Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B và tính diện ích tam giác OAB cung cấp cho các em phần lý thuyết và các dạng bài thường gặp, giúp các em dễ dàng khi gặp các bài toán liên quan. 

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax2 (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx - n = 0(1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay

2. Cách làm dạng toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có tọa độ A(x1; y1) và B(x2; y2) với x1 và x2 là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P)

+ Gọi A’ là hình chiếu của A trên Ox, B’ là hình chiếu của B trên Ox

+ Khi đó A’(x1;0) và B’(x2; 0) và độ dài của OA' = |x1|; OB' = |x2| và AA' = |y1|; BB' = |y2|

+ Để tính được diện tích của tam giác OAB ta sẽ lấy hiệu giữa diện tích hình thang vuông ABB’A’ với tổng hai diện tích tam giác vuông OAA’ và tam giác vuông OBB’ để tính được diện tích tam giác OAB.

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = \frac{1}{2}{x^2}\(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng \frac{3}{2}\(\frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d) và parabol (P) là:

\frac{1}{2}{x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2 = 0\(\frac{1}{2}{x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2 = 0\)(1)

Do ac < 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu lần lượt là A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\(A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) trong đó {x_A} < 0 < {x_B}\({x_A} < 0 < {x_B}\)

Theo Vi-ét có: \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\
{x_A}{x_B} = \frac{c}{a} =  - 2
\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\ {x_A}{x_B} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.\)

Gọi A\(A'\left( {{x_A};0} \right)\)B\(B'\left( {{x_B};0} \right)\) là chân đường cao lần lượt hạ từ A và B xuống Ox. Khi đó ABB’A’ là hình thang vuông tại A’ và B’, các tam giác OAA’ và OBB’ là tam giác vuông

Ta có {S_{OAB}} = {S_{ABB\({S_{OAB}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{OAA'}} - {S_{OBB'}} = \frac{3}{2}\)

\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {AA\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {AA' + BB'} \right).A'B' - \frac{1}{2}AA'.A'O - \frac{1}{2}BB'.B'O = \frac{3}{2}\)

\Leftrightarrow AA\(\Leftrightarrow AA' + BB'.A'B' - AA'.A'O - BB'.B'O = 3\)

\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {{y_A} + {y_B}} \right)\left( {{x_B} - {x_A}} \right) - {y_A}\left( {{x_O} - {x_A}} \right) - {y_B}\left( {{x_B} - {x_O}} \right) = 3\\
 \Leftrightarrow {y_A}{x_B} - {x_A}{y_B} = 3\\
 \Leftrightarrow \left( {m{x_A} + 1} \right){x_B} - {x_A}\left( {m{x_B} + 1} \right) = 3\\
 \Leftrightarrow {x_B} - {x_A} = 1
\end{array}\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{y_A} + {y_B}} \right)\left( {{x_B} - {x_A}} \right) - {y_A}\left( {{x_O} - {x_A}} \right) - {y_B}\left( {{x_B} - {x_O}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {y_A}{x_B} - {x_A}{y_B} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {m{x_A} + 1} \right){x_B} - {x_A}\left( {m{x_B} + 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {x_B} - {x_A} = 1 \end{array}\)

Kết hợp Vi-ét ta được \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = 2m\\
{x_B} - {x_A} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = m + \frac{3}{2}\\
{x_A} = m - \frac{3}{2}
\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = 2m\\ {x_B} - {x_A} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = m + \frac{3}{2}\\ {x_A} = m - \frac{3}{2} \end{array} \right.\)

\Rightarrow \left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {m + \frac{3}{2}} \right) =  - 2 \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{2}\(\Rightarrow \left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {m + \frac{3}{2}} \right) = - 2 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\)

Vậy với m =  \pm \frac{1}{2}\(m = \pm \frac{1}{2}\) thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2.

Bài 2:  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy\(Oxy\) cho parabol (P):y = \frac{x^{2}}{2}\((P):y = \frac{x^{2}}{2}\) và đường thẳng y = - \frac{2}{m}x + 2\(y = - \frac{2}{m}x + 2\) với m \neq 0\(m \neq 0\). Chứng minh rằng đường thẳng (d)\((d)\) luôn cắt (P)\((P)\) tại hai điểm phân biệt M;N\(M;N\) nằm ở hai phía trục tung. Gọi I\(I\) là một điểm cố định mà (d)\((d)\) luôn đi qua. Tìm tham số m để diện tích tam giác CID\(CID\) bằng 4\sqrt{5}\(4\sqrt{5}\) với C;D\(C;D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M;N\(M;N\) trên trục hoành.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\frac{x^{2}}{2} = - \frac{2}{m}x +
2\(\frac{x^{2}}{2} = - \frac{2}{m}x + 2\) với m \neq 0\(m \neq 0\)

\Leftrightarrow mx^{2} + 4x - 4m =
0\(\Leftrightarrow mx^{2} + 4x - 4m = 0\)

\Delta\(\Delta' = 4 + 4m > 0;\forall m \neq 0\) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tức là (P)\((P)\)(d)\((d)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Hơn nữa x_{1}.x_{2} = \frac{- 4m}{m} = -
4 < 0\(x_{1}.x_{2} = \frac{- 4m}{m} = - 4 < 0\) nên hai giao điểm luôn nằm về hai phía trục tung.

Giả sử M\left( x_{1};y_{1}
\right),N\left( x_{2};y_{2} \right)\(M\left( x_{1};y_{1} \right),N\left( x_{2};y_{2} \right)\) với x_{1} < 0 < x_{2}\(x_{1} < 0 < x_{2}\). Khi đó ta có:

C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0
\right)\(C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)\)

Dễ thây parabol luôn đi qua điểm cố định I(0;2)\(I(0;2)\)

OI = 2;CD = \left| x_{1} \right| +
\left| x_{\ _{2}} \right| = x_{2} - x_{1}\(OI = 2;CD = \left| x_{1} \right| + \left| x_{\ _{2}} \right| = x_{2} - x_{1}\)

Suy ra diện tích tam giác ICD là:

S_{ICD} = \frac{1}{2}OI.CD =
\frac{1}{2}.2.\left( x_{2} - x_{1} \right)\(S_{ICD} = \frac{1}{2}OI.CD = \frac{1}{2}.2.\left( x_{2} - x_{1} \right)\)

\Rightarrow {S^{2}}_{ICD} = \left( x_{1}
+ x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}\(\Rightarrow {S^{2}}_{ICD} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = - \frac{4}{m} \\
x_{1}x_{2} = - 4 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow S^{2} = \frac{16}{m^{2}} +
16\(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{4}{m} \\ x_{1}x_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16\)

Từ giả thiết suy ra

S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16 = 80
\Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm
\frac{1}{2}\(S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16 = 80 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\)

Vậy m = \pm \frac{1}{2}\(m = \pm \frac{1}{2}\) để diện tích tam giác CID\(CID\) bằng 4\sqrt{5}\(4\sqrt{5}\).

Bài 3: Trong mặt phẳng cho parabol (P):y
= x^{2}\((P):y = x^{2}\) và đường thẳng (d):y = (m -
2)x + 3\((d):y = (m - 2)x + 3\).

a) Chứng minh rằng khi m\(m\) thay đổi (P)\((P)\) luôn cắt (d)\((d)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung.

c) Gọi x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) là các hoành độ giao điểm A;B\(A;B\) của (d)\((d)\) với (P)\((P)\) sao cho x_{1} < 0 < x_{2}\(x_{1} < 0 < x_{2}\). Xét các điểm A\left( x_{1};{x_{1}}^{2} \right),B\left(
x_{2};{x_{2}}^{2} \right),C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0
\right)\(A\left( x_{1};{x_{1}}^{2} \right),B\left( x_{2};{x_{2}}^{2} \right),C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)\). Tìm giá trị của tham số m để hai tam giác AOC;BOD\(AOC;BOD\) có diện tích bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d)\((d)\) với (P)\((P)\) là:

x^{2} = (m - 2)x + 3 \Leftrightarrow
x^{2} - (m - 2)x - 3 = 0(*)\(x^{2} = (m - 2)x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 2)x - 3 = 0(*)\)

Ta có:

\Delta = (m - 2)^{2} + 12\(\Delta = (m - 2)^{2} + 12\). Vì (m - 2)^{2} \geq 0\forall m\((m - 2)^{2} \geq 0\forall m\) nên \Delta \geq 12 > 0\(\Delta \geq 12 > 0\)

Suy ra phương trình (*)\((*)\) luôn có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2}\(x_{1};x_{2}\) hay đường thẳng (d)\((d)\) luôn cắt (P)\((P)\) tại hai điểm phân biệt A;B\(A;B\).

Theo hệ thức Vi- et ta có:

x_{1}.x_{2} = - 3 < 0\(x_{1}.x_{2} = - 3 < 0\) suy ra hai giao điểm A;B\(A;B\) nằm về hai phía trục tung.

b) Vì các điểm A;C\(A;C\) có cùng hoành độ và C \in Ox\(C \in Ox\) nên ta có:

AC\bot CO\(AC\bot CO\) tương tự BD\bot OD\(BD\bot OD\)

Tam giác AOC\(AOC\) vuông tại C\(C\), tam giác BDO\(BDO\) vuông tại D\(D\) nên ta có:

S_{AOC} = \frac{1}{2}OC.AC =
\frac{\left| x_{1} \right|\left| y_{1} \right|}{2} = -
\frac{x_{1}.{x_{1}}^{2}}{2} = - \frac{{x_{1}}^{3}}{2}\(S_{AOC} = \frac{1}{2}OC.AC = \frac{\left| x_{1} \right|\left| y_{1} \right|}{2} = - \frac{x_{1}.{x_{1}}^{2}}{2} = - \frac{{x_{1}}^{3}}{2}\)

S_{BOD} = \frac{1}{2}OD.BD =
\frac{\left| x_{2} \right|\left| y_{2} \right|}{2} =
\frac{x_{2}.{x_{2}}^{2}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2}\(S_{BOD} = \frac{1}{2}OD.BD = \frac{\left| x_{2} \right|\left| y_{2} \right|}{2} = \frac{x_{2}.{x_{2}}^{2}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2}\)

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

- \frac{{x_{1}}^{3}}{2} =
\frac{{x_{2}}^{3}}{2} \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow
x_{1} + x_{2} = 0\(- \frac{{x_{1}}^{3}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2} \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0\)

Theo hệ thức Vi – et ta có: x_{1} + x_{2}
= m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2\(x_{1} + x_{2} = m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2\)

Vậy m = 2\(m = 2\) là giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho parabol (P):y = x^{2}\((P):y = x^{2}\) và đường thẳng (d):y = - x + 2\((d):y = - x + 2\).

a) Gọi A\(A\)B\(B\) tọa độ giao điểm của (P)\((P)\)(d)\((d)\)x_{A}
> x_{B}\(x_{A} > x_{B}\). Tìm tọa độ của A;B\(A;B\)?

b) Tính diện tích tam giác OAB\(OAB\).

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (P)\((P)\)(d)\((d)\) là:

x^{2} = - x + 2 \Leftrightarrow x^{2} +
x - 2 = 0\(x^{2} = - x + 2 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0\)

\Leftrightarrow (x - 1)(x + 2) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow y = 1 \\
x = - 2 \Rightarrow y = 4 \\
\end{matrix} \right.\(\Leftrightarrow (x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 2 \Rightarrow y = 4 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy (P)\((P)\)(d)\((d)\) cắt nhau tại hai điểm A(1;1),B( - 2;4)\(A(1;1),B( - 2;4)\).

b) Gọi C;D\(C;D\) lần lượt là hình chiếu của B;A\(B;A\) trên Ox\(Ox\) như hình vẽ:

Ta có:

S_{BCDA} = \frac{(BC + AD).CD}{2} =
\frac{(4 + 1).3}{2} = \frac{15}{2}\(S_{BCDA} = \frac{(BC + AD).CD}{2} = \frac{(4 + 1).3}{2} = \frac{15}{2}\)

S_{BCO} = \frac{BC.CO}{2} =
4\(S_{BCO} = \frac{BC.CO}{2} = 4\)

S_{ADO} = \frac{AD.DO}{2} =
\frac{1}{2}\(S_{ADO} = \frac{AD.DO}{2} = \frac{1}{2}\)

\Rightarrow S_{OAB} = S_{BCDA} - S_{BCO}
- S_{ADO} = 3\(\Rightarrow S_{OAB} = S_{BCDA} - S_{BCO} - S_{ADO} = 3\)

Vậy diện tích tam giác OAB\(OAB\) bằng 3\(3\) (đvdt).

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng giá trị cho trước

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P): y = x2. Biết rằng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích OAB bằng bao nhiêu?

Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = 2x + m và parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 9.

Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm tọa độ giao điểm A, B của đường thẳng (d) và parabol (P). Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = -x + 2 và parabol (P): y = x2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi A, B là các giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích của tam giác OAB.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
14
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
1 Bình luận
Sắp xếp theo
  • Khánh Trần Quang
    Khánh Trần Quang

    Này cho t hỏi tại sao xB và xA lại không có trị tuyệt đối vậy thank

    Thích Phản hồi 04/05/21
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Chuyên đề Toán 9

Xem thêm