VnDoc.com

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đối xứng loại 2

I. Nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại 2
- 1. Hệ đối xứng loại 2
- 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
II. Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2
III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhận dạng hệ phương trình đối xứng loại 2

1. Hệ đối xứng loại 2

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia
Tính chất: Nếu $\left( x_{0};y_{0} \right)$ $\left( x_{0};y_{0} \right)$ là một nghiệm của hệ phương trình thì $\left( y_{0};x_{0} \right)$ $\left( y_{0};x_{0} \right)$ cũng là nghiệm của phương trình

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Bước 1: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được $\left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$ $\left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$

Bước 2: Trường hợp 1: x – y = 0, kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm

Bước 3: Trường hợp 2: g(x; y) = 0 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

II. Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 2y - \sqrt{x} \\ y^{2} = 2x - \sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 2y - \sqrt{x} \\ y^{2} = 2x - \sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x,y \geq 0$ $x,y \geq 0$. Trừ hai phương trình của hệ ta thu được:

$x^{2} + \sqrt{x} - \left( y^{2} + \sqrt{y} \right) = 2(y - x)$ $x^{2} + \sqrt{x} - \left( y^{2} + \sqrt{y} \right) = 2(y - x)$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left\lbrack \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow \left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left\lbrack \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) \right\rbrack = 0$

Vì $\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) > 0$ $\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) > 0$ nên phương trình đã cho tương đương với x = y

$x^{2} - 2x + \sqrt{x} = 0$ $x^{2} - 2x + \sqrt{x} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + \sqrt{x} = 2x$ $\Leftrightarrow x^{2} + \sqrt{x} = 2x$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} - 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} - 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 0) = (1; 1) = $\left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)$ $\left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)$

Bài 2: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x + \sqrt{2x + 1} = y + 1 \\ y^{3} + 3y + \sqrt{2y + 1} = x + 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x + \sqrt{2x + 1} = y + 1 \\ y^{3} + 3y + \sqrt{2y + 1} = x + 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geq - \frac{1}{2};y \geq - \frac{1}{2}$ $x \geq - \frac{1}{2};y \geq - \frac{1}{2}$

Ta kiểm tra được $x = y = - \frac{1}{2}$ $x = y = - \frac{1}{2}$không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp $x + y \neq - 1$ $x + y \neq - 1$. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

$x^{3} + 3x - 1 + \sqrt{2x + 1} - \left( y^{3} + 3y - 1 + \sqrt{2y - 1} \right) = y - x$ $x^{3} + 3x - 1 + \sqrt{2x + 1} - \left( y^{3} + 3y - 1 + \sqrt{2y - 1} \right) = y - x$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} \right\rbrack + 4(x - y) + \frac{2(x - y)}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} \right\rbrack + 4(x - y) + \frac{2(x - y)}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} + 4 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} + 4 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$

Khi x = y xét phương trình

$x^{3} + 2x - 1 + \sqrt{2x + 1} = 0$ $x^{3} + 2x - 1 + \sqrt{2x + 1} = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} + 1 \right) + \frac{2x}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 0$ $\Leftrightarrow x\left( x^{2} + 1 \right) + \frac{2x}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 0$

$\Leftrightarrow x\left\lbrack x^{2} + 1 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow x\left\lbrack x^{2} + 1 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0).

Bài 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^3} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^3} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0\\ {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0\\ {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}$

Có ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1$ ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1$

$= {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1 \ne 0\forall x;y$ $= {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1 \ne 0\forall x;y$nên phương trình ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0$ ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0$vô nghiệm

Với x – y = 0 hay x = y thay vào phương trình (1) có:

${x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 \\ x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 \end{array} \right.$ ${x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 \\ x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm: $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right);\left( {x;y} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)$ $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right);\left( {x;y} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)$

Bài 4: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 3x = 1 - 3y \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 3x = 1 - 3y \end{array} \right. \end{array}$

Với x = y thay vào phương trình (1) có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\ \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} {x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\ \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right. \end{array}$

Với $x = \frac{{1 - 3y}}{3}$ $x = \frac{{1 - 3y}}{3}$ thay vào phương trình (2) có:

${\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right)^2} - 2{y^2} = 2\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right) + y$ ${\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right)^2} - 2{y^2} = 2\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right) + y$

Biến đổi phương trình suy ra phương trình vô nghiệm.

Bài 5. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} + y^{2}\ (1) \\ \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}\ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} + y^{2}\ (1) \\ \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}\ \ (2) \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

$\sqrt{x^{2} + 91} - \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2} + y^{2} - x^{2}$ $\sqrt{x^{2} + 91} - \sqrt{y^{2} + 91} = \sqrt{y - 2} - \sqrt{x - 2} + y^{2} - x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} = \frac{y - x}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + (y - x)(y + x)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} + 91}} = \frac{y - x}{\sqrt{y - 2} + \sqrt{x - 2}} + (y - x)(y + x)$

$\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} = 91}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2} + \sqrt{y - 2}} + x + y \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + 91} + \sqrt{y^{2} = 91}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2} + \sqrt{y - 2}} + x + y \right) = 0$

⇔ x = y (trong ngoặc luôn dương và x vay đều lớn hơn 2)

Vậy từ hệ phương trình trên ta có: $\sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}$ $\sqrt{x^{2} + 91} = \sqrt{x - 2} + x^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^{2} - 9$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^{2} - 9$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$ $\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$

$\Leftrightarrow (x - 3)\left( (x + 3)\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 3)\left( (x + 3)\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 91} + 10} - 1 \right) - \frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} \right) = 0$

⇔ x = 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 3

Bài 6. Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix}3y = \dfrac{y^{2} + 2}{x^{2}} \\3x = \dfrac{x^{2} + 2}{y^{2}}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}3y = \dfrac{y^{2} + 2}{x^{2}} \\3x = \dfrac{x^{2} + 2}{y^{2}}\end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0, y > 0.

Khi đó hệ tương đương $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2}y = y^{2} + 2 \\ 3xy^{2} = x^{2} + 2 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3x^{2}y = y^{2} + 2 \\ 3xy^{2} = x^{2} + 2 \end{matrix} \right.$

Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: (x - y)(3xy + x + y) = 0

$\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$ thay lại phương trình Giải tìm được nghiệm của hệ là: (1; 1).

Bài 7. Giải phương trình: $2x + 1 + x\sqrt{x^{2} + 2} + (x + 1)\sqrt{x^{2} + 2x + 3} = 0$ $2x + 1 + x\sqrt{x^{2} + 2} + (x + 1)\sqrt{x^{2} + 2x + 3} = 0$.

Hướng dẫn giải

Thực hiện đặt ẩn phụ:

$\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{x^{2} + 2};u > 0 \\ v = \sqrt{x^{2} + 2x + 3};v > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u^{2} = x^{2} + 2 \\ v^{2} = x^{2} + 2x + 3 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u = \sqrt{x^{2} + 2};u > 0 \\ v = \sqrt{x^{2} + 2x + 3};v > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u^{2} = x^{2} + 2 \\ v^{2} = x^{2} + 2x + 3 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}v^{2} - u^{2} = 2x + 1 \\x^{2} = \dfrac{v^{2} - u^{2} - 1}{2}\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}v^{2} - u^{2} = 2x + 1 \\x^{2} = \dfrac{v^{2} - u^{2} - 1}{2}\end{matrix} \right.$

Phưng trình tương đương

$(v - u)\left\lbrack (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} \right\rbrack = 0$ $(v - u)\left\lbrack (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} v - u = 0\ \ \ \ (b) \\ (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} = 0\ \ \ (c) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} v - u = 0\ \ \ \ (b) \\ (v - u)\left( 1 + \frac{v + u}{2} \right) + \frac{1}{2} = 0\ \ \ (c) \end{matrix} \right.$

Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm.

Do đó phương trình:

$v - u = 0 \Leftrightarrow v = u$ $v - u = 0 \Leftrightarrow v = u$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2x + 3} = \sqrt{x^{2} + 2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2x + 3} = \sqrt{x^{2} + 2}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Bài 8. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} = 2 \\y - y^{2}x - 2y^{2} = - 2\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} = 2 \\y - y^{2}x - 2y^{2} = - 2\end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $y \neq 0$ $y \neq 0$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} - 2 = 0 \\\dfrac{2}{y^{2}} + \dfrac{1}{y} - x - 2 = 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^{2} + x - \dfrac{1}{y} - 2 = 0 \\\dfrac{2}{y^{2}} + \dfrac{1}{y} - x - 2 = 0\end{matrix} \right.$ sẽ được đưa hệ về dạng $\left\{ \begin{matrix} 2u^{2} + u - v - 2 = 0 \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2u^{2} + u - v - 2 = 0 \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} u = v \\ u = 1 - v \end{matrix} \right.\ \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} u = v \\ u = 1 - v \end{matrix} \right.\ \\ 2v^{2} + v - u - 2 = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u = v = 1 \\ u = v = - 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u = v = 1 \\ u = v = - 1 \end{matrix} \right.$

hoặc $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 + \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.\ ,\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 - \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 + \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.\ ,\left\{ \begin{matrix}u = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} \\v = \dfrac{- 1 - \sqrt{7}}{2}\end{matrix} \right.$

Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình là: (-1; -1), (1; 1), ( $\frac{3 - \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} - 1}$ $\frac{3 - \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} - 1}$), ( $\frac{3 + \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} + 1}$ $\frac{3 + \sqrt{7}}{2};\frac{2}{\sqrt{7} + 1}$)

Bài 9. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \frac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \frac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \dfrac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}(1 + \dfrac{1}{y}) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$.

Điều kiện xác định: $y \neq 0$ $y \neq 0$

Biến đổi hệ phương trình như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}\left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}x^{2} + x + \dfrac{1}{y}\left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) = 4 \\\dfrac{x}{y^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y} + \dfrac{1}{y^{3}} = 4 - x^{3}\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} + x + \dfrac{1}{y} = 4 \\x^{3} + \dfrac{1}{y^{3}} + \dfrac{x}{y}(\dfrac{1}{y} + x) = 4\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} + x + \dfrac{1}{y} = 4 \\x^{3} + \dfrac{1}{y^{3}} + \dfrac{x}{y}(\dfrac{1}{y} + x) = 4\end{matrix} \right.$

Đặt ẩn phụ: $\left\{ \begin{matrix}a = x + \dfrac{1}{y} \\b = \dfrac{x}{y}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}a = x + \dfrac{1}{y} \\b = \dfrac{x}{y}\end{matrix} \right.$ thay vào hệ phương trình ta có:

$\left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 2b = 4 \\ a^{3} - 2ab = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{3} - a(a^{2} + a - 4) = 4 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 2b = 4 \\ a^{3} - 2ab = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{3} - a(a^{2} + a - 4) = 4 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{2} - 4a + 4 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + a - 4 = 2b \\ a^{2} - 4a + 4 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix} \right.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} x = y \\ x + \frac{1}{x} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = y \\ x + \frac{1}{x} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 1 \end{matrix} \right.$

Bài 10. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{y - 1} + y^{2}\ \ \ \ (1) \\ 2\sqrt{y^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}\ \ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{y - 1} + y^{2}\ \ \ \ (1) \\ 2\sqrt{y^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}\ \ \ (2) \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

- Điều kiện: $x,y \geq 1.$ $x,y \geq 1.$

Nhận thấy x = y = 1 không là nghiệm của hệ $\Rightarrow \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} \neq 0.$ $\Rightarrow \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} \neq 0.$

