Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

Chứng minh 3 điểm thằng hàng trong đường tròn là một dạng toán nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài "Chứng minh ba điểm thẳng hàng" và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

+ Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng chứa hai điểm còn lại

+ Chứng minh qua 3 điểm xác định được một góc bẹt

+ Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau

+ Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ ba

+ Dùng tính chất đường trung trực

+ Dùng tính chất tia phân giác

+ Sử dụng tính chấy đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác

+ Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biiệt

+ Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn

+ Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C nằm giữa O và B, lấy điểm D trên đường tròn (O) sao cho AD = BC. Kẻ CH vuông góc với AD (H thuộc AD). Tia phân giác của góc DAB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và cắt CH tại F. DF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N

a, Chứng minh CH // BD

b, Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp

c, Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng

Lời giải:

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

a, + Có \widehat {ADB} nhìn đường kính AB nên suy ra AD vuông góc với DB

+ Có CH vuông góc với AD (giả thiết)

Suy ra CH song song với BD (từ vuông góc đến song song)

b, + CH // BD suy ra \widehat {HCA} = \widehat {DBA} (đồng vị)

lại có \widehat {AND} = \widehat {ABD} (cùng chắn cung AD)

Suy ra \widehat {AND} = \widehat {HCA}\left( { = \widehat {ABD}} \right)

+ Tứ giác AECN có:

\widehat {AND} = \widehat {HCA}

Hai góc cùng nhìn một cạnh

Suy ra 4 điểm A, E, N, C thuộc một đường tròn hay tứ giác AECN nội tiếp

c, + Tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn có \widehat {NAF} + \widehat {NCF} = {180^0} (3) và \widehat {AFC} + \widehat {ANC} = {180^0}(4)

Ta có \widehat {AFC} + \widehat {CFE} = {180^0}(5) (2 góc kề bù)

+ Từ (4) và (5) suy ra \widehat {ANC} = \widehat {CFE}

+ Xét tam giác NAE và tam giác FCE có

Góc \widehat {CEF} chung

\widehat {ANC} = \widehat {CFE}

Suy ra hai tam giác NAE đồng dạng với tam giác FCE

Suy ra hai góc \widehat {FCE} = \widehat {NAF}(2 góc tương ứng bằng nhau) (3)

Từ (3) và (6) suy ra \widehat {NCF} + \widehat {FCE} = {180^0}

Suy ra N, C, E thẳng hàng

Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng AO cắt (O) tại E và đường thẳng AO’ cắt (O’) tại F. Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng

Lời giải:

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn

+ Có \widehat {ABE} nhìn đường kính AE nên \widehat {ABE} = {90^0}

+ Có \widehat {ABF} nhìn đường kính AF nên \widehat {ABF} = {90^0}

+ Có \widehat {ABE} + \widehat {ABF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}

Suy ra 3 điểm E, B, F thẳng hàng

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong đường tròn

Bài 1: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA (A là tiếp điểm) và cát tuyến SBC đến đường tròn (O) (A thuộc cung nhỏ BC). Gọi H là trung điểm của BC

a, Chứng minh SA2 = SB.SC và tứ giác SAHO nội tiếp đường tròn

b, Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt CK tại E. Chứng minh EK.BH = AB.OK

c, Tia AE cắt (O) tại D. Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng

Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm về hai phía đối với dây cung AB). Kẻ AC và AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O’)

a, Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b, Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) tại E, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh tứ giác CDEFF nội tiếp đường tròn

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) (AB <AC). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H

a, Chứng minh các tứ giác AEHF và ACD là các tứ giác nội tiếp

b, Gọi I là điểm dối xứng với E qua bC, BC cắt AI, EI lần lượt lại L và K. Vẽ LN vuông góc với AC tại N. Chứng minh

c, Chứng minh ba điểm F, D, I thẳng hàng

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Đánh giá bài viết
1 5.732
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm