VnDoc.com

Chuyên đề Toán lớp 9: Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức

A. LÝ THUYẾT BẤT ĐẲNG THỨC
- 1. Bất đẳng thức Cauchy
- 2. Các bổ đề bất đẳng thức
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM MIN-MAX
C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
- Đáp án bài tập tự luyện

Trong Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán, hai dạng bài Toán tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất (Min Max) và phương trình chứa căn thức luôn nằm trong nhóm kiến thức trọng tâm. Đây là những dạng bài đòi hỏi học sinh không chỉ nắm chắc công thức, định lý liên quan mà còn cần sự linh hoạt, sáng tạo trong tư duy để đưa ra lời giải nhanh và chính xác.

Việc thành thạo phương pháp giải sẽ giúp bạn tự tin xử lý các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời rèn luyện khả năng phân tích và biến đổi biểu thức một cách khoa học. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ, phương pháp giải chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa sát với đề thi thực tế, giúp bạn chinh phục điểm số tối đa.

A. LÝ THUYẾT BẤT ĐẲNG THỨC

1. Bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cô-si cho hai số $a,b$ không âm, ta có:

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ $a + b \geq 2\sqrt{ab}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Chú ý: Với hai số $a,b$ bất kì ta luôn có:

$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$ $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$.

Bất đẳng thức Cô-si cho ba số $a,b,c$ không âm, ta có :

$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ $\Leftrightarrow a = b = c$.

Chú ý: Đây là bất đẳng thức nằm ngoài chương trình SGK hiện hành nếu muốn áp dụng học sinh cần chứng minh trước khi sử dụng như một bổ đề.

2. Các bổ đề bất đẳng thức

Bổ đề 1. Với mọi số thực $a,b$ ta luôn có:

$(a + b)^{2} \geq 4ab$ $(a + b)^{2} \geq 4ab$

$a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2}$ $a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Bổ đề 2. Với mọi số thực $a,b,c$ ta luôn có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{3} \geq ab + bc + ca$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{3} \geq ab + bc + ca$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ $\Leftrightarrow a = b = c$

Bổ đề 3. Với mọi số thực dương $a,b$ ta luôn có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Bổ đề 4. Với mọi số thực không âm $a,b$ ta luôn có:

$\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a + b)}$ $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a + b)}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Bổ đề 5. Với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{a + b + c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3(a + b + c)}$ $\sqrt{a + b + c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3(a + b + c)}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ $\Leftrightarrow a = b = c$

Chú ý: với mỗi bất đẳng thức trên, ta cần nhớ và vận dụng linh hoạt cả 2 chiều xuôi và chiều ngược của nó.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM MIN-MAX

DẠNG I: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy

Phương pháp: Dự đoán trước dấu bằng (hay điểm rơi) của bài toán từ đó điều chỉnh hệ số để đảm bảo việc dấu bằng luôn xảy ra.

Ví dụ 1: Cho các số $x \geq 2$ $x \geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: $A = x + \frac{1}{x}$ $A = x + \frac{1}{x}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $A = x + \frac{1}{x} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x} + \frac{3x}{4}$ $A = x + \frac{1}{x} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x} + \frac{3x}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{x}{4};\ \ \frac{1}{x}$ $\frac{x}{4};\ \ \frac{1}{x}$ ta có

$\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 1$ $\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 1$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \ \frac{x}{4} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 2$ $\Leftrightarrow \ \frac{x}{4} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 2$

Với $x = 2 \Rightarrow \frac{3x}{4} = \frac{3}{2}$ $x = 2 \Rightarrow \frac{3x}{4} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow A \geq \frac{5}{2}$ $\Rightarrow A \geq \frac{5}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng $\frac{5}{2}$ $\frac{5}{2}$ khi $x = 2$.

Ví dụ 2: Cho các số $x,y > 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

$a)\ \ \ A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$ $a)\ \ \ A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$ $b)\ \ B = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^{2} + xy + y^{2}}$ $b)\ \ B = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^{2} + xy + y^{2}}$

$c)\ \ C = \frac{(x - y)^{2}}{xy} + \frac{6xy}{(x + y)^{2}}$ $c)\ \ C = \frac{(x - y)^{2}}{xy} + \frac{6xy}{(x + y)^{2}}$ $d)\ \ D = \frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + x + y} + \frac{xy + x + y}{(x + y + 1)^{2}}$ $d)\ \ D = \frac{(x + y + 1)^{2}}{xy + x + y} + \frac{xy + x + y}{(x + y + 1)^{2}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\ A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$ $\ A = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$

Đặt $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} \geq 2$ $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} \geq 2$ (BĐT Cô-si)

$A = t + \frac{1}{t}\ \ \ (t \geq 2)$ $A = t + \frac{1}{t}\ \ \ (t \geq 2)$

Dự đoán $A_{\min}$ $A_{\min}$ đạt được tại $t = 2$ .

Ta có $A = nt + \frac{1}{t} + t - nt$ $A = nt + \frac{1}{t} + t - nt$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} nt = \frac{1}{t} \\ t = 2 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} nt = \frac{1}{t} \\ t = 2 \end{matrix} \right.$

Do đó ta có $A = \frac{3t}{4} + \left( \frac{t}{4} + \frac{1}{t} \right)$ $A = \frac{3t}{4} + \left( \frac{t}{4} + \frac{1}{t} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có :

$\frac{t}{4} + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}} = 1$ $\frac{t}{4} + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{\frac{t}{4}.\frac{1}{t}} = 1$

Dấu « = » xảy ra $\Leftrightarrow \frac{t}{4} = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t = 2(vi\ \ t \geq 2)$ $\Leftrightarrow \frac{t}{4} = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t = 2(vi\ \ t \geq 2)$

Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y+ z = 1. Chứng minh:

$a)\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3;$ $a)\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3;$ $b)\sqrt{x + 2y} + \sqrt{y + 2z} + \sqrt{z + 2x} \leq 3;$ $b)\sqrt{x + 2y} + \sqrt{y + 2z} + \sqrt{z + 2x} \leq 3;$

$c)\sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{yz} + \sqrt[3]{zx} \leq \sqrt[3]{3};$ $c)\sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{yz} + \sqrt[3]{zx} \leq \sqrt[3]{3};$ $d)\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} \leq \sqrt[3]{9};$ $d)\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z} \leq \sqrt[3]{9};$

$e)\sqrt[3]{x + y} + \sqrt[3]{y + z} + \sqrt[3]{z + x} \leq \sqrt[3]{18}.$ $e)\sqrt[3]{x + y} + \sqrt[3]{y + z} + \sqrt[3]{z + x} \leq \sqrt[3]{18}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\sqrt{x} = \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{3}} \leq \frac{1}{2\sqrt{3}}(3x + 1).$ $\sqrt{x} = \frac{\sqrt{3x}}{\sqrt{3}} \leq \frac{1}{2\sqrt{3}}(3x + 1).$

Tương tự $\sqrt{y} \leq \frac{1}{2\sqrt{3}}(3y + 1);\sqrt{z} \leq \frac{1}{2\sqrt{3}}(3z + 1);$ $\sqrt{y} \leq \frac{1}{2\sqrt{3}}(3y + 1);\sqrt{z} \leq \frac{1}{2\sqrt{3}}(3z + 1);$

Do đó $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3.$ $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}.$ $\Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}.$

b) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: $\sqrt{(x + 2y).1} \leq \frac{x + 2y + 1}{2}.$ $\sqrt{(x + 2y).1} \leq \frac{x + 2y + 1}{2}.$

Tương tự $\sqrt{(y + 2z).1} \leq \frac{y + 2z + 1}{2}$ $\sqrt{(y + 2z).1} \leq \frac{y + 2z + 1}{2}$ ; $\sqrt{(z + 2x).1} \leq \frac{z + 2x + 1}{2}.$ $\sqrt{(z + 2x).1} \leq \frac{z + 2x + 1}{2}.$

Vậy $\sqrt{x + 2y} + \sqrt{y + 2z} + \sqrt{z + 2x} \leq \frac{3(x + y + z) + 3}{2} = 3.$ $\sqrt{x + 2y} + \sqrt{y + 2z} + \sqrt{z + 2x} \leq \frac{3(x + y + z) + 3}{2} = 3.$

Dấu “=” xảy ra $x = y = z = \frac{1}{3}.$ $x = y = z = \frac{1}{3}.$

c) Ta có $\sqrt[3]{xy} = \frac{\sqrt[3]{3x.3y.1}}{\sqrt[3]{9}} \leq \frac{3x + 3y + 1}{3\sqrt[3]{9}}.$ $\sqrt[3]{xy} = \frac{\sqrt[3]{3x.3y.1}}{\sqrt[3]{9}} \leq \frac{3x + 3y + 1}{3\sqrt[3]{9}}.$

Tương tự $\sqrt[3]{yx} \leq \frac{3y + 3x + 1}{3\sqrt[3]{9}};\sqrt[3]{zx} \leq \frac{3z + 3x + 1}{3\sqrt[3]{9}};$ $\sqrt[3]{yx} \leq \frac{3y + 3x + 1}{3\sqrt[3]{9}};\sqrt[3]{zx} \leq \frac{3z + 3x + 1}{3\sqrt[3]{9}};$

Vậy $\sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{yz} + \sqrt[3]{zx} \leq \sqrt[3]{3};$ $\sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{yz} + \sqrt[3]{zx} \leq \sqrt[3]{3};$ Dấu “=” xảy ra $x = y = z = \frac{1}{3}.$ $x = y = z = \frac{1}{3}.$

Dạng 2: Kĩ thuật khai thác giả thiết

Phương pháp: Sử dụng những phép biến đổi tương đương (ẩn phụ, tách phép chia, nhân …) hoặc sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức.

Ví dụ 1: Cho các số x, y thỏa mãn $\sqrt{x + 2} - y^{3} = \sqrt{y + 2} - x^{3}.$ $\sqrt{x + 2} - y^{3} = \sqrt{y + 2} - x^{3}.$

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$i)A = x^{2} + 2xy - 2y^{2} + 2y + 10;$ $i)A = x^{2} + 2xy - 2y^{2} + 2y + 10;$

$ii)B = \frac{x^{2} + 7}{y + 3} + \frac{y^{2} + 7}{x + 3}.$ $ii)B = \frac{x^{2} + 7}{y + 3} + \frac{y^{2} + 7}{x + 3}.$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{y}{y^{2} + 4}.$ $C = \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{y}{y^{2} + 4}.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geq - 2;y \geq - 2.$ $x \geq - 2;y \geq - 2.$ Trục căn thức ở mẫu ta có:

$\frac{x - y}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x - y)(x^{2} + xy + y^{2}) = 0$ $\frac{x - y}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x - y)(x^{2} + xy + y^{2}) = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y.$ $\Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y.$

Vì $\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) > 0,\forall x,y \geq - 2.$ $\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) > 0,\forall x,y \geq - 2.$

a) Ta có $A = x^{2} + 2x + 10 = (x + 1)^{2} + 9 \geq 9,\forall x \geq - 2.$ $A = x^{2} + 2x + 10 = (x + 1)^{2} + 9 \geq 9,\forall x \geq - 2.$

Vậy A_min = 9 $\Leftrightarrow x = y = - 1.$ $\Leftrightarrow x = y = - 1.$

ii) $B = \frac{2(x^{2} + 7)}{x + 3} = 2.\left\lbrack x + 3 + \frac{16}{x + 3} - 6 \right\rbrack \geq 4$ $B = \frac{2(x^{2} + 7)}{x + 3} = 2.\left\lbrack x + 3 + \frac{16}{x + 3} - 6 \right\rbrack \geq 4$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow (x + 3)^{2} = 16 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1.$ $\Leftrightarrow (x + 3)^{2} = 16 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1.$

Vậy B_min = 4 $\Leftrightarrow x = y = 1.$ $\Leftrightarrow x = y = 1.$

b) Ta có: $C = \frac{2x}{x^{2} + 4}$ $C = \frac{2x}{x^{2} + 4}$

Xét $\frac{1}{C} = \frac{x^{2} + 4}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}.$ $\frac{1}{C} = \frac{x^{2} + 4}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}.$

Nếu $x > 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \geq 2 \Leftrightarrow 0 < C \leq \frac{1}{2}.$ $x > 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \geq 2 \Leftrightarrow 0 < C \leq \frac{1}{2}.$

Nếu $- 2 < x < 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \leq 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq C < 0.$ $- 2 < x < 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \leq 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq C < 0.$

Vậy C_max = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = y = 2;$ $\Leftrightarrow x = y = 2;$ C_min = $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$ .

Dạng 3: Kĩ thuật “Cô – si ngược dấu”

Phương pháp: Sử dụng những phép biến đổi tương đương (như thêm bớt hoặc tách ghép …) để đưa bài toán từ “trạng thái ngược dấu” về “trạng thái xuôi dấu”.

Ví dụ 1: Cho các số a, b, c > 0 và thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh:

$a)\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{3}{2};$ $a)\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{3}{2};$

$b)\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq \frac{3}{2}$ $b)\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq a - \frac{b}{2}.$ $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq a - \frac{b}{2}.$

Tương tự $\frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} \geq b - \frac{c}{2};\frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq c - \frac{a}{2}.$ $\frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} \geq b - \frac{c}{2};\frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq c - \frac{a}{2}.$

Do đó $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{(a + b + c)}{2} = \frac{3}{2}$ $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{(a + b + c)}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$ $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$

b) Ta có $\frac{a}{1 + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \frac{ab}{2}$ $\frac{a}{1 + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \frac{ab}{2}$

Tương tự $\frac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \frac{bc}{2};\frac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \frac{ca}{2}.$ $\frac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \frac{bc}{2};\frac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \frac{ca}{2}.$

Do đó $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq a + b + c - \frac{ab + bc + ca}{2} \geq \frac{3}{2}.$ $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq a + b + c - \frac{ab + bc + ca}{2} \geq \frac{3}{2}.$

Vì $ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{2} = 3.$ $ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{2} = 3.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$ $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$

Ví dụ 2: Cho các số dương a, b, c có thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh:

$a + b + c \geq \frac{a + 1}{b + 1} + \frac{b + 1}{c + 1} + \frac{c + 1}{a + 1}.$ $a + b + c \geq \frac{a + 1}{b + 1} + \frac{b + 1}{c + 1} + \frac{c + 1}{a + 1}.$

Hướng dẫn giải

Ta có $a + 1 - \frac{a + 1}{b + 1} = \frac{(a + 1)b}{b + 1}$ $a + 1 - \frac{a + 1}{b + 1} = \frac{(a + 1)b}{b + 1}$

Ta đưa bài toán về chứng minh $\frac{(a + 1)b}{b + 1} + \frac{(b + 1)c}{c + 1} + \frac{(b + 1)a}{a + 1} \geq 3.$ $\frac{(a + 1)b}{b + 1} + \frac{(b + 1)c}{c + 1} + \frac{(b + 1)a}{a + 1} \geq 3.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số hạng ở VT với abc = 1. Ta được điều cần chứng minh.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$ $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$

Ví dụ 3: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Chứng minh: $ab + bc + ca \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ca)$ $ab + bc + ca \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ca)$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$ $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow 2\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq 2(ab + bc + ca)$ $\Leftrightarrow 2\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq 2(ab + bc + ca)$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca\ \ \ (1)$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca\ \ \ (1)$

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: $a^{2} < a.(b + c) \Rightarrow a^{2} < ab + ac$ $a^{2} < a.(b + c) \Rightarrow a^{2} < ab + ac$.

Tương tự $b^{2} < ab + bc;\ \ c^{2} < ac + bc$ $b^{2} < ab + bc;\ \ c^{2} < ac + bc$.

Suy ra: $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ca)\ \ \ (2)$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ca)\ \ \ (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4: Cho các số $a,b,c \in \lbrack 0;1\rbrack$ $a,b,c \in \lbrack 0;1\rbrack$. Chứng minh rằng: $a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq 1$ $a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq 1$.

Hướng dẫn giải

Vì $b,c \in \lbrack 0;1\rbrack \Rightarrow b^{2} < b,c^{3} < c.$ $b,c \in \lbrack 0;1\rbrack \Rightarrow b^{2} < b,c^{3} < c.$

Do đó $a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq a + b + c - ab - bc - ca\ \ (1)$ $a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq a + b + c - ab - bc - ca\ \ (1)$

Mặt khác $a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca$ $a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca$

$= (a - 1)(b - 1)(c - 1) - abc + 1\ \ \ \ (2)$ $= (a - 1)(b - 1)(c - 1) - abc + 1\ \ \ \ (2)$

Vì $a,b,c \in \lbrack 0;1\rbrack$ $a,b,c \in \lbrack 0;1\rbrack$ nên;

$a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca$ $a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca$

$= (a - 1)(b - 1)(c - 1) - abc + 1 \leq 0;\ \ - abc \leq 0$ $= (a - 1)(b - 1)(c - 1) - abc + 1 \leq 0;\ \ - abc \leq 0$

Do đó từ $(2) \Rightarrow a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq 1\ \ \ (3)$ $(2) \Rightarrow a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq 1\ \ \ (3)$

Từ $\ (1)$ $\ (1)$và $\ (3) \Rightarrow a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq 1\$ $\ (3) \Rightarrow a + b^{2} + c^{3} - ab - bc - ca \leq 1\$

Ví dụ 5: Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c \geq 6$ $a + b + c \geq 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3} + c^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3} + a^{3}}{c^{2} + a^{2}}$ $M = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3} + c^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3} + a^{3}}{c^{2} + a^{2}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2}}$ $\frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2}}$

$= \frac{a\left( a^{2} + b^{2} \right) - ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b\left( a^{2} + b^{2} \right) - ba^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ $= \frac{a\left( a^{2} + b^{2} \right) - ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b\left( a^{2} + b^{2} \right) - ba^{2}}{a^{2} + b^{2}}$

$= a + b - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} - \frac{ba^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ $= a + b - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} - \frac{ba^{2}}{a^{2} + b^{2}}$

Áp dụng Cauchy ta có:

$a + b - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} - \frac{ba^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq a + b - \frac{b}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a + b}{2}$ $a + b - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} - \frac{ba^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq a + b - \frac{b}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a + b}{2}$ $\Rightarrow \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{a + b}{2}$ $\Rightarrow \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{a + b}{2}$

Tương tự $\frac{b^{3} + c^{3}}{b^{2} + c^{2}} \geq \frac{b + c}{2};\frac{c^{3} + a^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{c + a}{2}$ $\frac{b^{3} + c^{3}}{b^{2} + c^{2}} \geq \frac{b + c}{2};\frac{c^{3} + a^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{c + a}{2}$

$\Rightarrow M \geq \frac{2(a + b + c)}{2} = 6$ $\Rightarrow M \geq \frac{2(a + b + c)}{2} = 6$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 2$ $\Leftrightarrow a = b = c = 2$

Vậy $MinM = 6 \Leftrightarrow a = b = c = 2$ $MinM = 6 \Leftrightarrow a = b = c = 2$.

C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} + 2\sqrt{x}$ $P = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} + 2\sqrt{x}$.

Bài 2: Cho các số $a,\ \ b,\ \ c$ $a,\ \ b,\ \ c$ thỏa mãn $a \geq 1,\ \ b \geq 1,\ \ c \geq 1$ $a \geq 1,\ \ b \geq 1,\ \ c \geq 1$ và $ab + bc + ca = 9$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$.

Bài 3: Cho $x,\ y$ $x,\ y$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y \leq 1$ $x + y \leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.$ $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.$

Bài 4: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x + 2y + 3z \geq 20$ $x + 2y + 3z \geq 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{2y} + \frac{4}{z}$ $A = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{2y} + \frac{4}{z}$.

Bài 5: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = abc$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{a}{a^{2} + bc} + \frac{b}{b^{2} + ac} + \frac{c}{c^{2} + ab}$ $A = \frac{a}{a^{2} + bc} + \frac{b}{b^{2} + ac} + \frac{c}{c^{2} + ab}$.

Bài 6: Cho các số dương $a,b$ thỏa mãn $a + b \leq 2\sqrt{2}$ $a + b \leq 2\sqrt{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ $A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = x^{2} - x\sqrt{x} + x + y - \sqrt{y} + 1$ $A = x^{2} - x\sqrt{x} + x + y - \sqrt{y} + 1$.

Bài 8. Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c \geq 6$ $a + b + c \geq 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3} + c^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3} + a^{3}}{c^{2} + a^{2}}$ $M = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3} + c^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3} + a^{3}}{c^{2} + a^{2}}$.

Bài 9. Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức$A = a + b + c + ab + bc + ca$.

Bài 10. Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt{3a + 1} + \sqrt{3b + 1} + \sqrt{3c + 1}$ $A = \sqrt{3a + 1} + \sqrt{3b + 1} + \sqrt{3c + 1}$.

Đáp án bài tập tự luyện

Bài tập 1.

Điều kiện: $0 \leq x \leq 1.$ $0 \leq x \leq 1.$

Với $a,b \geq 0$ $a,b \geq 0$ ta có: $\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{2} = a + 2\sqrt{ab} + b \geq a + b$ $\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{2} = a + 2\sqrt{ab} + b \geq a + b$

$\Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a + b}.$ $\Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a + b}.$ Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi$x = 0$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = 2$ khi $x = 0$.

Bài tập 2.

Ta có: $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} \geq \frac{2}{xy}\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}$ $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} \geq \frac{2}{xy}\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}$

$= 2\sqrt{\frac{1}{xy} + xy} = 2\sqrt{\left( xy + \frac{1}{16xy} \right) + \frac{15}{16xy}}$ $= 2\sqrt{\frac{1}{xy} + xy} = 2\sqrt{\left( xy + \frac{1}{16xy} \right) + \frac{15}{16xy}}$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{15}{4.(4xy)}}$ $\geq 2\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{15}{4.(4xy)}}$ (Áp dụng Cô si)

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{15}{4.(x + y)^{2}}}$ $\geq 2\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{15}{4.(x + y)^{2}}}$ (Vì $4xy \leq (x + y)^{2}$ $4xy \leq (x + y)^{2}$ )

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{15}{4}}$ $\geq 2\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{15}{4}}$ (Vì $x + y \leq 1$ $x + y \leq 1$ )

$= \sqrt{17}$ $= \sqrt{17}$

Vậy $MinP = \sqrt{17} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$ $MinP = \sqrt{17} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$

Bài tập 3.

Ta có: $A = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{2y} + \frac{4}{z}$ $A = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{2y} + \frac{4}{z}$

$= \frac{3}{4}x + \frac{3}{x} + \frac{1}{2}y + \frac{9}{2y} + \frac{1}{4}z + \frac{4}{z} + \left( \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}z \right)$ $= \frac{3}{4}x + \frac{3}{x} + \frac{1}{2}y + \frac{9}{2y} + \frac{1}{4}z + \frac{4}{z} + \left( \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}z \right)$

Áp dụng Cô si ta có:

$\begin{matrix} + )\frac{3}{4}x + \frac{3}{x} \geq 3 \\ + )\frac{1}{2}y + \frac{9}{2y} \geq 3 \\ + )\frac{1}{4}z + \frac{4}{z} \geq 2 \end{matrix}$ $\begin{matrix} + )\frac{3}{4}x + \frac{3}{x} \geq 3 \\ + )\frac{1}{2}y + \frac{9}{2y} \geq 3 \\ + )\frac{1}{4}z + \frac{4}{z} \geq 2 \end{matrix}$

Và $\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}z = \frac{1}{4}(x + 2y + 3z) \geq 5$ $\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{4}z = \frac{1}{4}(x + 2y + 3z) \geq 5$

Suy ra $A \geq 13$ $A \geq 13$

Vậy $MinA = 13 \Leftrightarrow x = 2,y = 3,z = 4$ $MinA = 13 \Leftrightarrow x = 2,y = 3,z = 4$.

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo của chúng tôi!

----------------------------------------------------------

Dạng bài Min Max và phương trình chứa căn thức là những thử thách thú vị, vừa kiểm tra khả năng tính toán, vừa đánh giá kỹ năng tư duy logic của học sinh. Khi luyện tập thường xuyên với các dạng toán này, bạn sẽ:

Hiểu rõ nguyên tắc tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức.
Thành thạo các bước biến đổi và xử lý phương trình chứa căn thức.
Biết áp dụng các phương pháp đặc biệt để rút gọn thời gian làm bài.
Tự tin đối mặt với những câu hỏi nâng cao trong đề thi vào lớp 10.

Để đạt hiệu quả cao nhất, bạn nên kết hợp học lý thuyết với luyện đề, ghi nhớ các mẹo giải nhanh và thường xuyên tự kiểm tra bằng các bài tập tự luận và trắc nghiệm. Khi đã nắm vững hai dạng toán này, bạn không chỉ củng cố nền tảng kiến thức mà còn tạo lợi thế vượt trội trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây sẽ là chìa khóa để bạn bứt phá điểm số và đạt được kết quả mơ ước.

Tải về

Chọn file muốn tải về: