Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

Trong chương đường tròn Toán lớp 9, dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng là nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề luyện thi vào lớp 10. Dạng bài này yêu cầu học sinh phải kết hợp linh hoạt các kiến thức về góc, tiếp tuyến, dây cung và tính chất hình học.

Bài viết này sẽ hệ thống cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn theo hướng logic, dễ hiểu, giúp học sinh nắm chắc phương pháp và vận dụng hiệu quả khi làm bài.

I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Hướng dẫn giải

a, + Có nhìn đường kính AB nên suy ra AD vuông góc với DB

+ Có CH vuông góc với AD (giả thiết)

Suy ra CH song song với BD (từ vuông góc đến song song)

b, + CH // BD suy ra (đồng vị)

lại có (cùng chắn cung AD)

Suy ra

+ Tứ giác AECN có:

Hai góc cùng nhìn một cạnh

Suy ra 4 điểm A, E, N, C thuộc một đường tròn hay tứ giác AECN nội tiếp

c, + Tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn có (3) và (4)

Ta có (5) (2 góc kề bù)

+ Từ (4) và (5) suy ra

+ Xét tam giác NAE và tam giác FCE có

Góc chung

Suy ra hai tam giác NAE đồng dạng với tam giác FCE

Suy ra hai góc (2 góc tương ứng bằng nhau) (3)

Từ (3) và (6) suy ra

Suy ra N, C, E thẳng hàng

Hướng dẫn giải

+ Có nhìn đường kính AE nên

+ Có nhìn đường kính AF nên

+ Có

Suy ra 3 điểm E, B, F thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a, Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

+ Có AE là tiếp tuyến của đường tròn O

Có EM là tiếp tuyến của đường tròn O

+ Xét tứ giác AEMO có:

mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn.

+ Xét tứ giác APMQ có:

Suy ra tứ giác APMQ là hình chữ nhật (dhnb)

b, Chứng minh O, I, E thẳng hàng

+ Nối A với M và E với O

+ Có AE và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E nên EO đi qua trung điểm AM (1)

+ Có APMQ là hình chữ nhật, suy ra AM và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (tính chất) (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, O thẳng hàng.

III. Bài tập tự rèn luyện cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H. Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A (với ). Gọi N; P theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.

a) Chứng minh AHCP là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh N, H, P thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng NP lớn nhất.

Bài tập 2. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD theo thứ tự là đường kính của hai đường tròn(O) và (O').

a) Chứng minh ba điểm C; B; D thẳng hàng.

b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O') tại E, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (với ). Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Bài tập 3. Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh :

1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.

2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp .

3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.

4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Bài tập 4. AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R (B, C là tiếp điểm). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.

1. Chứng minh CO = CD.

2. Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi.

3. Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH.

4. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.

Bài tập 5. Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .

2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.

3. Chứng minh BI // AD.

4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.

5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’).

Bài tập 6. Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G.

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác MDGC nội tiếp .

2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn

3. Tứ giác ADBE là hình thoi.

4. B, E, F thẳng hàng

5. DF, EG, AB đồng quy.

6. MF = 1/2 DE.

7. MF là tiếp tuyến của (O’).

Bài tập 7. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. 1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân.

3. Cho biết ∠ABC > 45⁰ ; gọi M là giao điểm của BF và ED. Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.

4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Hình vẽ minh họa

a) Gọi I = CH ∩ AB; K = AH ∩ BC

Ta có: (cùng chắn cung AC)

(do P đối xứng với M qua AC)

Ta thấy BIHK nội tiếp nên

Từ (*) và (**) suy ra

Vậy AHCP là tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác AHCP là tứ giác nội tiếp đường tròn nên (cùng chắn cung AP)

Mà (tính chất đối xứng)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác AHBN nội tiếp nên (cùng chắn cung AP)

Suy ra

Vì tứ giác ABMC nội tiếp nên

Từ (1); (2); (3) suy ra

Vậy N, H, P thẳng hàng.

c) Từ

không đổi

Ta có:

Do đó NP lớn nhất khi và chỉ khi AM lớn nhất. Khi đó AM là đường kính đường tròn (O).

Vậy NP lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm đối xứng của A qua O.

Bài tập 2.

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O); (O')

Vậy ba điểm C;B; D thẳng hàng.

b) Xét tứ giác CDEF ta có:

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))

suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp.

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

===========================

Việc nắm vững phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn sẽ giúp học sinh giải quyết chính xác nhiều dạng toán hình học lớp 9. Đây là nền tảng quan trọng để làm tốt các bài toán luyện thi vào lớp 10, đồng thời rèn luyện tư duy lập luận chặt chẽ và khoa học.