Trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập

Chuyên đề trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập được VnDoc tổng hợp và đăng tải. Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai và trục căn thức ở mẫu của biểu thức là dạng toán quen thuộc trong chương trình toán học lớp 9. Nội dung bài viết dưới đây là tổng hợp kiến thức lý thuyết, bài tập ví dụ cũng như cách giải các dạng toán về chủ đề trục căn thức tại mẫu của biểu thức, dưới đây là nội dung chi tiết các em tham khảo nhé

Cách trục căn thức ở mẫu

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu

+) Khi đưa thừa số A^2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|:

\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B với B \geqslant 0

+) Khi đưa thừa số A không âm vào trong dấu căn bậc hai ta được A^2:

A\sqrt B  =  \sqrt {{A^2}B} với A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0

Chú ý: A\sqrt B  =  - \sqrt {{A^2}B} với A < 0;\,\,\,B \geqslant 0.

+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Nhân tử và mẫu với thừa số phụ thích hợp để mẫu là một bình phương.

\sqrt {\frac{A}{B}}  = \sqrt {\frac{{A.B}}{{B.B}}}  = \frac{1}{{|B|}}.\sqrt {AB} với AB \geqslant 0;\,\,B \ne 0

+) Trục căn thức ở mẫu:

\frac{A}{{\sqrt B }} với B > 0

Bài tập trục căn thức ở mẫu

Khử mẫu của các biểu thức sau:

a) a\sqrt {\frac{b}{a}}b) x\sqrt {\frac{5}{x}}

Lời giải:

a) Nếu a > 0 thì a\sqrt {\frac{b}{a}}  = \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}}  = \sqrt {ab}

Nếu a < 0  thì a\sqrt {\frac{b}{a}}  =  - |a|\sqrt {\frac{b}{a}}  =  - \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}}  =  - \sqrt {ab}

b) Để căn thức có nghĩa, ta có x > 0

x\sqrt {\frac{5}{x}}  = \sqrt {\frac{5}{x}.{x^2}}  = \sqrt {5x}

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu của biểu thức

+)  Với các biểu thức A,B (B>0), ta có: \frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}

+)  Với các biểu thức A,B,C(A\geq 0, A\neq B^{2}), ta có:

\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^{2}}

\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^{2}}

+) Với các biểu thức A,B,C(A\geq 0,B\geq 0,A\neq B), ta có:

\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}

\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}

Bài tập trục căn thức ở mẫu lớp 9

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}

\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{2^{2}.5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{1\sqrt{5}}{6\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30}

\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+2)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}

Bài 52 (trang 30 SGK toán 9 tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}

  • \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}

Do\ x\neq y\ nên \sqrt{x}\neq \sqrt{y}

  • \frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}

Do\ a\neq b\ nên\ \sqrt{a}\neq \sqrt{b}.

Các bài toán trục căn thức nâng cao

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}b) \frac{26}{5-2\sqrt{3}}

Lời giải:

a) \frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {10}  - \sqrt 6 }}{2}

b) \frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = 2\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right) = 10 + 4\sqrt 3

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu bậc 3

Công thức:

\frac{M}{\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{(\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{a\pm b}

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:\frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}}

Lời giải:

\begin{gathered}
  \frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{\left( {\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}} \right)}} \hfill \\
   = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{9 - 6}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{3} \hfill \\ 
\end{gathered}

Bài tập tự luyện trục căn thức ở mẫu

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0:

a) 4\sqrt x  - 5\sqrt x  - \sqrt {25x}  - 3\sqrt x  - 5

b) \sqrt {16x}  - 5\left( {\sqrt x  - 2} \right) - \sqrt {49x}  - 5

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a) \frac{2}{{x - 3}}\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{4{y^4}}}} với x > 3 và y ≠ 0

b) \frac{2}{{2x - 1}}\sqrt {5{x^2}\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)} với x > 0,5

Bài 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) \sqrt {\frac{1}{{540}}}b) \sqrt {\frac{{11}}{{600}}}c) \sqrt {\frac{5}{{50}}}d) \sqrt {\frac{3}{{98}}}

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \frac{5}{{2\sqrt 5 }}b) \frac{{2\sqrt 2  + 2}}{{5\sqrt 2 }}c) \frac{3}{{\sqrt {10}  + \sqrt 7 }}

Bài 5: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \frac{{5\sqrt 3  - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3  + 3\sqrt 5 }}

b) \frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} với a ≥ 0

Bài 6: Cho biểu thức \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 7:

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: \frac{4}{{\sqrt 3 }}\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}}

b) Rút gọn: B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right)(với a > 0 và a ≠ 1)

Chuyên đề trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập đã được VnDoc chia sẻ trên đây. Hy vọng với tài liệu này giúp các em nắm chắc lý thuyết từ đó vận dụng tốt để giải các bài tập về trục căn thức bậc hai. Chúc các em học tốt, để học tốt môn Toán các em cùng tham khảo các tài liệu liên quan dưới đây nhé

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

....................................

Ngoài Chuyên đề trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 1, đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán hay các chuyên đề luyện thi vào lớp 10 như Rút gọn biểu thức, Hàm số đồ thị, Phương trình - Hệ Phương trình, Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, Hình học,... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
20 73.633
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 9 Xem thêm