Hướng dẫn giải bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Có đáp án
Bài tập Toán 9 liên hệ giữa thứ tự và phép cộng có đáp án
Trong chương trình Toán 9, phần liên hệ giữa thứ tự và phép cộng là kiến thức nền tảng trong chuyên đề Bất đẳng thức lớp 9, giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa biểu thức số học và tính chất của bất đẳng thức. Việc nắm vững quy tắc này giúp các em dễ dàng vận dụng trong các dạng bài so sánh, chứng minh bất đẳng thức, và giải phương trình – bất phương trình bậc nhất.
Bài viết Hướng dẫn giải bài tập Toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Có đáp án sẽ cung cấp hệ thống lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải chi tiết và bài tập minh họa kèm đáp án, giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán nhanh và chính xác.
A. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số 
\(a,b,c\), ta có:
- Nếu \(a < b\) thì \(a + c \leq b + c\);
- Nếu \(a \leq b\) thì \(a + c \leq b + c\);
- Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\);
- Nếu \(a \geq b\) thì \(a + c \geq b + c\).
B. Ví dụ minh họa bài toán liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Ví dụ 1. a) Nếu \(x > y\). Chứng minh rằng \(x + y > 2y\).
b) Cho \(a > b\). Chứng minh rằng \(2a + b > a + 2b\).
Gợi ý: Áp dụng tính chất \(a > b
\Rightarrow a + c > b + c\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(x > y \Rightarrow x + y >
y + y\) hay \(x + y >
2y\)
b) Ta có: \(a > b \Rightarrow a + a >
b + a\)
\(\ \Rightarrow 2a > b +
a\)
\(\ \Rightarrow 2a + b > b + a +
b\)
Hay \(2a + b > 2b + a\) (đpcm).
Ví dụ 2. a) Chứng minh rằng: \((x + 1)^{2} \geq 4x\);
b) Chứng minh rằng: \(x^{2} + y^{2} + 2
\geq 2(x + y)\);
c) Chứng minh rằng: \((x - y)^{2} \leq
2\left( x^{2} + y^{2} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\ (x + 1)^{2} \geq 4x\)
\(\Leftrightarrow x^{2} + 2x + 1 \geq
4x\)
\(\Leftrightarrow x^{2} + 2x + 1 + ( - 4x)
\geq 4x + ( - 4x)\)
\(\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 \geq
0\)
\(\Leftrightarrow (x - 1)^{2} \geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x \in
\mathbb{R}\))
Nhận xét: Phép biến đổi trên, ta có thể thấy đó là việc "chuyển vế một số hạng thì đổi dấu".
b) Ta có: \(x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2(x +
y)\)
\(\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2
\geq 2x + 2y\)
\(\ \Leftrightarrow \left( x^{2} - 2x + 1
\right) + \left( y^{2} - 2y + 1 \right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}
\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x\ ,\ y
\in \mathbb{R}\))
c) Ta có: \((x - y)^{2} \leq 2\left( x^{2}
+ y^{2} \right)\)
\(\ \Leftrightarrow x^{2} - 2xy + y^{2}
\leq 2x^{2} + 2y^{2}\)
\(\ \Leftrightarrow 0 \leq 2x^{2} +
2y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2}\)
\(\ \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} + 2xy +
y^{2}\)
\(\Leftrightarrow 0 \leq (x +
y)^{2}\) (luôn đúng với mọi \(x\ ,\ y
\in \mathbb{R}\))
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: \((x + y)^{2} \leq 2\left(
x^{2} + y^{2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \((x + y)^{2} \leq 2\left( x^{2} +
y^{2} \right)\)
\(\ \Leftrightarrow x^{2} + 2xy + y^{2}
\leq 2x^{2} + 2y^{2}\)
\(\ \Leftrightarrow 0 \leq 2x^{2} +
2y^{2} - x^{2} - 2xy - y^{2}\)
\(\ \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} - 2xy +
y^{2}\)
\(\ \Leftrightarrow 0 \leq (x - y)^{2}\) (luôn đúng)
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1. Với \(m\) bất kì, chứng tỏ:
a) \(1 + m < 2 + m\); b) \(m - 1 < m\); c) \(m(m + 2) < (m +
1)^{2}\).
Gợi ý: Ta có thể dùng phép biến đổi tương đương và áp dụng tính chất ở phần \(A\).
Bài tập 2. a) Chứng minh rằng nếu \(x + 4y =
1\) thì \(5\left( x^{2} + 4y^{2}
\right) \geq 1\).
b) Chứng minh rằng nếu \(x + y = 1\) thì \(2\left( x^{2} + y^{2} \right) \geq
1\).
Gợi ý: a) Ta có \(x + 4y = 1 \Rightarrow x
= 1 - 4y\).
Thay \(x\) vào bất đẳng thức cần chứng minh và biến đổi tương đương.
Bài tập 3. Cho \(x^{2} + y^{2} =
1\), chứng tỏ \((x + y)^{2} \leq
2\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
------------------------------------------------------------------------
Kiến thức về liên hệ giữa thứ tự và phép cộng không chỉ là nội dung quan trọng trong chuyên đề Bất đẳng thức lớp 9, mà còn là nền tảng cho các dạng toán nâng cao ở bậc THPT.
Thông qua hệ thống bài tập có đáp án chi tiết, học sinh sẽ nắm vững bản chất của bất đẳng thức, hiểu rõ cách vận dụng các tính chất đại số để giải bài toán chính xác hơn.
Hy vọng bài viết Hướng dẫn giải bài tập Toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Có đáp án sẽ là nguồn tài liệu hữu ích giúp bạn ôn tập hiệu quả và tự tin đạt điểm cao trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ.
