Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc tổng hợp và chia sẻ xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Các dạng bài tập tìm m chúng ta thường bắt gặp các đề thi Toán 9 hoặc đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để nâng cao kỹ năng giải bài các em cùng tham khảo các dạng bài toán tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất mà VnDoc tổng hợp dưới đây nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước. Tài liệu này sẽ giúp ích cho các em rèn luyện làm quen với các dạng bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi cuối cấp cũng như kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em ôn tập tốt.

I. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có)

+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m

+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện

+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+ Bước 6: Kết luận

II. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\left( {m - 1} \right)x + y = 2} \\ 
  {mx + y = m + 1} 
\end{array}} \right. với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + y = 2} \\ 
  {2x + y = 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + y = 2} \\ 
  {x = 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y = 1} \\ 
  {x = 1} 
\end{array}} \right.

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)2 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)2)

2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)2 = -m2 + 4m – 1 = 3 – (m – 2)2 ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Bài 2: Cho hệ phương trình

a, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + y = 1
\end{array} \right.

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0; y > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1} ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo đề bài, ta có:

\left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 3y + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{{m - 3}}\\
x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}}
\end{array} \right.

Để y > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0 ⇒ m - 3 > 0 ⇔ m > 3

Để x < 0 khi và chỉ khi

\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 > 0\\
m - 3 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 < 0\\
m - 3 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4

Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0

Bài 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên: \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right.

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương trình trở thành \left\{ \begin{array}{l}
2y = 1\\
2x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\\
x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. (loại do các nghiệm nguyên)

Với m khác 0, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m} ⇔ m2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết hợp với điều kiện m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có:

\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y = m + 1 - mx\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\
2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1
\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\
x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}}
\end{array} \right.

Để x nguyên \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Để y nguyên \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Vậy để x, y nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta có bảng:

m + 5-3-113
m-5 (tm)-2 (loại)-1 (tm)1 (tm)

Vậy với  m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn các nghiệm nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

\left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
xy = {m^2} - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = m - y\left( 1 \right)\\
{x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.

Để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m2 + 12 0 ⇔ m2 - 4 ≤ 0 ⇔ (m - 2)(m + 2) ≤ 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow  - 2 \le m \le 2

Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình có nghiệm.

Ta có P = xy + 2 (x + y) = m2 - 3 + 2m = (m + 1)2 - 4 ≥ - 4

Dấu “=” xảy ta khi m = -1 (thỏa mãn)

Vậy min P = -4 khi m = -1

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\
{m^2}x - y = {m^2} + 2m
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho các nghiệm đều nguyên

Bài 2: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 1\\
x + my = m + 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 3x – y = 1

Bài 3: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = 18\\
x - y =  - 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 9

Bài 4: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 5\\
mx + y = 4
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|.

Bài 5: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
2x - y = 1\\
mx + y = 5
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

a, x và y trái dấu

b, x và y cùng dương

Bài 6: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\
mx - y = {m^2} - 2
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P = x.y đạt giá trị lớn nhất

Bài 7: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
2x + y = 3\left( {m + 2} \right)
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho A = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo thêm tài liệu các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:

Để giúp các bạn có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập, VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc nhé. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời trong thời gian sớm nhất.

Đánh giá bài viết
31 212.517
Sắp xếp theo
    Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm