Trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập

Chuyên đề trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập được VnDoc tổng hợp và đăng tải xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức là phần kiến thức các em được học trong chương trình Toán lớp 9. Đây là phần kiến thức vô cùng quan trọng liên quan đến nhiều dạng bài tập khác nhau. Để giúp các em nắm chắc hơn phần, VnDoc gửi tới các bạn lý thuyết và các dạng bài tập liên quan, mời các bạn tham khảo nhé. 

Cách trục căn thức ở mẫu

A. Trục căn thức

Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn

+) Khi đưa thừa số \(A^2\) ra ngoài dấu căn bậc hai ta được \(|A|\):

Đưa biểu thức vào trong dấu căn

+) Khi đưa thừa số A không âm vào trong dấu căn bậc hai ta được \(A^2\):

+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Nhân tử và mẫu với thừa số phụ thích hợp để mẫu là một bình phương.

+) Trục căn thức ở mẫu:

Bài tập trục căn thức 

Ví dụ: Khử mẫu của các biểu thức sau:

a) \(a\sqrt {\frac{b}{a}}\)

b) \(x\sqrt {\frac{5}{x}}\)

Hướng dẫn giải

a) Nếu a > 0 thì \(a\sqrt {\frac{b}{a}} = \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}} = \sqrt {ab}\)

Nếu a < 0 thì \(a\sqrt {\frac{b}{a}} = - |a|\sqrt {\frac{b}{a}} = - \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}} = - \sqrt {ab}\)

b) Để căn thức có nghĩa, ta có x > 0

\(x\sqrt {\frac{5}{x}} = \sqrt {\frac{5}{x}.{x^2}} = \sqrt {5x}\)

Ví dụ: Trục các căn thức sau:

a. \(\sqrt{\frac{11}{12}}\)	b. \(\sqrt{\frac{\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^{2}}{5}}\)
c. \(\sqrt{\frac{5x^{2}}{64y}}\) với x ≥ 0; y > 0	d. \(- xy\sqrt{\frac{y}{x}}\) với x > 0, y ≥ 0

Hướng dẫn giải

a. Thực hiện phép toán như sau:

\(\sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{11}.\sqrt{12}}{\sqrt{12}.\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{11.12}}{{\sqrt{12}}^{2}} = \frac{\sqrt{132}}{12}\)

b. Thực hiện phép toán như sau:

\(\sqrt{\frac{\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^{2}}{5}} = \frac{\sqrt{\left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^{2}}}{\sqrt{5}}\)

\(= \frac{\left| \sqrt{3} - \sqrt{2} \right|}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)

c. Thực hiện phép toán như sau:

\(\sqrt{\frac{5x^{2}}{64y}} = \sqrt{\frac{5x^{2}}{8^{2}y}}\)

\(= \frac{\sqrt{5}.\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{8^{2}}.\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{5}.|x|}{|8|.\sqrt{y}}\)

Do x ≥ 0 \(\Rightarrow \frac{\sqrt{5}.|x|}{|8|.\sqrt{y}} = \frac{x\sqrt{5}}{8\sqrt{y}}\)

d. Thực hiện phép toán như sau:

\(- xy\sqrt{\frac{y}{x}} = - xy\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = - xy.\frac{\sqrt{y}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}.\sqrt{x}}\)

\(= - xy.\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^{2}}} = - xy.\frac{\sqrt{xy}}{|x|} = - y\sqrt{xy}\)

B. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

Cách trục căn thức ở mẫu của biểu thức

Ví dụ: Trục các căn thức sau:

a. \(\frac{2 - \sqrt{3}}{3\sqrt{6}}\)	b. \(\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}}\)
c. \(\frac{4 - \sqrt{3}}{5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}\)	d. \(\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có: \(\frac{2 - \sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = \frac{\left( 2 - \sqrt{3} \right)\sqrt{6}}{3\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{18}}{3.\sqrt{6^{2}}} = \frac{2\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{18}\)

b. Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \frac{1.\left( \sqrt{5} - \sqrt{4} \right)}{\left( \sqrt{4} + \sqrt{5} \right)\left( \sqrt{5} - \sqrt{4} \right)} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{{\sqrt{5}}^{2} - {\sqrt{4}}^{2}}\)

\(= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{5 - 4} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{1} = \sqrt{5} - \sqrt{4}\)

c. Ta có: \(\frac{4 - \sqrt{3}}{5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}\)

\(= \frac{\left( 4 - \sqrt{3} \right)\left( 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \right)}{\left( 5\sqrt{2} - 2\sqrt{5} \right)\left( 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \right)}\)

\(= \frac{\left( 4 - \sqrt{3} \right)\left( 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \right)}{\left( 5\sqrt{2} \right)^{2} - \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}}\)

\(\begin{matrix} = \dfrac{\left( 4 - \sqrt{3} \right)\left( 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \right)}{50 - 20} \\ = \dfrac{\left( 4 - \sqrt{3} \right)\left( 5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} \right)}{30} \\ \end{matrix}\)

d. Điều kiện xác định: \(x \geq 0;y \geq 0;\sqrt{x} + \sqrt{y} > 0\)

Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

\(\frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\left( \sqrt{x} \right)^{2} - \left( \sqrt{y} \right)^{2}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\)

\(= \frac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}\)

Bài tập trục căn thức ở mẫu lớp 9

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\(\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{2^{2}.5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{1\sqrt{5}}{6\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30}\)

\(\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+2)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\)

Bài 52 (trang 30 SGK toán 9 tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

• \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}\)

\(Do\ x\neq y\ nên \sqrt{x}\neq \sqrt{y}\)

• \(\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}\)

\(Do\ a\neq b\ nên\ \sqrt{a}\neq \sqrt{b}.\)

C. Các bài toán trục căn thức nâng cao

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

b) \(\frac{26}{5-2\sqrt{3}}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:\(\frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{2}\)

b) Ta có:

\(\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}}\)

\(= \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}}\)\(= 2\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right) = 10 + 4\sqrt 3\)

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}\) với \(- 2 \leq x \leq 0\)

b) \(|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}\) với \(x < 2\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}}\) với \(- 2 \leq x \leq 0\)

Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

\(\sqrt{x^{2} + 4x + 4} - \sqrt{x^{2}} = \sqrt{(x + 2)^{2}} - |x|\)

\(= |x + 2| - |x| = x + 2 - x = 2\)

b) \(|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}\) với \(x < 2\)

Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

\(|x - 2| + \frac{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}{x - 2}\)

\(= - (x - 2) + \frac{\sqrt{(x - 2)^{2}}}{x - 2}\)

\(= 2 - x + \frac{|x - 2|}{x - 2} = 2 - x + \frac{2 - x}{x - 2} = 2 - x - 1 = 1 - x\)

D. Cách trục căn thức ở mẫu bậc 3

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:\(\frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{\left( {\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}} \right)}} \hfill \\ \end{gathered}\)

\(= \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{9 - 6}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{3}\)

Ví dụ: Trục căn thức bậc ba: \(\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} - \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}\)

Hướng dẫn giải

Thực hiện trục căn thức bậc ba theo các bước như sau:

\(\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} - \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}\)

\(= \sqrt[3]{3\sqrt{3} + 18 + 12\sqrt{3} + 8} - \sqrt[3]{8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3}}\)

\(= \sqrt[3]{\sqrt{3^{3}} + 3.3.2 + 3.4\sqrt{3} + 2^{3}} - \sqrt[3]{2^{3} - 2.4\sqrt{3} + 3.3.2 - \sqrt{3^{3}}}\)

\(= \sqrt[3]{\left( \sqrt{3} + 2 \right)^{3}} - \sqrt[3]{\left( 2 - \sqrt{3} \right)^{3}}\)

\(= \sqrt{3} + 2 - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)

E. Bài tập tự luyện trục căn thức ở mẫu

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0:

a) \(4\sqrt x - 5\sqrt x - \sqrt {25x} - 3\sqrt x - 5\)

b) \(\sqrt {16x} - 5\left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt {49x} - 5\)

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a) \(\frac{2}{{x - 3}}\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{4{y^4}}}}\) với x > 3 và y ≠ 0

b) \(\frac{2}{{2x - 1}}\sqrt {5{x^2}\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)}\) với x > 0,5

Bài 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) \(\sqrt {\frac{1}{{540}}}\)

b) \(\sqrt {\frac{{11}}{{600}}}\)

c) \(\sqrt {\frac{5}{{50}}}\)

d) \(\sqrt {\frac{3}{{98}}}\)

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \(\frac{5}{{2\sqrt 5 }}\)

b) \(\frac{{2\sqrt 2 + 2}}{{5\sqrt 2 }}\)

c) \(\frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }}\)

Bài 5: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \(\frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}\)

b) \(\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }}\) với a ≥ 0

Bài 6: Cho biểu thức \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\) (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 7:

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: \(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\) và \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}\)

b) Rút gọn: \(B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)\) (với a > 0 và a ≠ 1)

Bài 8: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. \(\frac{{1 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}\) với \(x > 0;x \ne 4\)	b. \(\frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }}\)
c. \(\frac{{x + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }}\) với x > 0; y > 0	d. \(\frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\) với x ≠ 2

Bài 9: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a. \(\sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}} + \sqrt[3]{{6\sqrt 3 - 10}}\)	b. \(\sqrt[3]{{45 + 29\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}\)
c. \(\frac{1}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}}\)

Bài 10: Thực hiện phép tính:

a. \(\frac{1}{{3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}\)	b. \(\frac{2}{{3\sqrt 2 - 4}} - \frac{2}{{3\sqrt 2 + 4}}\)
e. \(\frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}\)	f. \(\frac{a}{{2\sqrt a - 3\sqrt b }}\)
c. \(\frac{1}{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 }}\)	d. \(\frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}\)

....................................

Ngoài tài liệu trên, mời các bạn tham khảo các Đề thi học kì 1 lớp 9, Đề thi học kì 2 lớp 9 mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!