Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương?

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề Toán 9: Phương trình trùng phương

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về phương trình trùng phương
II. Bài tập ví dụ về giải phương trình trùng phương
III. Bài tập tự luyện về giải phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là tài liệu do VnDoc biên soạn và giới thiệu cho các bạn học sinh và thầy cô nghiên cứu, học tập tốt môn Toán 9 cũng như luyện tập nhằm chuẩn bị tốt nhất cho các kì thi sắp diễn ra. Mời các bạn tham khảo.

Tài liệu sẽ đưa ra định nghĩa về phương trình trùng phương, cách giải và số nghiệm của phương trình này. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai và cách vận dụng vào giải các bài Toán lớp 9.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về phương trình trùng phương

1. Định nghĩa về phương trình trùng phương

+ Phương trình trùng phương theo định nghĩa là phương trình bậc 4 có dạng: $a{x^4} + b{x^2} + x = 0$ $a{x^4} + b{x^2} + x = 0$ với $a \ne 0$ $a \ne 0$

2. Cách giải phương trình trùng phương

+ Ta đặt $t = {x^2}$ $t = {x^2}$ với điều kiện $t \ge 0$ $t \ge 0$ do ${x^2} \ge 0$ ${x^2} \ge 0$

+ Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: $a{t^2} + bt + c = 0$ $a{t^2} + bt + c = 0$

+ Giải phương trình bậc hai ẩn t, kết hợp với điều kiện $t \ge 0$ $t \ge 0$

+ Với mỗi giá trị t tìm được, ta sẽ tìm được các nghiệm x tương ứng của phương trình

3. Số nghiệm của phương trình trùng phương

Cho phương trình trùng phương $a{x^4} + b{x^2} + x = 0$ $a{x^4} + b{x^2} + x = 0$ (1) với $a \ne 0$ $a \ne 0$

Ta đặt $t = {x^2}$ $t = {x^2}$ với điều kiện $t \ge 0$ $t \ge 0$, phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: $a{t^2} + bt + c = 0$ $a{t^2} + bt + c = 0$(2)

+ Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P = 0\\ S > 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P = 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

+ Phương trình (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 0\\ S = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 0\\ S = 0 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} P = 0\\ S < 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} P = 0\\ S < 0 \end{array} \right.$

+ Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình hai vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

II. Bài tập ví dụ về giải phương trình trùng phương

Bài 1: Giải phương trình trùng phương: ${x^4} + 7{x^2} + 10 = 0$ ${x^4} + 7{x^2} + 10 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$ $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình trở thành ${t^2} + 7t + 10 = 0$ ${t^2} + 7t + 10 = 0$ (1)

Có $\Delta = {b^2} - 4ac = {7^2} - 4.1.10 = 49 - 40 = 9 > 0$ $\Delta = {b^2} - 4ac = {7^2} - 4.1.10 = 49 - 40 = 9 > 0$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

${t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 + 9}}{2} = 1$ ${t_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 + 9}}{2} = 1$(tm) và ${t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 - 9}}{2} = - 8$ ${t_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 7 - 9}}{2} = - 8$(loại)

Với $t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ $t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 hoặc x = -1

Bài 2: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: $\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$ $\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$

Lời giải:

Với $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$, phương trình đã cho trở thành:

$3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$(loại)

Với $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$ $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$, phương trình đã cho là phương trình trùng phương:

$\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$ $\left( {m + 2} \right){x^4} + 3{x^2} - 1 = 0$(1)

Đặt $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$ $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình trở thành $\left( {m + 2} \right){t^2} + 3t - 1 = 0$ $\left( {m + 2} \right){t^2} + 3t - 1 = 0$ (2)

Có $\Delta = {b^2} - 4ac = 9 - 4.\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) = 9 + 4m + 8 = 17 + 4m$ $\Delta = {b^2} - 4ac = 9 - 4.\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) = 9 + 4m + 8 = 17 + 4m$,

$P = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{{m + 2}} \ne 0$ $P = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{{m + 2}} \ne 0$và $S = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}} \ne 0$ $S = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}} \ne 0$

Có P khác 0 nên phương trình không có nghiệm bằng 0 nên phương trình (1) không có 3 nghiệm phân biệt hoặc 1 nghiệm

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ \frac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0\\ \frac{{ - 1}}{{m + 2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \ge \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 17}}{4}\\ m < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ \frac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0\\ \frac{{ - 1}}{{m + 2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \ge \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 17}}{4}\\ m < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt âm

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P < 0\\ S > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 17 + 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ m + 2 < 0\\ m + 2 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow 17 + 4m < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 17}}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P < 0\\ S > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 17 + 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} 17 + 4m > 0\\ m + 2 < 0\\ m + 2 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow 17 + 4m < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 17}}{4}$

Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$ $\frac{{ - 17}}{4} < m < - 2$, phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

$m < \frac{{ - 17}}{4}$ $m < \frac{{ - 17}}{4}$, phương trình (1) vô nghiệm

III. Bài tập tự luyện về giải phương trình trùng phương

Bài 1: Giải các phương trình trùng phương dưới đây:

a, $3{x^4} - 2{x^2} - 5 = 0$ $3{x^4} - 2{x^2} - 5 = 0$

b, ${x^4} + 3{x^2} - 6 = 0$ ${x^4} + 3{x^2} - 6 = 0$

c, $4{x^4} + {x^2} - 5 = 0$ $4{x^4} + {x^2} - 5 = 0$

d, $3{x^4} + 4{x^2} + 1 = 0$ $3{x^4} + 4{x^2} + 1 = 0$

e, $2{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0$ $2{x^4} - 3{x^2} - 2 = 0$

f, $3{x^4} + 10{x^2} + 3 = 0$ $3{x^4} + 10{x^2} + 3 = 0$

Bài 2: Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm?

a, ${x^4} + 8{x^2} + 12 = 0$ ${x^4} + 8{x^2} + 12 = 0$

b, $- 1,5{x^4} - 2,6{x^2} + 1 = 0$ $- 1,5{x^4} - 2,6{x^2} + 1 = 0$

c, $\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} + 2{x^2} - 1 - \sqrt 2 = 0$ $\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} + 2{x^2} - 1 - \sqrt 2 = 0$

d, $- {x^4} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right){x^2} = 0$ $- {x^4} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right){x^2} = 0$

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^4} - 2{x^2} + m - 1 = 0$ ${x^4} - 2{x^2} + m - 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt

-----------------

Ngoài chuyên đề về phương trình trùng phương và cách giải phương trình trùng phương Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!