VnDoc.com

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Đề thi

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề thi vào lớp 10: Tìm m để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt A, B. Tính diện tích tam giác OAB

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước
II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước
III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng giá trị cho trước

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề hệ thức giữa đường thẳng và parabol là một trong những dạng toán quan trọng thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Một trong những bài tập điển hình là tìm tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời thỏa mãn một điều kiện hình học nhất định, chẳng hạn diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước.

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm m trong bài toán (d) cắt (P) với điều kiện diện tích tam giác OAB = 9/2, giúp học sinh rèn luyện tư duy, kỹ năng biến đổi và phương pháp giải bài tập nâng cao trong chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10.

I. Kiến thức cần nhớ khi giải bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax² (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax² = mx + n ⇔ ax² - mx - n = 0(1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay

2. Cách làm dạng toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng một giá trị cho trước

+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có tọa độ A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) với x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P)

+ Gọi A’ là hình chiếu của A trên Ox, B’ là hình chiếu của B trên Ox

+ Khi đó A’(x₁;0) và B’(x₂; 0) và độ dài của OA' = |x₁|; OB' = |x₂| và AA' = |y₁|; BB' = |y₂|

+ Để tính được diện tích của tam giác OAB ta sẽ lấy hiệu giữa diện tích hình thang vuông ABB’A’ với tổng hai diện tích tam giác vuông OAA’ và tam giác vuông OBB’ để tính được diện tích tam giác OAB.

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ . Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\frac{3}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng (d) và parabol (P) là:

$\frac{1}{2}{x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2 = 0$ (1)

Do ac < 0 nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm có hoành độ trái dấu lần lượt là $A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ trong đó ${x_A} < 0 < {x_B}$

Theo Vi-ét có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\ {x_A}{x_B} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.$

Gọi $A'\left( {{x_A};0} \right)$ và $B'\left( {{x_B};0} \right)$ là chân đường cao lần lượt hạ từ A và B xuống Ox. Khi đó ABB’A’ là hình thang vuông tại A’ và B’, các tam giác OAA’ và OBB’ là tam giác vuông

Ta có:

${S_{OAB}} = {S_{ABB'A'}} - {S_{OAA'}} - {S_{OBB'}} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {AA' + BB'} \right).A'B' - \frac{1}{2}AA'.A'O - \frac{1}{2}BB'.B'O = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow AA' + BB'.A'B' - AA'.A'O - BB'.B'O = 3$

$\Leftrightarrow \left( {{y_A} + {y_B}} \right)\left( {{x_B} - {x_A}} \right) - {y_A}\left( {{x_O} - {x_A}} \right) - {y_B}\left( {{x_B} - {x_O}} \right) = 3$

$\Leftrightarrow {y_A}{x_B} - {x_A}{y_B} = 3$

$\Leftrightarrow \left( {m{x_A} + 1} \right){x_B} - {x_A}\left( {m{x_B} + 1} \right) = 3$

$\Leftrightarrow {x_B} - {x_A} = 1$

Kết hợp Vi-ét ta được $\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} = 2m\\ {x_B} - {x_A} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_B} = m + \frac{3}{2}\\ {x_A} = m - \frac{3}{2} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {m + \frac{3}{2}} \right) = - 2 \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$

Vậy với $m = \pm \frac{1}{2}$ thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol $(P):y = \frac{x^{2}}{2}$ và đường thẳng $y = - \frac{2}{m}x + 2$ với $m \neq 0$ . Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N nằm ở hai phía trục tung. Gọi I là một điểm cố định mà (d) luôn đi qua. Tìm tham số m để diện tích tam giác CID bằng $4\sqrt{5}$ với C; D lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên trục hoành.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\frac{x^{2}}{2} = - \frac{2}{m}x + 2$ với $m \neq 0$

$\Leftrightarrow mx^{2} + 4x - 4m = 0$

Vì $\Delta' = 4 + 4m > 0;\forall m \neq 0$ nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tức là (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Hơn nữa $x_{1}.x_{2} = \frac{- 4m}{m} = - 4 < 0$ nên hai giao điểm luôn nằm về hai phía trục tung.

Giả sử $M\left( x_{1};y_{1} \right),N\left( x_{2};y_{2} \right)$ với $x_{1} < 0 < x_{2}$ . Khi đó ta có:

$C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)$

Dễ thây parabol luôn đi qua điểm cố định I(0; 2)

$OI = 2;CD = \left| x_{1} \right| + \left| x_{\ _{2}} \right| = x_{2} - x_{1}$

Suy ra diện tích tam giác ICD là:

$S_{ICD} = \frac{1}{2}OI.CD = \frac{1}{2}.2.\left( x_{2} - x_{1} \right)$

$\Rightarrow {S^{2}}_{ICD} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{4}{m} \\ x_{1}x_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16$

Từ giả thiết suy ra

$S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16 = 80 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$

Vậy $m = \pm \frac{1}{2}$ để diện tích tam giác CID bằng $4\sqrt{5}$ .

Bài 3: Trong mặt phẳng cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng .

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung.

c) Gọi $x_{1};x_{2}$ là các hoành độ giao điểm A; B của (d) với (P) sao cho $x_{1} < 0 < x_{2}$ . Xét các điểm $A\left( x_{1};{x_{1}}^{2} \right),B\left( x_{2};{x_{2}}^{2} \right),C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)$ . Tìm giá trị của tham số m để hai tam giác AOC, BOD có diện tích bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) với (P) là:

$x^{2} = (m - 2)x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 2)x - 3 = 0(*)$

Ta có:

$\Delta = (m - 2)^{2} + 12$ . Vì $(m - 2)^{2} \geq 0\forall m$ nên $\Delta \geq 12 > 0$

Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ hay đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B.

Theo hệ thức Vi- et ta có:

$x_{1}.x_{2} = - 3 < 0$ suy ra hai giao điểm A: B nằm về hai phía trục tung.

b) Vì các điểm A; C có cùng hoành độ và $C \in Ox$ nên ta có:

$AC\bot CO$ tương tự $BD\bot OD$

Tam giác AOC vuông tại C, tam giác BDO vuông tại D nên ta có:

$S_{AOC} = \frac{1}{2}OC.AC = \frac{\left| x_{1} \right|\left| y_{1} \right|}{2} = - \frac{x_{1}.{x_{1}}^{2}}{2} = - \frac{{x_{1}}^{3}}{2}$

$S_{BOD} = \frac{1}{2}OD.BD = \frac{\left| x_{2} \right|\left| y_{2} \right|}{2} = \frac{x_{2}.{x_{2}}^{2}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2}$

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

$- \frac{{x_{1}}^{3}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2} \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $x_{1} + x_{2} = m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng .

a) Gọi A và B tọa độ giao điểm của (P) và (d) và $x_{A} > x_{B}$ . Tìm tọa độ của A; B?

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (P và (d) là:

$x^{2} = - x + 2 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 2 \Rightarrow y = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm .

b) Gọi A; D lần lượt là hình chiếu của B; A trên Ox như hình vẽ:

Ta có:

$S_{BCDA} = \frac{(BC + AD).CD}{2} = \frac{(4 + 1).3}{2} = \frac{15}{2}$

$S_{BCO} = \frac{BC.CO}{2} = 4$

$S_{ADO} = \frac{AD.DO}{2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow S_{OAB} = S_{BCDA} - S_{BCO} - S_{ADO} = 3$

Vậy diện tích tam giác OAB bằng 3 (đvdt).

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng giá trị cho trước

Bài tập 1. Cho hàm số $y = x^{2} - 2x - 2$ có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = x + m. Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho $OA^{2} + OB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. $m = - \frac{5}{2}.$ B. $m = \frac{5}{2}.$ C. D.

Bài tập 2. Cho đường thẳng d: y = x + 1 và Parabol $(P):y = x^{2} - x - 2$ . Biết rằng cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó diện tích tam giác OAB (với O là gốc hệ trục tọa độ) bằng

A. 4. B.2. C. $\frac{3}{2}$ . D. $\frac{5}{2}$ .

Bài tập 3. Cho hàm số bậc nhất $y = \left( m^{2} - 4m - 4 \right)x + 3m - 2$ có đồ thị là (d). Tìm số giá trị nguyên dương của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm , sao cho tam giác OAB là tam giác cân (O là gốc tọa độ).

A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Đáp án A

Phương pháp:

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Tìm điều kiện của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Vi-et để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $OA^{2} + OB^{2}$ .

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

$x^{2} - 2x - 2 = x + m \Leftrightarrow x^{2} - 3x - m - 2 = 0\ \ \ (*)$

cắt tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 9 + 4(m + 2) > 0 \Leftrightarrow 4m + 17 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{17}{4}.$

Gọi $A\left( x_{A};y_{A} \right),\ B\left( x_{B};y_{B} \right)$ là hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.

$\Rightarrow x_{A};\ x_{B}$ là hai nghiệm của phương trình(*).

Áp dụng định lý Vi-et ta có : $\left\{ \begin{matrix} x_{A} + x_{B} = 3 \\ x_{A}x_{B} = - m - 2 \end{matrix} \right.\ .$

Ta có: $OA = \sqrt{x_{A}^{2} + y_{A}^{2}},\ OB = \sqrt{x_{B}^{2} + y_{B}^{2}}$

$\Rightarrow OA^{2} + OB^{2} = x_{A}^{2} + y_{A}^{2} + x_{B}^{2} + y_{B}^{2} = \left( x_{A}^{2} + x_{B}^{2} \right) + \left( y_{A}^{2} + y_{B}^{2} \right)$

$= \left( x_{A}^{2} + x_{B}^{2} \right) + \left\lbrack \left( x_{A} + m \right)^{2} + \left( x_{B} + m \right)^{2} \right\rbrack$

$= x_{A}^{2} + x_{B}^{2} + x_{A}^{2} + x_{B}^{2} + 2m\left( x_{A} + x_{B} \right) + 2m^{2}$

$= 2\left( x_{A} + x_{B} \right)^{2} - 4x_{A}x_{B} + 2m\left( x_{A} + x_{B} \right) + 2m^{2}$

$= 2.3^{2} + 4(m + 2) + 2m.3 + 2m^{2}$

$= 2m^{2} + 10m + 26 = 2\left( m^{2} + 5m \right) + 26$

$= 2\left( m + \frac{5}{2} \right)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}$

Dấu xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}\ (tm).$

Vậy $OA^{2} + OB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $m = - \frac{5}{2}$ .

Bài tập 2.

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của và là $x^{2} - x - 2 = x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2x - 3 = 0$ .

Phương trình này có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$ .

Suy ra A(-1; 0) và B(3; 4).

Diện tích tam giác OAB bằng $\frac{1}{2}.1.3 = \frac{3}{2}$ .

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

--------------------------------------------------------------

Bài toán tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB = 9/2 không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về đường thẳng và parabol mà còn rèn luyện khả năng kết hợp hình học với đại số. Đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển sinh lớp 10, đặc biệt ở các câu hỏi nâng cao nhằm phân loại học sinh.

👉 Để học tốt chuyên đề này, bạn nên:

Ôn tập chắc kiến thức về phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P).
Nắm vững cách tính tọa độ các điểm A, B và công thức tính diện tích tam giác từ tọa độ.
Luyện tập thêm nhiều bài tương tự với điều kiện diện tích khác nhau để linh hoạt khi gặp đề thi.

Khi thành thạo phương pháp giải, bạn sẽ không chỉ giải quyết tốt các bài toán tham số m trong hệ tọa độ Oxy, mà còn tự tin hơn trong việc xử lý những bài toán khó ở các kỳ thi quan trọng.

Tải về

Chọn file muốn tải về: