VnDoc.com

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề thi vào lớp 10: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn, giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng

+ Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng chứa hai điểm còn lại

+ Chứng minh qua 3 điểm xác định được một góc bẹt

+ Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau

+ Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ ba

+ Dùng tính chất đường trung trực

+ Dùng tính chất tia phân giác

+ Sử dụng tính chấy đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác

+ Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt

+ Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn

+ Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C nằm giữa O và B, lấy điểm D trên đường tròn (O) sao cho AD = BC. Kẻ CH vuông góc với AD (H thuộc AD). Tia phân giác của góc DAB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và cắt CH tại F. DF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N

a, Chứng minh CH // BD

b, Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp

c, Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

a, + Có $\widehat {ADB}$ $\hat{A D B}$ nhìn đường kính AB nên suy ra AD vuông góc với DB

+ Có CH vuông góc với AD (giả thiết)

Suy ra CH song song với BD (từ vuông góc đến song song)

b, + CH // BD suy ra $\widehat {HCA} = \widehat {DBA}$ $\hat{H C A} = \hat{D B A}$ (đồng vị)

lại có $\widehat {AND} = \widehat {ABD}$ $\hat{A N D} = \hat{A B D}$ (cùng chắn cung AD)

Suy ra $\widehat {AND} = \widehat {HCA}\left( { = \widehat {ABD}} \right)$ $\hat{A N D} = \hat{H C A} (= \hat{A B D})$

+ Tứ giác AECN có:

$\widehat {AND} = \widehat {HCA}$ $\hat{A N D} = \hat{H C A}$

Hai góc cùng nhìn một cạnh

Suy ra 4 điểm A, E, N, C thuộc một đường tròn hay tứ giác AECN nội tiếp

c, + Tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn có $\widehat {NAF} + \widehat {NCF} = {180^0}$ $\hat{N A F} + \hat{N C F} = 180^{0}$ (3) và $\widehat {AFC} + \widehat {ANC} = {180^0}$ $\hat{A F C} + \hat{A N C} = 180^{0}$ (4)

Ta có $\widehat {AFC} + \widehat {CFE} = {180^0}$ $\hat{A F C} + \hat{C F E} = 180^{0}$ (5) (2 góc kề bù)

+ Từ (4) và (5) suy ra $\widehat {ANC} = \widehat {CFE}$ $\hat{A N C} = \hat{C F E}$

+ Xét tam giác NAE và tam giác FCE có

Góc $\widehat {CEF}$ $\hat{C E F}$ chung

$\widehat {ANC} = \widehat {CFE}$ $\hat{A N C} = \hat{C F E}$

Suy ra hai tam giác NAE đồng dạng với tam giác FCE

Suy ra hai góc $\widehat {FCE} = \widehat {NAF}$ $\hat{F C E} = \hat{N A F}$ (2 góc tương ứng bằng nhau) (3)

Từ (3) và (6) suy ra $\widehat {NCF} + \widehat {FCE} = {180^0}$ $\hat{N C F} + \hat{F C E} = 180^{0}$

Suy ra N, C, E thẳng hàng

Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng AO cắt (O) tại E và đường thẳng AO’ cắt (O’) tại F. Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

+ Có $\widehat {ABE}$ $\hat{A B E}$ nhìn đường kính AE nên $\widehat {ABE} = {90^0}$ $\hat{A B E} = 90^{0}$

+ Có $\widehat {ABF}$ $\hat{A B F}$ nhìn đường kính AF nên $\widehat {ABF} = {90^0}$ $\hat{A B F} = 90^{0}$

+ Có $\widehat {ABE} + \widehat {ABF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ $\hat{A B E} + \hat{A B F} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

Suy ra 3 điểm E, B, F thẳng hàng

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)

a, Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

b, Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

a, Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.

+ Có AE là tiếp tuyến của đường tròn O $\Rightarrow \widehat {OAE}= 90^0$ $\Rightarrow \hat{O A E} = 90^{0}$

Có EM là tiếp tuyến của đường tròn O $\Rightarrow \widehat {EMO}= 90^0$ $\Rightarrow \hat{E M O} = 90^{0}$

+ Xét tứ giác AEMO có:

$\widehat {OAE} + \widehat {OME} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ $\hat{O A E} + \hat{O M E} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn.

+ Xét tứ giác APMQ có:

$\widehat {PAQ} = \widehat {AQM} = \widehat {MPA} = {90^0}$ $\hat{P A Q} = \hat{A Q M} = \hat{M P A} = 90^{0}$

Suy ra tứ giác APMQ là hình chữ nhật (dhnb)

b, Chứng minh O, I, E thẳng hàng

+ Nối A với M và E với O

+ Có AE và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E nên EO đi qua trung điểm AM (1)

+ Có APMQ là hình chữ nhật, suy ra AM và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (tính chất) (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, O thẳng hàng.

Bài 4: Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$ . Giả sử $M$ là một điểm trên cung $B C$ không chứa $A$ (với $M \neq B;N \neq C$ $M \neq B; N \neq C$ ). Gọi $N; P$ theo thứ tự là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $A B; A C$ .

a) Chứng minh $A H C P$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $N; H; P$ thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của điểm $M$ để độ dài đoạn thẳng $N P$ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Gọi $I = CH \cap AB;K = AH \cap BC$ $I = C H \cap A B; K = A H \cap B C$

Ta có: $\widehat{IBK} = \widehat{AMC}$ $\hat{I B K} = \hat{A M C}$ (cùng chắn cung $A C$ )

$\widehat{AMC} = \widehat{APC}$ $\hat{A M C} = \hat{A P C}$ (do $P$ đối xứng với $M$ qua $A C$ )

$\Rightarrow \widehat{IBK} = \widehat{APC}(*)$ $\Rightarrow \hat{I B K} = \hat{A P C} (*)$

Ta thấy $B I H K$ nội tiếp nên $\widehat{IBK} + \widehat{AHC} = 180^{0}(**)$ $\hat{I B K} + \hat{A H C} = 180^{0} (* *)$

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{AHC} + \widehat{APC} = 180^{0}$ $\hat{A H C} + \hat{A P C} = 180^{0}$

Vậy $A H C P$ là tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác $A H C P$ là tứ giác nội tiếp đường tròn nên $\widehat{AHP} = \widehat{ACP}$ $\hat{A H P} = \hat{A C P}$ (cùng chắn cung $A P$ )

Mà $\widehat{ACP} = \widehat{ACM}$ $\hat{A C P} = \hat{A C M}$ (tính chất đối xứng) $\Rightarrow \widehat{AHP} = \widehat{ACM}(1)$ $\Rightarrow \hat{A H P} = \hat{A C M} (1)$

Tương tự ta chứng minh được tứ giác $A H B N$ nội tiếp nên $\widehat{AHN} = \widehat{ABN}$ $\hat{A H N} = \hat{A B N}$ (cùng chắn cung $A P$ )

Suy ra $\widehat{AHN} = \widehat{ABM}(2)$ $\hat{A H N} = \hat{A B M} (2)$

Vì tứ giác $A B M C$ nội tiếp nên $\widehat{ACM} + \widehat{ABM} = 180^{0}(3)$ $\hat{A C M} + \hat{A B M} = 180^{0} (3)$

Từ (1); (2); (3) suy ra $\widehat{AHP} = \widehat{AHN} = 180^{0}$ $\hat{A H P} = \hat{A H N} = 180^{0}$

Vậy $N; H; P$ thẳng hàng.

c) Từ $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAN} = 2\widehat{BAM} \\ \widehat{MAP} = 2\widehat{MAC} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} \hat{M A N} = 2 \hat{B A M} \\ \hat{M A P} = 2 \hat{M A C} \end{matrix}$

$\Rightarrow \widehat{NAP} = 2\left( \widehat{BAM} + \widehat{MAC} \right) = 2\widehat{BAC}$ $\Rightarrow \hat{N A P} = 2 (\hat{B A M} + \hat{M A C}) = 2 \hat{B A C}$ không đổi

Ta có: $NP = 2AP.\sin\widehat{BAC} =2AM.\sin\widehat{BAC}$ $N P = 2 A P . \sin \hat{B A C} = 2 A M . \sin \hat{B A C}$

Do đó $N P$ lớn nhất khi và chỉ khi $A M$ lớn nhất. Khi đó $A M$ là đường kính đường tròn $(O)$ .

Vậy $N P$ lớn nhất khi và chỉ khi $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ .

Bài 5: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O^{'})$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Vẽ $A C; A D$ theo thứ tự là đường kính của hai đường tròn $(O)$ và $(O^{'})$ .

a) Chứng minh ba điểm $C; B; D$ thẳng hàng.

b) Đường thẳng $A C$ cắt đường tròn $(O^{'})$ tại $E$ , đường thẳng $A D$ cắt đường tròn $(O)$ tại $F$ (với $E;F \neq A$ $E; F \neq A$ ). Chứng minh bốn điểm $C; D; E; F$ cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Ta có: $\widehat{ABC};\widehat{ABD}$ $\hat{A B C}; \hat{A B D}$ lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O); (O^{'})$

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ABD} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{A B C} = \hat{A B D} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{ABC} + \widehat{ABD} = 180^{0}$ $\Rightarrow \hat{A B C} + \hat{A B D} = 180^{0}$

Vậy ba điểm $C; B; D$ thẳng hàng.

b) Xét tứ giác CDEF ta có:

$\widehat{CFD} = \widehat{CFA} = 90^{0}$ $\hat{C F D} = \hat{C F A} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

$\widehat{CED} = \widehat{DEA} = 90^{0}$ $\hat{C E D} = \hat{D E A} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))

$\Rightarrow \widehat{CFD} = \widehat{CED} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{C F D} = \hat{C E D} = 90^{0}$ suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp.

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh :

1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật.

2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp .

3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng.

4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

1. & 2. (HS tự làm)

3. Theo chứng minh trên DNHP nội tiếp => ∠N₂ = ∠D₄ (nội tiếp cùng chắn cung HP); ∆HDC có ∠HDC = 90⁰ (do AH là đường cao) ∆ HDP có ∠HPD = 90⁰ (do DP ⊥ HC) => ∠C₁= ∠D₄ (cùng phụ với ∠DHC)=> ∠C₁=∠N₂ (1) chứng minh tương tự ta có ∠B₁=∠P₁ (2)

Từ (1) và (2) => ∆HNP ∼ ∆ HCB

4. Theo chứng minh trên DNMB nội tiếp => ∠N₁ = ∠D₁ (nội tiếp cùng chắn cung BM).(3)

DM // CF ( cùng vuông góc với AB) => ∠C₁= ∠D₁ ( hai góc đồng vị).(4)

Theo chứng minh trên ∠C₁ = ∠N₂ (5)

Từ (3), (4), (5) => ∠N₁ = ∠N₂ mà B, N, H thẳng hàng => M, N, P thẳng hàng. (6)

Chứng minh tương tự ta cung có N, P, Q thẳng hàng . (7)

Từ (6), (7) => Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

Bài 7: AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R (B, C là tiếp điểm). Vẽ CH vuông góc AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.

1. Chứng minh CO = CD.

2. Chứng minh tứ giác OBCD là hình thoi.

3. Gọi M là trung điểm của CE, Bm cắt OH tại I. Chứng minh I là trung điểm của OH.

4. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

1. Theo giả thiết AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O => OA là tia phân giác của ∠BOC => ∠BOA = ∠COA (1)

OB ⊥ AB ( AB là tiếp tuyến ); CH ⊥ AB (gt) => OB // CH => ∠BOA = ∠CDO (2)

Từ (1) và (2) => ∆COD cân tại C => CO = CD.(3)

2. theo trên ta có CO = CD mà CO = BO (= R) => CD = BO (4) lại có OB // CH hay OB // CD (5)

Từ (4) và (5) => BOCD là hình bình hành (6) . Từ (6) và (3) => BOCD là hình thoi.

3. M là trung điểm của CE => OM ⊥ CE ( quan hệ đường kính và dây cung) => ∠OMH = 90⁰. theo trên ta cũng có ∠OBH =90⁰; ∠BHM =90⁰ => tứ giác OBHM là hình chữ nhật => I là trung điểm của OH.

4. M là trung điểm của CE; KE và KC là hai tiếp tuyến => O, M, K thẳng hàng.

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh $\widehat {MID} = \widehat {MBC}$ $\hat{M I D} = \hat{M B C}$ và tứ giác AIKM nội tiếp, từ đó chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M và N. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài 3: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho $\widehat {COD} = {90^0}$ $\hat{C O D} = 90^{0}$ . Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O).

Bài 4: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA (A là tiếp điểm) và cát tuyến SBC đến đường tròn (O) (A thuộc cung nhỏ BC). Gọi H là trung điểm của BC

a, Chứng minh SA² = SB.SC và tứ giác SAHO nội tiếp đường tròn

b, Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt CK tại E. Chứng minh EK.BH = AB.OK

c, Tia AE cắt (O) tại D. Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng

Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm về hai phía đối với dây cung AB). Kẻ AC và AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O’)

a, Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b, Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) tại E, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh tứ giác CDEFF nội tiếp đường tròn

Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H

a, Chứng minh các tứ giác AEHF và ACD là các tứ giác nội tiếp

b, Gọi I là điểm đối xứng với E qua BC, BC cắt AI, EI lần lượt lại L và K. Vẽ LN vuông góc với AC tại N. Chứng minh $\widehat {KNL} = \widehat {DAL}$ $\hat{K N L} = \hat{D A L}$

c, Chứng minh ba điểm F, D, I thẳng hàng

Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D khác B. Gọi M là điểm bất kì trên đoạn AD. Kẻ MH, MI lần lượt vuông góc với AB, AC tại H, I. Kẻ HK vuông góc với ID tại K. Chứng minh góc MID = Góc MBC và tứ giác AIKM nội tiếp đường tròn, từ đó các em học sinh hãy chứng minh ba điểm K, M, B thẳng hàng.

Bài tập 8: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ. Lấy B làm tâm, vẽ một đường tròn có bán kính BA, lấy điểm C làm tâm, vẽ đường tròn có bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là điểm D. Vẽ AM và AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho thỏa mãn điều kiện AM vuông góc với AN và điểm D nằm giữa 2 điểm M và N. Hãy chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.

Bài tập 9: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Gọi điểm C là một điểm điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 0 < AC < BC. Gọi D là điểm thuộc cung nhỏ BC sao cho góc COD = 90 độ. Gọi điểm E là giao điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC, điểm F là giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đoạn thẳng IC là tiếp tuyến của (O).

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

45

126.286

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Gấu Bắc Cực

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

109,9 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

1 Bình luận

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Kitty 2009
Cho em hỏi Bài 1c chỗ: Xét tam giác NAE và tam giác FCE làm sao có
Góc \widehat {CEF} chung . Do N, C, E chưa chứng minh thẳng hàng nên làm sao suy ra góc đó chung đc ạ?

Thích Phản hồi 1 23/03/24