VnDoc.com

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đối xứng loại 2

I. Hệ phương trình đối xứng loại 2
- 1. Hệ đối xứng loại 2
- 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
II. Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2
III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Hệ phương trình đối xứng loại 2

1. Hệ đối xứng loại 2

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia
Tính chất: Nếu $\left( x_{0};y_{0} \right)$ $(x_{0}; y_{0})$ là một nghiệm của hệ phương trình thì $\left( y_{0};x_{0} \right)$ $(y_{0}; x_{0})$ cũng là nghiệm của phương trình

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$ ${\begin{cases} f (x; y) = 0 (1) \\ f (y; x) = 0 (2) \end{cases}$

Bước 1: Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được $\left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$ $(x - y) g (x; y) = 0$

Bước 2: Trường hợp 1: x – y = 0, kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm

Bước 3: Trường hợp 2: g(x; y) = 0 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

II. Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = 2y - \sqrt{x} \\ y^{2} = 2x - \sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} = 2 y - \sqrt{x} \\ y^{2} = 2 x - \sqrt{y} \end{matrix}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x,y \geq 0$ $x, y \geq 0$ . Trừ hai phương trình của hệ ta thu được:

$x^{2} + \sqrt{x} - \left( y^{2} + \sqrt{y} \right) = 2(y - x)$ $x^{2} + \sqrt{x} - (y^{2} + \sqrt{y}) = 2 (y - x)$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left\lbrack \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (\sqrt{x} - \sqrt{y}) [(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (x + y) + 1 + 2 (\sqrt{x} + \sqrt{y})] = 0$

Vì $\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)(x + y) + 1 + 2\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right) > 0$ $(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (x + y) + 1 + 2 (\sqrt{x} + \sqrt{y}) > 0$ nên phương trình đã cho tương đương với x = y

$x^{2} - 2x + \sqrt{x} = 0$ $x^{2} - 2 x + \sqrt{x} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + \sqrt{x} = 2x$ $\Leftrightarrow x^{2} + \sqrt{x} = 2 x$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} - 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 0) = (1; 1) = $\left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2};\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)$ $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Bài 2: Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x^{3} + 3x + \sqrt{2x + 1} = y + 1 \\ y^{3} + 3y + \sqrt{2y + 1} = x + 1 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{3} + 3 x + \sqrt{2 x + 1} = y + 1 \\ y^{3} + 3 y + \sqrt{2 y + 1} = x + 1 \end{matrix}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geq - \frac{1}{2};y \geq - \frac{1}{2}$ $x \geq - \frac{1}{2}; y \geq - \frac{1}{2}$

Ta kiểm tra được $x = y = - \frac{1}{2}$ $x = y = - \frac{1}{2}$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp $x + y \neq - 1$ $x + y \neq - 1$ . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

$x^{3} + 3x - 1 + \sqrt{2x + 1} - \left( y^{3} + 3y - 1 + \sqrt{2y - 1} \right) = y - x$ $x^{3} + 3 x - 1 + \sqrt{2 x + 1} - (y^{3} + 3 y - 1 + \sqrt{2 y - 1}) = y - x$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} \right\rbrack + 4(x - y) + \frac{2(x - y)}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} = 0$ $\Leftrightarrow (x - y) [x^{2} + x y + y^{2}] + 4 (x - y) + \frac{2 (x - y)}{\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{2 y + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack x^{2} + xy + y^{2} + 4 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + \sqrt{2y + 1}} \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - y) [x^{2} + x y + y^{2} + 4 + \frac{2}{\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{2 y + 1}}] = 0$

$\Leftrightarrow x = y$ $\Leftrightarrow x = y$

Khi x = y xét phương trình

$x^{3} + 2x - 1 + \sqrt{2x + 1} = 0$ $x^{3} + 2 x - 1 + \sqrt{2 x + 1} = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} + 1 \right) + \frac{2x}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 0$ $\Leftrightarrow x (x^{2} + 1) + \frac{2 x}{\sqrt{2 x + 1} + 1} = 0$

$\Leftrightarrow x\left\lbrack x^{2} + 1 + \frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow x [x^{2} + 1 + \frac{2}{\sqrt{2 x + 1} + 1}] = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0).

Bài 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^3} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} = 2 x + y (1) \\ y^{3} = 2 y + x (2) \end{cases}$

Hướng dẫn giải

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0\\ {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} x^{3} - y^{3} = 2 x + y - 2 y - x \\ \Leftrightarrow (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = x - y \\ \Leftrightarrow (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - y = 0 \\ x^{2} + x y + y^{2} - 1 = 0 \end{matrix} \end{array}$

Có ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1$ $x^{2} + x y + y^{2} - 1 = (x^{2} + 2. \frac{1}{2} x y + \frac{y^{2}}{4}) + \frac{3 y^{2}}{4} - 1$

$= {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1 \ne 0\forall x;y$ $= {(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4} - 1 \neq 0 \forall x; y$ nên phương trình ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0$ $x^{2} + x y + y^{2} - 1 = 0$ vô nghiệm

Với x – y = 0 hay x = y thay vào phương trình (1) có:

${x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 \\ x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 \end{array} \right.$ $x^{3} = 2 x + x \Leftrightarrow x^{3} = 3 x \Leftrightarrow x (x^{2} - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ x = \sqrt{3} \Rightarrow y = \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3} \Rightarrow y = - \sqrt{3} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm: $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right);\left( {x;y} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)$ $(x; y) = (0; 0); (x; y) = (\sqrt{3}; \sqrt{3}); (x; y) = (- \sqrt{3}; - \sqrt{3})$

Bài 4: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} - 2 y^{2} = 2 x + y (1) \\ y^{2} - 2 x^{2} = 2 y + x (2) \end{cases}$

Hướng dẫn giải

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 3x = 1 - 3y \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} x^{2} - 2 y^{2} - y^{2} + 2 x^{2} = 2 x + y - 2 y - x \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 y^{2} = x - y \\ \Leftrightarrow 3 (x - y) (x + y) - (x - y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - y) (3 x + 3 y - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = y \\ 3 x = 1 - 3 y \end{matrix} \end{array}$

Với x = y thay vào phương trình (1) có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\ \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right. \end{array}$ $\begin{array}{l} x^{2} - 2 x^{2} = 2 x + x \\ \Leftrightarrow - x^{2} - x = 0 \\ \Leftrightarrow - x (x + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ x = - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{matrix} \end{array}$

Với $x = \frac{{1 - 3y}}{3}$ $x = \frac{1 - 3 y}{3}$ thay vào phương trình (2) có:

${\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right)^2} - 2{y^2} = 2\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right) + y$ ${(\frac{1 - 3 y}{3})}^{2} - 2 y^{2} = 2 (\frac{1 - 3 y}{3}) + y$

Biến đổi phương trình suy ra phương trình vô nghiệm

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.$ ${\begin{cases} y^{2} - x y = 3 x \\ x^{2} - x y = 3 y \end{cases}$	2, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} + 1 = 2 y \\ y^{3} + 1 = 2 x \end{cases}$
3, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} - 2 y^{2} = 2 x + y \\ y^{2} - 2 x^{2} = 2 y + x \end{cases}$	4, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} y + 2 = y^{2} \\ x y^{2} + 2 = x^{2} \end{cases}$
5, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} = 2 x + y \\ y^{3} = 2 y + x \end{cases}$	6, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} = 3 x + 8 y \\ y^{3} = 3 y + 8 x \end{cases}$
7, $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.$ ${\begin{cases} 3 x^{2} = x^{2} + 2 y^{2} \\ 3 y^{2} = y^{2} + 2 x^{2} \end{cases}$	8, $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.$ ${\begin{cases} 2 x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x} \\ 2 y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{cases}$
9, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} = 3 x + 2 y \\ y^{2} = 3 y + 2 x \end{cases}$	10, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.$ ${\begin{cases} 2 x^{2} = \frac{1}{y} + y \\ 2 y^{2} = \frac{1}{x} + x \end{cases}$

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - (2y + 2)x - 3y^{2} = 0 \\ x^{2} + 2xy^{2} - (y + 3)x - 2y^{3} - 6y^{2} + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} - (2 y + 2) x - 3 y^{2} = 0 \\ x^{2} + 2 x y^{2} - (y + 3) x - 2 y^{3} - 6 y^{2} + 1 = 0 \end{matrix}$

b) $\left\{ \begin{matrix} 3xy - 3x - 3y = 3 \\ 4x^{3} - 12x^{2} + 9x = - y^{3} + 6y + 7 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 3 x y - 3 x - 3 y = 3 \\ 4 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x = - y^{3} + 6 y + 7 \end{matrix}$

-----------------

Ngoài chuyên đề giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

14.965

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

281,7 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!