Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B và tính diện ích tam giác OAB cung cấp cho các em phần lý thuyết và các dạng bài thường gặp, giúp các em dễ dàng khi gặp các bài toán liên quan. 

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax² (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0(1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay

2. Cách làm dạng toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có tọa độ A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) với x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P)

+ Gọi A’ là hình chiếu của A trên Ox, B’ là hình chiếu của B trên Ox

+ Khi đó A’(x₁;0) và B’(x₂; 0) và độ dài của OA' = |x₁|; OB' = |x₂| và AA' = |y₁|; BB' = |y₂|

+ Để tính được diện tích của tam giác OAB ta sẽ lấy hiệu giữa diện tích hình thang vuông ABB’A’ với tổng hai diện tích tam giác vuông OAA’ và tam giác vuông OBB’ để tính được diện tích tam giác OAB.

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\). Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng \(\frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d) và parabol (P) là:

\(\frac{1}{2}{x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2 = 0\)(1)

Do ac < 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu lần lượt là \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) trong đó \({x_A} < 0 < {x_B}\)

Theo Vi-ét có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\ {x_A}{x_B} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.\)

Gọi \(A'\left( {{x_A};0} \right)\) và \(B'\left( {{x_B};0} \right)\) là chân đường cao lần lượt hạ từ A và B xuống Ox. Khi đó ABB’A’ là hình thang vuông tại A’ và B’, các tam giác OAA’ và OBB’ là tam giác vuông

Ta có \({S_{OAB}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{OAA'}} - {S_{OBB'}} = \frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {AA' + BB'} \right).A'B' - \frac{1}{2}AA'.A'O - \frac{1}{2}BB'.B'O = \frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow AA' + BB'.A'B' - AA'.A'O - BB'.B'O = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{y_A} + {y_B}} \right)\left( {{x_B} - {x_A}} \right) - {y_A}\left( {{x_O} - {x_A}} \right) - {y_B}\left( {{x_B} - {x_O}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {y_A}{x_B} - {x_A}{y_B} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {m{x_A} + 1} \right){x_B} - {x_A}\left( {m{x_B} + 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {x_B} - {x_A} = 1 \end{array}\)

Kết hợp Vi-ét ta được \(\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = 2m\\ {x_B} - {x_A} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = m + \frac{3}{2}\\ {x_A} = m - \frac{3}{2} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {m + \frac{3}{2}} \right) = - 2 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\)

Vậy với \(m = \pm \frac{1}{2}\) thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2.

Bài 2:  Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \((P):y = \frac{x^{2}}{2}\) và đường thẳng \(y = - \frac{2}{m}x + 2\) với \(m \neq 0\). Chứng minh rằng đường thẳng \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(M;N\) nằm ở hai phía trục tung. Gọi \(I\) là một điểm cố định mà \((d)\) luôn đi qua. Tìm tham số m để diện tích tam giác \(CID\) bằng \(4\sqrt{5}\) với \(C;D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M;N\) trên trục hoành.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac{x^{2}}{2} = - \frac{2}{m}x + 2\) với \(m \neq 0\)

\(\Leftrightarrow mx^{2} + 4x - 4m = 0\)

Vì \(\Delta' = 4 + 4m > 0;\forall m \neq 0\) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tức là \((P)\) và \((d)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Hơn nữa \(x_{1}.x_{2} = \frac{- 4m}{m} = - 4 < 0\) nên hai giao điểm luôn nằm về hai phía trục tung.

Giả sử \(M\left( x_{1};y_{1} \right),N\left( x_{2};y_{2} \right)\) với \(x_{1} < 0 < x_{2}\). Khi đó ta có:

\(C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)\)

Dễ thây parabol luôn đi qua điểm cố định \(I(0;2)\)

\(OI = 2;CD = \left| x_{1} \right| + \left| x_{\ _{2}} \right| = x_{2} - x_{1}\)

Suy ra diện tích tam giác ICD là:

\(S_{ICD} = \frac{1}{2}OI.CD = \frac{1}{2}.2.\left( x_{2} - x_{1} \right)\)

\(\Rightarrow {S^{2}}_{ICD} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{4}{m} \\ x_{1}x_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16\)

Từ giả thiết suy ra

\(S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16 = 80 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\)

Vậy \(m = \pm \frac{1}{2}\) để diện tích tam giác \(CID\) bằng \(4\sqrt{5}\).

Bài 3: Trong mặt phẳng cho parabol \((P):y = x^{2}\) và đường thẳng \((d):y = (m - 2)x + 3\).

a) Chứng minh rằng khi \(m\) thay đổi \((P)\) luôn cắt \((d)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung.

c) Gọi \(x_{1};x_{2}\) là các hoành độ giao điểm \(A;B\) của \((d)\) với \((P)\) sao cho \(x_{1} < 0 < x_{2}\). Xét các điểm \(A\left( x_{1};{x_{1}}^{2} \right),B\left( x_{2};{x_{2}}^{2} \right),C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)\). Tìm giá trị của tham số m để hai tam giác \(AOC;BOD\) có diện tích bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) với \((P)\) là:

\(x^{2} = (m - 2)x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 2)x - 3 = 0(*)\)

Ta có:

\(\Delta = (m - 2)^{2} + 12\). Vì \((m - 2)^{2} \geq 0\forall m\) nên \(\Delta \geq 12 > 0\)

Suy ra phương trình \((*)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\) hay đường thẳng \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A;B\).

Theo hệ thức Vi- et ta có:

\(x_{1}.x_{2} = - 3 < 0\) suy ra hai giao điểm \(A;B\) nằm về hai phía trục tung.

b) Vì các điểm \(A;C\) có cùng hoành độ và \(C \in Ox\) nên ta có:

\(AC\bot CO\) tương tự \(BD\bot OD\)

Tam giác \(AOC\) vuông tại \(C\), tam giác \(BDO\) vuông tại \(D\) nên ta có:

\(S_{AOC} = \frac{1}{2}OC.AC = \frac{\left| x_{1} \right|\left| y_{1} \right|}{2} = - \frac{x_{1}.{x_{1}}^{2}}{2} = - \frac{{x_{1}}^{3}}{2}\)

\(S_{BOD} = \frac{1}{2}OD.BD = \frac{\left| x_{2} \right|\left| y_{2} \right|}{2} = \frac{x_{2}.{x_{2}}^{2}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2}\)

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

\(- \frac{{x_{1}}^{3}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2} \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0\)

Theo hệ thức Vi – et ta có: \(x_{1} + x_{2} = m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2\)

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho parabol \((P):y = x^{2}\) và đường thẳng \((d):y = - x + 2\).

a) Gọi \(A\) và \(B\) tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) và \(x_{A} > x_{B}\). Tìm tọa độ của \(A;B\)?

b) Tính diện tích tam giác \(OAB\).

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là:

\(x^{2} = - x + 2 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 2 \Rightarrow y = 4 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy \((P)\) và \((d)\) cắt nhau tại hai điểm \(A(1;1),B( - 2;4)\).

b) Gọi \(C;D\) lần lượt là hình chiếu của \(B;A\) trên \(Ox\) như hình vẽ:

Ta có:

\(S_{BCDA} = \frac{(BC + AD).CD}{2} = \frac{(4 + 1).3}{2} = \frac{15}{2}\)

\(S_{BCO} = \frac{BC.CO}{2} = 4\)

\(S_{ADO} = \frac{AD.DO}{2} = \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow S_{OAB} = S_{BCDA} - S_{BCO} - S_{ADO} = 3\)

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(3\) (đvdt).

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng giá trị cho trước

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P): y = x². Biết rằng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích OAB bằng bao nhiêu?

Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = 2x + m và parabol (P): y = x². Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 9.

Bài 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm tọa độ giao điểm A, B của đường thẳng (d) và parabol (P). Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = -x + 2 và parabol (P): y = x². Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi A, B là các giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích của tam giác OAB.