Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

8 7.196

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tính giá trị của biểu thức
II. Bài tập ví dụ về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Tính giá trị biểu thức lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tính giá trị của biểu thức

1. Định lý Vi ét

+ Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2. Một số biểu thức hay gặp:

+ Ta biến đổi các biểu thức để làm xuất hiện ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$

+ $x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_1} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

+ $x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$

+ $x_1^3 - x_2^3 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right]$

+ $x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình 3x^2 + 6x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x1^3 + x2^3

Lời giải:

Phương trình $3{x^2} + 6x - 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn Vi ét:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.$

Có $A = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]$

$A = \left( { - 2} \right).\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right] = \left( { - 2} \right)\left( {4 + 1} \right) = - 10$

Bài 2: Cho phương trình ${x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình, hãy tính $Q = \frac{{6x_1^2 + 10{x_1}{x_2} + 6x_2^2}}{{5{x_1}x_2^3 + 5x_1^3{x_2}}}$

Lời giải:

Phương trình ${x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn Vi ét:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 4\sqrt 3 \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 8 \end{array} \right.$

Có

$Q = \frac{{6x_1^2 + 10{x_1}{x_2} + 6x_2^2}}{{5{x_1}x_2^3 + 5x_1^3{x_2}}} = \frac{{6\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2}}}{{5{x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}$

$\frac{{6{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{5{x_1}{x_2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}} = \frac{{6.{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.8}}{{5.8.\left[ {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.8} \right]}} = \frac{{6.48 - 2.8}}{{5.8.\left( {48 - 2.8} \right)}} = \frac{{17}}{{80}}$

Bài 3: Giả sử ${x_1};{x_2}$ là các nghiệm của phương trình ${x^2} + mx + 1 = 0$ . Tính giá trị của các biểu thức:

$A = x_1^2 + x_2^2$ ; $B = x_1^3 + x_2^3$ ; $C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$ ; $D = \frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}}$

Lời giải:

Có ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + mx + 1 = 0$ . Khi đó theo định lý Vi ét có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - m\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 1 \end{array} \right.$

$A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( { - m} \right)^2} - 2 = {m^2} - 2$

$\begin{array}{l} B = x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = \left( { - m} \right).\left( {{m^2} - 3} \right) = 3m - {m^3} \end{array}$

$C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - m}}{1} = - m$

$D = \frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}} = \frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{{{\left( {{x_1}.{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x_1^2} \right)}^2} + {{\left( {x_2^2} \right)}^2} + 2x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}$

$\frac{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}$

$= \frac{{{{\left( {{m^2} - 2} \right)}^2} - 2}}{1} = {m^4} - 4m + 2$

III. Bài tập tự luyện về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1: Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 3=0$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a, $A = x_1^2 + x_2^2$

b, $B = x_1^3 + x_2^3$

c, $C = \frac{1}{{x_1^4}} + \frac{1}{{x_2^4}}$

d, $D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ (gợi ý: tính ${D^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}$ )

e, $E = {x_1} + \frac{1}{{{x_1}}} + {x_2} + \frac{1}{{{x_2}}}$

f, $F = \frac{1}{{{x_1} + 3}} + \frac{1}{{{x_2} + 3}}$

Bài 2: Cho phương trình $- 3{x^2} + x + 1 = 0$ . Với ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình, không giải phương trình, hãy tính:

a, $A = x_1^2 + \frac{2}{{{x_1}}} + x_2^2 + \frac{2}{{{x_2}}}$

b, $B = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 3}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 3}}$

c, $C = \frac{{2{x_1} - 5}}{{{x_1}}} + \frac{{2{x_2} - 5}}{{{x_2}}}$

d, $D = \frac{{{x_1} - 1}}{{x_1^4}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{x_2^4}}$

Bài 3: Cho phương trình $2{x^2} - 4x - 1 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: $A = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}$

Bài 4: Giả sử ${x_1};{x_2}$ là các nghiệm của các phương trình dưới đây. Tính giá trị của các biểu thức:

$A = x_1^2 + x_2^2$ ; $B = x_1^3 + x_2^3$ ; $C = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$ ; $D = \frac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \frac{{x_2^2}}{{x_1^2}}$

a, ${x^2} + 6x + m = 0$

b, ${x^2} - \left( {m - 3} \right)x + 2m + 1 = 0$

-----------------

Ngoài chuyên đề tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!