Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập

Chuyên đề trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập được VnDoc tổng hợp và đăng tải xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức là phần kiến thức các em được học trong chương trình Toán lớp 9. Đây là phần kiến thức vô cùng quan trọng liên quan đến nhiều dạng bài tập khác nhau. Để giúp các em nắm chắc hơn phần, VnDoc gửi tới các bạn lý thuyết và các dạng bài tập liên quan, mời các bạn tham khảo nhé.

Cách trục căn thức ở mẫu

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu

+) Khi đưa thừa số A^2A2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A||A|:

\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt BA2B=|A|B với B \geqslant 0B0

+) Khi đưa thừa số A không âm vào trong dấu căn bậc hai ta được A^2A2:

A\sqrt B  =  \sqrt {{A^2}B}AB=A2B với A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0A0;B0

Chú ý: A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B}AB=A2B với A < 0;\,\,\,B \geqslant 0A<0;B0.

+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Nhân tử và mẫu với thừa số phụ thích hợp để mẫu là một bình phương.

\sqrt {\frac{A}{B}}  = \sqrt {\frac{{A.B}}{{B.B}}}  = \frac{1}{{|B|}}.\sqrt {AB}AB=A.BB.B=1|B|.AB với AB \geqslant 0;\,\,B \ne 0AB0;B0

+) Trục căn thức ở mẫu:

\frac{A}{{\sqrt B }}AB với B > 0

Bài tập trục căn thức ở mẫu

Khử mẫu của các biểu thức sau:

a) a\sqrt {\frac{b}{a}}abab) x\sqrt {\frac{5}{x}}x5x

Lời giải:

a) Nếu a > 0 thì a\sqrt {\frac{b}{a}}  = \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}}  = \sqrt {ab}aba=ba.a2=ab

Nếu a < 0 thì a\sqrt {\frac{b}{a}}  =  - |a|\sqrt {\frac{b}{a}}  =  - \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}}  =  - \sqrt {ab}aba=|a|ba=ba.a2=ab

b) Để căn thức có nghĩa, ta có x > 0

x\sqrt {\frac{5}{x}}  = \sqrt {\frac{5}{x}.{x^2}}  = \sqrt {5x}x5x=5x.x2=5x

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu của biểu thức

+) Với các biểu thức A,B (B>0)A,B(B>0), ta có: \frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}AB=ABB

+) Với các biểu thức A,B,C(A\geq 0, A\neq B^{2})A,B,C(A0,AB2), ta có:

\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^{2}}CA+B=C(AB)AB2

\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^{2}}CAB=C(A+B)AB2

+) Với các biểu thức A,B,C(A\geq 0,B\geq 0,A\neq B)A,B,C(A0,B0,AB), ta có:

\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}CA+B=C(AB)AB

\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}CAB=C(A+B)AB

Bài tập trục căn thức ở mẫu lớp 9

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}510=51010.10=51010=102

\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{2^{2}.5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{1\sqrt{5}}{6\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30}1320=1322.5=13.25=1565.5=56.5=530

\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+2)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}22+252=(22+2)252.2=2(2)2+225.2=4+2210=2+25

Bài 52 (trang 30 SGK toán 9 tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}1xy;2abab

  • \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}1xy=1(x+y)(xy)(x+y)=(x+y)xy

Do\ x\neq y\ nên \sqrt{x}\neq \sqrt{y}Do xy nênxy

  • \frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}2abab=2ab(a+b)(ab)(a+b)=2ab(a+b)ab

Do\ a\neq b\ nên\ \sqrt{a}\neq \sqrt{b}.Do ab nên ab.

Các bài toán trục căn thức nâng cao

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}532b) \frac{26}{5-2\sqrt{3}}26523

Lời giải:

a) \frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {10}  - \sqrt 6 }}{2}532=2(53)2=1062

b) \frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = 2\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right) = 10 + 4\sqrt 326523=26(5+23)(5+23)(523)=26(5+23)2512=2(5+23)=10+43

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu bậc 3

Công thức:

\frac{M}{\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{(\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{a\pm b}Ma3±b3=M(a23±ab3+b23)(a3±b3)(a23±ab3+b23)=M(a23±ab3+b23)a±b

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:\frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}}19363

Lời giải:

\begin{gathered}
  \frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{\left( {\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}} \right)}} \hfill \\
   = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{9 - 6}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{3} \hfill \\ 
\end{gathered}19363=923+9.63+623(9363)(923+9.63+623)=923+9.63+62396=923+9.63+6233

Bài tập tự luyện trục căn thức ở mẫu

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0:

a) 4\sqrt x  - 5\sqrt x  - \sqrt {25x}  - 3\sqrt x  - 54x5x25x3x5

b) \sqrt {16x}  - 5\left( {\sqrt x  - 2} \right) - \sqrt {49x}  - 516x5(x2)49x5

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a) \frac{2}{{x - 3}}\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{4{y^4}}}}2x3x26x+94y4 với x > 3 và y ≠ 0

b) \frac{2}{{2x - 1}}\sqrt {5{x^2}\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)}22x15x2(14x+4x2) với x > 0,5

Bài 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) \sqrt {\frac{1}{{540}}}1540b) \sqrt {\frac{{11}}{{600}}}11600c) \sqrt {\frac{5}{{50}}}550d) \sqrt {\frac{3}{{98}}}398

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \frac{5}{{2\sqrt 5 }}525b) \frac{{2\sqrt 2  + 2}}{{5\sqrt 2 }}22+252c) \frac{3}{{\sqrt {10}  + \sqrt 7 }}310+7

Bài 5: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \frac{{5\sqrt 3  - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3  + 3\sqrt 5 }}533553+35

b) \frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }}1a1+a với a ≥ 0

Bài 6: Cho biểu thức \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}x+1x3 (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 7:

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: \frac{4}{{\sqrt 3 }}43\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}}551

b) Rút gọn: B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right)B=(1+a+aa+1)(1aaa1) (với a > 0 và a ≠ 1)

Bài 8: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. \frac{{1 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}1+x2x với x > 0;x \ne 4x>0;x4

b. \frac{{x - y}}{{\sqrt x  - \sqrt y }}xyxy

c. \frac{{x + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x  - \sqrt y }}x+xyxy với x > 0; y > 0

d. \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}x2x24x+4 với x ≠ 2

Bài 9: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a. \sqrt[3]{{6\sqrt 3  + 10}} + \sqrt[3]{{6\sqrt 3  - 10}}63+103+63103

b. \sqrt[3]{{45 + 29\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}45+2923+452923

c. \frac{1}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}}1x3+y3+z3

Bài 10: Thực hiện phép tính:

a. \frac{1}{{3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}13+2+132

b. \frac{2}{{3\sqrt 2  - 4}} - \frac{2}{{3\sqrt 2  + 4}}2324232+4

e. \frac{1}{{2 - \sqrt 3  + \sqrt 5 }}123+5

f. \frac{a}{{2\sqrt a  - 3\sqrt b }}a2a3b

c. \frac{1}{{1 + \sqrt 2  + \sqrt 3 }}11+2+3

d. \frac{1}{{2 - \sqrt 3  + \sqrt 5 }}123+5

....................................

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo các Đề thi học kì 1 lớp 9, Đề thi học kì 2 lớp 9 mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
65
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Toán 9

    Xem thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
    Mã QR Code
    Đóng