậy \(m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}\)là các giá trị cần tìm.

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi đó \(x = y = \frac{1}{m + 2}\)

\(\Rightarrow x - y = 0\ \ (d)\)

Như vậy điểm M luôn chạy trên đường thẳng (d) cố định.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} 3x + y = 4\ \ \ \ (1) \\ (2m + 1)x + 7y = 8\ \ \ (2) \end{matrix} \right.\)

Từ (1) suy ra \(y = 4 - 3x\) thay vào (2) ta được:

\((2m + 1)x + 7(4 - 3x) = 8\)

\((2m + 1)x + 28 - 21x = 8\)

\((2m - 20)x = - 20\)

\((m - 10)x = - 10\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì \(m \neq 10\) khi đó \(x = \frac{- 10}{m - 10}\)

Suy ra \(y = 4 + \frac{30}{m - 10} = \frac{4m - 10}{m - 10}\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(x = y\) thì

\(\frac{- 10}{m - 10} = \frac{4m - 10}{m - 10}\)

\(4m - 10 = - 10\)

\(4m = 0 \Leftrightarrow m = 0(tm)\)

Vậy với \(m = 0\) thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = y\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x - my = 3m - 1\ \ \ (1) \\ 2x - y = m + 5\ \ \ (2) \end{matrix} \right.\)

Từ (2) ta có: \(y = 2x - m - 5\) thay vào (1) ta được:

\((m - 1)x - m(2x - m - 5) = 3m - 1\)

\((m - 1)x - 2mx + m^{2} + 5m = 3m - 1\)

\(- (m - 1)x = - \left( m^{2} + 2m + 1 \right)\)

\(- (m - 1)x = - (m + 1)^{2}\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \((m + 1) \neq 0 \Rightarrow m \neq - 1\)

Khi đó \(x = m + 1\) suy ra \(y = 2(m + 1) - m - 5 = m - 3\)

Ta có:

\(A = (m + 1)^{2} + (m - 3)^{2} = m^{2} + 2m + 1 + m^{2} - 6m + 9\)

\(= 2\left( m^{2} - 2m + 5 \right) = 2(m - 1)^{2} + 8\)

Suy ra \(A \geq 8\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(m = 1\) (thỏa mãn điều kiện đề bài).

Vậy với m = 1 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thỏa mãn biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} mx + 2my = m + 1\ \ \ \ (1) \\ x + (m + 1)y = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{matrix} \right.\)

Từ (2) suy ra \(x = 2 - (m + 1)y\) thay vào (1) ta được:

\(m\left\lbrack 2 - (m + 1)y \right\rbrack + 2my = m + 1\)

\(2m - m(m + 1)y + 2my = m + 1\)

\(- \left( m^{2} + m - 2m \right)y = 1 - m\)

\(- \left( m^{2} - m \right)y = 1 - m\)

\(- m(m - 1)y = 1 - m\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(m \neq 0;m \neq 1\) khi đó \(y = \frac{1}{m}\)

Suy ra \(x = 2 - \frac{m + 1}{m} = \frac{m - 1}{m}\)

Khi đó \(A = \frac{m - 1}{m} - \frac{1}{m} = \frac{m - 2}{m} = 1 - \frac{2}{m}\)

Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{2}{m}\mathbb{\in Z}\)

Suy ra \(m \in \left\{ 1; - 1;2; - 2 \right\}\)

Kết hợp với điều kiện \(m \neq 0;m \neq 1\) suy ra \(m \in \left\{ 1;2; - 2 \right\}\)thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập tự luyện tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Bài tập 1: Tìm các giá trị của m để các hệ phương trình dưới đây có nghiệm duy nhất

1, \(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 6y = 9\\ mx + 3y = 5 \end{array} \right.\)                  2, \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5\\ 4x + 3y = m \end{array} \right.\)               3, \(\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 5\\ x + y = 1 \end{array} \right.\)

4, \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + 3y = 5\\ 5x - 2y = 3 \end{array} \right.\)         5, \(\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = - 1\\ 2x + my = m + 3 \end{array} \right.\)            6, \(\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 5\\ x + y = 1 \end{array} \right.\)

7, \(\left\{ \begin{array}{l} mx + y = 1\\ 2x - y = 2 \end{array} \right.\)                  8, \(\left\{ \begin{array}{l} x + my = 4\\ x - 2y = 3 \end{array} \right.\)                9, \(\left\{ \begin{array}{l} mx + y = 10\\ 2x - 3y = 6 \end{array} \right.\)

10, \(\left\{ \begin{array}{l} mx + y = 5\\ 2x - y = - 2 \end{array} \right.\)

Bài tập 2: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x - my = 3m - 1 \\ 2x - y = m + 5 \\ \end{matrix} \right.\)

a, Giải hệ khi m = 2

b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thảo mãn: \(S = x^{2} + y^{2}\)đặt gái trị nhỏ nhất

Hướng dẫn 

b, Từ \((2) = > y = 2x - m - 5 = > (m + 1)x = (m + 1)^{2}\), Điều kiện hệ có nghiệm là m # -1

=> x = m+1, y = m - 3 => \(S = (m + 1)^{2} + (m - 3)^{2} = 2m^{2} - 4m + 10\)

Bài tập 3: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} x + my = 2 \\ mx - 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.\)

a, Giải hệ phương trình khi m=2.

b, Tìm tất cả các giá trị của m nguyên để pt có nghiệm duy nhất t/m x>0, y<0.

c, Tìm số m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất cũng là các số nguyên.

Bài tập 4: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} mx + 4y = m + 2 \\ x + my = m \\ \end{matrix} \right.\)

a, Giải hệ phương trình khi m=1.

b, Giải và biện luận hệ phương trình.

c, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x y nguyên.

Bài tập 5: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x + y = 3m - 4 \\ x + (m - 1)y = m \\ \end{matrix} \right.\)

a, Giải hệ khi m = -1.

b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x+y=3.

Bài tập 6: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} (2m + 1)x + y = 2m - 2 \\ m^{2}x - y = m^{2} - 3m \\ \end{matrix} \right.\)

Trong đó m nguyên và \(m \neq - 1\), Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên?

Gợi ý:

Với \(m \neq - 1\) thì \(x = \frac{m - 2}{m + 1},y = \frac{3m}{m + 1}\) tìm m để x,y nguyên

Bài tập 7: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} (m + 1)x + my = 2m - 1 \\ mx - y = m^{2} - 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất để \(P = xy\) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 8: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} x - my = 0 \\ mx - y = m + 1 \\ \end{matrix} \right.\)

a, Giải hệ phương trình khi m = 3

b, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có hai nghiệm nguyên

Bài tập 9: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x + y = 3m - 4 \\ x + (m - 1)y = m \\ \end{matrix} \right.\)

a, Giải hệ phương trình

b, Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên

c, Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm nguyên dương duy nhất

Gợi ý

a, Với \(m \neq 0,m \neq 2 = > x = \frac{3m - 2}{m},y = \frac{m - 2}{m}\)

c, Nếu m < 0 hoặc m > 2 do x = y+2 => y > 0 => x > 0

Bài tập 10: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} ax + ay = a^{2} \\ x + ay = 2 \\ \end{matrix} \right.\)

a, Giải hệ phương trình với a = 2

b, Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

--------------------------------------------

Trên đây là hướng dẫn chi tiết và bài tập mẫu về dạng "Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất" – một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chương trình Toán lớp 9 và các đề thi vào lớp 10 môn Toán. Khi đã nắm được điều kiện tồn tại nghiệm duy nhất và phương pháp biến đổi hệ hợp lý, bạn sẽ giải quyết dạng bài này một cách dễ dàng.

Để học tốt hơn, bạn nên luyện thêm các dạng liên quan như: tìm m để hệ vô nghiệm, hệ có vô số nghiệm, hệ phụ thuộc tham số, và áp dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số tùy theo từng trường hợp. Đừng quên theo dõi thêm các chuyên đề Toán 9 khác như: phương trình bậc hai, bất phương trình, hàm số bậc nhất, bất đẳng thức,... để củng cố toàn diện kỹ năng giải toán. Chúc bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng sắp tới!