VnDoc.com

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt khi ôn thi vào lớp 10, dạng bài "Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước" là một trong những dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Toán 9 hoặc đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng bài tập kết hợp giữa giải hệ phương trình và phân tích điều kiện của tham số m để tìm ra nghiệm phù hợp.

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước được VnDoc tổng hợp và chia sẻ xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trong chuyên đề này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách giải, các phương pháp phổ biến, ví dụ minh họa cụ thể và những lỗi sai học sinh thường gặp. Hãy cùng bắt đầu luyện tập để nâng cao kỹ năng và tự tin bước vào kỳ thi tuyển sinh lớp 10!

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
II. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
III. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
IV. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + by = c} \\ {hx + ky = d} \end{array}} \right.\left( * \right)$

Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số

- Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình (*) thì ta gọi (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) ta tìm được tập nghiệm của nó

II. Cách giải bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa (nếu có)

+ Bước 2: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

+ Bước 3: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y) theo tham số m

+ Bước 4: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện

+ Bước 5: Giải biểu thức điều kiện để tìm m, kết hợp với điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+ Bước 6: Kết luận

III. Bài tập ví dụ bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + y = 2} \\ {mx + y = m + 1} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m - 1} \right)x + y = 2} \\ {mx + y = m + 1} \end{array}} \right.$ với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {2x + y = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {2x + y = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = 2} \\ {x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1} \\ {x = 1} \end{array}} \right.$

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)² với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²)

2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = -m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Bài 2: Cho hệ phương trình

a, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + y = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + y = 1 \end{array} \right.$

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0; y > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1}$ $\Leftrightarrow \frac{3}{1} \ne \frac{m}{1}$ ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo đề bài, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3x + my = 4\\ x + y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3\left( {1 - y} \right) + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - 3y + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{{m - 3}}\\ x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - 3y + my = 4\\ x = 1 - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{{m - 3}}\\ x = \frac{{m - 4}}{{m - 3}} \end{array} \right.$

Để y > 0 $\Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0$ $\Leftrightarrow \frac{1}{{m - 3}} > 0$ ⇒ m - 3 > 0 ⇔ m > 3

Để x < 0 khi và chỉ khi

$\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 4 > 0\\ m - 3 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 4 < 0\\ m - 3 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4$ $\frac{{m - 4}}{{m - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 4 > 0\\ m - 3 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 4 < 0\\ m - 3 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow 3 < m < 4$

Vậy với 3 < m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0

Bài 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{array}{l} 2y = 1\\ 2x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{2}\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2y = 1\\ 2x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{2}\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.$ (loại do các nghiệm nguyên)

Với m khác 0, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m}$ $\Leftrightarrow \frac{m}{2} \ne \frac{2}{m}$ ⇔ m² ≠ 4 ⇔ m ≠ ± 2, kết hợp với điều kiện m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 và m ≠ ± 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2y = m + 1 - mx\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2y = m + 1 - mx\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\ 2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2}\\ 2x + m.\frac{{m + 1 - mx}}{2} = 2m - 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\ x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{m + 1 - mx}}{2} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}}\\ x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \end{array} \right.$

Để x nguyên $\Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$ $\Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 1 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$

Để y nguyên $\Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$ $\Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{m + 2}} \in Z$

Vậy để x, y nguyên thì m + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta có bảng:

m + 5	-3	-1	1	3
m	-5 (tm)	-2 (loại)	-1 (tm)	1 (tm)

Vậy với m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn các nghiệm nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = - {m^2} + 6 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ xy = {m^2} - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = m - y\left( 1 \right)\\ {x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + y = m\\ xy = {m^2} - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = m - y\left( 1 \right)\\ {x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm

⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ -3m² + 12 0 ⇔ m² - 4 ≤ 0 ⇔ (m - 2)(m + 2) ≤ 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 2 \le 0\\ m + 2 \ge 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2$

Vậy với -2 ≤ m ≤ 2 thì hệ phương trình có nghiệm.

Ta có P = xy + 2 (x + y) = m² - 3 + 2m = (m + 1)² - 4 ≥ - 4

Dấu “=” xảy ta khi m = -1 (thỏa mãn)

Vậy min P = -4 khi m = -1

Bài 5: Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ $\left( x_{0};y_{0} \right)$ với $x_{0} = y_{0}$ $x_{0} = y_{0}$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2(3 - 2y) + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 6 - 3y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2(3 - 2y) + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 6 - 3y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{2m - 7}{3} \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{2m - 7}{3} \\ y = \dfrac{8 - m}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ nhận $(x;y) = \left( \frac{2m - 7}{3};\frac{8 - m}{3} \right)$ $(x;y) = \left( \frac{2m - 7}{3};\frac{8 - m}{3} \right)$ là nghiệm.

Mặt khác theo bài ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ $\left( x_{0};y_{0} \right)$ với $x_{0} = y_{0}$ $x_{0} = y_{0}$ nên

$\frac{2m - 7}{3} = \frac{8 - m}{3}$ $\frac{2m - 7}{3} = \frac{8 - m}{3}$

$\Leftrightarrow 2m - 7 = 8 - m \Leftrightarrow 3m = 15 \Leftrightarrow m = 5$ $\Leftrightarrow 2m - 7 = 8 - m \Leftrightarrow 3m = 15 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy $m = 5$ là giá trị cần tìm.

Bài 6: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + my = m + 1\ \ \ \ (1) \\ mx + y = 3m - 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + my = m + 1\ \ \ \ (1) \\ mx + y = 3m - 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$. Tìm số nguyên $m$ sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $x;y$ là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (2) ta có: $y = 3m - 1 - mx$

Thế vào phương trình (1) ta được:

$x + m(3m - 1 - mx) = m + 1$

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 1 \right) = 3m^{2} - 2m - 1\ \ \ (3)$ $\Leftrightarrow \left( m^{2} - 1 \right) = 3m^{2} - 2m - 1\ \ \ (3)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là $m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$ $m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m^{2} - 2m - 1}{m^{2} - 1} = \dfrac{(m - 1)(3m + 1)}{(m - 1)(m + 1)} \\ y = 3m - 1 - m.\dfrac{3m + 1}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m^{2} - 2m - 1}{m^{2} - 1} = \dfrac{(m - 1)(3m + 1)}{(m - 1)(m + 1)} \\ y = 3m - 1 - m.\dfrac{3m + 1}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m + 1}{m + 1} = 3 - \dfrac{2}{m + 1} \\ y = \dfrac{m - 1}{m + 1} = 1 - \dfrac{2}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3m + 1}{m + 1} = 3 - \dfrac{2}{m + 1} \\ y = \dfrac{m - 1}{m + 1} = 1 - \dfrac{2}{m + 1} \\ \end{matrix} \right.$

Để $x;y\mathbb{\in Z}$ $x;y\mathbb{\in Z}$ thì $\frac{2}{m + 1}\mathbb{\in Z \Rightarrow}(m + 1) \in \left\{ - 2; - 1;1;2 \right\}$ $\frac{2}{m + 1}\mathbb{\in Z \Rightarrow}(m + 1) \in \left\{ - 2; - 1;1;2 \right\}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 2;0;1 \right\}$ $\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 2;0;1 \right\}$

Kết hợp điều kiện $m \neq \pm 1$ $m \neq \pm 1$ chỉ có $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$ $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$thỏa mãn.

Vậy $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$ $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

Bài 7: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x + y = m\ \ \ \ (1) \\ x + (m - 1)y = 2\ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x + y = m\ \ \ \ (1) \\ x + (m - 1)y = 2\ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ với m là tham số. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)$.

Tìm đẳng thức liên hệ giữa $x;y$ không phụ thuộc vào tham số m.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (1) ta có: $y = m - (m - 1)x$ thay vào phương trình (2) ta được:

$x + (m - 1)\left\lbrack m - (m - 1)x \right\rbrack = 2$ $x + (m - 1)\left\lbrack m - (m - 1)x \right\rbrack = 2$

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 2m \right)x = m^{2} - m - 2$ $\Leftrightarrow \left( m^{2} - 2m \right)x = m^{2} - m - 2$

$\Leftrightarrow m(m - 2)x = (m - 2)(m + 1)$ $\Leftrightarrow m(m - 2)x = (m - 2)(m + 1)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow x - y = 1$ $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 1}{m} \\ y = \dfrac{1}{m} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow x - y = 1$ là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Bài 8: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 1\ \ \ (1) \\ mx + 2y = 1\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 1\ \ \ (1) \\ mx + 2y = 1\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$.

a) Tìm số nguyên của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ với $x;y\mathbb{\in Z}$ $x;y\mathbb{\in Z}$.

b) Chứng minh rằng khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ điểm $M(x;y)$ luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Hướng dẫn giải

a) Trừ từng vế của phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

$(2 - m)x + (m - 2)y = 0$

$\Leftrightarrow (2 - m)(x - y) = 0$ $\Leftrightarrow (2 - m)(x - y) = 0$

Với m = 2 thay vào hệ ta được $\left\{ \begin{matrix} 2x + 2y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2x + 2y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hệ vô số nghiệm

Với $m \neq 2 \Rightarrow x = y$ $m \neq 2 \Rightarrow x = y$ thay vào (1) ta được: $(2 + m)x = 1(*)$

Nếu $m = - 2$ thì phương trình (*) trở thành $0x = 1$ (vô nghiệm)

Do đó hệ vô nghiệm

Nếu $m \neq - 2$ $m \neq - 2$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x = y = \frac{1}{m + 2}$ $x = y = \frac{1}{m + 2}$

Ta có:

$x;y\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{1}{m + 2}\mathbb{\in Z \Rightarrow}m + 2 \in \left\{ - 1;1 \right\}$ $x;y\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{1}{m + 2}\mathbb{\in Z \Rightarrow}m + 2 \in \left\{ - 1;1 \right\}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$ $\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$.

Vậy $m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$ $m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$là các giá trị cần tìm.

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi đó $x = y = \frac{1}{m + 2}$ $x = y = \frac{1}{m + 2}$

$\Rightarrow x - y = 0\ \ (d)$ $\Rightarrow x - y = 0\ \ (d)$

Như vậy điểm M luôn chạy trên đường thẳng (d) cố định.

Bài 9: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 1 - 3m \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 1 - 3m \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đặt $u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y} (u\geq 0, v \geq 0)$ $u = \sqrt{x}, v = \sqrt{y} (u\geq 0, v \geq 0)$. Hệ phương trình ⇔ $\left\{ \begin{matrix} u + v = 1 \\ u^{3} + v^{3} = 1 - 3m \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u + v = 1 \\ uv = m \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u + v = 1 \\ u^{3} + v^{3} = 1 - 3m \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u + v = 1 \\ uv = m \end{matrix} \right.$.

Đáp số : $0 \leq m \leq \frac{1}{4}$ $0 \leq m \leq \frac{1}{4}$.

Bài 10: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{matrix} mx + 2y = m + 1 \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} mx + 2y = m + 1 \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} mx + 2y = m + 1 \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2mx + 4y = 2m + 2 \\ 2mx + m^{2}y = 2m^{2} - m \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} mx + 2y = m + 1 \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2mx + 4y = 2m + 2 \\ 2mx + m^{2}y = 2m^{2} - m \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m^{2} - 4)y = 2m^{2} - 3m - 2 = (m - 2)(2m + 1) \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m^{2} - 4)y = 2m^{2} - 3m - 2 = (m - 2)(2m + 1) \\ 2x + my = 2m - 1 \end{matrix} \right.$

để hệ có nghiệm duy nhất thì m² – 4 $\neq$ $\neq$0 hay m $\neq \pm 2$ $\neq \pm 2$

Vậy với m $\neq \pm 2$ $\neq \pm 2$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{(m - 2)(2m + 1)}{m^{2} - 4} = \dfrac{2m + 1}{m + 2} = 2 -\dfrac{3}{m + 2} \\x = \dfrac{m - 1}{m + 2} = 1 - \dfrac{3}{m + 2}\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{(m - 2)(2m + 1)}{m^{2} - 4} = \dfrac{2m + 1}{m + 2} = 2 -\dfrac{3}{m + 2} \\x = \dfrac{m - 1}{m + 2} = 1 - \dfrac{3}{m + 2}\end{matrix} \right.$

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 $\in$ $\in$ Ư(3) = $\left\{ 1; - 1;3; - 3 \right\}$ $\left\{ 1; - 1;3; - 3 \right\}$

Vậy: m + 2 = $\pm$ $\pm$1, $\pm$ $\pm$3 => m = -1; -3; 1; -5

Bài 11: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước

Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} mx + 4y = 9 \\ x + my = 8 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} mx + 4y = 9 \\ x + my = 8 \end{matrix} \right.$

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + $\frac{38}{m^{2} - 4}$ $\frac{38}{m^{2} - 4}$ = 3

Hướng dẫn giải

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m $\neq \pm$ $\neq \pm$2

- Giải hệ phương trình theo m

$\left\{ \begin{matrix}mx + 4y = 9 \\x + my = 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}mx + 4y = 9 \\mx + m^{2}y = 8m\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}mx + 4y = 9 \\x + my = 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}mx + 4y = 9 \\mx + m^{2}y = 8m\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(m^{2} - 4)y = 8m - 9 \\x + my = 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{8m - 9}{m^{2} - 4} \\x = \dfrac{9m - 32}{m^{2} - 4}\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}(m^{2} - 4)y = 8m - 9 \\x + my = 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{8m - 9}{m^{2} - 4} \\x = \dfrac{9m - 32}{m^{2} - 4}\end{matrix} \right.$

- Thay x = $\frac{9m - 32}{m^{2} - 4}$ $\frac{9m - 32}{m^{2} - 4}$ ; y = $\frac{8m - 9}{m^{2} - 4}$ $\frac{8m - 9}{m^{2} - 4}$ vào hệ thức đã cho ta được:

$2.\left( \frac{9m - 32}{m^{2} - 4} \right)$ $2.\left( \frac{9m - 32}{m^{2} - 4} \right)$ + $\frac{8m - 9}{m^{2} - 4}$ $\frac{8m - 9}{m^{2} - 4}$+ $\frac{38}{m^{2} - 4}$ $\frac{38}{m^{2} - 4}$= 3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m² – 12

$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 3m² – 26m + 23 = 0

$\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$m₁ = 1; m₂ = $\frac{23}{3}$ $\frac{23}{3}$ (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m = $\frac{23}{3}$ $\frac{23}{3}$

Bài 12: Giải và biện luận hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} mx - y = 2m(1) \\ 4x - my = m + 6(2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} mx - y = 2m(1) \\ 4x - my = m + 6(2) \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

Từ (1) $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$(m² – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

Nếu m² – 4 $\neq$ $\neq$ 0 hay m $\neq \pm$ $\neq \pm$2 thì x = $\frac{(2m + 3)(m - 2)}{m^{2} - 4} = \frac{2m + 3}{m + 2}$ $\frac{(2m + 3)(m - 2)}{m^{2} - 4} = \frac{2m + 3}{m + 2}$

Khi đó y = - $\frac{m}{m + 2}$ $\frac{m}{m + 2}$. Hệ có nghiệm duy nhất: ( $\frac{2m + 3}{m + 2}$ $\frac{2m + 3}{m + 2}$;- $\frac{m}{m + 2}$ $\frac{m}{m + 2}$)

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x $\in$ $\in$ R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4. Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m $\neq \pm$ $\neq \pm$2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( $\frac{2m + 3}{m + 2}$ $\frac{2m + 3}{m + 2}$;- $\frac{m}{m + 2}$ $\frac{m}{m + 2}$)

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x $\in$ $\in$ R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

IV. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\ {m^2}x - y = {m^2} + 2m \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x - 2y = m - 1\\ {m^2}x - y = {m^2} + 2m \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho các nghiệm đều nguyên.

Bài 2: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 1\\ x + my = m + 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 1\\ x + my = m + 6 \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 3x – y = 1.

Bài 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = 18\\ x - y = - 6 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = 18\\ x - y = - 6 \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y = 9.

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5\\ mx + y = 4 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5\\ mx + y = 4 \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|.

Bài 5: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 1\\ mx + y = 5 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 1\\ mx + y = 5 \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

a, x và y trái dấu.

b, x và y cùng dương.

Bài 6: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\ mx - y = {m^2} - 2 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left( {m + 1} \right)x + my = 2m - 1\\ mx - y = {m^2} - 2 \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho P = x.y đạt giá trị lớn nhất.

Bài 7: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 - m\\ 2x + y = 3\left( {m + 2} \right) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 - m\\ 2x + y = 3\left( {m + 2} \right) \end{array} \right.$. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho A = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

-------------------------------------------------------------------------

Dạng toán tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về hệ phương trình mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic, xử lý biến tham số và kiểm tra nghiệm phù hợp với điều kiện. Việc luyện tập thành thạo chuyên đề này sẽ giúp bạn làm chủ nhiều câu hỏi khó trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đừng quên kết hợp lý thuyết với thực hành, làm thêm các đề thi thử, và khám phá thêm nhiều chuyên đề Toán lớp 9 khác để chuẩn bị thật kỹ lưỡng cho kỳ thi quan trọng sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: