Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai

Tính giá trị biểu thức lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
• Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án
• Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tính giá trị của biểu thức

1. Định lý Vi ét

+ Nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2. Một số biểu thức hay gặp:

+ Ta biến đổi các biểu thức để làm xuất hiện \({x_1} + {x_2}\)và \({x_1}{x_2}\)

+ \(x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_1} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)

+ \(x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\)\(= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\)

+ \(x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\)\(= \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]\)

+ \(x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

II. Bài tập ví dụ về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{- 5}{1} = 5 \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{3}{1} = 3 \\ \end{matrix} \right.\)

a) \(A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 25 - 6 = 19\)

b) \(B = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2} = x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) = 3.5 = 15\)

c) \(C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5}{3}\)

d) \(D = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}}\)\(= \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5^{2} - 2.3}{3} = \frac{19}{3}\)

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình \(ax^{2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(x_{1};x_{2}\) ta có: \(\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.\)

a) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \left( - x_{1} \right) + \left( - x_{2} \right) = - S \\ \left( - x_{1} \right).\left( - x_{2} \right) = P \\ \end{matrix} \right.\).

Do đó \(- x_{1}\) và \(- x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(X^{2} - S.X + P = 0\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \left( 2x_{1} \right) + \left( 2x_{2} \right) = 2S \\ \left( 2x_{1} \right).\left( 2x_{2} \right) = 4P \\ \end{matrix} \right.\).

Do đó \(2x_{1}\) và \(2x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(X^{2} - 2S.X + 4P = 0\).

c) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \left( {x_{1}}^{2} \right) + \left( {x_{2}}^{2} \right) = S^{2} - 2P \\ \left( {x_{1}}^{2} \right).\left( {x_{2}}^{2} \right) = P^{2} \\ \end{matrix} \right.\).

Do đó \({x_{1}}^{2}\) và \({x_{2}}^{2}\) là nghiệm của phương trình \(X^{2} - \left( S^{2} - 2P \right).X + P^{2} = 0\).

d) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \left( x_{1} + x_{2} \right) + \left( x_{1}x_{2} \right) = S + P \\ \left( x_{1} + x_{2} \right).\left( x_{1}x_{2} \right) = S.P \\ \end{matrix} \right.\).

Do đó \(x_{1} + x_{2}\) và \(x_{1}x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(X^{2} - (S + P).X + S.P = 0\).

e) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{1}{x_{1}} \right) + \left( \dfrac{1}{x_{2}} \right) = \dfrac{S}{P} \\ \left( \dfrac{1}{x_{1}} \right).\left( \dfrac{1}{x_{2}} \right) = \dfrac{1}{P} \\ \end{matrix} \right.\).

Do đó \(\frac{1}{x_{1}}\) và \(\frac{1}{x_{2}}\) là nghiệm của phương trình \(X^{2} - \frac{S}{P}.X + \frac{1}{P} = 0\).

Hướng dẫn giải 

Phương trình \(3{x^2} + 6x - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn Vi ét:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)

Có \(A = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\)\(= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\)

Thay các giá trị thuộc hệ thức Viète vào biểu thức A ta được:

\(A = \left( { - 2} \right).\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right] = \left( { - 2} \right)\left( {4 + 1} \right) = - 10\)

Hướng dẫn giải 

Phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn Viète:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 4\sqrt 3 \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 8 \end{array} \right.\)

Biến đổi biểu thức Q như sau:

\(Q = \frac{{6x_1^2 + 10{x_1}{x_2} + 6x_2^2}}{{5{x_1}x_2^3 + 5x_1^3{x_2}}}\)\(= \frac{{6\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2}}}{{5{x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}\)

\(\frac{{6{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{5{x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}}\)

Thay các giá trị từ hệ thức Viète vào biểu thức Q ta được:

\(Q= \frac{{6.{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.8}}{{5.8.\left[ {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.8} \right]}}\)\(= \frac{{6.48 - 2.8}}{{5.8.\left( {48 - 2.8} \right)}} = \frac{{17}}{{80}}\)

Hướng dẫn giải 

Có \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\).

Khi đó theo định lý Viète có:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - m\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 1 \end{array} \right.\)

\(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - m} \right)^2} - 2 = {m^2} - 2\)

\(B = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\)

\(= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\)

\(= \left( { - m} \right).\left( {{m^2} - 3} \right) = 3m - {m^3}\)

\(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - m}}{1} = - m\)

\(D = \frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = \frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{{{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)}^2}}}\)\(= \frac{{{{\left( {x_1^2} \right)}^2} + {{\left( {x_2^2} \right)}^2} + 2x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\)

\(=\frac{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\)\(= \frac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{{\left( {{m^2} - 2} \right)}^2} - 2}}{1} = {m^4} - 4m + 2\).

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1,}x_{2}\) thỏa mãn  \(x_{1} + x_{2} \leq 4\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta^{/} \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} \leq 4 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 2 \\ - 2 \leq m \leq 0 \end{matrix} \right.\ \\ m \leq 3 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq m \leq 0 \\ 2 \leq m \leq 3 \end{matrix} \right.\)

Định lí Viet \(P = (x_{1} + x_{2})^{3} + 8x_{1}x_{2} = - 16m^{2} + 40m\)

Bảng biến thiên

Dựa trên BBT, ta có giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 16 tại x=2 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng -144 tại x = -2.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^{2} - 3x + 2 = x + m\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 4x + 2 - m = 0\)

Đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow m > - 2\)

Gọi \(A(x_{1};x_{1} + m);\ B(x_{2};x_{2} + m)\)

\(AB^{2} = 2(x_{2} - x_{1})^{2} = 2\left\lbrack (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2} \right\rbrack = 16 + 8m\)

\(AB = 2\sqrt{5} \Leftrightarrow 16 + 8m = 20 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}(tm)\)

Vậy để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB bằng \(2\sqrt{5}\) thì \(m=\dfrac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

Phương trình \(4x^{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2} = 0\) có ac = - 4\(\sqrt{2} < 0\) nên có hai nghiệm phân biệt với a là nghiệm dương của phương trình nên ta có: \(4a^{2} + \sqrt{2}a - \sqrt{2} = 0\) (1).

Vì a > 0 nên từ (1) ta có:

\(a^{2} = \frac{\sqrt{2} - a\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(1 - a)}{\sqrt{2}.2\sqrt{2}} = \frac{1 - a}{2\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow a^{4} = \frac{1 - 2a + a^{2}}{8}\).

Gọi \(S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}\)

\(= \frac{(a + 1)\sqrt{a^{4} + a + 1} + a^{2}}{\left( \sqrt{a^{4} + a + 1} \right)^{2} - a^{4}}\)

\(= \frac{(a + 1)\sqrt{a^{4} + a + 1} + a^{2}}{a^{4} + a + 1 - a^{4}}\)

\(= \sqrt{a^{4} + a + 1} + a^{2}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\Delta = 5^{2} - 4.1(3m - 1) = 29 - 12m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Rightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{29}{12}\)

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1}.x_{2} = 3m - 1 \end{matrix} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3x_{1}x_{2} = 75\)

\(\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - x_{1}x_{2} \right\rbrack + 3x_{1}x_{2} = 75\)

\(\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)\left( 5^{2} - x_{1}x_{2} \right) + 3x_{1}x_{2} = 75\)

\(\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)\left( 25 - x_{1}x_{2} \right) + 3x_{1}x_{2} = 75\)

\(\Leftrightarrow 25\left( x_{1} - x_{2} \right) - \left( x_{1} - x_{2} \right).x_{1}x_{2} + 3x_{1}x_{2} = 75\)

\(\Leftrightarrow x_{1} - x_{2} = 3\)

Kết hợp với \(x_{1} + x_{2} = - 5\) suy ra \(x_{1} = - 1;x_{2} = - 4\)

Thay vào \(x_{1}.x_{2} = 3m - 1\) suy ra \(m = \frac{5}{3}\)

Vậy với \(m = \frac{5}{3}\) thì phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

III. Bài tập tự luyện về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1: Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + 3=0\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a,  \(A = x_1^2 + x_2^2\)                              b, \(B = x_1^3 + x_2^3\)

c, \(C = \frac{1}{{x_1^4}} + \frac{1}{{x_2^4}}\)                            d, \(D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\) (gợi ý: tính \({D^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\))

e, \(E = {x_1} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_2} + \frac{1}{{{x_2}}}\)           f, \(F = \frac{1}{{{x_1} + 3}} + \frac{1}{{{x_2} + 3}}\)

Bài 2: Cho phương trình \(- 3{x^2} + x + 1 = 0\). Với \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình, không giải phương trình, hãy tính:

a, \(A = x_1^2 + \frac{2}{{{x_1}}} + x_2^2 + \frac{2}{{{x_2}}}\)                    b,  \(B = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 3}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 3}}\)

c, \(C = \frac{{2{x_1} - 5}}{{{x_1}}} + \frac{{2{x_2} - 5}}{{{x_2}}}\)                      d, \(D = \frac{{{x_1} - 1}}{{x_1^4}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{x_2^4}}\)

Bài 3: Cho phương trình \(2{x^2} - 4x - 1 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\).

Bài 4: Giả sử \({x_1};{x_2}\) là các nghiệm của các phương trình dưới đây.

a, \({x^2} + 6x + m = 0\).

b, \({x^2} - \left( {m - 3} \right)x + 2m + 1 = 0\).

Tính giá trị của các biểu thức:

\(A = x_1^2 + x_2^2\)

\(B = x_1^3 + x_2^3\)

\(C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)

\(D = \frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}}\)

Bài 5: Gọi \(x_{1};x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} - x - 3 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

a) \(A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}\)	b) \(B = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}\)
c) \(C = \left| x_{1} - x_{2} \right|\)	d) \(D = \frac{1}{x_{1} - 1} + \frac{1}{x_{2} - 1}\)

Bài 6: Gọi \(x_{1};x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} - 3x - 7 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

a)\(A = \left( 3x_{1} - 2x_{2} \right)\left( 3x_{2} - 2x_{1} \right)\)	b) \(B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{1}}{x_{2} - 1}\)
c) \(C = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4}\)	d) \(D = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} + \frac{x_{2} + 2}{x_{2}}\)

----------------------------------------------------------------

Bài toán tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai là một mắt xích quan trọng trong quá trình ôn thi vào lớp 10, bởi nó vừa củng cố kiến thức về phương trình bậc hai, vừa rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số. Khi làm quen và luyện tập nhiều dạng bài, bạn sẽ:

• Hiểu sâu mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số phương trình thông qua định lý Vi-ét.

• Thành thạo các kỹ thuật rút gọn và biến đổi biểu thức chứa nghiệm.

• Rút ngắn thời gian giải bằng cách áp dụng các công thức và mẹo tính nhanh.

• Tự tin giải quyết những bài tập từ cơ bản đến nâng cao trong đề thi tuyển sinh.

Để đạt kết quả cao, bạn nên luyện tập xen kẽ giữa lý thuyết và bài tập thực hành, đồng thời phân tích kỹ từng bước giải để rèn khả năng tư duy logic. Khi đã nắm chắc dạng toán này, bạn không chỉ tăng tốc độ làm bài mà còn nâng cao khả năng xử lý các dạng toán khác có liên quan. Đây chính là nền tảng vững chắc giúp bạn bứt phá điểm số trong kỳ thi vào lớp 10.