VnDoc.com

19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp bất đẳng thức Toán THCS

Nhóm Toán Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

19 PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN THCS -

Toán lớp 9

PHẦN 1: CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý

1/Định nghĩa

0

A B A B

   





   



2/Tính chất

+ A>B

AB 

+ A>B và B >C

CA 

+ A>B



A+C >B + C

+ A>B và C > D



A+C > B + D

+ A>B và C > 0



A.C > B.C

+ A>B và C < 0



A.C < B.C

+ 0 < A < B và 0 < C <D



0 < A.C < B.D

+ A > B > 0



A

n

> B

n

n

+ A > B



A

n

> B

n

với n lẻ

+

A

>

B



A

n

> B

n

với n chẵn

+ m > n > 0 và A > 1



A

m

> A

n

+ m > n > 0 và 0 <A < 1



A

m

< A

n

+A < B và A.B > 0



BA

11



3/Một số hằng bất đẳng thức

+ A

2



0 với



A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A

n



0 với



A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+

0A

với

A

(dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ -

A

< A =

A

Nhóm Toán Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

+

A B A B  

( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+

BABA 

( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0

Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M

2



0 với



M

Ví dụ 1



x, y, z chứng minh rằng :

a) x

2

+ y

2

+ z

2



xy+ yz + zx

b) x

2

+ y

2

+ z

2



2xy – 2xz + 2yz

c) x

2

+ y

2

+ z

2

+3



2 (x + y + z)

Giải:

a) Ta xét hiệu : x

2

+ y

2

+ z

2

- xy – yz – zx =

2

1

.2 .( x

2

+ y

2

+ z

2

- xy – yz – zx)

=

2

1

 

0)()()(

222

 zyzxyx

đúng với mọi x;y;z

R

Vì (x-y)

2



0 với



x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)

2



0 với



x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)

2



0 với



z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x

2

+ y

2

+ z

2



xy+ yz + zx.

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu: x

2

+ y

2

+ z

2

- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x

2

+ y

2

+ z

2

- 2xy +2xz –2yz

= ( x – y + z)

2

0

đúng với mọi x;y;z

R

Vậy x

2

+ y

2

+ z

2



2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z

R

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu: x

2

+ y

2

+ z

2

+3 – 2( x+ y +z ) = x

2

- 2x + 1 + y

2

-2y +1 + z

2

-2z +1

= (x-1)

2

+ (y-1)

2

+(z-1)

2



0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

Nhóm Toán Học Sơ Đồ /Tài Liệu Toán THCS Word /Chất -Đẹp -Tiện Toán THCS

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a)

2

22

















 baba

; b)

2

222

33

















 cbacba

c) Hãy tổng quát bài toán

Giải:

a) Ta xét hiệu

2

22

















 baba

=

 

4

2

4

2

2222

bababa 





=

 

abbaba 222

4

1

2222



=

 

0

4

1

2

 ba

Vậy

2

22

















 baba

. Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu

2

222

33

















 cbacba

=

     

 

0

9

1

222

 accbba

.Vậy

2

222

33

















 cbacba

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

c)Tổng quát

2

21

22

2

1

........



















n

aaa

n

aaa

nn

Tóm lại các bước để chứng minh A



B theo định nghĩa

Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B

Bước 2:Biến đổi H=(C+D)

2

hoặc H=(C+D)

2

+….+(E+F)

2

Bước 3:Kết luận A



B

Ví dụ 1: Chứng minh



m,n,p,q ta đều có : m

2

+ n

2

+ p

2

+ q

2

+1



m(n+p+q+1)

Giải:

01

4444

2

























































 m

m

qmq

m

pmp

m

nmn

m

01

2222



























































m

q

m

p

m

n

m

(luôn đúng)

Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Tài liệu khá hay gồm lý thuyết kèm theo ví dụ giúp các bạn học sinh nắm chắc kiến thức Toán THCS, vận dụng tốt làm bài tập trên lớp. Sau đây là tài liệu mời các bạn tham khảo

19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và ví dụ minh họa giúp các bạn học tốt môn Toán THCS. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

............................................

Ngoài 19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2024 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt