VnDoc.com

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ôn thi vào lớp 10 theo chuyên đề

Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn







ax + by = c

a

0

x + b

0

y = c

0

(I)

• Cặp số (x

0

; y

0

) là một nghiệm của hệ (I) nếu hai phương trình của hệ có chung một nghiệm

(x

0

; y

0

).

• Nếu hệ (I) không có nghiệm thì ta kết luận hệ (I) vô nghiệm.

• Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

• Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường

thẳng (d

1

): ax + by = c và (d

2

): a

0

x + b

0

y = c

0

. Khi đó:

+) Nếu (d

1

) cắt (d

2

) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

+) Nếu (d

1

) // (d

2

) thì hệ (I) vô nghiệm.

+) Nếu (d

1

) trùng (d

2

) thì hệ (I) có vô số nghiệm.

• Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Phương pháp đặt ẩn phụ:

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa.

Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có.

Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt.

Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm.

Phương pháp:

• Từ một phương trình rút y theo x rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình

ax = b.

• Biện luận:

+) Nếu a 6= 0 thì x =

b

a

thay vào biểu thức để tìm y, khi đó hệ có duy nhất nghiệm.

+) Nếu a = 0 thì ta có 0.x = b

Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm.

Nếu b 6= 0 thì hệ vô nghiệm.

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương

trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.

A. LÝ THUYẾT

1. Hệ phương trình cơ bản

2. Giải hệ phương trình không cơ bản

3. Giải và biện luận hệ phương trình cơ bản

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Chú ý: Ở bước 1 ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn.







x − 2y = −1

2x + 3y = 5

Hướng dẫn







x − 2y = −1 (1)

2x + 3y = 5 (2)

. Từ phương trình (1) ⇒ x = y − 1 thế vào phương trình (2)

ta được 2(y − 1) + 3y = 5 ⇔ y = 1 ⇒ x = 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm







x = 1

y = 1

.

1)







x − y = 3

3x − 4y = 4

2)







5x

√

3 + y = 2

√

2

−x + 4y = 10

3)







2x + y = 7

x

√

6 − y

√

2 = 2

4)







x

√

2 −

√

3y = 1

x +

√

3y =

√

2

5)







2x + 3y = 4

6x + 9y = 1

6)







x − 2y = 3

−2x + 4y = −6

7)







5x − 4y = 3

7x − 9y = 8

8)







√

3x −

√

2y = −1

2

√

2 +

√

3y = 0

9)







x +

√

2y = 1

√

2x − 3y = 4

.

Phương pháp:

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một

ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng hay trừ vế với vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một

phương trình mới một ẩn.

Bước 3: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ

nguyên phương trình kia.

a)







x + y = 2

2x − y = 1

b)







x − 2y = 6

2x + 3y = 5

.

Hướng dẫn

a) Cộng từng vế của hai phương trình của hệ ta có:







3x = 3

2x − y = 1

⇔







x = 1

2x − y = 1

⇔







x = 1

y = 1

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm







x = 1

y = 1

.

b)







x − 2y = 6

2x + 3y = 5

⇔







2x − 4y = 12

2x + 3y = 5

⇔







−7y = 7

2x + 3y = 5

⇔







y = −1

2x + 3y = 5

⇔







y = −1

x = 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm







x = −1

y = 4

.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

• Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

1)







x − y = 2

2x + y = 4

2)







2x + 3y = 2

x + 2y = 3

3)







−4x + y = −12

x − y = 2

4)







x

√

2 −

√

3y = 1

x +

√

3y =

√

2

5)







2x + 3y = 4

6x + 9y = 1

6)







x − 2y = 3

−2x + 4y = −6

7)







5x − 4y = 3

7x − 9y = 8

8)







√

3x −

√

2y = −1

2

√

2 +

√

3y = 0

9)







x +

√

2y = 1

√

2x − 3y = 4

1)











x

2

=

y

3

x + 8

y + 4

=

9

4

2)







y

2

+

x + y

5

= 0, 1

y

5

−

x − y

2

= 0, 1

3)







2x + y = 7

x − y = 2

.

Phương pháp: Đặt ẩn phụ:

Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa.

Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có.

Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt.

Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm.

a)











1

x + 1

+

1

y − 2

= −1

3

x + 1

−

2

y − 2

= 7

b)







3

√

x + 2018 + 2(y + 2020) = 13

5

√

x + 2018 − 3(y + 2020) = 9

Hướng dẫn

a) Điều kiện: x 6= −1; y 6= 2.

Đặt

1

x + 1

= a;

1

y − 2

= b. Khi đó hệ trên trở thành







a + b = −1

3a − 2b = 7

. Giải phương trình cơ bản

này ta được







a = 1

b = −2

.

Trở lại ẩn x; y ta có











1

x + 1

= 1

2

y − 2

= −2

⇔







x = 0

y =

1

2

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm







x = 0

y =

1

2

.

b) Điều kiện: x ≥ −2018.

Đặt

√

x + 2018 = a; (y + 2020) = b. Khi đó hệ trên trở thành







3a + 2b = 13

5a − 3b = 9

. Giải phương trình

cơ bản này ta được







a = 3

b = 2

.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau

Dạng 2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CƠ BẢN

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

Chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào 10 được VnDoc sưu tầm để giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh chuẩn bị một cách hiệu quả nhất cho Kì thi vào 10 sắp tới. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 9. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Ngoài ra bạn đọc có thể tham khảo thêm các chuyên đề khác trong chương trình ôn thi vào lớp 10 được VnDoc sưu tầm và chọn lọc, bao gồm:

Hàm số đồ thị - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
Rút gọn biểu thức - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và bài toán phụ
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Hình học - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học
Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh kiểm tra kiến thức cũng như củng cố lại các kiến thức đã được học ở chương trình Toán học lớp 9. Đồng thời đây cũng là tài liệu để các bạn học sinh có thể tham khảo và ôn luyện chuẩn bị cho kì thi vào 10 sắp tới.

Ngoài Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi vào 10 các môn Toán, Văn, Anh,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề Toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10 và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Xem thêm đề thi vào lớp 10 các môn Toán, Văn, Tiếng Anh:

Môn Toán	Môn Văn	Môn Tiếng Anh
Tải đề thi vào lớp 10 môn Toán	Tải đề thi vào lớp 10 môn Văn	Tải đề thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Để giúp các bạn có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.