Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc tổng hợp và chia sẻ. Các dạng bài tập tìm m chúng ta thường bắt gặp các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để nâng cao kỹ năng giải bài các em cùng tham khảo các dạng bài toán tìm m để phương trình có nghiệm mà VnDoc tổng hợp dưới đây nhé.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước. Tài liệu này sẽ giúp ích cho các em rèn luyện làm quen với các dạng bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi cuối cấp cũng như kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em ôn tập tốt

I. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có)

+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m

+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện

+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+ Bước 6: Kết luận

II. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình

a, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + y = 1
\end{array} \right.

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0; y > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1} ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo đề bài, ta có:

\left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 3y + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{{m - 3}}\\
x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}}
\end{array} \right.

Để y > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0 ⇒ m - 3 > 0 ⇔ m > 3

Để x < 0 khi và chỉ khi

\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 > 0\\
m - 3 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 < 0\\
m - 3 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4

Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0

Bài 2: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên: \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right.

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương trình trở thành \left\{ \begin{array}{l}
2y = 1\\
2x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\\
x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. (loại do các nghiệm nguyên)

Với m khác 0, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m} ⇔ m2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết hợp với điều kiện m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có:

\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y = m + 1 - mx\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\
2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1
\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\
x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}}
\end{array} \right.

Để x nguyên \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Để y nguyên \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Vậy để x, y nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta có bảng:

m + 5-3-113
m-5 (tm)-2 (loại)-1 (tm)1 (tm)

Vậy với  m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn các nghiệm nguyên

Bài 3: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

\left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
xy = {m^2} - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = m - y\left( 1 \right)\\
{x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.

Để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m2 + 12 0 ⇔ m2 - 4 ≤ 0 ⇔ (m - 2)(m + 2) ≤ 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow  - 2 \le m \le 2

Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình có nghiệm.

Ta có P = xy + 2 (x + y) = m2 - 3 + 2m = (m + 1)2 - 4 ≥ - 4

Dấu “=” xảy ta khi m = -1 (thỏa mãn)

Vậy min P = -4 khi m = -1

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\
{m^2}x - y = {m^2} + 2m
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho các nghiệm đều nguyên

Bài 2: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 1\\
x + my = m + 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 3x – y = 1

Bài 3: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = 18\\
x - y =  - 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 9

Bài 4: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 5\\
mx + y = 4
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|.

Bài 5: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
2x - y = 1\\
mx + y = 5
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

a, x và y trái dấu

b, x và y cùng dương

Bài 6: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\
mx - y = {m^2} - 2
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P = x.y đạt giá trị lớn nhất

Bài 7: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
2x + y = 3\left( {m + 2} \right)
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho A = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Như vậy VnDoc đã chia sẻ cho các em bài Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước, cách giải bài toàn, các bài tập ví dụ và tự luyện... Hy vọng với tài liệu này các em sẽ dễ dàng hoàn thành bài tập mà giáo viên giao cho, nâng cao điểm số trong bài kiểm tra sắp tới cũng như chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10. Chúc các em học tốt, để nâng cao kỹ năng giải bài Toán lớp 9, các em cùng tham khảo các dạng bài tập nâng cao dưới đây nhé.

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:

Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của VnDoc
Hỏi - ĐápTruy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập
Đánh giá bài viết
30 185.696
Sắp xếp theo
    Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm