Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt khi ôn thi vào lớp 10, dạng bài "Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước" là một trong những dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Toán 9 hoặc đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng bài tập kết hợp giữa giải hệ phương trình và phân tích điều kiện của tham số m để tìm ra nghiệm phù hợp.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc tổng hợp và chia sẻ xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trong chuyên đề này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách giải, các phương pháp phổ biến, ví dụ minh họa cụ thể và những lỗi sai học sinh thường gặp. Hãy cùng bắt đầu luyện tập để nâng cao kỹ năng và tự tin bước vào kỳ thi tuyển sinh lớp 10!

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
II. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
III. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
IV. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)$

Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số

- Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình (*) thì ta gọi (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) ta tìm được tập nghiệm của nó

II. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có)

+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m

+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện

+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+ Bước 6: Kết luận

III. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + y = 2} \\ {mx + y = m + 1} \end{array}} \right.$ với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {2x + y = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.$

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)² với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²)

2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = -m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Bài 2: Cho hệ phương trình

a, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + y = 1 \end{array} \right.$

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0; y > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1}$ ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo đề bài, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - 3y + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{{m - 3}}\\ x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}} \end{array} \right.$

Để y > 0 $\Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0$ ⇒ m - 3 > 0 ⇔ m > 3

Để x < 0 khi và chỉ khi

$\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 4 > 0\\ m - 3 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 4 < 0\\ m - 3 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4$

Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0

Bài 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ .

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{array}{l} 2y = 1\\ 2x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{2}\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ (loại do các nghiệm nguyên)

Với m khác 0, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m}$ ⇔ m² ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết hợp với điều kiện m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2y = m + 1 - mx\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\ 2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\ x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \end{array} \right.$

Để x nguyên $\Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$

Để y nguyên $\Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$

Vậy để x, y nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta có bảng:

m + 5	-3	-1	1	3
m	-5 (tm)	-2 (loại)	-1 (tm)	1 (tm)

Vậy với m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn các nghiệm nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$ . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ xy = {m^2} - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = m - y\left( 1 \right)\\ {x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m² + 12 0 ⇔ m² - 4 ≤ 0 ⇔ (m - 2)(m + 2) ≤ 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2$

Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình có nghiệm.

Ta có P = xy + 2 (x + y) = m² - 3 + 2m = (m + 1)² - 4 ≥ - 4

Dấu “=” xảy ta khi m = -1 (thỏa mãn)

Vậy min P = -4 khi m = -1

Bài 5: Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ với $x_{0} = y_{0}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2(3 - 2y) + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 6 - 3y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{2m - 7}{3} \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ nhận $(x;y) = \left( \frac{2m - 7}{3};\frac{8 - m}{3} \right)$ là nghiệm.

Mặt khác theo bài ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ với $x_{0} = y_{0}$ nên

$\frac{2m - 7}{3} = \frac{8 - m}{3}$

$\Leftrightarrow 2m - 7 = 8 - m \Leftrightarrow 3m = 15 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 6: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + my = m + 1\ \ \ \ (1) \\ mx + y = 3m - 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm số nguyên sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (2) ta có:

Thế vào phương trình (1) ta được:

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 1 \right) = 3m^{2} - 2m - 1\ \ \ (3)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là $m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m^{2} - 2m - 1}{m^{2} - 1} = \dfrac{(m - 1)(3m + 1)}{(m - 1)(m + 1)} \\ y = 3m - 1 - m.\dfrac{3m + 1}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m + 1}{m + 1} = 3 - \dfrac{2}{m + 1} \\ y = \dfrac{m - 1}{m + 1} = 1 - \dfrac{2}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.$

Để $x;y\mathbb{\in Z}$ thì $\frac{2}{m + 1}\mathbb{\in Z \Rightarrow}(m + 1) \in \left\{ - 2; - 1;1;2 \right\}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 2;0;1 \right\}$

Kết hợp điều kiện $m \neq \pm 1$ chỉ có $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$ thỏa mãn.

Vậy $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

Bài 7: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x + y = m\ \ \ \ (1) \\ x + (m - 1)y = 2\ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ với m là tham số. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

Tìm đẳng thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào tham số m.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (1) ta có: thay vào phương trình (2) ta được:

$x + (m - 1)\left\lbrack m - (m - 1)x \right\rbrack = 2$

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 2m \right)x = m^{2} - m - 2$

$\Leftrightarrow m(m - 2)x = (m - 2)(m + 1)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow x - y = 1$ là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 8: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 1\ \ \ (1) \\ mx + 2y = 1\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ .

a) Tìm số nguyên của để hệ phương trình có nghiệm duy nhất với $x;y\mathbb{\in Z}$ .

b) Chứng minh rằng khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất điểm luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Hướng dẫn giải

a) Trừ từng vế của phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

$\Leftrightarrow (2 - m)(x - y) = 0$

Với m = 2 thay vào hệ ta được $\left\{ \begin{matrix} 2x + 2y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hệ vô số nghiệm

Với $m \neq 2 \Rightarrow x = y$ thay vào (1) ta được:

Nếu thì phương trình (*) trở thành (vô nghiệm)

Do đó hệ vô nghiệm

Nếu $m \neq - 2$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x = y = \frac{1}{m + 2}$

Ta có:

$x;y\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{1}{m + 2}\mathbb{\in Z \Rightarrow}m + 2 \in \left\{ - 1;1 \right\}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$ .

Vậy $m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi đó $x = y = \frac{1}{m + 2}$

$\Rightarrow x - y = 0\ \ (d)$

Như vậy điểm M luôn chạy trên đường thẳng (d) cố định.

Bài 9: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 1 - 3m \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y} (u\geq 0, v \geq 0)$ . Hệ phương trình ⇔ $\left\{ \begin{matrix} u + v = 1 \\ u^{3} + v^{3} = 1 - 3m \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u + v = 1 \\ uv = m \end{matrix} \right.$ .

Đáp số : $0 \leq m \leq \frac{1}{4}$ .

Bài 10: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{matrix} mx + 2y = m + 1 \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} mx + 2y = m + 1 \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2mx + 4y = 2m + 2 \\ 2mx + m^{2}y = 2m^{2} - m \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m^{2} - 4)y = 2m^{2} - 3m - 2 = (m - 2)(2m + 1) \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.$

để hệ có nghiệm duy nhất thì m² – 4 $\neq$ 0 hay m $\neq \pm 2$

Vậy với m $\neq \pm 2$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{(m - 2)(2m + 1)}{m^{2} - 4} = \dfrac{2m + 1}{m + 2} = 2 -\dfrac{3}{m + 2} \\x = \dfrac{m - 1}{m + 2} = 1 - \dfrac{3}{m + 2}\end{matrix} \right.$

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 $\in$ Ư(3) = $\left\{ 1; - 1;3; - 3 \right\}$

Vậy: m + 2 = $\pm$ 1, $\pm$ 3 => m = -1; -3; 1; -5

Bài 11: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước

Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} mx + 4y = 9 \\ x + my = 8 \end{matrix} \right.$

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + $\frac{38}{m^{2} - 4}$ = 3

Hướng dẫn giải

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m $\neq \pm$ 2

- Giải hệ phương trình theo m

$\left\{ \begin{matrix}mx + 4y = 9 \\x + my = 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}mx + 4y = 9 \\mx + m^{2}y = 8m\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(m^{2} - 4)y = 8m - 9 \\x + my = 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{8m - 9}{m^{2} - 4} \\x = \dfrac{9m - 32}{m^{2} - 4}\end{matrix} \right.$

- Thay x = $\frac{9m - 32}{m^{2} - 4}$ ; y = $\frac{8m - 9}{m^{2} - 4}$ vào hệ thức đã cho ta được:

$2.\left( \frac{9m - 32}{m^{2} - 4} \right)$ + $\frac{8m - 9}{m^{2} - 4}$ + $\frac{38}{m^{2} - 4}$ = 3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m² – 12

$\Leftrightarrow$ 3m² – 26m + 23 = 0

$\Leftrightarrow$ m₁ = 1; m₂ = $\frac{23}{3}$ (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m = $\frac{23}{3}$

Bài 12: Giải và biện luận hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} mx - y = 2m(1) \\ 4x - my = m + 6(2) \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Từ (1) $\Rightarrow$ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 $\Leftrightarrow$ (m² – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

Nếu m² – 4 $\neq$ 0 hay m $\neq \pm$ 2 thì x = $\frac{(2m + 3)(m - 2)}{m^{2} - 4} = \frac{2m + 3}{m + 2}$

Khi đó y = - $\frac{m}{m + 2}$ . Hệ có nghiệm duy nhất: ( $\frac{2m + 3}{m + 2}$ ;- $\frac{m}{m + 2}$ )

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x $\in$ R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4. Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m $\neq \pm$ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( $\frac{2m + 3}{m + 2}$ ;- $\frac{m}{m + 2}$ )

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x $\in$ R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm.

---------------------------------------------------------------

FAQ – Câu hỏi thường gặp về bài toán tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

1. Bài toán tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là gì?

Đây là dạng bài yêu cầu xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện về số nghiệm, thường là có nghiệm duy nhất. Sau khi tìm được nghiệm theo $m$ , đề bài có thể yêu cầu thêm điều kiện như nghiệm thỏa mãn một hệ thức, thuộc một khoảng hoặc có tính chất đặc biệt.

2. Làm thế nào để tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

Trước hết cần biến đổi hệ phương trình về dạng thuận lợi, sau đó xác định điều kiện để hai phương trình không phụ thuộc hoặc không trở thành cùng một phương trình. Với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, điều kiện về định thức khác 0 thường là cơ sở để hệ có nghiệm duy nhất.

3. Khi nào hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất?

Với hệ dạng:

$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$

hệ có nghiệm duy nhất khi:

$a_1b_2-a_2b_1\ne0.$

Khi giải bài toán có tham số $m$ , học sinh cần thay các hệ số chứa $m$ vào điều kiện này để tìm miền giá trị phù hợp.

4. Nếu đề bài yêu cầu nghiệm duy nhất thỏa mãn một điều kiện thì giải như thế nào?

Không chỉ kiểm tra điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, học sinh còn phải sử dụng điều kiện bổ sung của nghiệm. Một cách thường dùng là tìm $x,y$ theo $m$ , sau đó thay vào điều kiện đề bài để thiết lập phương trình hoặc bất phương trình theo $m$ .

5. Vì sao cần xét điều kiện hệ có nghiệm duy nhất trước khi tìm m?

Điều kiện này giúp loại bỏ những giá trị tham số khiến hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Nếu bỏ qua bước kiểm tra, học sinh có thể nhận thêm những giá trị $m$ không thỏa mãn yêu cầu ban đầu của bài toán.

6. Có thể dùng phương pháp thế để tìm m không?

Có. Phương pháp thế đặc biệt hữu ích khi một phương trình cho phép biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại một cách đơn giản. Sau khi thế vào phương trình thứ hai, ta có thể nhận được phương trình chứa tham số $m$ , từ đó xét điều kiện để xác định nghiệm duy nhất.

7. Phương pháp cộng đại số có phù hợp với dạng bài này không?

Có. Khi các hệ số của $x$ hoặc $y$ có cấu trúc thuận lợi, phương pháp cộng đại số giúp khử một ẩn nhanh chóng. Đây là phương pháp thường được sử dụng trong bài tập Toán 9 về hệ phương trình có tham số.

8. Dạng bài tìm m để nghiệm thỏa mãn điều kiện thường gặp những yêu cầu nào?

Đề bài có thể yêu cầu tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất, nghiệm thỏa mãn $x+y=k$ , $xy=k$ , $x>y$ , nghiệm thuộc một khoảng hoặc tọa độ nghiệm thỏa mãn một phương trình, bất phương trình cho trước. Vì vậy, cần đọc kỹ điều kiện cuối cùng trước khi kết luận.

9. Những lỗi nào thường gặp khi giải bài toán tìm m?

Các lỗi phổ biến gồm quên điều kiện xác định, không xét trường hợp đặc biệt của tham số, nhầm điều kiện hệ có nghiệm duy nhất với điều kiện hệ có nghiệm, hoặc tìm được $m$ nhưng chưa kiểm tra điều kiện bổ sung của nghiệm. Đây là những lỗi cần đặc biệt chú ý khi làm bài thi vào lớp 10.

10. Làm thế nào để kiểm tra giá trị m tìm được?

Sau khi xác định các giá trị $m$ , nên thay ngược vào điều kiện của hệ và điều kiện của nghiệm. Nếu cần, tính lại nghiệm tương ứng rồi kiểm tra trực tiếp. Bước đối chiếu này giúp phát hiện các giá trị tham số phát sinh do biến đổi chưa tương đương.

Tải về

Chọn file muốn tải về: