Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

Chứng minh 3 điểm thằng hàng trong đường tròn cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn, giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan.

I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

+ Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng chứa hai điểm còn lại

+ Chứng minh qua 3 điểm xác định được một góc bẹt

+ Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau

+ Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ ba

+ Dùng tính chất đường trung trực

+ Dùng tính chất tia phân giác

+ Sử dụng tính chấy đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác

+ Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt

+ Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn

+ Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C nằm giữa O và B, lấy điểm D trên đường tròn (O) sao cho AD = BC. Kẻ CH vuông góc với AD (H thuộc AD). Tia phân giác của góc DAB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và cắt CH tại F. DF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N

a, Chứng minh CH // BD

b, Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp

c, Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng

Lời giải:

a, + Có \(\widehat {ADB}\) nhìn đường kính AB nên  suy ra AD vuông góc với DB

+ Có CH vuông góc với AD (giả thiết)

Suy ra CH song song với BD (từ vuông góc đến song song)

b, + CH // BD suy ra \(\widehat {HCA} = \widehat {DBA}\) (đồng vị)

lại có \(\widehat {AND} = \widehat {ABD}\) (cùng chắn cung AD)

Suy ra \(\widehat {AND} = \widehat {HCA}\left( { = \widehat {ABD}} \right)\)

+ Tứ giác AECN có:

\(\widehat {AND} = \widehat {HCA}\)

Hai góc cùng nhìn một cạnh

Suy ra 4 điểm A, E, N, C thuộc một đường tròn hay tứ giác AECN nội tiếp

c, + Tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn có \(\widehat {NAF} + \widehat {NCF} = {180^0}\) (3) và \(\widehat {AFC} + \widehat {ANC} = {180^0}\)(4)

Ta có \(\widehat {AFC} + \widehat {CFE} = {180^0}\)(5) (2 góc kề bù)

+ Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat {ANC} = \widehat {CFE}\)

+ Xét tam giác NAE và tam giác FCE có

Góc \(\widehat {CEF}\) chung

\(\widehat {ANC} = \widehat {CFE}\)

Suy ra hai tam giác NAE đồng dạng với tam giác FCE

Suy ra hai góc \(\widehat {FCE} = \widehat {NAF}\)(2 góc tương ứng bằng nhau) (3)

Từ (3) và (6) suy ra \(\widehat {NCF} + \widehat {FCE} = {180^0}\)

Suy ra N, C, E thẳng hàng

Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng AO cắt (O) tại E và đường thẳng AO’ cắt (O’) tại F. Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng

Lời giải:

+ Có \(\widehat {ABE}\) nhìn đường kính AE nên \(\widehat {ABE} = {90^0}\)

+ Có \(\widehat {ABF}\) nhìn đường kính AF nên \(\widehat {ABF} = {90^0}\)

+ Có \(\widehat {ABE} + \widehat {ABF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra 3 điểm E, B, F thẳng hàng

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)

a, Chứng minh  AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

b, Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng

Lời giải:

a, Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

+ Có AE là tiếp tuyến của đường tròn O \(\Rightarrow \widehat {OAE}= 90^0\)

Có EM là tiếp tuyến của đường tròn O \(\Rightarrow \widehat {EMO}= 90^0\)

+ Xét tứ giác AEMO có:

\(\widehat {OAE} + \widehat {OME} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn.

+ Xét tứ giác APMQ có:

\(\widehat {PAQ} = \widehat {AQM} = \widehat {MPA} = {90^0}\)

Suy ra tứ giác APMQ là hình chữ nhật (dhnb)

b, Chứng minh O, I, E thẳng hàng

+ Nối A với M và E với O

+ Có AE và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E nên EO đi qua trung điểm AM (1)

+ Có APMQ là hình chữ nhật, suy ra AM và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (tính chất) (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, O thẳng hàng.

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh \(\widehat {MID} = \widehat {MBC}\) và tứ giác AIKM nội tiếp, từ đó chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho \(\widehat {COD} = {90^0}\). Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. Gọi I la trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O).

Bài 4: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA (A là tiếp điểm) và cát tuyến SBC đến đường tròn (O) (A thuộc cung nhỏ BC). Gọi H là trung điểm của BC

a, Chứng minh SA² = SB.SC và tứ giác SAHO nội tiếp đường tròn

b, Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt CK tại E. Chứng minh EK.BH = AB.OK

c, Tia AE cắt (O) tại D. Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng

Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm về hai phía đối với dây cung AB). Kẻ AC và AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O’)

a, Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b, Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) tại E, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh tứ giác CDEFF nội tiếp đường tròn

Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H

a, Chứng minh các tứ giác AEHF và ACD là các tứ giác nội tiếp

b, Gọi I là điểm đối xứng với E qua BC, BC cắt AI, EI lần lượt lại L và K. Vẽ LN vuông góc với AC tại N. Chứng minh \(\widehat {KNL} = \widehat {DAL}\)

c, Chứng minh ba điểm F, D, I thẳng hàng

Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các em học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài tập 8: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài tập 9: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).