Biến đổi hệ phương trình ta được

$2(\sqrt{x^{2} + 5} - \sqrt{y^{2} + 5}) = 2(\sqrt{y - 1} - \sqrt{x - 1}) + (y^{2} - x^{2})$ $2(\sqrt{x^{2} + 5} - \sqrt{y^{2} + 5}) = 2(\sqrt{y - 1} - \sqrt{x - 1}) + (y^{2} - x^{2})$

$\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - y^{2})}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} = \frac{2(y - x)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + (y^{2} - x^{2})$ $\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - y^{2})}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} = \frac{2(y - x)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + (y^{2} - x^{2})$

$\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + x + y \right) = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left( \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{y^{2} + 5}} + \frac{2}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}} + x + y \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$

- Thế vào (1) được: $2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}$ $2\sqrt{x^{2} + 5} = 2\sqrt{x - 1} + x^{2}$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x^{2} + 5} - 3) - 2(\sqrt{x - 1} - 1) - (x^{2} - 4) = 0$ $\Leftrightarrow 2(\sqrt{x^{2} + 5} - 3) - 2(\sqrt{x - 1} - 1) - (x^{2} - 4) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - 4)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - \frac{2(x - 2)}{\sqrt{x - 1} + 1} - (x^{2} - 4) = 0$ $\Leftrightarrow \frac{2(x^{2} - 4)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - \frac{2(x - 2)}{\sqrt{x - 1} + 1} - (x^{2} - 4) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left( \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} \right) = 0\ \ \ \ (3)$ $\Leftrightarrow (x - 2)\left( \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} \right) = 0\ \ \ \ (3)$

- Vì $x \geq 1 \Rightarrow \sqrt{x^{2} + 5} + 3 > 2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < 1$ $x \geq 1 \Rightarrow \sqrt{x^{2} + 5} + 3 > 2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < 1$

$\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < (x + 2)$ $\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} < (x + 2)$

$\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} < 0$ $\Rightarrow \frac{2(x + 2)}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} - (x + 2) - \frac{2}{\sqrt{x - 1} + 1} < 0$

$\Rightarrow (*) \Leftrightarrow x = 2.$ $\Rightarrow (*) \Leftrightarrow x = 2.$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (2; 2).

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.$	2, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$
3, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.$	4, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.$
5, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$	6, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.$
7, $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.$	8, $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.$
9, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$	10, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.$

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - (2y + 2)x - 3y^{2} = 0 \\ x^{2} + 2xy^{2} - (y + 3)x - 2y^{3} - 6y^{2} + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - (2y + 2)x - 3y^{2} = 0 \\ x^{2} + 2xy^{2} - (y + 3)x - 2y^{3} - 6y^{2} + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} 3xy - 3x - 3y = 3 \\ 4x^{3} - 12x^{2} + 9x = - y^{3} + 6y + 7 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 3xy - 3x - 3y = 3 \\ 4x^{3} - 12x^{2} + 9x = - y^{3} + 6y + 7 \\ \end{matrix} \right.$

---------------------------------------------------------------

Hệ phương trình đối xứng loại 2 tuy phức tạp hơn loại 1 nhưng vẫn tuân theo nguyên tắc chung: nhận dạng dạng đối xứng, đặt ẩn S và P, rồi biến đổi về phương trình một ẩn quen thuộc. Điểm mấu chốt để giải nhanh là rèn luyện kỹ năng phân tích biểu thức, kết hợp với việc nhớ công thức liên hệ giữa S, P và nghiệm của phương trình bậc hai.

Với nội dung "Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2" thuộc Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10, hy vọng bạn sẽ nắm vững phương pháp, tiết kiệm thời gian làm bài và tự tin đạt điểm tối đa. Đừng quên luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để biến phương pháp này thành kỹ năng phản xạ khi bước vào phòng thi.

Tải về

Chọn file muốn tải về: