VnDoc.com

Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề luyện thi vào 10: Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

I. Cách chứng minh các tam giác đặc biệt
II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Cách chứng minh các tam giác đặc biệt

1. Tam giác cân

+ Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân

+ Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân

+ Tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác hay đường trung tuyến thì tam giác ấy là tam giác cân

Cách dựng tam giác ABC cân tại A

– Vẽ cạnh BC

– Vẽ cung tròn tâm B, bán kính r

– Vẽ cung tròn tâm C, bán kính r

Hai cung tròn cắt nhau tại A.

Tam giác ABC là tam giác cần vẽ.

2. Tam giác đều

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều

+ Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

+ Tam giác cân có một góc bằng 60⁰ là tam giác đều

+ Tam giác cân tại hai đỉnh thì tam giác ấy là tam giác đều

Cách dựng tam giác đều ABC

– Vẽ cạnh BC

– Vẽ (B; BC) và (C; BC)

– (B; BC) ∩ (C; BC) tại A

ABC là tam giác đều cần vẽ.

3. Tam giác vuông

+ Tam giác có một góc vuông thì tam giác ấy là tam giác vuông

+ Tam giác có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng vuông góc thì tam giác ấy là tam giác vuông

+ Sử dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác là tam giác vuông

+ Tam giác nội tiếp đường tròn và có một cạnh là đường kính thì tam giác ấy là tam giác vuông

Cách dựng tam giác ABC vuông tại A

Cho trước cạnh huyền BC = 4,5 cm và cạnh góc vuông AC = 2 cm.

– Dựng đoạn AC = 2 cm

– Dựng góc CAx bằng 90o.

– Dựng cung tròn tâm C bán kinh 4,5 cm cắt Ax tại B. Nối BC ta có Δ ABC cần dựng.

4. Tam giác vuông cân

+ Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác vuông cân

+ Tam giác vuông có một góc bằng 45⁰ thì tam giác ấy là tam giác vuông cân

+ Tam giác cân có một góc đáy bằng 45⁰ thì tam giác ấy là tam giác vuông cân

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Gọi H là điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt BH tại K. Nối AH cắt BM tại E. Chứng minh:

a, Tam giác BAE là tam giác cân

b, KH.KB = KE.KE

Lời giải:

Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

a, + Có $\widehat {AHB}$ $\hat{A H B}$ nhìn đường kính AB nên $\widehat {AHB} = {90^0}$ $\hat{A H B} = 90^{0}$

Suy ra BH vuông góc với AH hay BH vuông góc với AE

+ Tam giác BAE có BH vuông góc với AE nên BH là đường cao của tam giác ABE (1)

+ Có $\widehat {ABH}$ $\hat{A B H}$ là góc nội tiếp chắn cung AH

$\widehat {MBH}$ $\hat{M B H}$ là góc nội tiếp chắn cung HM

Mà số đo cung AH bằng số đo cung HM

Suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {HBM}$ $\hat{A B H} = \hat{H B M}$ hay BH là phân giác của $\widehat {ABE}$ $\hat{A B E}$ (1)

+ Từ (1) và (2) có BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác ABE nên tam giác ABE cân tại B (tính chất)

b, + Có tam giác ABE là tam giác cân tại B, BH là đường cao nên BH là đường trung tuyến nên AH = HE

+ Xét tam giác AKE có KH vuông góc với AE và AH = HE nên tam giác AKE cân tại K. Suy ra AK = KE (tính chất)

+ Xét tam giác AKB có $\widehat {BAK} = {90^0}$ $\hat{B A K} = 90^{0}$ và AH vuông góc với BK nên $A{K^2} = KH.KB$ $A K^{2} = K H . K B$

mà AK = KE (chứng minh trên) nên $K{E^2} = KH.KB$ $K E^{2} = K H . K B$ (đpcm)

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax, By lần lượt tại D và E. Chứng minh tam giác DOE là tam giác vuông

Lời giải:

Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

+ Có Ax và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là tia phân giác của $\widehat {AOM}$ $\hat{A O M}$

+ Có By và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E suy ra OE là tia phân giác của $\widehat {BOM}$ $\hat{B O M}$

+ Có $\widehat {AOM}$ $\hat{A O M}$ và $\widehat {BOM}$ $\hat{B O M}$ là hai góc kề bù suy ra $\widehat {BOM} + \widehat {AOM} = {90^0}$ $\hat{B O M} + \hat{A O M} = 90^{0}$

Mà $\widehat {AOD} = \widehat {DOM} = \frac{{\widehat {AOM}}}{2}$ $\hat{A O D} = \hat{D O M} = \frac{\hat{A O M}}{2}$ (OD là tia phân giác của $\widehat {AOM}$ $\hat{A O M}$ )

Và $\widehat {BOE} = \widehat {MOE} = \frac{{\widehat {BOM}}}{2}$ $\hat{B O E} = \hat{M O E} = \frac{\hat{B O M}}{2}$ (OE là tia phân giác của $\widehat {BOM}$ $\hat{B O M}$ )

Suy ra ta có

$\begin{array}{l} 2\widehat {DOM} + 2\widehat {MOE} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {DOM} + \widehat {MOE} = {90^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {DOE} = {90^0} \end{array}$ $\begin{array}{l} 2 \hat{D O M} + 2 \hat{M O E} = 180^{0} \\ \Leftrightarrow \hat{D O M} + \hat{M O E} = 90^{0} \\ \Leftrightarrow \hat{D O E} = 90^{0} \end{array}$

Vậy tam giác DOE là tam giác vuông.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACD.

1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân.

3. Cho biết ∠ABC > 45⁰ ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.

4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

1. Theo giả thiết ABHK là hình vuông => ∠BAH = 45⁰

Tứ giác AEDC là hình vuông $B A C$ => ∠CAD = 45⁰; tam giác ABC vuông ở A

$\Rightarrow \widehat{BAC} = 90^{0}$ $\Rightarrow \hat{B A C} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{BAH} + \widehat{BAC} + \widehat{CAD} = 45^{0} + 90^{0} + 45^{0} = 180^{0}$ $\Rightarrow \hat{B A H} + \hat{B A C} + \hat{C A D} = 45^{0} + 90^{0} + 45^{0} = 180^{0}$

=> Ba điểm H, A, D thẳng hàng.

2. Ta có $\widehat{BFC} = 90^{0}$ $\hat{B F C} = 90^{0}$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác BFC vuông tại F. (1).

$\widehat{FBC} = \widehat{FAC}$ $\hat{F B C} = \hat{F A C}$ (nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên $\widehat{CAD} = 45^{0}$ $\hat{C A D} = 45^{0}$ hay $\widehat{FAC} = 45^{0}$ $\hat{F A C} = 45^{0}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ∆FBC là tam giác vuông cân tại F.

3. Theo trên $\widehat{BFC} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{CFM} = 90^{0}$ $\hat{B F C} = 90^{0} \Rightarrow \hat{C F M} = 90^{0}$ (vì là hai góc kề bù); $\widehat{CDM} = 90^{0}$ $\hat{C D M} = 90^{0}$ (tính chất hình vuông).

$\Rightarrow \widehat{CFM} + \widehat{CDM} = 180^{0}$ $\Rightarrow \hat{C F M} + \hat{C D M} = 180^{0}$ mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đường tròn suy ra $\widehat{CDF} = \widehat{CMF}$ $\hat{C D F} = \hat{C M F}$ , mà $\widehat{CDF} = 45^{0}$ $\hat{C D F} = 45^{0}$ (vì AEDC là hình vuông)

$\ \Rightarrow \widehat{CMF} = \ 45^{0} \Rightarrow \widehat{CMB} = 45^{0}$ $\Rightarrow \hat{C M F} = 45^{0} \Rightarrow \hat{C M B} = 45^{0}$ .

Ta cũng có $\widehat{CEB} = 45^{0}$ $\hat{C E B} = 45^{0}$ (vì AEDC là hình vuông); $\widehat{BKC} = 45^{0}$ $\hat{B K C} = 45^{0}$ (vì ABHK là hình vuông).

Như vậy K, E, M cùng nhìn BC dưới một góc bằng 45⁰ nên cùng nằm trên cung chứa góc 45⁰ dựng trên BC

=> 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.

4. ∆CBM có $\widehat{B} = \ 45^{0};\widehat{M} = 45^{0} \rightarrow \widehat{BCM} = 45^{0}$ $\hat{B} = 45^{0}; \hat{M} = 45^{0} \to \hat{B C M} = 45^{0}$ hay MC ⊥ BC tại C

=> MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 4: Cho đường tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.

1. Chứng minh tam giác ABC cân.

2. Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp .

3. Chứng minh MI² = MH.MK.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => ∆ABC cân tại A.

2. Theo giả thiết $\left\{ \begin{matrix} MI\bot BC\ \Rightarrow \widehat{MIB} = 90^{0} \\ MK\bot AB \Rightarrow \widehat{MKB} = 90^{0} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} M I ⊥ B C \Rightarrow \hat{M I B} = 90^{0} \\ M K ⊥ A B \Rightarrow \hat{M K B} = 90^{0} \end{matrix}$ .

$\Rightarrow \widehat{MIB}\ + \widehat{MKB} = 180^{0}$ $\Rightarrow \hat{M I B} + \hat{M K B} = 180^{0}$ mà đây là hai góc đối => Tứ giác BIMK nội tiếp

* ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK )

3. Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KMI} + \widehat{KBI} = 180^{0}$ $\Rightarrow \hat{K M I} + \hat{K B I} = 180^{0}$ ; tứ giác CHMI nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{HMI} + \widehat{HCI} = 180^{0}$ $\Rightarrow \hat{H M I} + \hat{H C I} = 180^{0}$

Mà $\widehat{KBI} = \widehat{HCI}$ $\hat{K B I} = \hat{H C I}$ (vì tam giác ABC cân tại A)

$\Rightarrow \widehat{KMI} = \widehat{HMI}\ (1)$ $\Rightarrow \hat{K M I} = \hat{H M I} (1)$

Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{B_{1}} = \widehat{I_{1}}$ $\Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{I_{1}}$ ( nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{H_{1}} = \widehat{C_{1}}$ $\Rightarrow \hat{H_{1}} = \hat{C_{1}}$ ( nội tiếp cùng chắn cung IM).

Mà $\widehat{B_{1}} = \widehat{C_{1}}\left( = \frac{1}{2}\ sd\widehat{BM} \right) \Rightarrow \widehat{I_{1}} = \widehat{H_{1}}(2)$ $\hat{B_{1}} = \hat{C_{1}} (= \frac{1}{2} s d \hat{B M}) \Rightarrow \hat{I_{1}} = \hat{H_{1}} (2)$

Từ (1) và (2) => ∆MKI đồng dạng ∆MIH => $\frac{MI}{MH}\ = \ \frac{MK}{MI}$ $\frac{M I}{M H} = \frac{M K}{M I}$ => MI² = MH.MK

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

Bài 1: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. M là trung điểm của OA. Kẻ dây CD vuông góc với OA tại M. Chứng minh:

a, Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi

b, Chứng minh BCD đều

c, Tính diện tích tam giác BCD theo R

Bài 2: Cho đường tròn (O; R), M là một điểm ở ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Tia MO cắt đường tròn ở A và B (A nằm giữa M và O). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MC và MD với đường tròn (O), H là giao điểm của MO với CD. Chứng minh:

a, Tứ giác MCOD nội tiếp, MO vuông góc với CD

b, Tam giác MCD là tam giác đều

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Chứng minh tam giác ABC đều

Bài 4: Từ một điểm ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn AB, kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm). Chứng minh tam giác ABM là tam giác vuông

Bài 5: Cho đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của bán kính OA. Qua I kẻ dây BC vuông góc với OA. Chứng minh tứ giác ABOC là hình thoi

Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. M là trung điểm của AO. Kẻ dây CD vuông góc với OA tại M. Chứng minh:

a, Tứ giác ACOD là hình thoi

b, Chứng minh tam giác BCD đều

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9 và Đề thi vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

13

29.462

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn

406,1 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán