VnDoc.com

50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Các dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trong chương trình Toán 9 ôn thi vào 10, chuyên đề rút gọn biểu thức căn bậc hai là một phần trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi tuyển sinh. Việc nắm vững cách biến đổi, rút gọn và xử lý biểu thức chứa căn thức giúp học sinh nâng cao kỹ năng đại số, tư duy logic và tính toán chính xác.

Bài viết 50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án tổng hợp đầy đủ các dạng bài tiêu biểu, từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích giúp học sinh ôn luyện hiệu quả, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi vào lớp 10.

A. Đề bài các bài toán rút gọn biểu thức dạng tổng hợp

Bài 1: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x + 4}{x - 4}$ với $x > 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi .

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho P = A.B. Tìm giá trị của x khi |P| = P.

Bài 2: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{3x}{x - 3\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}$ với $x > 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4,\mathbf{\ \ }x \neq 1$

a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 49.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho $P = \frac{A}{B}$ . Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x để |P| > P.

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} + \frac{2}{x - 1}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 1$

a) Tính giá trị của A khi x = 16.

b) Rút gọn B.

c) Đặt P = A.B. Tìm giá trị nguyên của x để |P| > P.

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = \frac{3x + 3\sqrt{x} - 3}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ }x \neq 1$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Đặt P = A : B. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $2\sqrt{P} < 1$ .

Bài 5: Cho $A = \frac{20 - 2\sqrt{x}}{x - 25} + \frac{3}{\sqrt{x} + 5}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 25$ .

a) Tính giá trị của B khi x = 49.

b) Rút gọn A.

c) Tính giá trị của x để $\frac{B}{A} = |x - 4|$ .

Bài 6: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \frac{4}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2x - \sqrt{x} - 13}{x - 9} + \frac{\sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 9$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

b) Chứng minh rằng $B = \frac{x - 25}{x - 9}$ .

c) Đặt $P = \frac{B}{A}$ . Tìm x để $\sqrt{P} < \frac{1}{3}$ .

Bài 7: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ và $B = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ .

c) Đặt P = A : B. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x để $\sqrt{P} < \frac{1}{2}$ .

Bài 8: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 5}$ và $B = \frac{x + 20}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{6}{2 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2}$ .

c) Tìm để $\sqrt{AB} < \frac{1}{2}$ .

Bài 9: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4x}{x - 4}$ và $B = \frac{4\left( \sqrt{x} + 2 \right)}{\sqrt{x} - 2}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Rút gọn biểu thức .

c) Xét biểu thức P = A : B. So sánh và $\sqrt{P}$ .

Bài 10: Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{9\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} - 6}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 1,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của A khi x = 169.

b) Chứng minh biểu thức $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$ .

c) Với biểu thức P = A.B. Hãy so sánh biểu thức P với $\sqrt{P}$ .

Bài 11: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 4}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{3\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$ .

a) Tính giá trị của khi .

b) Rút gọn biểu thức .

c) Đặt $P = A.\mathbf{\ }B$ . So sánh giá trị của biểu thức với .

Bài 12: Cho $A = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 5}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{10\sqrt{x}}{x - 25} - \frac{5}{\sqrt{x} + 5}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 25$

a) Tính giá trị của khi .

b) Rút gọn

c) Đặt $P = A.\mathbf{\ }B$ . So sánh với .

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé

B. Đáp án chi tiết bài tập rút gọn biểu thức

Bài 1:

Thay x = 9 thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được $A = \frac{\sqrt{9} + 4}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$

$B = \frac{2\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} + \frac{x + 4}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 2 \right)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

$P = A.\mathbf{\ }B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}.\mathbf{\ }\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Để $|P| = P \Leftrightarrow P \geq 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2} \geq 0$ .

Mà $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 4 > 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 > 0 \Rightarrow x > 4$

Bài 2:

Thay x = 49 thỏa mãn điều kiện) vào ta được: $A = \frac{\sqrt{49} + 1}{\sqrt{49}} = \frac{8}{7}$ .

Ta có $B = \frac{3x - \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{3\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x} - 2}$ .

Tính được $P = \frac{\sqrt{x} - 2}{3\sqrt{x}}$

Để $|P| > P \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{3\sqrt{x}} < 0$ . Do $x > 0 \Rightarrow 3\sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow 0 < x < 4$ và $x \neq 1$ . Do $x\mathbb{\in Z}$ và x nhỏ nhất nên x = 2.

Bài 3:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào , ta được $A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right) + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Ta có $P = A:B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 1$

Để $|P| > P \Leftrightarrow P < 0$ hay $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} < 0 \Rightarrow 0 \leq x < 4$ và $x \neq 1$ . Vì $x\mathbb{\in Z}$ nên $x \in \left\{ 0;\mathbf{\ \ }2;\mathbf{\ \ }3 \right\}$

Bài 4:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được $A = \frac{\sqrt{16} - 2}{\sqrt{16} - 1} = \frac{2}{3}$ .

Ta có $B = \frac{3x + 3\sqrt{x} - 3 - \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) - \left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Ta có $P = \frac{A}{B} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ .

Để $2\sqrt{P} < 1 \Rightarrow \sqrt{P} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \leq P < \frac{1}{4}$ .

Ta có $P \geq 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$

Ta có $P < \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{4} < 0 \Rightarrow \frac{3\left( \sqrt{x} - 3 \right)}{4\left( \sqrt{x} + 1 \right)} < 0 \Rightarrow 0 \leq x < 9$

Kết hợp $(1),\mathbf{\ \ }(2)$ với điều kiện ta được $4 \leq x < 9$ . Mà $x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \in \left\{ 4;\mathbf{\ \ }5;\mathbf{\ \ }6;\mathbf{\ \ }7;\mathbf{\ \ }8 \right\}$ .

Bài 5:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được $B = \frac{\sqrt{49} + 2}{\sqrt{49} - 5} = \frac{9}{2}$

Ta có

$A = \frac{20 - 2\sqrt{x} + 3\left(\sqrt{x} - 5 \right)}{\left( \sqrt{x} - 5 \right)\left( \sqrt{x} + 5\right)}$ $= \frac{\sqrt{x} + 5}{\left( \sqrt{x} - 5 \right)\left(\sqrt{x} + 5 \right)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$

Ta có

$\frac{B}{A} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}:\frac{1}{\sqrt{x} - 5} = \sqrt{x} + 2$ .

Để $\frac{B}{A} = |x - 4| \Rightarrow \sqrt{x} + 2 = |x - 4|$ (với $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 2 > 0$ )

TH1: $x - 4 = \sqrt{x} + 2 \Rightarrow x - \sqrt{x} - 6 = 0 \Rightarrow \left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right) = 0$

Vì $\sqrt{x} + 2 = 0$ với mọi $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

TH2: $x - 4 = - \sqrt{x} - 2 \Rightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right) = 0$

Vì $\sqrt{x} + 2 > 0$ với mọi $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Bài 6:

Thay (thỏa mãn điều kiện xác định) vào , ta được: $A = \frac{\sqrt{25} + 5}{\sqrt{25} - 3} = 5$

Ta có:

$B = \frac{4\left( \sqrt{x} - 3\right)}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} +\frac{2x - \sqrt{x} - 13}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3\right)}$ $- \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 \right)}{\left( \sqrt{x} -3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$

$= \frac{4\sqrt{x} - 12 + 2x - \sqrt{x} -13 - x - 3\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3\right)}$ $= \frac{x - 25}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3\right)} = \frac{x - 25}{x - 9}$ .

Rút gọn $P = \frac{B}{A} = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3}$ .

$\sqrt{P}$ có nghĩa khi $\frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3} \geq 0 \Rightarrow x \geq 25$

Để $\sqrt{P} < \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3} < \frac{1}{9} \Rightarrow x < 36$ .

Vậy $25 \leq x < 36$

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-------------------------------------------------

Gợi ý tài liệu tham khảo:

Hy vọng qua bộ 50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án, bạn đã nắm chắc phương pháp rút gọn, biến đổi và giải các bài toán chứa căn thức một cách nhanh chóng, chính xác.
Hãy dành thời gian luyện tập thường xuyên để ghi nhớ công thức và thành thạo các dạng bài thi.

👉 Truy cập chuyên mục Toán 9 ôn thi vào 10 để xem thêm chuyên đề căn bậc hai, bài tập tự luyện và đề thi có đáp án chi tiết nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: