Bài tập Toán nâng cao lớp 9 ôn thi vào 10 có đáp án chi tiết

Chuyên đề Toán 9 có đáp án chi tiết

Trong giai đoạn nước rút chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, việc luyện tập với bài tập Toán nâng cao lớp 9 là bước quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức, phát triển tư duy logic và rèn kỹ năng giải quyết vấn đề. Các dạng toán nâng cao thường xuất hiện trong đề thi với độ khó cao hơn so với chương trình cơ bản, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm chắc công thức mà còn biết vận dụng linh hoạt để tìm lời giải nhanh, chính xác.

Bài viết Bài tập Toán nâng cao lớp 9 ôn thi vào 10 có đáp án chi tiết sẽ mang đến hệ thống bài tập chọn lọc, đa dạng theo từng chuyên đề, kèm hướng dẫn giải chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích, giúp học sinh làm quen với nhiều dạng đề, rèn luyện kỹ năng tính toán và nâng cao khả năng tư duy, từ đó tự tin đạt điểm cao trong kỳ thi quan trọng.

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(x;y;z\) lần lượt là số quả dưa nặng hơn 1,5kg; bằng 1,5kg và nhẹ hơn 1,5kg (trong đó \(x;y;z\) là các số nguyên dương).

Khi đó ta có \(173x + 1,5y + 1,33z = 1,5.100 = 150\ \ \ (1)\)

b) Theo cách gọi ở câu a, ta có:

\(x + y + z = 100 \Rightarrow 1,5x + 1,5y + 1,5z = 150\ \ \ (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(0,25x - 0,17z = 0 \Leftrightarrow x = \frac{17}{23}z\)

Vì \(UCLN(17,23) = 1\) nên đặt \(z = 23k;\left( k \in \mathbb{N}^{*} \right) \Rightarrow x = 17k\)

Từ đó suy ra \(y = 100 - x - z = 100 - 40k\)

Mà \(y \geq 0 \Rightarrow 100 - 40k \geq 0 \Leftrightarrow k \leq 2,5\)

\(\Rightarrow k = 1;2 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = 60 \\ y = 20 \end{matrix} \right.\)

Vậy có ít nhất 20 trái dưa lưới nặng đúng 1,5kg.

Hướng dẫn giải

Vì số cách xếp là hữu hạn, nên khi ta xếp các bạn học sinh thành 1 hàng, luôn tồn tại cách xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài và có nhiều nhất m học sinh. Ta sẽ đi chứng minh m =10.

Thật vậy, giả sử m < 10.

Tức là tồn tại 1 học sinh X không thể xếp vào hàng. Ta xét các trường hợp sau:

- Nếu X thắng m bạn trong hàng. Khi này, ta xếp X ở đầu hàng, sẽ thỏa mãn điều kiện đề bài.

- X thua m bạn trong hàng. Khi này, ta xếp X ở cuối hàng, sẽ thỏa mãn điều kiện đề bài.

- X thắng 1 số bạn và thua 1 số bạn trong hàng. Lúc đó, luôn tồn tại 2 bạn liên tiếp sao cho bạn đằng trước thắng X, bạn đằng sau thua X.

Khi này ta chỉ cấn xếp X vào giữa 2 bạn đó, sẽ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Như vậy, với mọi trường hợp, ta luôn xếp được X vào hàng sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Khi này, số học sinh trong hàng sẽ là \(m + 1 > m\), trái với cách đặt ban đầu.

Vậy giải sử sai, bài toán được chứng minh.

Cách khác:

- Xét tất cả các cách sắp xếp một số bạn thành một hàng dọc sao cho bạn đứng trước thắng bạn đứng kề sau.

Cách sắp xếp này bao giờ cũng tồn tại và số cách sắp xếp là hữu hạn, nên tồn tại cách sắp xếp có nhiều bạn nhất.

- Gọi \(A_{1};A_{2};A_{3};...;A_{k}\) là cách sắp xếp có nhiều bạn nhất (1), với k ∈{1; 2; 3; ...; 10}

- Giả sử k < 10.

Khi đó tồn tại bạn B không thuộc vào hàng trên k <10

Theo luật thi đấu, B phải đấu với các bạn \(A_{1};A_{2};A_{3};...;A_{k}\)

Nếu B thắng \(A_{1}\) thì \(B,A_{1};A_{2};A_{3};...;A_{k}\) là cách sắp xếp có \(k + 1\) bạn và thỏa mãn yêu cầu bài toán, mâu thuẫn với (1). Như vậy B phải thua \(A_{1}\).

Nếu B thắng \(A_{2}\) thì \(A_{1};B;A_{2};A_{3};...;A_{k}\) là cách sắp xếp có \(k + 1\) bạn và thỏa mãn yêu cầu bài toán, mâu thuẫn với (1). Như vậy B phải thua\(A_{2}\).

Lập luận tương tự như trên, ta thấy B phải thua \(A_{1};A_{2};A_{3};...;A_{k}\). Khi đó ta lại có cách xếp \(A_{1};A_{2};A_{3};...;A_{k};B\) có \(k + 1\) bạn và thỏa mãn yêu cầu bài toán, mâu thuẫn với (1).

Như vậy điều giả sử trên là sai. Vậy k = 10.

Hướng dẫn giải

Gọi x (đồng) là giá tiền của chiếc ti vi lúc nhập về. Rõ ràng x > 0.

Ta có tiền lãi của chiếc tivi đó khi bán là \(10\% = \frac{x}{10}\) (đồng), suy ra giá bán của chiếc tivi là \(x + \frac{x}{10} = \frac{11x}{10}\) (đồng)

Nếu cửa hàng này nâng giá của chiếc tivi thêm 5% so với giá đã bán thì số tiền lãi thêm là \(\frac{11x}{10}.5\% = \frac{11x}{200}\) (đồng).

Thế thì, sau khi tăng thêm 5% giá đã bán thì giá mới của chiếc tivi (khi chưa giảm giá) là \(\frac{11x}{10} - \frac{11x}{200} = \frac{231x}{200}\) (đồng).

Khi giảm cho khách hàng 245000 đồng thì giá bán là \(\frac{231x}{200} - 245000\) (đồng).

Với giá này thì cửa hàng thu được lãi 12% của giá nhập về, tức là bằng \(12\%.x = \frac{3x}{25}\) (đồng).

Như vậy ta có phương trình: \(\left( \frac{231x}{200} - 245000 \right) - x = \frac{x}{25}\)

Giải phương trình này, ta được x = 7000000 (nhận). Vậy giá nhập về của chiếc ti vi là x = 7000000 đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi a; b tương ứng là số viên bi mà hai bạn An và Bình hiện có và x là số viên bi mà bạn An nói tới trong đề.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix} a + x = 6(b - x) \\ a - x = 3(b + x) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6b - 7x \\ a = 3b + 4x \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow 6b - 7x = 3b + 4x \Leftrightarrow b = \frac{11}{3}x\)

Vì \(a;b;x\) là các số nguyên dương nên x bé nhất là bằng 3, suy ra b =11, a = 45.

Vậy số viên bi ít nhất mà bạn An có thể có là 45 viên.

Hướng dẫn giải

Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian mà mỗi đội một mình hoàn thành chi tiêu 80 cây xanh. Điều kiện: \(x > 0;y > 0\)

Trong một giờ, lớp 9A trồng được \(\frac{80}{x}\) (cây xanh) và lớp 9B trồng được \(\frac{80}{y}\) (cây xanh).

Lớp 9A trồng trong 2 giờ và lớp 9B trồng trong 1 giờ thì được 25 cây xanh nên ta có phương trình: \(2.\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 25\ \ \ (1)\)

Lớp 9A trồng trong 2 giờ và lớp 9B trồng trong 1 giờ thì được 23 cây xanh nên ta có phương trình: \(\frac{80}{x} + 2\frac{80}{y} = 23\ \ \ (1)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} 2.\frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 25 \\ \frac{80}{x} + 2\frac{80}{y} = 23 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{80}{x} = 9 \\ \frac{80}{y} = 7 \end{matrix} \right.\)

Do đó, trong một giờ cả hai lớp trồng được \(9 + 7 = 16\) (cây xanh).

Ta có: \(80:16 = 5\) (giờ).

Vậy nếu cả hai lớp cùng trồng với nhau thì sau 5 giờ hoàn thành chỉ tiêu được giao.

Hướng dẫn giải

Giả sử các câu lạc bộ đều không có quá 8 học sinh của lớp 9A tham gia

Gọi N là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh của lớp 9A

- Nếu N > 4 thì từ 5 trong số các câu lạc bộ này, ta chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh của lớp 9A, khi đó 10 học sinh này sẽ không thỏa mãn bài toán

- Nếu N < 4 thì tổng số học sinh của lớp 9A tham gia các câu lạc bộ này không quá \(3.8 = 24\), nghĩa là còn có ít nhất \(34 - 24 = 10\) học sinh của lớp 9A, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà mỗi câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh của lớp 9A.

Chọn 10 học sinh này thì không thỏa mãn điều kiện bài toán

- Nếu N = 4 thì số học sinh của lớp 9A tham gia 4 câu lạc bộ này không quá 4.8 = 32, nghĩa là còn có ít nhất 2 học sinh của lớp 9A, mỗi học sinh này tham gia 1 câu lạc bộ mà mỗi câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh lớp 9A.

Chọn 2 học sinh trong số những học sinh còn lại này và 4 câu lạc bộ trên mỗi câu lạc bộ chọn 2 học sinh của lớp 9A, khi đó 10 học sinh của lớp 9A được chọn không thỏa mãn điều kiện

Vậy điều giả sử ở trên sai, nghĩa là tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh của lớp 9A tham gia.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

-------------------------------------------------------------------

Tóm lại, việc thường xuyên luyện tập với bài tập Toán nâng cao lớp 9 không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức vững chắc mà còn tạo lợi thế cạnh tranh trong kỳ thi tuyển sinh vào 10. Thông qua hệ thống bài tập kèm đáp án chi tiết, học sinh có thể tự học, tự kiểm tra kết quả và rút kinh nghiệm để nâng cao kỹ năng làm bài.

Hy vọng rằng tài liệu này sẽ trở thành người bạn đồng hành hữu ích, giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, chinh phục các dạng toán khó và tự tin bước vào kỳ thi. Để đạt hiệu quả cao nhất, các em nên kết hợp học lý thuyết với luyện đề tổng hợp, tham khảo đề thi chính thức qua các năm và duy trì thói quen rèn luyện thường xuyên. Đây chính là chìa khóa để đạt kết quả vượt trội trong kỳ thi Toán vào 10.