Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn.
- Chuyên đề Hệ phương trình lớp 9
- Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 5: Hệ phương trình
- Các dạng hệ phương trình đặc biệt
Bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.
I. Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
\(\left\{ \begin{array}{l}
ax + by = c\\
a'x + b'y = c'
\end{array} \right.\)với các hệ số a, b, a’, b’ khác 0
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\).
II. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 1: Tìm m để hệ phương trình 3x - 2y = m + 3 và (m - 5)x + 3y = 6 có nghiệm duy nhất
Lời giải:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y = m + 3\\
\left( {m - 5} \right)x + 3y = 6
\end{array} \right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow \frac{{m - 5}}{3} \ne \frac{3}{{ - 2}} \Leftrightarrow m - 5 \ne \frac{{ - 9}}{2} \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}\)
Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2: Tìm m để hệ phương trình (m + 2)x + (m+2)y = 3 và x + 3y = 4 có nghiệm duy nhất
Lời giải:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 2} \right)x + \left( {m + 2} \right)y = 3\\
x + 3y = 4
\end{array} \right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{1} \ne \frac{{m + 2}}{3}\\
\Leftrightarrow 3\left( {m + 1} \right) \ne m + 2\\
\Leftrightarrow 3m + 3 \ne m + 2\\
\Leftrightarrow 2m \ne - 1\\
\Leftrightarrow m \ne \frac{{ - 1}}{2}
\end{array}\)
Vậy với \(m \ne \frac{{ - 1}}{2}\)thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 3: Cho hệ phương trình sau: \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2y = 3 \\
2x + y = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\). Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( x_{0};y_{0}
\right)\) với \(x_{0} =
y_{0}\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
x + 2y = 3 \\
2x + y = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 3 - 2y \\
2x + y = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 3 - 2y \\
2(3 - 2y) + y = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 3 - 2y \\
6 - 3y = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 3 - 2y \\
y = \dfrac{8 - m}{3} \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = \dfrac{2m - 7}{3} \\
y = \dfrac{8 - m}{3} \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
x + 2y = 3 \\
2x + y = m - 2 \\
\end{matrix} \right.\) nhận \((x;y) =
\left( \frac{2m - 7}{3};\frac{8 - m}{3} \right)\) là nghiệm.
Mặt khác theo bài ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( x_{0};y_{0} \right)\) với \(x_{0} = y_{0}\) nên
\(\frac{2m - 7}{3} = \frac{8 -
m}{3}\)
\(\Leftrightarrow 2m - 7 = 8 - m
\Leftrightarrow 3m = 15 \Leftrightarrow m = 5\)
Vậy \(m = 5\) là giá trị cần tìm.
Bài 4. Cho hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
x + my = m + 1\ \ \ \ (1) \\
mx + y = 3m - 1\ \ \ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\). Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) sao cho \(x;y\) là các số nguyên.
Hướng dẫn giải
Từ phương trình (2) ta có: \(y = 3m - 1 -
mx\)
Thế vào phương trình (1) ta được:
\(x + m(3m - 1 - mx) = m + 1\)
\(\Leftrightarrow \left( m^{2} - 1 \right)
= 3m^{2} - 2m - 1\ \ \ (3)\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là \(m^{2} - 1 \neq 0
\Leftrightarrow m \neq \pm 1\)
Khi đó hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{matrix}
x = \dfrac{3m^{2} - 2m - 1}{m^{2} - 1} = \dfrac{(m - 1)(3m + 1)}{(m - 1)(m
+ 1)} \\
y = 3m - 1 - m.\dfrac{3m + 1}{m + 1} \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = \dfrac{3m + 1}{m + 1} = 3 - \dfrac{2}{m + 1} \\
y = \dfrac{m - 1}{m + 1} = 1 - \dfrac{2}{m + 1} \\
\end{matrix} \right.\)
Để \(x;y\mathbb{\in Z}\) thì \(\frac{2}{m + 1}\mathbb{\in Z \Rightarrow}(m + 1)
\in \left\{ - 2; - 1;1;2 \right\}\)
\(\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 2;0;1
\right\}\)
Kết hợp điều kiện \(m \neq \pm 1\) chỉ có \(m \in \left\{ - 3; - 2;0
\right\}\)thỏa mãn.
Vậy \(m \in \left\{ - 3; - 2;0
\right\}\) là các giá trị cần tìm.
Bài 5. Cho hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
(m - 1)x + y = m\ \ \ \ (1) \\
x + (m - 1)y = 2\ \ \ \ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\) với m là tham số. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y)\).
Tìm đẳng thức liên hệ giữa \(x;y\) không phụ thuộc vào tham số m.
Hướng dẫn giải
Từ phương trình (1) ta có: \(y = m - (m -
1)x\) thay vào phương trình (2) ta được:
\(x + (m - 1)\left\lbrack m - (m - 1)x
\right\rbrack = 2\)
\(\Leftrightarrow \left( m^{2} - 2m
\right)x = m^{2} - m - 2\)
\(\Leftrightarrow m(m - 2)x = (m - 2)(m +
1)\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \neq 0 \\
m \neq 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = \dfrac{m + 1}{m} \\
y = \dfrac{1}{m} \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
x = \dfrac{m + 1}{m} \\
y = \dfrac{1}{m} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x - y = 1\) là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 6. Cho hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
2x + 3y = 1\ \ \ (1) \\
mx + 2y = 1\ \ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\).
a) Tìm số nguyên của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) với \(x;y\mathbb{\in Z}\).
b) Chứng minh rằng khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) điểm \(M(x;y)\) luôn chạy trên một đường tròn cố định.
Hướng dẫn giải
a) Trừ từng vế của phương trình (1) và phương trình (2) ta được:
\((2 - m)x + (m - 2)y = 0\)
\(\Leftrightarrow (2 - m)(x - y) =
0\)
Với m = 2 thay vào hệ ta được \(\left\{
\begin{matrix}
2x + 2y = 1 \\
2x + 2y = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Hệ vô số nghiệm
Với \(m \neq 2 \Rightarrow x = y\) thay vào (1) ta được: \((2 + m)x =
1(*)\)
Nếu \(m = - 2\) thì phương trình (*) trở thành \(0x = 1\) (vô nghiệm)
Do đó hệ vô nghiệm
Nếu \(m \neq - 2\) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất \(x = y = \frac{1}{m
+ 2}\)
Ta có:
\(x;y\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{1}{m
+ 2}\mathbb{\in Z \Rightarrow}m + 2 \in \left\{ - 1;1
\right\}\)
\(\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 1
\right\}\).
Vậy \(m \in \left\{ - 3; - 1
\right\}\)là các giá trị cần tìm.
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi đó \(x = y = \frac{1}{m + 2}\)
\(\Rightarrow x - y = 0\ \
(d)\)
Như vậy điểm M luôn chạy trên đường thẳng (d) cố định.
III. Bài tập tự luyện tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Tìm các giá trị của m để các hệ phương trình dưới đây có nghiệm duy nhất
1, \(\left\{ \begin{array}{l}
4x + 6y = 9\\
mx + 3y = 5
\end{array} \right.\)
2, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 5\\
4x + 3y = m
\end{array} \right.\)
3, \(\left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 5\\
x + y = 1
\end{array} \right.\)
4, \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x + 3y = 5\\
5x - 2y = 3
\end{array} \right.\)
5, \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = - 1\\
2x + my = m + 3
\end{array} \right.\)
6, \(\left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 5\\
x + y = 1
\end{array} \right.\)
7, \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 1\\
2x - y = 2
\end{array} \right.\)
8, \(\left\{ \begin{array}{l}
x + my = 4\\
x - 2y = 3
\end{array} \right.\)
9, \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 10\\
2x - 3y = 6
\end{array} \right.\)
10, \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 5\\
2x - y = - 2
\end{array} \right.\)
-----------------
Trên đây VnDoc đã hướng dẫn các bạn chuyên đề tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Toán lớp 9. Hy vọng đây là tài liệu hữu ích giúp các bạn làm quen với nhiều dạng Toán khác nhau, từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi học kì 2 lớp 9 cũng như kì thi vào lớp 10 sắp tới đạt kết quả cao.
Để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh tham khảo thêm tài liệu về các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!
