Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Các dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

A. Đề bài các bài toán rút gọn biểu thức dạng tổng hợp
B. Đáp án chi tiết bài tập rút gọn biểu thức

Trong chương trình Toán 9 ôn thi vào 10, chuyên đề rút gọn biểu thức căn bậc hai là một phần trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi tuyển sinh. Việc nắm vững cách biến đổi, rút gọn và xử lý biểu thức chứa căn thức giúp học sinh nâng cao kỹ năng đại số, tư duy logic và tính toán chính xác.

Bài viết 50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án tổng hợp đầy đủ các dạng bài tiêu biểu, từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích giúp học sinh ôn luyện hiệu quả, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi vào lớp 10.

A. Đề bài các bài toán rút gọn biểu thức dạng tổng hợp

Bài 1: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x + 4}{x - 4}$ với $x > 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi .

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho P = A.B. Tìm giá trị của x khi |P| = P.

Bài 2: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{3x}{x - 3\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}$ với $x > 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4,\mathbf{\ \ }x \neq 1$

a) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 49.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Cho $P = \frac{A}{B}$ . Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x để |P| > P.

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} + \frac{2}{x - 1}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 1$

a) Tính giá trị của A khi x = 16.

b) Rút gọn B.

c) Đặt P = A.B. Tìm giá trị nguyên của x để |P| > P.

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = \frac{3x + 3\sqrt{x} - 3}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ }x \neq 1$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Đặt P = A : B. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $2\sqrt{P} < 1$ .

Bài 5: Cho $A = \frac{20 - 2\sqrt{x}}{x - 25} + \frac{3}{\sqrt{x} + 5}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 25$ .

a) Tính giá trị của B khi x = 49.

b) Rút gọn A.

c) Tính giá trị của x để $\frac{B}{A} = |x - 4|$ .

Bài 6: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \frac{4}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2x - \sqrt{x} - 13}{x - 9} + \frac{\sqrt{x}}{3 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 9$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

b) Chứng minh rằng $B = \frac{x - 25}{x - 9}$ .

c) Đặt $P = \frac{B}{A}$ . Tìm x để $\sqrt{P} < \frac{1}{3}$ .

Bài 7: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ và $B = \frac{x}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ .

c) Đặt P = A : B. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của x để $\sqrt{P} < \frac{1}{2}$ .

Bài 8: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 5}$ và $B = \frac{x + 20}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{6}{2 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 2}$ .

c) Tìm để $\sqrt{AB} < \frac{1}{2}$ .

Bài 9: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4x}{x - 4}$ và $B = \frac{4\left( \sqrt{x} + 2 \right)}{\sqrt{x} - 2}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức khi .

b) Rút gọn biểu thức .

c) Xét biểu thức P = A : B. So sánh và $\sqrt{P}$ .

Bài 10: Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{9\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} - 6}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 1,\mathbf{\ \ }x \neq 4$

a) Tính giá trị của A khi x = 169.

b) Chứng minh biểu thức $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$ .

c) Với biểu thức P = A.B. Hãy so sánh biểu thức P với $\sqrt{P}$ .

Bài 11: Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 4}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{3\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 4$ .

a) Tính giá trị của khi .

b) Rút gọn biểu thức .

c) Đặt $P = A.\mathbf{\ }B$ . So sánh giá trị của biểu thức với .

Bài 12: Cho $A = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 5}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{10\sqrt{x}}{x - 25} - \frac{5}{\sqrt{x} + 5}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 25$

a) Tính giá trị của khi .

b) Rút gọn

c) Đặt $P = A.\mathbf{\ }B$ . So sánh với .

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé

B. Đáp án chi tiết bài tập rút gọn biểu thức

Bài 1:

Thay x = 9 thỏa mãn điều kiện) vào A, ta được $A = \frac{\sqrt{9} + 4}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$

$B = \frac{2\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} + \frac{x + 4}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 2 \right)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

$P = A.\mathbf{\ }B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}.\mathbf{\ }\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}$

Để $|P| = P \Leftrightarrow P \geq 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2} \geq 0$ .

Mà $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 4 > 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 > 0 \Rightarrow x > 4$

Bài 2:

Thay x = 49 thỏa mãn điều kiện) vào ta được: $A = \frac{\sqrt{49} + 1}{\sqrt{49}} = \frac{8}{7}$ .

Ta có $B = \frac{3x - \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{3\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x} - 2}$ .

Tính được $P = \frac{\sqrt{x} - 2}{3\sqrt{x}}$

Để $|P| > P \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{3\sqrt{x}} < 0$ . Do $x > 0 \Rightarrow 3\sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow 0 < x < 4$ và $x \neq 1$ . Do $x\mathbb{\in Z}$ và x nhỏ nhất nên x = 2.

Bài 3:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào , ta được $A = \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right) + 2}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Ta có $P = A:B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,\mathbf{\ \ }x \neq 1$

Để $|P| > P \Leftrightarrow P < 0$ hay $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} < 0 \Rightarrow 0 \leq x < 4$ và $x \neq 1$ . Vì $x\mathbb{\in Z}$ nên $x \in \left\{ 0;\mathbf{\ \ }2;\mathbf{\ \ }3 \right\}$

Bài 4:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được $A = \frac{\sqrt{16} - 2}{\sqrt{16} - 1} = \frac{2}{3}$ .

Ta có $B = \frac{3x + 3\sqrt{x} - 3 - \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) - \left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Ta có $P = \frac{A}{B} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ .

Để $2\sqrt{P} < 1 \Rightarrow \sqrt{P} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 \leq P < \frac{1}{4}$ .

Ta có $P \geq 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$

Ta có $P < \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{4} < 0 \Rightarrow \frac{3\left( \sqrt{x} - 3 \right)}{4\left( \sqrt{x} + 1 \right)} < 0 \Rightarrow 0 \leq x < 9$

Kết hợp $(1),\mathbf{\ \ }(2)$ với điều kiện ta được $4 \leq x < 9$ . Mà $x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \in \left\{ 4;\mathbf{\ \ }5;\mathbf{\ \ }6;\mathbf{\ \ }7;\mathbf{\ \ }8 \right\}$ .

Bài 5:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được $B = \frac{\sqrt{49} + 2}{\sqrt{49} - 5} = \frac{9}{2}$

Ta có

$A = \frac{20 - 2\sqrt{x} + 3\left(\sqrt{x} - 5 \right)}{\left( \sqrt{x} - 5 \right)\left( \sqrt{x} + 5\right)}$ $= \frac{\sqrt{x} + 5}{\left( \sqrt{x} - 5 \right)\left(\sqrt{x} + 5 \right)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$

Ta có

$\frac{B}{A} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}:\frac{1}{\sqrt{x} - 5} = \sqrt{x} + 2$ .

Để $\frac{B}{A} = |x - 4| \Rightarrow \sqrt{x} + 2 = |x - 4|$ (với $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 2 > 0$ )

TH1: $x - 4 = \sqrt{x} + 2 \Rightarrow x - \sqrt{x} - 6 = 0 \Rightarrow \left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right) = 0$

Vì $\sqrt{x} + 2 = 0$ với mọi $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

TH2: $x - 4 = - \sqrt{x} - 2 \Rightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right) = 0$

Vì $\sqrt{x} + 2 > 0$ với mọi $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Bài 6:

Thay (thỏa mãn điều kiện xác định) vào , ta được: $A = \frac{\sqrt{25} + 5}{\sqrt{25} - 3} = 5$

Ta có:

$B = \frac{4\left( \sqrt{x} - 3\right)}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} +\frac{2x - \sqrt{x} - 13}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3\right)}$ $- \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 \right)}{\left( \sqrt{x} -3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$

$= \frac{4\sqrt{x} - 12 + 2x - \sqrt{x} -13 - x - 3\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3\right)}$ $= \frac{x - 25}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3\right)} = \frac{x - 25}{x - 9}$ .

Rút gọn $P = \frac{B}{A} = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3}$ .

$\sqrt{P}$ có nghĩa khi $\frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3} \geq 0 \Rightarrow x \geq 25$

Để $\sqrt{P} < \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3} < \frac{1}{9} \Rightarrow x < 36$ .

Vậy $25 \leq x < 36$

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-------------------------------------------------

FAQ – 50 bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai Toán 9

1. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai là gì?

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai là quá trình sử dụng các quy tắc về căn thức và phép biến đổi đại số để đưa biểu thức về dạng đơn giản, dễ tính toán hoặc thuận lợi cho việc chứng minh và tìm giá trị. Trước khi biến đổi, cần xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa .

2. Muốn rút gọn biểu thức căn bậc hai Toán 9 cần làm bước nào trước?

Bước đầu tiên là tìm điều kiện xác định của biểu thức . Sau đó, kiểm tra các căn thức, phân thức và mẫu số để xác định những phép biến đổi có thể thực hiện. Việc bỏ qua điều kiện ngay từ đầu là một trong những nguyên nhân phổ biến khiến lời giải không đầy đủ.

3. Những dạng bài rút gọn biểu thức căn bậc hai thường gặp ở lớp 9?

Học sinh thường gặp các bài đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, thu gọn căn đồng dạng, trục căn thức ở mẫu, rút gọn phân thức chứa căn và các biểu thức tổng hợp. Một số bài còn yêu cầu tính giá trị biểu thức hoặc chứng minh một biểu thức sau khi rút gọn.

4. Khi nào có thể đưa thừa số ra ngoài dấu căn?

Với biểu thức dạng (\sqrt{a^2b}), khi điều kiện phù hợp, có thể sử dụng tính chất căn bậc hai để tách phần bình phương hoàn chỉnh ra ngoài dấu căn. Cần đặc biệt chú ý (\sqrt{a^2}=|a|), không được tự động viết thành (a) nếu chưa biết dấu của (a).

5. Vì sao phải chú ý giá trị tuyệt đối khi rút gọn căn thức?

Vì căn bậc hai luôn cho kết quả không âm nên: $\sqrt{a^2}=|a|$ $\sqrt{a^2}=|a|$

Nếu đề bài cho điều kiện ( $a\geq0$ $a\geq0$), khi đó mới có thể viết (|a|=a). Đây là kiến thức rất quan trọng trong các bài rút gọn biểu thức căn bậc hai lớp 9 .

6. Trục căn thức ở mẫu được sử dụng trong trường hợp nào?

Trục căn thức ở mẫu thường được dùng khi muốn biến đổi một phân thức có chứa căn ở mẫu thành dạng thuận tiện hơn. Tùy mẫu số, học sinh có thể nhân cả tử và mẫu với căn thức thích hợp hoặc sử dụng biểu thức liên hợp để loại căn khỏi mẫu.

7. Biểu thức liên hợp có vai trò gì trong bài toán chứa căn?

Biểu thức liên hợp thường được sử dụng để biến đổi tích thành hiệu hai bình phương, từ đó loại căn thức ở mẫu hoặc rút gọn phân thức. Đây là kỹ thuật quan trọng trong các bài tổng hợp về căn bậc hai Toán 9 và thường cần được luyện tập nhiều để sử dụng thành thạo.

-------------------------------------------

Gợi ý tài liệu tham khảo:

50 bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án là tài liệu hữu ích để học sinh lớp 9 hệ thống lại kỹ năng biến đổi biểu thức chứa căn và chuẩn bị cho các dạng bài thường gặp trong quá trình ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Điểm quan trọng không nằm ở việc ghi nhớ máy móc từng bài, mà là nhận ra cấu trúc biểu thức và lựa chọn phép biến đổi phù hợp.

Khi luyện chuyên đề này, học sinh nên chú ý các thao tác như điều kiện xác định, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, trục căn thức ở mẫu, quy đồng, phân tích thành nhân tử và rút gọn phân thức chứa căn. Với những bài tổng hợp, cần thực hiện từng bước có kiểm soát để tránh sai dấu hoặc bỏ sót điều kiện của biến.

Thông qua 50 bài tập được phân loại và luyện tập theo mức độ, học sinh có thể từng bước nâng cao khả năng xử lý biểu thức căn bậc hai Toán 9, đồng thời làm quen với những câu hỏi vận dụng trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Hãy chủ động tự giải trước, đối chiếu đáp án sau và ghi lại những dạng biến đổi còn mắc lỗi để quá trình ôn tập đạt hiệu quả cao hơn.

Tải về

Chọn file muốn tải về: