VnDoc.com

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đối xứng loại 1

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đối xứng loại 1
- 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
- 2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 1
III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đối xứng loại 1

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

- Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình không thay đổi.

Hoặc định nghĩa tổng quát như sau:

- Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{matrix} f(x;y) = a \\ g(x;y) = a \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} f (x; y) = a \\ g (x; y) = a \end{matrix}$ sao cho khi ta thay x bởi y của 1 trong hai phương trình thì ta nhận được phương trình còn lại.

Phương pháp:

Trừ từng vế của phương trình, đưa về dạng tổng tích, Đặt: $\left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = x.y \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} S = x + y \\ P = x . y \end{matrix}$ ,

sau đó giải với điều kiện $S^{2} \geq 4P$ $S^{2} \geq 4 P$ , tìm nghiệm bằng cách thế vào phương trình: $x^{2} - Sx + P = 0$ $x^{2} - S x + P = 0$

Một số biến đổi thường giặp:

$x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy$ $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$
$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3xy(x + y)$ $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$
$(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy$ $(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4 x y$
$x^{4} + y^{4} = \left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} - 2x^{2}y^{2}$ $x^{4} + y^{4} = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2}$
$x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2} = \left( x^{2} - xy + y^{2} \right)\left( x^{2} + xy + y^{2} \right)$ $x^{4} + y^{4} + x^{2} y^{2} = (x^{2} - x y + y^{2}) (x^{2} + x y + y^{2})$

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S và P là ${S^2} \ge 4P$ $S^{2} \geq 4 P$

+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi tìm x, y

II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = 11\\ {x^2}y + {y^2}x = 30 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x + y + x y = 11 \\ x^{2} y + y^{2} x = 30 \end{cases}$

Lời giải:

Có $\left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = 11\\ {x^2}y + {y^2}x = 30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + xy = 11\\ xy\left( {x + y} \right) = 30 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x + y + x y = 11 \\ x^{2} y + y^{2} x = 30 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x + y + x y = 11 \\ x y (x + y) = 30 \end{cases}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} S = x + y\\ P = xy \end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$ ${\begin{cases} S = x + y \\ P = x y \end{cases} (S^{2} \geq 4 P)$

Hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} S + P = 11\\ S.P = 30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 11 - P\\ \left( {11 - P} \right)P = 30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 11 - P\\ - {P^2} + 11P - 30 = 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} S + P = 11 \\ S . P = 30 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} S = 11 - P \\ (11 - P) P = 30 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} S = 11 - P \\ - P^{2} + 11 P - 30 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 11 - P\\ \left[ \begin{array}{l} P = 5\\ P = 6 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} S = 6\\ P = 5 \end{array} \right.\left( {tm} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.\left( {tm} \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} S = 11 - P \\ [\begin{matrix} P = 5 \\ P = 6 \end{matrix} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{matrix} S = 6 \\ P = 5 \end{matrix} (t m) \\ {\begin{matrix} S = 5 \\ P = 6 \end{matrix} (t m) \end{array}$

Với $\left\{ \begin{array}{l} S = 6\\ P = 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 6\\ xy = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 6 - y\\ \left( {6 - y} \right)y = 5 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} S = 6 \\ P = 5 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x + y = 6 \\ x y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 6 - y \\ (6 - y) y = 5 \end{cases}$

$\left\{ \begin{array}{l} x = 6 - y\\ - {y^2} + 6y - 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 5 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 5\\ y = 1 \end{array} \right. \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x = 6 - y \\ - y^{2} + 6 y - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{matrix} x = 1 \\ y = 5 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x = 5 \\ y = 1 \end{matrix} \end{array}$

Với $\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ xy = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 - y\\ \left( {5 - y} \right)y = 6 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} S = 5 \\ P = 6 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x + y = 5 \\ x y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 5 - y \\ (5 - y) y = 6 \end{cases}$

$\left\{ \begin{array}{l} x = 5 - y\\ - {y^2} + 5y - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x = 5 - y \\ - y^{2} + 5 y - 6 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \end{matrix} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;5} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {5;1} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)$ $(x; y) = (1; 5); (x; y) = (5; 1); (x; y) = (2; 3)$ và $\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)$ $(x; y) = (3; 2)$

Bài 2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 7\\ xy\left( {x - y} \right) = 2 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} - y^{3} = 7 \\ x y (x - y) = 2 \end{cases}$

Lời giải:

Có $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 7\\ xy\left( {x - y} \right) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = 7\\ xy\left( {x - y} \right) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3xy} \right] = 7\\ xy\left( {x - y} \right) = 2 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} - y^{3} = 7 \\ x y (x - y) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = 7 \\ x y (x - y) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} (x - y) [{(x - y)}^{2} + 3 x y] = 7 \\ x y (x - y) = 2 \end{cases}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} a = x - y\\ b = xy \end{array} \right.$ ${\begin{cases} a = x - y \\ b = x y \end{cases}$

Hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} a\left( {{a^2} + 3b} \right) = 7\\ ab = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} + 3ab = 7\\ ab = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} + 6 = 7\\ ab = 2 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} a (a^{2} + 3 b) = 7 \\ a b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a^{3} + 3 a b = 7 \\ a b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a^{3} + 6 = 7 \\ a b = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} = 1\\ ab = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a^{3} = 1 \\ a b = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}$

Với $\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1\\ xy = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + y\\ \left( {1 + y} \right)y = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + y\\ {y^2} + y - 2 = 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x - y = 1 \\ x y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 + y \\ (1 + y) y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 + y \\ y^{2} + y - 2 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 1\\ y = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2\\ y = - 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = - 2 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{matrix} x = 1 + 1 \\ y = 1 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x = 1 - 2 \\ y = - 2 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 2 \end{matrix} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right);\left( {x;y} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)$ $(x; y) = (2; 1); (x; y) = (- 1; - 2)$

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 1

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + xy + {y^3} = 3\\ 2x + xy + 2y = - 3 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} + x y + y^{3} = 3 \\ 2 x + x y + 2 y = - 3 \end{cases}$	2, $\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2xy = 2\\ {x^3} + {y^3} = 8 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x + y + 2 x y = 2 \\ x^{3} + y^{3} = 8 \end{cases}$
3, $\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2xy = 5\\ {x^2} + {y^2} + xy = 7 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x + y + 2 x y = 5 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 7 \end{cases}$	4, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} = 7\\ {x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = 21 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{2} + x y + y^{2} = 7 \\ x^{4} + y^{4} + x^{2} y^{2} = 21 \end{cases}$
5, $\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2xy = 2\\ {x^3} + {y^3} = 8 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x + y + 2 x y = 2 \\ x^{3} + y^{3} = 8 \end{cases}$	6, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 19\\ \left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} x^{3} + y^{3} = 19 \\ (x + y) (8 + x y) = 2 \end{cases}$

Bài 2: Xác định nghiệm của các hệ phương trình sau:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = y + 2 \\ y^{2} = x + 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} = y + 2 \\ y^{2} = x + 2 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 3x = y^{2} - 2 \\ 2y^{2} - 3y = x^{2} - 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 2 x^{2} - 3 x = y^{2} - 2 \\ 2 y^{2} - 3 y = x^{2} - 2 \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 17 \\ x + xy + y = 9 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 17 \\ x + x y + y = 9 \end{matrix}$

Hướng dẫn

a, Trừ theo vế của phương trình ta được: $x^{2} - y^{2} = y - x \Leftrightarrow (x - y)(x + y + 1) = 0$ $x^{2} - y^{2} = y - x \Leftrightarrow (x - y) (x + y + 1) = 0$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau đây:

a, $\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{2y}{1 - y^{2}} \\ y = \dfrac{2x}{1 - x^{2}} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x = \frac{2 y}{1 - y^{2}} \\ y = \frac{2 x}{1 - x^{2}} \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5 \\ x^{2} + y^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{1}{y^{2}} = 9 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 9 \end{matrix}$

c, $\left\{ \begin{matrix} (x + y)\left( 1 + \dfrac{1}{x + y} \right) = 5 \\ \left( x^{2} + y^{2} \right)\left( 1 + \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} \right) = 49 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} (x + y) (1 + \frac{1}{x + y}) = 5 \\ (x^{2} + y^{2}) (1 + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}) = 49 \end{matrix}$

Hướng dẫn

a, Hệ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\left( 1 - y^{2} \right) = 2y \\ y\left( 1 - x^{2} \right) = 2x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - xy^{2} = 2y \\ y - x^{2}y = 2x \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x (1 - y^{2}) = 2 y \\ y (1 - x^{2}) = 2 x \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - x y^{2} = 2 y \\ y - x^{2} y = 2 x \end{matrix}$ rồi thực hiện trừ vế

b, Đặt: $\left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{1}{x} + x \\ b = \dfrac{1}{y} + y \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2 \\ y^{2} + \dfrac{1}{y^{2}} = b^{2} - 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} a = \frac{1}{x} + x \\ b = \frac{1}{y} + y \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2 \\ y^{2} + \frac{1}{y^{2}} = b^{2} - 2 \end{matrix}$ , Thay vào hệ phương trình

c, $\left\{ \begin{matrix} x + y = a \\ x^{2} + y^{2} = b \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x + y = a \\ x^{2} + y^{2} = b \end{matrix}$

Bài 4: Giải hệ phương trình:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1 = 3y \\ y^{2} + 1 = 3x \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + 1 = 3 y \\ y^{2} + 1 = 3 x \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x + y + xy = 7 \\ x^{2} + y^{2} - xy = 19 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x + y + x y = 7 \\ x^{2} + y^{2} - x y = 19 \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} x + xy + y = 2 + 3\sqrt{2} \\ x^{2} + y^{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x + x y + y = 2 + 3 \sqrt{2} \\ x^{2} + y^{2} = 6 \end{matrix}$

Bài 5: Giải hệ phương trình:

a, $\left\{ \begin{matrix} x + y + \sqrt{xy} = 14 \\ x^{2} + y^{2} + xy = 84 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x + y + \sqrt{x y} = 14 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 84 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 35 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x \sqrt{y} + y \sqrt{x} = 30 \\ x \sqrt{x} + y \sqrt{y} = 35 \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4} = 481 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 37 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = 481 \\ x^{2} + x y + y^{2} = 37 \end{matrix}$

Hướng dẫn

b, Đặt $\left\{ \begin{matrix} a = \sqrt{x} \\ b = \sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} a = \sqrt{x} \\ b = \sqrt{y} \end{matrix}$

c, Biến đổi hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 35 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} - x^{2}y^{2} = 481 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 37 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x \sqrt{y} + y \sqrt{x} = 30 \\ x \sqrt{x} + y \sqrt{y} = 35 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2} = 481 \\ x^{2} + x y + y^{2} = 37 \end{matrix}$

Đặt: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a \\ xy = b \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a \\ x y = b \end{matrix}$

Bài 6: Giải hệ phương trình:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{4} + 3x^{2}y^{2} + y^{4} = 109 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 13 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} = 109 \\ x^{2} + x y + y^{2} = 13 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x + y + xy = 3 \\ x + y - xy = 1 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x + y + x y = 3 \\ x + y - x y = 1 \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 4 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = 4 \\ x^{2} + x y + y^{2} = 6 \end{matrix}$

Hướng dẫn

a, Biến đổi $\left\{ \begin{matrix} x^{4} + 3x^{2}y^{2} + y^{4} = 109 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 13 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} + x^{2}y^{2} = 109 \\ x^{2} + y^{2} + xy = 13 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} = 109 \\ x^{2} + x y + y^{2} = 13 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2})}^{2} + x^{2} y^{2} = 109 \\ x^{2} + y^{2} + x y = 13 \end{matrix}$

Bài 7: Giải hệ phương trình:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 17 \\ x + xy + y = 9 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 17 \\ x + x y + y = 9 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + xy = 15 \\ 6(x + y) = 3xy \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x y = 15 \\ 6 (x + y) = 3 x y \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 7 \\ x^{3} + y^{3} = 3(x + y) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = 7 \\ x^{3} + y^{3} = 3 (x + y) \end{matrix}$

Bài 8: Giải hệ phương trình:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 7 \\ x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4} = 21 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = 7 \\ x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = 21 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4} = 931 \\ x^{2} - xy + y^{2} = 19 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = 931 \\ x^{2} - x y + y^{2} = 19 \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 12 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 28 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x \sqrt{y} + y \sqrt{x} = 12 \\ x \sqrt{x} + y \sqrt{y} = 28 \end{matrix}$

Bài 9: Giải hệ phương trình:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = 7 \\ x^{3} + y^{3} = 3xy \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + x y + y^{2} = 7 \\ x^{3} + y^{3} = 3 x y \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 8 \\ x + y + 2xy = 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 8 \\ x + y + 2 x y = 2 \end{matrix}$ c, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + xy = 13 \\ x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2} = 91 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x y = 13 \\ x^{4} + y^{4} + x^{2} y^{2} = 91 \end{matrix}$

Bài 10: Giải hệ phương trình:

a, $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x + y = 4 \\ x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x + y = 4 \\ x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2 \end{matrix}$ b, $\left\{ \begin{matrix} xy(x - y) = - 2 \\ x^{3} - y^{3} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x y (x - y) = - 2 \\ x^{3} - y^{3} = 2 \end{matrix}$

Hướng dẫn

a, Hệ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x + y)^{2} - 2xy + x + y = 4 \\ x^{2} + y^{2} + xy + x + y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} (x + y)^{2} - 2 x y + x + y = 4 \\ x^{2} + y^{2} + x y + x + y = 2 \end{matrix}$

b, Đặt: t = - y thì hệ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - xt(x + t) = - 2 \\ x^{3} + t^{3} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} - x t (x + t) = - 2 \\ x^{3} + t^{3} = 2 \end{matrix}$

Bài 11: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{3} - 3x^{2} - 9x + 22 = y^{3} + 3y^{2} - 9y \\ x^{2} + y^{2} - x + y = 1/2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 22 = y^{3} + 3 y^{2} - 9 y \\ x^{2} + y^{2} - x + y = 1 / 2 \end{matrix}$

Hướng dẫn

Đặt t = - y thì hệ phương trình tương đương $\left\{ \begin{matrix} y^{3} + t^{3} + 3\left( y^{2} + t^{2} \right) - 9(t + y) = 22 \\ y^{2} + t^{2} + t + y = 1/2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} y^{3} + t^{3} + 3 (y^{2} + t^{2}) - 9 (t + y) = 22 \\ y^{2} + t^{2} + t + y = 1 / 2 \end{matrix}$

Bài 12: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 6 \\ x^{2}y + y^{2}x = 20 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x \sqrt{y} + y \sqrt{x} = 6 \\ x^{2} y + y^{2} x = 20 \end{matrix}$

Hướng dẫn

Đặt : $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} = a \\ \sqrt{y} = b \\ \end{matrix} \right.\ = > \left\{ \begin{matrix} a^{2}b + b^{2}a = 6 \\ a^{4}b^{2} + a^{2}b^{4} = 20 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} ab(a + b) = 6 \\ a^{2}b^{2}\left( a^{2} + b^{2} \right) = 20 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} \sqrt{x} = a \\ \sqrt{y} = b \end{matrix} => {\begin{matrix} a^{2} b + b^{2} a = 6 \\ a^{4} b^{2} + a^{2} b^{4} = 20 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a b (a + b) = 6 \\ a^{2} b^{2} (a^{2} + b^{2}) = 20 \end{matrix}$

Đặt: $\left\{ \begin{matrix} a + b = u \\ ab = v \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} a + b = u \\ a b = v \end{matrix}$

Bài 13: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} xy + x + y = 3 \\ x^{2} + y^{2} + x + y = 12 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x y + x + y = 3 \\ x^{2} + y^{2} + x + y = 12 \end{matrix}$

Bài 14: Tìm nghiệm của hệ phương trình : $\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 35 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x \sqrt{y} + y \sqrt{x} = 30 \\ x \sqrt{x} + y \sqrt{y} = 35 \end{matrix}$

Bài 15: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + xy = 7 \\ x^{4} + y^{4} + x^{2}y^{2} = 21 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + x y = 7 \\ x^{4} + y^{4} + x^{2} y^{2} = 21 \end{matrix}$

Bài 16: Xác định (x ; y) thỏa mãn : $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} - xy = 61 \\ x + y - \sqrt{xy} = 7 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - x y = 61 \\ x + y - \sqrt{x y} = 7 \end{matrix}$

----------------------------------------

Ngoài chuyên đề giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

13

22.399

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

252 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
115 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!