Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc tổng hợp và chia sẻ. Với dạng toán tìm m để hệ phương trình có nghiệm là dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh lớp 10. Tài liệu dưới đây sẽ giúp các em ôn luyện và làm quen với nhiều dạng bài toán tìm m khác nhau. Dưới đây là nội dung chi tiết các em tham khảo nhé

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước. Tài liệu này sẽ giúp ích cho các em rèn luyện làm quen với các dạng bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi cuối cấp cũng như kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em ôn tập tốt

I. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có)

+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m

+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện

+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+ Bước 6: Kết luận

II. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình

a, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + y = 1
\end{array} \right.

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0; y > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1} ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo đề bài, ta có:

\left\{ \begin{array}{l}
3x + my = 4\\
x + y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 3y + my = 4\\
x = 1 - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{{m - 3}}\\
x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}}
\end{array} \right.

Để y > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0 ⇒ m - 3 > 0 ⇔ m > 3

Để x < 0 khi và chỉ khi

\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 > 0\\
m - 3 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 4 < 0\\
m - 3 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4

Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0

Bài 2: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên: \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right.

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương trình trở thành \left\{ \begin{array}{l}
2y = 1\\
2x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\\
x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. (loại do các nghiệm nguyên)

Với m khác 0, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m} ⇔ m2 ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết hợp với điều kiện m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có:

\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y = m + 1 - mx\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\
2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1
\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\
x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}}
\end{array} \right.

Để x nguyên \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Để y nguyên \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z

Vậy để x, y nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta có bảng:

m + 5-3-113
m-5 (tm)-2 (loại)-1 (tm)1 (tm)

Vậy với  m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn các nghiệm nguyên

Bài 3: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

\left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{x^2} + {y^2} =  - {m^2} + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy =  - {m^2} + 6
\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}
x + y = m\\
xy = {m^2} - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = m - y\left( 1 \right)\\
{x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.

Để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m2 + 12 0 ⇔ m2 - 4 ≤ 0 ⇔ (m - 2)(m + 2) ≤ 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \le 0\\
m + 2 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow  - 2 \le m \le 2

Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình có nghiệm.

Ta có P = xy + 2 (x + y) = m2 - 3 + 2m = (m + 1)2 - 4 ≥ - 4

Dấu “=” xảy ta khi m = -1 (thỏa mãn)

Vậy min P = -4 khi m = -1

III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\
{m^2}x - y = {m^2} + 2m
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho các nghiệm đều nguyên

Bài 2: Cho hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 1\\
x + my = m + 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 3x – y = 1

Bài 3: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = 18\\
x - y =  - 6
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 9

Bài 4: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 5\\
mx + y = 4
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|.

Bài 5: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
2x - y = 1\\
mx + y = 5
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

a, x và y trái dấu

b, x và y cùng dương

Bài 6: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\
mx - y = {m^2} - 2
\end{array} \right. . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P = x.y đạt giá trị lớn nhất

Bài 7: Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
2x + y = 3\left( {m + 2} \right)
\end{array} \right.. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho A = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc chia sẻ trên đây. Thông qua tài liệu này sẽ giúp ích cho các em ôn tập, rèn luyện thêm ở nhà chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em học tốt, dưới đây là một số bài Toán lớp 9 nâng cao, các em tham khảo nhé

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:

Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của VnDoc
Hỏi - ĐápTruy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập
Đánh giá bài viết
12 70.447
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm