Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B và tính diện ích tam giác OAB là một dạng toán nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng...", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = a{x^2} (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0 (1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay

2. Cách làm dạng toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có tọa độ A(x1; y1) và B(x2; y2) với x1 và x2 là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P)

+ Gọi A’ là hình chiếu của A trên Ox, B’ là hình chiếu của B trên Ox

+ Khi đó A’(x1;0) và B’(x2; 0) và độ dài của OA' = \left| {{x_1}} \right|;OB' = \left| {{x_2}} \right|AA' = \left| {{y_1}} \right|;\left| {BB'} \right| = \left| {{y_2}} \right|

+ Để tính được diện tích của tam giác OAB ta sẽ lấy hiệu giữa diện tích hình thang vuông ABB’A’ với tổng hai diện tích tam giác vuông OAA’ và tam giác vuông OBB’ để tính được diện tích tam giác OAB

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = \frac{1}{2}{x^2}. Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng \frac{3}{2}

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d) và parabol (P) là:

\frac{1}{2}{x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2 = 0(1)

Do ac < 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu lần lượt là A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right) trong đó {x_A} < 0 < {x_B}

Theo Vi-ét có: \left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\ {x_A}{x_B} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.

Gọi A'\left( {{x_A};0} \right)B'\left( {{x_B};0} \right) là chân đường cao lần lượt hạ từ A và B xuống Ox. Khi đó ABB’A’ là hình thang vuông tại A’ và B’, các tam giác OAA’ và OBB’ là tam giác vuông

Ta có {S_{OAB}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{OAA'}} - {S_{OBB'}} = \frac{3}{2}

\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {AA' + BB'} \right).A'B' - \frac{1}{2}AA'.A'O - \frac{1}{2}BB'.B'O = \frac{3}{2}

\Leftrightarrow AA' + BB'.A'B' - AA'.A'O - BB'.B'O = 3

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{y_A} + {y_B}} \right)\left( {{x_B} - {x_A}} \right) - {y_A}\left( {{x_O} - {x_A}} \right) - {y_B}\left( {{x_B} - {x_O}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {y_A}{x_B} - {x_A}{y_B} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {m{x_A} + 1} \right){x_B} - {x_A}\left( {m{x_B} + 1} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {x_B} - {x_A} = 1 \end{array}

Kết hợp Vi-ét ta được \left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = 2m\\ {x_B} - {x_A} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = m + \frac{3}{2}\\ {x_A} = m - \frac{3}{2} \end{array} \right.

\Rightarrow \left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {m + \frac{3}{2}} \right) = - 2 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}

Vậy với m = \pm \frac{1}{2} thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng giá trị cho trước

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P): y = {x^2}. Biết rằng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích OAb bằng bao nhiêu?

Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = 2x + m và parabol (P): y = {x^2}. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 9

Bài 3: Cho parabol (P): y = {x^2} và đường thẳng (d): y = -2x + 3. Tìm tọa độ giao điểm A, B của đường thẳng (d) và parabol (P). Tính diện tích tam giác AOB

----------

Ngoài chuyên đề ôn tập Toán lớp 9 trên, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
1 3.556
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Đề thi học kì 2 lớp 9 môn Toán Xem thêm