™
Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 9 Chuyên đề Toán 9 Thi vào lớp 10

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và bài toán phụ

Ôn thi vào lớp 10 theo chuyên đề
1.
√
A
2
=| A |=
A nếu A ≥ 0
−A nếu A < 0
.
2.
√
AB =
√
A.
√
B (với A ≥ 0; B ≥ 0).
3.
r
A
B
=
√
A
√
B
(với A ≥ 0; B > 0).
4.
√
A
2
B =| A |
√
B (với B ≥ 0).
5. A
√
B =
√
A
2
B (với A ≥ 0; B ≥ 0).
6. A
√
B = −
√
A
2
B (với A < 0; B ≥ 0).
7.
r
A
B
=
1
| B |
√
AB (với A.B ≥ 0; B 6= 0).
8.
A
√
B
=
A
√
B
B
(với B > 0).
9.
C
√
A ±B
=
C
√
A ∓ B
A − B
2
(với A ≥ 0 và A 6= B
2
).
10.
C
√
A ±
√
B
=
C
√
A ∓
√
B
A − B
(với A ≥ 0; B ≥ 0; A 6= B).
11.
3
√
A
3
=
3
√
A
3
= A.
•
√
A ⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0. Ví dụ:
√
x − 2018 ⇒ ĐKXĐ: x ≥ 2018.
•
A
B
⇒ ĐKXĐ: B 6= 0. Ví dụ:
x + 2
x − 3
⇒ ĐKXĐ: x 6= 3.
•
A
√
B
⇒ ĐKXĐ: B > 0. Ví dụ:
x + 2
√
x − 3
⇒ ĐKXĐ: x > 3.
•
√
A
√
B
⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0; B > 0. Ví dụ:
√
x
√
x − 3
⇒ ĐKXĐ:
x ≥ 0
x > 3
⇔ x > 3.
•
r
A
B
⇒ ĐKXĐ:
A ≤ 0
B < 0
A ≥ 0
B > 0
. Ví dụ:
r
x − 1
x + 2
⇒ ĐKXĐ:
x − 1 ≤ 0
x + 2 < 0
x − 1 ≥ 0
x + 2 > 0
⇔
x < −2
x ≥ 1
.
• Cho a > 0 ta có x
2
> a ⇔
x >
√
a
x < −
√
a
. Ví dụ: x
2
> 4 ⇒
x > 2
x < −2
.
CHỦ ĐỀ : RÚT GỌN BIỂU THỨC
BÀI TOÁN PHỤ
A. LÝ THUYẾT
1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC
• Cho a > 0 ta có x
2
< a ⇔ −
√
a < x <
√
a. Ví dụ: x
2
< 4 ⇔ −2 < x < 2.
• Dạng tổng quát 1: |A(x)| = k ⇔ A(x) = ±k với k là hằng số.
• Dạng tổng quát 2: |A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = ±B(x).
• Dạng tổng quát 3: |A(x)| = B(x)
Trường hợp 1: Nếu A(x) ≥ 0 thì phương trình trở thành A(x) = B(x).
Trường hợp 2: Nếu A(x) < 0 thì phương trình trở thành A(x) = −B(x).
• Dạng tổng quát 1: |f(x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x).
Đặc biệt với hằng số k > 0 thì |f(x)| < k ⇔ −k < f(x) < k.
• Dạng tổng quát 2: |A(x)| > g(x) ⇔
f(x) > g(x)
f(x) < −g(x)
.
Đặc biệt với hằng số k > 0 thì |f(x)| > k ⇔
f(x) > k
f(x) < −k
.
• Dạng tổng quát 3:
+) |f(x)| < |g(x)| ⇔ [f(x)]
2
< [g(x)]
2
.
+) |f(x)| > |g(x)| ⇔ [f(x)]
2
> [g(x)]
2
.
a + b ≥ 2
√
ab
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b.
Chú ý: Với hai số a, b bất kỳ ta luôn có:
a
2
+ b
2
≥ 2ab
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ a = b.
Ví dụ: Cho x ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x +
1
x
.
Vì x ≥ 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có A = x +
1
x
≥ 2
r
x.
1
x
= 2.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x =
1
x
⇔ x = 1.
Vậy A
min
= 2 ⇔ x = 1.
Ví dụ: Cho x ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x +
1
x
.
Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô - si cho hai số a, b không âm ta có:
Hướng dẫn
Hướng dẫn
Cách giải sai: Vì x ≥ 2 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có B = x +
1
x
≥ 2
r
x.
1
x
= 2.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x =
1
x
⇔ x = 1 (không thỏa mãn vì x ≥ 2).
Vậy B
min
= 2 ⇔ x = 1.
Gợi ý cách giải đúng:
Dự đoán B
min
đạt được tại x = 2. Ta có B = nx +
1
x
+ x − nx. Dấu ” = ” xảy ra khi
nx =
1
x
x = 2
.
Do đó ta có A =
3x
4
+
x
4
+
1
x
. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si
4
x
+
1
x
≥ 2
r
x
4
.
1
x
= 1.
Dấu ” = ” xảy ra ⇔
x
4
=
1
x
⇔ x = 2 (vì x ≥ 2).
Vậy B
min
=
5
2
⇔ x = 2.
Ví dụ: Cho x ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x +
1
x
.
Tương tự ta có C = x +
1
x
=
8x
9
+
x
9
+
1
x
≥
10
3
. Dấu ” = ” xảy ra khi x = 3.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D =
x + 12
√
x + 2
. Với x ≥ 0.
Gợi ý: D = (
√
x + 2) +
16
√
x + 2
.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử.
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho cho nhân tử chung của tử và mẫu.
Bước 4: Khi nào phân số tối giản thì ta đã hoàn thành việc rút gọn.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức A =
√
x + 2
x + 2
√
x + 1
−
√
x − 2
x − 1
.
x + 1
√
x
−
√
x + 1
.
Điều kiện:
x > 0
x 6= 1
.
A =
√
x + 2
(
√
x + 1)
2
−
√
x − 2
(
√
x − 1)(
√
x + 1)
.
x + 1
√
x
+
√
x(1 −
√
x)
√
x
A =
(
√
x + 2)(
√
x − 1)
(
√
x + 1)
2
(
√
x − 1)
−
(
√
x − 2)(
√
x + 1)
(
√
x − 1)(
√
x + 1)
2
.
x + 1 +
√
x − x
√
x
A =
x +
√
x − 2
(
√
x + 1)
2
(
√
x − 1)
−
x −
√
x − 2
(
√
x − 1)(
√
x + 1)
2
.
√
x + 1
√
x
− 4 ≥ 4. Dấu ” = ” xảy ra khi x = 4.
Hướng dẫn
Hướng dẫn
3. Các bước rút gọn một biểu thức
Hướng dẫn
3/20 Xem thêm

Chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và bài toán phụ

Chuyên đề rút gọn biểu thức và bài toán phụ được VnDoc sưu tầm để giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh chuẩn bị một cách hiệu quả nhất cho Kì thi vào 10 sắp tới. Mời các bạn tham khảo.

Ngoài ra bạn đọc có thể tham khảo thêm các chuyên đề khác trong chương trình ôn thi vào lớp 10 được VnDoc sưu tầm và chọn lọc, bao gồm:

Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh kiểm tra kiến thức cũng như củng cố lại các kiến thức đã được học ở chương trình Toán học lớp 9. Đồng thời đây cũng là tài liệu để các bạn học sinh có thể tham khảo và ôn luyện chuẩn bị cho kì thi vào 10 sắp tới.

I. CÁC CÔNG THỬC BIẾN ĐỔI CĂN THỬC

\sqrt{A^{2}} = |A| = \left\{ \begin{matrix} A\text{~nếu~}A \geq 0 \\ - A\text{~nếu~}A < 0 \\ \end{matrix} \right.A2=|A|={A~nếu~A≥0−A~nếu~A<0.

\sqrt{AB} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}AB=A⋅B (với A \geq 0;B \geq 0A≥0;B≥0 ).

\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}AB=AB

\sqrt{A^{2}B} = |A|\sqrt{B}A2B=|A|B (với A \geq 0;B > 0A≥0;B>0 ).

A\sqrt{B} = \sqrt{A^{2}B}AB=A2B (với B \geq 0B≥0 ).

A\sqrt{B} = - \sqrt{A^{2}B}AB=−A2B (với A \geq 0;B \geq 0A≥0;B≥0 ).

\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{1}{|B|}\sqrt{AB}AB=1|B|AB (với A < 0;B \geq 0A<0;B≥0 ).

\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B}AB=ABB (với A.B \geq 0;B \neq 0A.B≥0;B≠0 ).

\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A - B^{2}}CA±B=C(A∓B)A−B2 (với B > 0B>0 ).

\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}CA±B=C(A∓B)A−B (với A \geq 0;B \geq 0;A \neq BA≥0;B≥0;A≠B ).

(\sqrt[3]{A})^{3} = \sqrt[3]{A^{3}} = A(A3)3=A33=A.

II. TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC 

  • \sqrt{A} \RightarrowA⇒ ĐKXĐ: A \geq 0A≥0.
  • \frac{A}{B} \RightarrowAB⇒ ĐKXĐ: B \neq 0B≠0.
  • \frac{A}{\sqrt{B}} \RightarrowAB⇒ ĐKXĐ: B > 0B>0.
  • \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \RightarrowAB⇒ ĐKXĐ: A \geq 0;B > 0A≥0;B>0.
  • \sqrt{\frac{A}{B}} \RightarrowAB⇒ ĐКXĐ: \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} A \leq 0 \\ B < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ A \geq 0 \\ B > 0 \\ \end{matrix} \right.[{A≤0B<0 A≥0B>0.
  • Cho a > 0a>0 ta có x^{2} > a \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > \sqrt{a} \\ x < - \sqrt{a} \\ \end{matrix} \right.x2>a⇔[x>ax<−a
  • Cho a < 0a<0 ta có x^{2} < a \Leftrightarrow \sqrt{a} < x < - \sqrt{a}x2<a⇔a<x<−a

Chú ý: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng tổng quát 1:|A(x)| = k \Leftrightarrow A(x) = \pm k1:|A(x)|=k⇔A(x)=±k với kk là hằng số.

Dạng tổng quát 2:|A(x)| = |B(x)| \Leftrightarrow A(x) = \pm B(x)2:|A(x)|=|B(x)|⇔A(x)=±B(x).

Dạng tổng quát 3:|A(x)| = B(x)3:|A(x)|=B(x)

Trường hợp 1: Nếu A(x) \geq 0A(x)≥0 thì phương trình trở thành A(x) = B(x)A(x)=B(x).

Trường hợp 2: Nếu A(x) < 0A(x)<0 thì phương trình trở thành A(x) = - B(x)A(x)=−B(x).

Chú ý: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng tổng quát 1:|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow - g(x) < f(x) < g(x)1:|f(x)|<g(x)⇔−g(x)<f(x)<g(x).

Đặc biệt với hằng số k > 0k>0 thì |f(x)| < k \Leftrightarrow - k < f(x) < k|f(x)|<k⇔−k<f(x)<k.

Dạng tổng quát 2: |A(x)| > g(x) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) > g(x) \\ f(x) < - g(x) \\ \end{matrix} \right.|A(x)|>g(x)⇔[f(x)>g(x)f(x)<−g(x).

Đặc biệt với hằng số k > 0k>0 thì |f(x)| > k \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) > k \\ f(x) < - k \\ \end{matrix} \right.|f(x)|>k⇔[f(x)>kf(x)<−k.

Dạng tổng quát 3:

+) |f(x)| < |g(x)| \Leftrightarrow \lbrack f(x)\rbrack^{2} < \lbrack g(x)\rbrack^{2}|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2

+) |f(x)| > |g(x)| \Leftrightarrow \lbrack f(x)\rbrack^{2} > \lbrack g(x)\rbrack^{2}|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.

III. RÚT GỌN BIỂU THỨC

1. Cách rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định.

Bước 2. Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử.

Bước 3. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu

Bước 4. Khi nào phân thức tối giản thì ta đã hoàn thành việc rút gọn.

2. Các dạng bải tập rút gọn biểu thức và phương pháp giải

Dạng 1. Tính giá trị của biểu thức A khi x =x0.

Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức đã thu gọn rồi tính kết quả. 

Dạng 2. Tìm giá trị của biến khi biết giá trị biểu thức

Phương pháp:

+ Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A - k = 0 tính kết quả, kết hợp với điều kiện rồi kết luân.

+ Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A > k ( <; ≤; ≥). Ta đi đánh giá dựa vào điều kiện hoặc xét A - k > 0 với điều kiện của đề bài để tìm x.

Dạng 3. So sánh biểu thức A với k hoặc biểu thức B (k là hằng số)

Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức A với hằng số k hay biểu thức khác là B thì ta xét hiệu A - k hoặc A - B và xét dấu biểu thức này rồi kết luận.

Dạng 4. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên.

Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng phân thức có tử là số nguyên, lí luận chặt chẽ để rồi chỉ ra mẫu phải thuộc ước tự nhiên của tử và kết luận.

Dạng 5. Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Phương pháp: 

Cách 1: Dựa vào điều đánh giá biểu thức để tìm ra khoảng biểu thức nằm trong, biện luận biểu
thức nguyên nên ta chỉ ra được các giá trị nguyên thuộc khoảng đó, với mỗi giá trị của biểu thức ta sẽ tìm ra được các nghiệm của biến tương ứng.

Cách 2: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, biến đổi suy ra một vế chỉ còn chứa căn thức
bậc hai, dựa vào căn thức để giải bất phương trình để tương ứng, tìm khoảng tham số nằm trong rồi giải với các tham số tương ứng để tìm ra các nghiệm của biến tương ứng.

Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp: Cách 1: Thêm bớt rồi dùng định lí cô si hoặc đánh giá dựa vào điều kiện.

Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị

Dạng 7. Chứng minh biểu thức luôn âm hoặc luôn dương với mọi giá trị của ẩn

Phương pháp: 

+ Để chứng minh biểu thức A > 0 ta chỉ ra A = {A_1}^2 + kA=A12+k với k là hằng số dương.

+ Để chứng minh biểu thức A < 0 ta chỉ ra A = {A_1}^2 - kA=A12−k với k là hằng số dương.

Dạng 8. Chứng minh biểu thức thỏa mãn với điều kiện nào đó.

--------------------------------------------------------

Tham khảo thêm

Chia sẻ, đánh giá bài viết
40
29.009 Bài viết đã được lưu
Chọn file muốn tải về:

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và bài toán phụ

133,2 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

Nhiều người đang xem

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán
Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng