VnDoc.com

Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tính giá trị của biểu thức
II. Bài tập ví dụ về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Tính giá trị biểu thức lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tính giá trị của biểu thức

1. Định lý Vi ét

+ Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2. Một số biểu thức hay gặp

+ Ta biến đổi các biểu thức để làm xuất hiện ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$

+ $x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_1} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

+ $x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$ $= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$

+ $x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$ $= \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]$

+ $x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1: Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 5x + 3 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức:

a) $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$

b) $B = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}$

c) $C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

d) $D = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{- 5}{1} = 5 \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{3}{1} = 3 \\ \end{matrix} \right.$

a) Ta có:

$A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 25 - 6 = 19$

b) Ta có:

$B = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2} = x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) = 3.5 = 15$

c) Ta có:

$C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5}{3}$

d) Ta có:

$D = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}}$ $= \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5^{2} - 2.3}{3} = \frac{19}{3}$

Bài 2: Giả sử phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ . Hãy biểu thị các biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm theo trong các trường hợp sau:

a) $- x_{1}$ và $- x_{2}$	b) $2x_{1}$ và $2x_{2}$
c) ${x_{1}}^{2}$ và ${x_{2}}^{2}$	d) $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$
e) $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ ta có: $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.$

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( - x_{1} \right) + \left( - x_{2} \right) = - S \\ \left( - x_{1} \right).\left( - x_{2} \right) = P \\ \end{matrix} \right.$ .

Do đó $- x_{1}$ và $- x_{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - S.X + P = 0$ .

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( 2x_{1} \right) + \left( 2x_{2} \right) = 2S \\ \left( 2x_{1} \right).\left( 2x_{2} \right) = 4P \\ \end{matrix} \right.$ .

Do đó $2x_{1}$ và $2x_{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - 2S.X + 4P = 0$ .

c) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( {x_{1}}^{2} \right) + \left( {x_{2}}^{2} \right) = S^{2} - 2P \\ \left( {x_{1}}^{2} \right).\left( {x_{2}}^{2} \right) = P^{2} \\ \end{matrix} \right.$ .

Do đó ${x_{1}}^{2}$ và ${x_{2}}^{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - \left( S^{2} - 2P \right).X + P^{2} = 0$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( x_{1} + x_{2} \right) + \left( x_{1}x_{2} \right) = S + P \\ \left( x_{1} + x_{2} \right).\left( x_{1}x_{2} \right) = S.P \\ \end{matrix} \right.$ .

Do đó $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - (S + P).X + S.P = 0$ .

e) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{1}{x_{1}} \right) + \left( \dfrac{1}{x_{2}} \right) = \dfrac{S}{P} \\ \left( \dfrac{1}{x_{1}} \right).\left( \dfrac{1}{x_{2}} \right) = \dfrac{1}{P} \\ \end{matrix} \right.$ .

Do đó $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - \frac{S}{P}.X + \frac{1}{P} = 0$ .

Bài 3: Cho phương trình 3x^2 + 6x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x1^3 + x2^3.

Hướng dẫn giải

Phương trình $3{x^2} + 6x - 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn Vi ét:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.$

Có $A = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$ $= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$

Thay các giá trị thuộc hệ thức Viète vào biểu thức A ta được:

$A = \left( { - 2} \right).\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right] = \left( { - 2} \right)\left( {4 + 1} \right) = - 10$

Bài 4: Cho phương trình ${x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $Q = \frac{{6x_1^2 + 10{x_1}{x_2} + 6x_2^2}}{{5{x_1}x_2^3 + 5x_1^3{x_2}}}$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình ${x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn Viète:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 4\sqrt 3 \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 8 \end{array} \right.$

Biến đổi biểu thức Q như sau:

$Q = \frac{{6x_1^2 + 10{x_1}{x_2} + 6x_2^2}}{{5{x_1}x_2^3 + 5x_1^3{x_2}}}$ $= \frac{{6\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2}}}{{5{x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}$

$=\frac{{6{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{5{x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}}$

Thay các giá trị từ hệ thức Viète vào biểu thức Q ta được:

$Q= \frac{{6.{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.8}}{{5.8.\left[ {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.8} \right]}}$ $= \frac{{6.48 - 2.8}}{{5.8.\left( {48 - 2.8} \right)}} = \frac{{17}}{{80}}$

Bài 5: Giả sử ${x_1};{x_2}$ là các nghiệm của phương trình ${x^2} + mx + 1 = 0$ . Tính giá trị của các biểu thức:


$C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$	$D = \frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}}$

Hướng dẫn giải

Có ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + mx + 1 = 0$ .

Khi đó theo định lý Viète có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - m\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 1 \end{array} \right.$

Khi đó ta tính được giá trị của các biểu thức như sau:

$A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - m} \right)^2} - 2 = {m^2} - 2$

$B = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$

$= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$

$= \left( { - m} \right).\left( {{m^2} - 3} \right) = 3m - {m^3}$

$C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - m}}{1} = - m$

$D = \frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = \frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{{{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)}^2}}}$ $= \frac{{{{\left( {x_1^2} \right)}^2} + {{\left( {x_2^2} \right)}^2} + 2x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}$

$=\frac{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}$ $= \frac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}$

$= \frac{{{{\left( {{m^2} - 2} \right)}^2} - 2}}{1} = {m^4} - 4m + 2$ .

Bài 6: Giả sử phương trình bậc 2 ẩn x (tham số m): $x^{2} - 2(m - 1)x - m^{3} + (m + 1)^{2} = 0$ có 2 nghiệm $x_{1,}x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} + x_{2} \leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + x_{1}x_{2}(3x_{1} + 3x_{2} + 8)$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_{1,}x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} \leq 4$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta^{/} \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} \leq 4 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 2 \\ - 2 \leq m \leq 0 \end{matrix} \right.\ \\ m \leq 3 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq m \leq 0 \\ 2 \leq m \leq 3 \end{matrix} \right.$

Định lí Viet $P = (x_{1} + x_{2})^{3} + 8x_{1}x_{2} = - 16m^{2} + 40m$

Bảng biến thiên

Dựa trên BBT, ta có giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 16 tại x=2 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng -144 tại x = -2.

Bài 7: Cho hàm số $y = x^{2} - 3x + 2$ có đồ thị (C) và đường thẳng d: . Tìm giá trị của tham số m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB bằng $2\sqrt{5}$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2} - 3x + 2 = x + m$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4x + 2 - m = 0$

Đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow m > - 2$

Gọi $A(x_{1};x_{1} + m);\ B(x_{2};x_{2} + m)$

$AB^{2} = 2(x_{2} - x_{1})^{2} = 2\left\lbrack (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2} \right\rbrack = 16 + 8m$

$AB = 2\sqrt{5} \Leftrightarrow 16 + 8m = 20 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}(tm)$

Vậy để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB bằng $2\sqrt{5}$ thì $m=\dfrac{1}{2}$ .

Bài 8: Tính giá trị của biểu thức: $\frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ trong đó a là nghiệm dương của phương trình $4x^{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2} = 0$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình $4x^{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2} = 0$ có ac = - 4 $\sqrt{2} < 0$ nên có hai nghiệm phân biệt với a là nghiệm dương của phương trình nên ta có: $4a^{2} + \sqrt{2}a - \sqrt{2} = 0$ (1).

Vì a > 0 nên từ (1) ta có:

$a^{2} = \frac{\sqrt{2} - a\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}(1 - a)}{\sqrt{2}.2\sqrt{2}} = \frac{1 - a}{2\sqrt{2}}$ $\Rightarrow a^{4} = \frac{1 - 2a + a^{2}}{8}$ .

Gọi $S = \frac{a + 1}{\sqrt{a^{4} + a + 1} - a^{2}}$ $= \frac{(a + 1)\sqrt{a^{4} + a + 1} + a^{2}}{\left( \sqrt{a^{4} + a + 1} \right)^{2} - a^{4}}$

$= \frac{(a + 1)\sqrt{a^{4} + a + 1} + a^{2}}{a^{4} + a + 1 - a^{4}}$ $= \sqrt{a^{4} + a + 1} + a^{2}$

Bài 9. Tìm tham số m để phương trình $x^{2} + 5x - 3m - 1 = 0$ (với x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn biểu thức $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3x_{1}x_{2} = 75$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = 5^{2} - 4.1(3m - 1) = 29 - 12m$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Rightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{29}{12}$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1}.x_{2} = 3m - 1 \end{matrix} \right.$

Theo bài ra ta có:

$x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3x_{1}x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - x_{1}x_{2} \right\rbrack + 3x_{1}x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)\left( 5^{2} - x_{1}x_{2} \right) + 3x_{1}x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} \right)\left( 25 - x_{1}x_{2} \right) + 3x_{1}x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow 25\left( x_{1} - x_{2} \right) - \left( x_{1} - x_{2} \right).x_{1}x_{2} + 3x_{1}x_{2} = 75$

$\Leftrightarrow x_{1} - x_{2} = 3$

Kết hợp với $x_{1} + x_{2} = - 5$ suy ra $x_{1} = - 1;x_{2} = - 4$

Thay vào $x_{1}.x_{2} = 3m - 1$ suy ra $m = \frac{5}{3}$

Vậy với $m = \frac{5}{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

III. Bài tập tự luyện về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1. Cho phương trình $x^{2} - 4\sqrt{3}x + 8 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1};\ x_{2},$ không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: $Q = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$

Bài 2. Cho phương trình: $4x^{2} - 5x - 3 = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}\ ,\ \ x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $S = x_{1} + x_{2};$ $P = x_{1}x_{2};$ $F = \left( x_{1} + 1 \right)\left( x_{2} + 1 \right) - \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}.$

Bài 3. Cho phương trình $3x^{2} + 5x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},\ x_{2}$ . Không giải phương trình, tính: $P = \frac{2{x_{2}}^{2}}{x_{1} + x_{2}} + 2x_{1}$

Bài 4. a). Hãy tìm một phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ với các hệ số là số nguyên nhận $x = \frac{\sqrt{5} - 2}{3}$ làm nghiệm.

b). Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình vừa tìm được ở câu a)

Bài 5. Cho phương trình $x^{2} - 5x + a = 0$ . Biết phương trình có một nghiệm là $x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$ . Tính giá trị của biểu thức $A = x_{1}^{3} - x_{1} + x_{2}^{3} - x_{2} - 285$

Bài 6. Biết phương trình x² + ax + 5 = 0 có một nghiệm là x = $4 - \sqrt{11}$ . Tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Bài 7. Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $3x^{2} + 5x - 6 = 0$ . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức $D\ = \ \frac{x_{1}}{x_{2} + 2} + \frac{x_{2}}{x_{1} + 2}$ .

Bài 8. Cho phương trình $3x^{2} - 12x - 5 = 0$ có hai nghiệm là $x_{1},\ x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $T = \frac{{x_{1}}^{2} + 4x_{2} - x_{1}x_{2}}{4x_{1} + {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2}}$

Bài 9. Cho phương trình $x^{2} - 12x + 4 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1},x_{2}.$ Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $T = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}}$ .

Bài 10. Cho phương trình $x^{2} - 6x - 2m + 3 = 0.$ Tìm $\ m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},\ \ \ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 20.$

Bài 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình $x^{2} - 2mx + 4m - 4 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 8 = 0$ .

Bài 12. Cho phương trình $x^{2} - x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A = $3x_{1}x_{2}^{2} + x_{1} + x_{2}(3x_{1}^{2} + 1)$

Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ , biết rằng parabol $y = x^{2}$ và đường thẳng có một hoành độ giao điểm là $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ . Giả sử $x_{1};x_{2}$ là các hoành độ giao điểm của hai hàm số trên. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} - \frac{2025}{x_{1} + x_{2} - 2}$ .

Đáp án chi tiết bài tập tự rèn luyện

Bài 1.

Phương trình $x^{2} - 4\sqrt{3}x + 8 = 0$

$\Delta' = (2\sqrt{3})^{2} - 8 = 4 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $x_{1} + x_{2} = 4\sqrt{3}$ và $x_{1}x_{2} = 8$

Ta có: $Q = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$

$Q = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( {x_{1}}^{2} - x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2} \right)$

$Q = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( {x_{1}}^{2} + 2x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2} - 3x_{1}x_{2} \right)$

$Q = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2} \right\rbrack$

$Q = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$

Thay $x_{1} + x_{2} = 4\sqrt{3}$ và $x_{1}x_{2} = 8$ vào ta được:

$Q = \left( 4\sqrt{3} \right)^{3} - 3.8.4\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$

Bài 2.

Theo định lí Viète, ta có: $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = \frac{5}{4};$ $P = x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 3}{4}.$

Ta có: $F = \left( x_{1} + 1 \right)\left( x_{2} + 1 \right) - \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}$

$F = x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 - x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} - x_{2}^{2}$

$F = x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 - x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} - x_{2}^{2} + 4x_{1}x_{2}$

$F = 5x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 - \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2}$

$F = 5.\frac{- 3}{4} + \frac{5}{4} + 1 - \left( \frac{5}{4} \right)^{2} = \frac{- 49}{16}.$

Bài 3.

Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2}$

Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- 5}{3} \\ x_{1}x_{2} = - 2 \end{matrix} \right.$

Theo đề bài ta có :

$\frac{2{x_{2}}^{2}}{x_{1} + x_{2}} +2x_{1} = \frac{2{x_{2}}^{2} + 2{x_{1}}^{2} + 2x_{1}x_{2}}{x_{1} + x_{2}}$ $= \frac{2\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}\right\rbrack + 2x_{1}x_{2}}{x_{1} + x_{2}} = \ \ \frac{-86}{15}$

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.
----------------------------------------------------------------

Bài toán tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai là một mắt xích quan trọng trong quá trình ôn thi vào lớp 10, bởi nó vừa củng cố kiến thức về phương trình bậc hai, vừa rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số. Khi làm quen và luyện tập nhiều dạng bài, bạn sẽ:

Hiểu sâu mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số phương trình thông qua định lý Vi-ét.
Thành thạo các kỹ thuật rút gọn và biến đổi biểu thức chứa nghiệm.
Rút ngắn thời gian giải bằng cách áp dụng các công thức và mẹo tính nhanh.
Tự tin giải quyết những bài tập từ cơ bản đến nâng cao trong đề thi tuyển sinh.

Để đạt kết quả cao, bạn nên luyện tập xen kẽ giữa lý thuyết và bài tập thực hành, đồng thời phân tích kỹ từng bước giải để rèn khả năng tư duy logic. Khi đã nắm chắc dạng toán này, bạn không chỉ tăng tốc độ làm bài mà còn nâng cao khả năng xử lý các dạng toán khác có liên quan. Đây chính là nền tảng vững chắc giúp bạn bứt phá điểm số trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: