VnDoc.com

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề thi vào lớp 10: Tìm m để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt A, B. Tính diện tích tam giác OAB

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước
II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước
III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng giá trị cho trước

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B và tính diện ích tam giác OAB cung cấp cho các em phần lý thuyết và các dạng bài thường gặp, giúp các em dễ dàng khi gặp các bài toán liên quan.

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax² (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0(1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay

2. Cách làm dạng toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có tọa độ A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) với x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P)

+ Gọi A’ là hình chiếu của A trên Ox, B’ là hình chiếu của B trên Ox

+ Khi đó A’(x₁;0) và B’(x₂; 0) và độ dài của OA' = |x₁|; OB' = |x₂| và AA' = |y₁|; BB' = |y₂|

+ Để tính được diện tích của tam giác OAB ta sẽ lấy hiệu giữa diện tích hình thang vuông ABB’A’ với tổng hai diện tích tam giác vuông OAA’ và tam giác vuông OBB’ để tính được diện tích tam giác OAB.

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ $y = \frac{1}{2}{x^2}$. Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d) và parabol (P) là:

$\frac{1}{2}{x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2 = 0$ $\frac{1}{2}{x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2 = 0$(1)

Do ac < 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu lần lượt là $A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ $A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ trong đó ${x_A} < 0 < {x_B}$ ${x_A} < 0 < {x_B}$

Theo Vi-ét có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\ {x_A}{x_B} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\ {x_A}{x_B} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.$

Gọi $A'\left( {{x_A};0} \right)$ và $B'\left( {{x_B};0} \right)$ là chân đường cao lần lượt hạ từ A và B xuống Ox. Khi đó ABB’A’ là hình thang vuông tại A’ và B’, các tam giác OAA’ và OBB’ là tam giác vuông

Ta có ${S_{OAB}} = {S_{ABB$ ${S_{OAB}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{OAA'}} - {S_{OBB'}} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {AA$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {AA' + BB'} \right).A'B' - \frac{1}{2}AA'.A'O - \frac{1}{2}BB'.B'O = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow AA$ $\Leftrightarrow AA' + BB'.A'B' - AA'.A'O - BB'.B'O = 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{y_A} + {y_B}} \right)\left( {{x_B} - {x_A}} \right) - {y_A}\left( {{x_O} - {x_A}} \right) - {y_B}\left( {{x_B} - {x_O}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {y_A}{x_B} - {x_A}{y_B} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {m{x_A} + 1} \right){x_B} - {x_A}\left( {m{x_B} + 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {x_B} - {x_A} = 1 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{y_A} + {y_B}} \right)\left( {{x_B} - {x_A}} \right) - {y_A}\left( {{x_O} - {x_A}} \right) - {y_B}\left( {{x_B} - {x_O}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {y_A}{x_B} - {x_A}{y_B} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {m{x_A} + 1} \right){x_B} - {x_A}\left( {m{x_B} + 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {x_B} - {x_A} = 1 \end{array}$

Kết hợp Vi-ét ta được $\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = 2m\\ {x_B} - {x_A} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = m + \frac{3}{2}\\ {x_A} = m - \frac{3}{2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = 2m\\ {x_B} - {x_A} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = m + \frac{3}{2}\\ {x_A} = m - \frac{3}{2} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {m + \frac{3}{2}} \right) = - 2 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {m + \frac{3}{2}} \right) = - 2 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$

Vậy với $m = \pm \frac{1}{2}$ $m = \pm \frac{1}{2}$ thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng giá trị cho trước

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P): y = x². Biết rằng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích OAB bằng bao nhiêu?

Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = 2x + m và parabol (P): y = x². Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 9.

Bài 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm tọa độ giao điểm A, B của đường thẳng (d) và parabol (P). Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = -x + 2 và parabol (P): y = x². Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi A, B là các giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích của tam giác OAB.