VnDoc.com

Chuyên đề Toán lớp 9: Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức

A. LÝ THUYẾT BẤT ĐẲNG THỨC
- 1. Bất đẳng thức Cauchy
- 2. Các bổ đề bất đẳng thức
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM MIN-MAX
C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Chuyên đề Toán lớp 9: Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức được VnDoc sưu tầm để giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh chuẩn bị một cách hiệu quả nhất cho Kì thi vào 10 sắp tới. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề Toán lớp 9: Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức được VnDoc chia sẻ trên đây bao gồm lý thuyết kèm theo bài tập. Giúp cho các bạn học sinh rèn luyện kĩ năng giải đề thi đồng thời biết phân bổ thời gian làm bài. Chúc các bạn ôn thi tốt

A. LÝ THUYẾT BẤT ĐẲNG THỨC

1. Bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cô-si cho hai số $a,b$ không âm, ta có:

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ $a + b \geq 2\sqrt{ab}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Chú ý: Với hai số $a,b$ bất kì ta luôn có:

$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$ $a^{2} + b^{2} \geq 2ab$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Bất đẳng thức Cô-si cho ba số $a,b,c$ không âm, ta có :

$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ $\Leftrightarrow a = b = c$

Chú ý: Đây là bất đẳng thức nằm ngoài chương trình SGK hiện hành nếu muốn áp dụng học sinh cần chứng minh trước khi sử dụng như một bổ đề

2. Các bổ đề bất đẳng thức

Bổ đề 1. Với mọi số thực $a,b$ ta luôn có:

$(a + b)^{2} \geq 4ab$ $(a + b)^{2} \geq 4ab$

$a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2}$ $a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Bổ đề 2. Với mọi số thực $a,b,c$ ta luôn có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{3} \geq ab + bc + ca$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{3} \geq ab + bc + ca$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ $\Leftrightarrow a = b = c$

Bổ đề 3. Với mọi số thực dương $a,b$ ta luôn có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Bổ đề 4. Với mọi số thực không âm $a,b$ ta luôn có:

$\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a + b)}$ $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a + b)}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$ $\Leftrightarrow a = b$

Bổ đề 5. Với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{a + b + c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3(a + b + c)}$ $\sqrt{a + b + c} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3(a + b + c)}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$ $\Leftrightarrow a = b = c$

Chú ý: với mỗi bất đẳng thức trên, ta cần nhớ và vận dụng linh hoạt cả 2 chiều xuôi và chiều ngược của nó.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM MIN-MAX

DẠNG I: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy

Phương pháp: Dự đoán trước dấu bằng (hay điểm rơi) của bài toán từ đó ddieeuf chỉnh hệ số để đảm bảo việc dấu bằng luôn xảy ra

Ví dụ 1: Cho các số $x \geq 2$ $x \geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: $A = x + \frac{1}{x}$ $A = x + \frac{1}{x}$

Hướng dẫn giải

Ta có $A = x + \frac{1}{x} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x} + \frac{3x}{4}$ $A = x + \frac{1}{x} = \frac{x}{4} + \frac{1}{x} + \frac{3x}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{x}{4};\ \ \frac{1}{x}$ $\frac{x}{4};\ \ \frac{1}{x}$ ta có

$\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 1$ $\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 1$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \ \frac{x}{4} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 2$ $\Leftrightarrow \ \frac{x}{4} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 2$

Với $x = 2 \Rightarrow \frac{3x}{4} = \frac{3}{2}$ $x = 2 \Rightarrow \frac{3x}{4} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow A \geq \frac{5}{2}$ $\Rightarrow A \geq \frac{5}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng $\frac{5}{2}$ $\frac{5}{2}$ khi $x = 2$

Dạng 2: Kĩ thuật khai thác giả thiết

Phương pháp: Sử dụng những phép biến đổi tương đương (ẩn phụ, tách phép chia, nhân …) hoặc sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức.

Ví dụ 1: Cho các số x, y thỏa mãn $\sqrt{x + 2} - y^{3} = \sqrt{y + 2} - x^{3}.$ $\sqrt{x + 2} - y^{3} = \sqrt{y + 2} - x^{3}.$

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$i)A = x^{2} + 2xy - 2y^{2} + 2y + 10;$ $i)A = x^{2} + 2xy - 2y^{2} + 2y + 10;$

$ii)B = \frac{x^{2} + 7}{y + 3} + \frac{y^{2} + 7}{x + 3}.$ $ii)B = \frac{x^{2} + 7}{y + 3} + \frac{y^{2} + 7}{x + 3}.$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{y}{y^{2} + 4}.$ $C = \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{y}{y^{2} + 4}.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geq - 2;y \geq - 2.$ $x \geq - 2;y \geq - 2.$ Trục căn thức ở mẫu ta có

$\frac{x - y}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x - y)(x^{2} + xy + y^{2}) = 0$ $\frac{x - y}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x - y)(x^{2} + xy + y^{2}) = 0$

$\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) \right\rbrack = 0$ $\Leftrightarrow (x - y)\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y.$ $\Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y.$

Vì $\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) > 0,\forall x,y \geq - 2.$ $\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 2}} + (x^{2} + xy + y^{2}) > 0,\forall x,y \geq - 2.$

a) Ta có $A = x^{2} + 2x + 10 = (x + 1)^{2} + 9 \geq 9,\forall x \geq - 2.$ $A = x^{2} + 2x + 10 = (x + 1)^{2} + 9 \geq 9,\forall x \geq - 2.$

Vậy A_min = 9 $\Leftrightarrow x = y = - 1.$ $\Leftrightarrow x = y = - 1.$

ii) $B = \frac{2(x^{2} + 7)}{x + 3} = 2.\left\lbrack x + 3 + \frac{16}{x + 3} - 6 \right\rbrack \geq 4$ $B = \frac{2(x^{2} + 7)}{x + 3} = 2.\left\lbrack x + 3 + \frac{16}{x + 3} - 6 \right\rbrack \geq 4$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow (x + 3)^{2} = 16 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1.$ $\Leftrightarrow (x + 3)^{2} = 16 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1.$

Vậy B_min = 4 $\Leftrightarrow x = y = 1.$ $\Leftrightarrow x = y = 1.$

b) Ta có: $C = \frac{2x}{x^{2} + 4}$ $C = \frac{2x}{x^{2} + 4}$

Xét $\frac{1}{C} = \frac{x^{2} + 4}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}.$ $\frac{1}{C} = \frac{x^{2} + 4}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}.$

Nếu $x > 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \geq 2 \Leftrightarrow 0 < C \leq \frac{1}{2}.$ $x > 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \geq 2 \Leftrightarrow 0 < C \leq \frac{1}{2}.$

Nếu $- 2 < x < 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \leq 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq C < 0.$ $- 2 < x < 0 \Rightarrow \frac{1}{C} \leq 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq C < 0.$

Vậy C_max = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = y = 2;$ $\Leftrightarrow x = y = 2;$ C_min = $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = y = - 2;$ $\Leftrightarrow x = y = - 2;$

Dạng 3: Kĩ thuật “Cô – si ngược dấu”

Phương pháp: Sử dụng những phép biến đổi tương đương (như thêm bớt hoặc tách ghép …) để đưa bài toán từ “trạng thái ngược dấu” về “trạng thái xuôi dấu”.

Ví dụ 1: Cho các số a, b, c > 0 và thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh:

$a)\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{3}{2};$ $a)\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{3}{2};$

$b)\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq \frac{3}{2}$ $b)\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq a - \frac{b}{2}.$ $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq a - \frac{b}{2}.$

Tương tự $\frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} \geq b - \frac{c}{2};\frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq c - \frac{a}{2}.$ $\frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} \geq b - \frac{c}{2};\frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq c - \frac{a}{2}.$

Do đó $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{(a + b + c)}{2} = \frac{3}{2}$ $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{(a + b + c)}{2} = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$ $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$

b) Ta có $\frac{a}{1 + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \frac{ab}{2}$ $\frac{a}{1 + b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \frac{ab}{2}$

Tương tự $\frac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \frac{bc}{2};\frac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \frac{ca}{2}.$ $\frac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \frac{bc}{2};\frac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \frac{ca}{2}.$

Do đó $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq a + b + c - \frac{ab + bc + ca}{2} \geq \frac{3}{2}.$ $\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq a + b + c - \frac{ab + bc + ca}{2} \geq \frac{3}{2}.$

Vì $ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{2} = 3.$ $ab + bc + ca \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{2} = 3.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$ $\Leftrightarrow a = b = c = 1.$

C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} + 2\sqrt{x}$ $P = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} + 2\sqrt{x}$

Bài 2: Cho các số $a,\ \ b,\ \ c$ $a,\ \ b,\ \ c$ thỏa mãn $a \geq 1,\ \ b \geq 1,\ \ c \geq 1$ $a \geq 1,\ \ b \geq 1,\ \ c \geq 1$ và $ab + bc + ca = 9$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ $P = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Bài 3: Cho $x,\ y$ $x,\ y$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y \leq 1$ $x + y \leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.$ $P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.$

Bài 4: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x + 2y + 3z \geq 20$ $x + 2y + 3z \geq 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{2y} + \frac{4}{z}$ $A = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{2y} + \frac{4}{z}$.

Bài 5: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = abc$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{a}{a^{2} + bc} + \frac{b}{b^{2} + ac} + \frac{c}{c^{2} + ab}$ $A = \frac{a}{a^{2} + bc} + \frac{b}{b^{2} + ac} + \frac{c}{c^{2} + ab}$.

Bài 6: Cho các số dương $a,b$ thỏa mãn $a + b \leq 2\sqrt{2}$ $a + b \leq 2\sqrt{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ $A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo của chúng tôi!

----------------------------------------------------------

Ngoài Chuyên đề Toán lớp 9: Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2025 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Chia sẻ, đánh giá bài viết

2

7.456

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Tải về

Chọn file muốn tải về: