VnDoc.com

Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương?

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề Toán 9: Phương trình trùng phương

1. Phương trình trùng phương
2. Cách giải phương trình trùng phương
3. Biện luận phương trình
4. Giải phương trình trùng phương
5. Bài tập giải phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là tài liệu do VnDoc biên soạn và giới thiệu cho các bạn học sinh và thầy cô nghiên cứu, học tập tốt môn Toán 9 cũng như luyện tập nhằm chuẩn bị tốt nhất cho các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu sẽ đưa ra định nghĩa về phương trình trùng phương, cách giải và số nghiệm của phương trình này. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai và cách vận dụng vào giải các bài Toán lớp 9.

1. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng

$a{x^4} + b{x^2} + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)$ $a{x^4} + b{x^2} + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)$

2. Cách giải phương trình trùng phương

Để giải phương trình trùng phương ta thực hiện làm như sau:

Bước 1. Ta đặt $t = {x^2}$ $t = {x^2}$ với điều kiện $t \ge 0$ $t \ge 0$ do ${x^2} \ge 0$ ${x^2} \ge 0$

Bước 2. Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: $a{t^2} + bt + c = 0$ $a{t^2} + bt + c = 0$

Bước 3. Giải phương trình bậc hai ẩn t, kết hợp với điều kiện $t \ge 0$ $t \ge 0$

Bước 4. Với mỗi giá trị t tìm được, ta sẽ tìm được các nghiệm x tương ứng của phương trình.

3. Biện luận phương trình

Cho phương trình trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + x = 0$ $a{x^4} + b{x^2} + x = 0$ (1) với $a \ne 0$ $a \ne 0$

Ta đặt $t = {x^2}$ $t = {x^2}$ với điều kiện $t \ge 0$ $t \ge 0$, phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: $a{t^2} + bt + c = 0$ $a{t^2} + bt + c = 0$(2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P = 0\\ S > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P = 0\\ S > 0 \end{array} \right.$
Phương trình (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 0\\ S = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 0\\ S = 0 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} P = 0\\ S < 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} P = 0\\ S < 0 \end{array} \right.$
Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình hai vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

4. Giải phương trình trùng phương

Bài tập 1: Giải phương trình trùng phương: ${x^4} + 7{x^2} + 10 = 0$ ${x^4} + 7{x^2} + 10 = 0$?

Hướng dẫn giải

Đặt $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$ $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình trở thành ${t^2} + 7t + 10 = 0$ ${t^2} + 7t + 10 = 0$ (1)

Có $\Delta = {b^2} - 4ac = {7^2} - 4.1.10 = 49 - 40 = 9 > 0$ $\Delta = {b^2} - 4ac = {7^2} - 4.1.10 = 49 - 40 = 9 > 0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

${t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 + 9}}{2} = 1$ ${t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 + 9}}{2} = 1$(tm) và ${t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 - 9}}{2} = - 8$ ${t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 - 9}}{2} = - 8$(loại)

Với $t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ $t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 hoặc x = -1

Bài tập 2: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: $\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$ $\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$

Hướng dẫn giải

Với $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$, phương trình đã cho trở thành:

$3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$(loại)

Với $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$ $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$, phương trình đã cho là phương trình trùng phương:

$\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$ $\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$(1)

Đặt $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$ $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình trở thành $\left( {m + 2} \right){t^2} + 3t - 1 = 0$ $\left( {m + 2} \right){t^2} + 3t - 1 = 0$ (2)

Có $\Delta = {b^2} - 4ac = 9 - 4.\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) = 9 + 4m + 8 = 17 + 4m$ $\Delta = {b^2} - 4ac = 9 - 4.\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) = 9 + 4m + 8 = 17 + 4m$,

$P = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{{m + 2}} \ne 0$ $P = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{{m + 2}} \ne 0$và $S = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}} \ne 0$ $S = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}} \ne 0$

Có P khác 0 nên phương trình không có nghiệm bằng 0 nên phương trình (1) không có 3 nghiệm phân biệt hoặc 1 nghiệm

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ \dfrac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0\\ \dfrac{{ - 1}}{{m + 2}} > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ \dfrac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0\\ \dfrac{{ - 1}}{{m + 2}} > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \dfrac{{ - 17}}{4}\\ m < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{ - 17}}{4} < m < - 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \dfrac{{ - 17}}{4}\\ m < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{ - 17}}{4} < m < - 2$

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt âm

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P < 0\\ S > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 17 + 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ m + 2 < 0\\ m + 2 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow 17 + 4m < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 17}}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P < 0\\ S > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 17 + 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ m + 2 < 0\\ m + 2 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow 17 + 4m < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 17}}{4}$

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$ $\frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$, phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

$m < \frac{{ - 17}}{4}$ $m < \frac{{ - 17}}{4}$, phương trình (1) vô nghiệm.

Bài tập 3. Giải phương trình sau: $(2x - 3)^{4} - 4(2x - 3)^{2} - 21 = 0$ $(2x - 3)^{4} - 4(2x - 3)^{2} - 21 = 0$?

Hướng dẫn giải

Đặt $(2x - 3)^{2} = t;(t \geq 0)$ $(2x - 3)^{2} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành

$t^{2} - 4t - 21 = 0$ $t^{2} - 4t - 21 = 0$

$\Delta$ $\Delta' = ( - 2)^{2} + 21 = 25$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left\lbrack \begin{matrix} t_{1} = 2 + \sqrt{21} = 7(TM) \\ t_{2} = 2 - \sqrt{21} = - 3(L) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} t_{1} = 2 + \sqrt{21} = 7(TM) \\ t_{2} = 2 - \sqrt{21} = - 3(L) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 7 \Rightarrow (2x - 3)^{2} = 7$ $t = 7 \Rightarrow (2x - 3)^{2} = 7$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3 = \sqrt{7} \\ 2x - 3 = - \sqrt{7} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} \\ x = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3 = \sqrt{7} \\ 2x - 3 = - \sqrt{7} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} \\ x = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình $(2x - 3)^{4} - 4(2x - 3)^{2} - 21 = 0$ $(2x - 3)^{4} - 4(2x - 3)^{2} - 21 = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \frac{3 + \sqrt{7}}{2};\frac{3 - \sqrt{7}}{2} \right\}$ $S = \left\{ \frac{3 + \sqrt{7}}{2};\frac{3 - \sqrt{7}}{2} \right\}$

Bài tập 4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình trùng phương $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$ $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$?

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình

$(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$ $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5x - 19 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{19}{5} \\ x^{4} - 7x^{2} + 6 = 0(*) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5x - 19 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{19}{5} \\ x^{4} - 7x^{2} + 6 = 0(*) \\ \end{matrix} \right.$

Giải phương trình (*) ta có:

$x^{4} - 7x^{2} + 6 = 0$ $x^{4} - 7x^{2} + 6 = 0$

Đặt $x^{2} = t;(t \geq 0)$ $x^{2} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành

$t^{2} - 7t + 6 = 0$ $t^{2} - 7t + 6 = 0$ vì $a + b + c = 0$

Nên phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} t_{1} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1 \\ t_{2} = 6 \Rightarrow x^{2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} t_{1} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1 \\ t_{2} = 6 \Rightarrow x^{2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$ $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \pm 1; \pm \sqrt{6} \right\}$ $S = \left\{ \pm 1; \pm \sqrt{6} \right\}$.

Bài tập 5. Cho phương trình $x^{4} - (m + 2)x^{2} + m = 0$ $x^{4} - (m + 2)x^{2} + m = 0$ (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để:

a) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Đặt $t = x^{2};(t \geq 0)$ $t = x^{2};(t \geq 0)$

Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^{2} - (m + 2)t + m = 0(*)$ $t^{2} - (m + 2)t + m = 0(*)$

Ta có: $\Delta = \left\lbrack - (m + 2) \right\rbrack^{2} - 4.1.m = m^{2} + 4m + 4 - 4m = m^{2} + 4$ $\Delta = \left\lbrack - (m + 2) \right\rbrack^{2} - 4.1.m = m^{2} + 4m + 4 - 4m = m^{2} + 4$

Vì $m^{2} + 4 > 0$ $m^{2} + 4 > 0$ với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$.

Áp dụng định lí Vi – et ta có:

$\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ P = x_{1}.x_{2} = m \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ P = x_{1}.x_{2} = m \\ \end{matrix} \right.$

a) Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m + 2 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 0$ $\left\{ \begin{matrix} S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m + 2 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 0$

Vậy khi $m > 0$ thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} S > 0 \\ P = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S > 0 \\ P = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ (không tồn tại m)

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

5. Bài tập giải phương trình trùng phương

Bài 1: Giải các phương trình trùng phương dưới đây:

a, $3{x^4} - 2{x^2} - 5 = 0$ $3{x^4} - 2{x^2} - 5 = 0$	b, ${x^4} + 3{x^2} - 6 = 0$ ${x^4} + 3{x^2} - 6 = 0$	c, $4{x^4} + {x^2} - 5 = 0$ $4{x^4} + {x^2} - 5 = 0$
d, $3{x^4} + 4{x^2} + 1 = 0$ $3{x^4} + 4{x^2} + 1 = 0$	e, $2{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0$ $2{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0$	f, $3{x^4} + 10{x^2} + 3 = 0$ $3{x^4} + 10{x^2} + 3 = 0$

Bài 2: Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm?

a, ${x^4} + 8{x^2} + 12 = 0$ ${x^4} + 8{x^2} + 12 = 0$	b, $- 1,5{x^4} - 2,6{x^2} + 1 = 0$ $- 1,5{x^4} - 2,6{x^2} + 1 = 0$
c, $\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} + 2{x^2} - 1 - \sqrt 2 = 0$ $\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} + 2{x^2} - 1 - \sqrt 2 = 0$	d, $- {x^4} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right){x^2} = 0$ $- {x^4} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right){x^2} = 0$

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^4} - 2{x^2} + m - 1 = 0$ ${x^4} - 2{x^2} + m - 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt

-----------------

Ngoài chuyên đề về phương trình trùng phương và cách giải phương trình trùng phương Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

14

19.034

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về: