Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cách xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Trong chương trình Hình học 9, nội dung xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là phần kiến thức quan trọng giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa hai hình cơ bản trong mặt phẳng tọa độ. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, kèm bài tập minh họa, công thức tính nhanh và đáp án chi tiết, giúp học sinh hiểu bản chất, tránh nhầm lẫn và làm bài chính xác trong các đề kiểm tra cũng như đề thi vào lớp 10 môn Toán.
A. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Gọi 
\(OI = d\) là khoảng cách từ \(O\) đến \(a\).
a) \(d < R\): \((O)\) và \(a\) có hai điểm chung. Ta nói \((O)\) và \(a\) cắt nhau.
b) \(d = R\): \((O)\) và \(a\) chỉ có 1 điểm chung là \(I\). Ta nói \((O)\) và \(a\) tiếp xúc nhau tại \(I\), \(I\) là tiếp điếm, \(a\) là tiếp tuyến.
c) \(d > R\): \((O)\) và \(a\) không có điểm chung. Ta nói \((O)\) và \(a\) không giao nhau.
B. Ví dụ minh họa tìm vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Ví dụ 1. Cho đường thẳng \(a\) và một điếm \(O\) cách \(a\) một khoảng \(7\ cm\). Hãy xác định vị trí tương đối của \(a\) với các đường tròn sau:
a) Đường tròn \((O;5\ cm)\); b) Đường tròn \((O;7\ cm)\);
c) Đường tròn \((O;9\ cm)\).
Hướng dẫn giải
a) Vì a nên \(a\) và đường tròn \((O;5\ cm)\) không giao nhau.
b) Vì \(d = R = 7\ cm\) nên \(a\) và đường tròn \((O;7\ cm)\) tiếp xúc.
c) Vì \(d < R;(7 < 9)\) nên \(a\) và đường tròn \((O;9\ cm)\) cắt nhau tại hai điểm.
Ví dụ 2. Cho đường thẳng \(a\) và một điểm \(O\) cách \(a\) một khoảng \(4\ cm\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) bán kính \(5\
cm\).
a) Giải thích vì sao \(a\) và \((O)\) cắt nhau.
b) Gọi \(B\) và \(C\) là các giao điếm của đường thẳng \(a\) và đường tròn \((O;5\ cm)\). Tính độ dài dây \(BC\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Gọi \(OH\) là khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(a\), khi đó \(OH
< OB\ \ (4 < 5)\) hay \(d <
R\), nên đường thẳng \(a\) cắt đường tròn \((O;5\ cm)\) tại \(2\) điểm.
b) Dễ thấy tam giác \(BOC\) cân tại \(O\) \((OB =
OC = R)\) nên đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến hay \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Xét tam giác \(BHO\) vuông tại \(H\). Theo định lí Pythagore, ta có:
\(OB^{2} = OH^{2} + BH^{2} \Rightarrow
BH^{2} = OB^{2} - OH^{2} = 5^{2} - 4^{2}\)
\(\Rightarrow BH = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} =
3(\ cm)\)
Do đó \(BC = 2BH = 2\ .\ 3 = 6\ \
(cm)\).
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng \(a\) đến đường tròn \((O;7\ cm)\) nếu khoảng cách từ \(O\) đến \(a\) bằng:
a) \(4\ cm\); b) \(9\ cm\); c) \(7\
cm\).
Bài tập 2. Trong hình vẽ, mép ngoài cửa ra vào có dạng một phần của đường tròn bán kính \(1,6\ m\). Hãy tính chiều cao \(HK\) của cửa đó, biết \(AH = 0,9\ m\).
Bài tập 3. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BD\) là đường phân giác. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng \(BC\) và đường tròn tâm \(D\) bán kính \(DA\).
Bài tập 4. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3;AC = 4\). Vẽ đường tròn tâm \(A\) bán kính \(2,8\). Xác định vị trí tương đối của đường thẳng \(BC\) và đường tròn tâm \(A\) bán kính \(2,8\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-------------------------------------------------------
Chuyên đề xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn giúp học sinh củng cố kiến thức hình học, nhận diện nhanh các dạng bài và vận dụng công thức một cách chính xác. Hãy luyện tập thêm các bài tập mở rộng và chuyên đề liên quan như tiếp tuyến của đường tròn, hệ thức lượng trong tam giác, để nâng cao kỹ năng giải hình học và đạt điểm cao trong kỳ thi vào lớp 10. Đừng quên theo dõi thêm nhiều chuyên đề Toán 9 có đáp án khác để ôn tập hiệu quả nhất!
