Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chuyên đề Toán học lớp 9: Tỉ số lượng giác của góc nhọn được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.

Hay sinα = AB/BC; cosα = AC/BC; tanα = AB/AC; cotα = AC/AB.

Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0; cotα > 0

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Với hai góc α, β mà α + β = 90°,

Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.

Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.

3. Một số góc đặc biệt

Với một số góc đặc biệt ta có:

\sin {30^0} = \cos {60^0} = \frac{1}{2};\sin {45^0} = \cos {45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}sin300=cos600=12;sin450=cos450=22

\cos {30^0} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\cot {60^0} = \tan {30^0} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}cos300=sin600=32;cot600=tan300=13

\tan {45^0} = \cot {45^0} = 1;\cot {30^0} = \tan {60^0} = \sqrt 3tan450=cot450=1;cot300=tan600=3

4. Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án 

Bài 1: Biết \sin \alpha  = \frac{5}{{13}}sinα=513. Tính cosα, tanα và cotα.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cách 1. Xét tam giác ABC vuông tại A.

Đặt \widehat{B} = \alphaB^=α . Ta có: \sin\alpha = \frac{AC}{BC} =
\frac{5}{13}sinα=ACBC=513

=> \frac{AC}{5} = \frac{BC}{13} =
kAC5=BC13=k

=> AC = k, BC = 13k=>AC=k,BC=13k.

Tam giác ABC vuông tại A nên:

AB^{2} = BC^{2} - AC^{2} = (13k)^{2} -
(5k)^{2} = 144k^{2}AB2=BC2AC2=(13k)2(5k)2=144k2

=> AB = 12k=>AB=12k

Vậy \cos\alpha = \frac{AB}{BC} =
\frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}cosα=ABBC=12k13k=1213 ; \tan\alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{5k}{12k} =
\frac{5}{12};tanα=ACAB=5k12k=512;\cot\alpha = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{5k} =
\frac{12}{5}cotα=ABAC=12k5k=125

Cách 2. Ta có \sin\alpha =
\frac{5}{13}sinα=513 => \sin^{2}\alpha =
\frac{25}{169}sin2α=25169

sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha =
1sin2α+cos2α=1

=> cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha =
1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}cos2α=1sin2α=125169=144169

=> \cos\alpha =
\frac{12}{13}cosα=1213

=> \tan\alpha =
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5}{13}:\frac{12}{13} =
\frac{5}{13}.\frac{13}{12} = \frac{5}{12}tanα=sinαcosα=513:1213=513.1312=512

=> \cot\alpha =
\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{12}{13}:\frac{5}{13} =
\frac{12}{13}.\frac{13}{5} = \frac{12}{5}cotα=cosαsinα=1213:513=1213.135=125 .

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính \cos\alpha,tan\alpha,cot\alphacosα,tanα,cotα . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết \sin\alpha = \frac{5}{13}sinα=513 để tính sin^{2}\alphasin2α rồi tính \cos\alphacosα từ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1sin2α+cos2α=1 . Sau đó ta tính \tan\alphatanα\cot\alphacotα qua \sin\alphasinα\cos\alphacosα .

Bài 2: Biết \sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{{12}}{{25}}sinα.cosα=1225. Tính sinα, cosα.

Hướng dẫn giải

Biết \sin\alpha.cos\alpha =
\frac{12}{25}sinα.cosα=1225. Để tính \sin\alpha,cos\alphasinα,cosα ta cần tính \sin\alpha + \cos\alphasinα+cosα rồi giải phương trình với ẩn là \sin\alphasinα hoặc \cos\alphacosα.

Ta có:

\left( \sin\alpha + \cos\alpha
\right)^{2} = sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha + 2\sin\alpha.cos\alpha(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinα.cosα= 1 +
2.\frac{12}{25} = \frac{49}{25}=1+2.1225=4925

=> \sin\alpha + \cos\alpha =
\frac{7}{5}sinα+cosα=75 nên \sin\alpha =
\frac{7}{5} - \cos\alphasinα=75cosα

=> \cos\alpha\left( \frac{7}{5} -
\cos\alpha \right) = \frac{12}{25} \Leftrightarrow \frac{7}{5}\cos\alpha
- cos^{2}\alpha = \frac{12}{25}cosα(75cosα)=122575cosαcos2α=1225

\begin{matrix}
   \Leftrightarrow 25{\cos ^2}\alpha  - 35\cos \alpha  + 12 = 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow 5\cos \alpha \left( {5\cos \alpha  - 4} \right) - 3\left( {5\cos \alpha  - 4} \right) = 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow \left( {5\cos \alpha  - 4} \right)\left( {5\cos \alpha  - 3} \right) = 0 \hfill \\ 
\end{matrix}25cos2α35cosα+12=05cosα(5cosα4)3(5cosα4)=0(5cosα4)(5cosα3)=0

=> \cos\alpha = \frac{4}{5}cosα=45 hoặc \cos\alpha = \frac{3}{5}cosα=35

+ Nếu \cos\alpha = \frac{4}{5}cosα=45 thì \sin\alpha = \frac{12}{25}:\frac{4}{5} =
\frac{3}{5}sinα=1225:45=35.

+ Nếu \cos\alpha = \frac{3}{5}cosα=35 thì \sin\alpha = \frac{12}{25}:\frac{3}{5} =
\frac{4}{5}sinα=1225:35=45.

Vậy \sin\alpha = \frac{3}{5}sinα=35, \cos\alpha = \frac{4}{5}cosα=45 hoặc \sin\alpha = \frac{4}{5},cos\alpha =
\frac{3}{5}sinα=45,cosα=35.

Bài tập 3. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tạiH. Biết HD : HA = 1 : 2. Chứng minh rằng tanB . tan C = 3

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta có: \tan B = \frac{AD}{BD};tanC =
\frac{AD}{CD}tanB=ADBD;tanC=ADCD.

=> \tan B.tanC =
\frac{AD^{2}}{BD.CD}tanB.tanC=AD2BD.CD (1)

\widehat{HBD} = \widehat{CAD}HBD^=CAD^ (cùng phụ với \widehat{ACB}ACB^)

\widehat{HDB} = \widehat{ADC} =
90^{0}HDB^=ADC^=900

=> \Delta BDH\sim\Delta ADCΔBDHΔADC (g.g)

=> \frac{DH}{DC} =
\frac{BD}{AD}DHDC=BDAD

=> BD . DC = DH . AD (2).

Từ (1) và (2)

=> \tan B.tanC = \frac{AD^{2}}{DH.AD}
= \frac{AD}{DH}tanB.tanC=AD2DH.AD=ADDH (3).

Theo giả thiết \frac{HD}{AH} =
\frac{1}{2}HDAH=12 suy ra \frac{HD}{AH +
HD} = \frac{1}{2 + 1}HDAH+HD=12+1 hay \frac{HD}{AD} = \frac{1}{3}HDAD=13

=> AD = 2HD. Thay vào (3) ta được: \tan B.tanC = \frac{3HD}{DH} = 3tanB.tanC=3HDDH=3.

Bài 4. Cho tam giác ABCABC\widehat{B} = 60^{0};\widehat{C} = 45^{0}B^=600;C^=450AB = 10cmAB=10cm. Chu vi tam giác ABCABC gần nhất với giá trị nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường cao AH.

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

\sin B = \frac{AH}{AB} \Leftrightarrow
sin60^{0} = \frac{AH}{10}sinB=AHABsin600=AH10

\Rightarrow AH = 10.sin60^{0} =
5\sqrt{3}(cm)AH=10.sin600=53(cm)

\cos B = \frac{BH}{AB} \Leftrightarrow
cos60^{0} = \frac{BH}{10}cosB=BHABcos600=BH10

\Rightarrow BH = 10.cos60^{0} =
5(cm)BH=10.cos600=5(cm)

Xét tam giác ACH vuông tại H và \widehat{C} = 45^{0}C^=450 nên tam giác AHC vuông cân tại H

Suy ra AH = HC =
5\sqrt{3}(cm)AH=HC=53(cm)

AC = AH\sqrt{2} = 5\sqrt{3}.\sqrt{2} =
5\sqrt{6}(cm)AC=AH2=53.2=56(cm)

\Rightarrow BC = BH + HC = 5 +
5\sqrt{3}(cm)BC=BH+HC=5+53(cm)

Vậy chu vi tam giác ABC bằng AB + AC + BC
\approx 36(cm)AB+AC+BC36(cm)

--------------------------------------------------------------

Với bài Tỉ số lượng giác của góc nhọn trên đây các bạn học sinh cùng quý thầy cô cần nắm vững kiến thức về định nghĩa của góc nhọn, tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ....

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết môn Toán học 9: Tỉ số lượng giác của góc nhọn. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Chuyên đề Toán học 9, Giải bài tập Toán lớp 9VnDoc tổng hợp và giới thiệu tới các bạn đọc

Chia sẻ, đánh giá bài viết
4
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Chuyên đề Toán 9

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng