VnDoc.com

Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm giá trị của x thỏa mãn A > m, A < m hoặc A = m

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức
II. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức
III. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A nâng cao
IV. Bài tập tự luyện về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 9. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bài tập tìm giá trị của x thỏa mãn A > m, A < m hoặc A = m được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức bất đẳng thức lớp 9, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Rút gọn biểu thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A = m

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần)
Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Bước 3: Lược bỏ mẫu
Bước 4: Tìm giá trị của x
Bước 5: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu

Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần)
Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Bước 3: Biện luận để tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m
Bước 4: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu

II. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $A = (\frac{1 + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{3 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}) : \frac{2}{x - \sqrt{x}}$ . Tìm x để A > 0

Hướng dẫn giải

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải chi tiết

$A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $A = (\frac{1 + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{3 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}) : \frac{2}{x - \sqrt{x}}$

Điều kiện xác định: $x > 0,x \ne 1$ $x > 0, x \neq 1$

$= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $= (\frac{1 + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}) : \frac{2}{x - \sqrt{x}}$

$= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= (\frac{1 + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{3}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{{1 + 2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \frac{1 + 2 \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1} : \frac{2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} : \frac{2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)$ $= \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} . \frac{\sqrt{x} . (\sqrt{x} - 1)}{2} = \sqrt{x} . (\sqrt{x} - 1)$

Để A > 0 thì $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$ $\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) > 0$

Vì $x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0$ $x > 0 \Rightarrow \sqrt{x} > 0$ nên để $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$ $\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) > 0$

$\Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} > 1 \Leftrightarrow x > 1$

Kết hợp với điều kiện $x > 0,x \ne 1 \Rightarrow x > 1$ $x > 0, x \neq 1 \Rightarrow x > 1$

Vậy với x > 1 thì A > 0

Bài 2: Cho biểu thức:

$A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $A = (\frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{1}{x + \sqrt{x} + 1}) : (1 + \frac{x - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1})$

Tìm x để A < 0.

Hướng dẫn giải

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $A = (\frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{1}{x + \sqrt{x} + 1}) : (1 + \frac{x - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1})$

Điều kiện xác định: $x \ge 0;x \ne 1$ $x \geq 0; x \neq 1$

$= \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $= [\frac{x + 2}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} + \frac{1}{x + \sqrt{x} + 1}] : (\frac{\sqrt{x} - 1 + x - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1})$

$= \frac{{x + 2 + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}}$ $= \frac{x + 2 + \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} . \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}$ $= \frac{x + \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} . \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Để A < 0 thì $\frac{1}{{x - 2}} < 0$ $\frac{1}{x - 2} < 0$ (tử và mẫu trái dấu)

Vì 1 > 0 nên để A < 0 $\Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ $\Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 1 \Rightarrow x > 2$ $x \geq 0; x \neq 1 \Rightarrow x > 2$

Vậy với x > 2 thì A < 0

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$ $A = \frac{x + 6 \sqrt{x} + 5}{x - 2 \sqrt{x} - 3}$ . Tìm x để A = -2

Hướng dẫn giải

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải chi tiết

$A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$ $A = \frac{x + 6 \sqrt{x} + 5}{x - 2 \sqrt{x} - 3}$

Điều kiện xác định: $x \ge 0;x \ne 3$ $x \geq 0; x \neq 3$

$= \frac{{x + \sqrt x + 5\sqrt x + 5}}{{x + \sqrt x - 3\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$ $= \frac{x + \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + 5}{x + \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) + 5 (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) - 3 (\sqrt{x} + 1)}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ $= \frac{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3}$

Để A = -2 $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x - 3}}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} = - 2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3} = \frac{- 2 (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} - 3}$

$\Leftrightarrow \sqrt x + 5 = - 2\sqrt x + 6$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} + 5 = - 2 \sqrt{x} + 6$

$\Leftrightarrow 3\sqrt x = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow 3 \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 3 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$ $x \geq 0; x \neq 3 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Vậy với $x = \frac{1}{9}$ $x = \frac{1}{9}$ thì A = -2

III. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A nâng cao

Bài 1: Cho biểu thức: $P = \frac{x^{2} - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2(x - 1)}{\sqrt{x} - 1}.$ $P = \frac{x^{2} - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2 x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2 (x - 1)}{\sqrt{x} - 1} .$

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

c. Xét biểu thức: $Q = \frac{2\sqrt{x}}{P},$ $Q = \frac{2 \sqrt{x}}{P},$ chứng tỏ rằng: 0 < Q < 2.

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định: $x > 0;x \neq 1.$ $x > 0; x \neq 1.$

$P = \frac{\sqrt{x}\left( x\sqrt{x} - 1 \right)}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}\left( 2\sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}} + \frac{2\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} - 1}$ $P = \frac{\sqrt{x} (x \sqrt{x} - 1)}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} + \frac{2 (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1}$

$= \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right) - \left( 2\sqrt{x} + 1 \right) + 2\left( \sqrt{x} + 1 \right)$ $= \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) - (2 \sqrt{x} + 1) + 2 (\sqrt{x} + 1)$

$= x - \sqrt{x} + 1$ $= x - \sqrt{x} + 1$

Vậy $P = x - \sqrt{x} + 1$ $P = x - \sqrt{x} + 1$ , với $x > 0;x \neq 1.$ $x > 0; x \neq 1.$

b. $P = x - \sqrt{x} + 1 = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ $P = x - \sqrt{x} + 1 = {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ ( thỏa mãn)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ khi $x = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4}$ .

c. Với $x > 0;x \neq 1$ $x > 0; x \neq 1$ thì Q = $\frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$ $\frac{2 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$ > 0. (1)

Xét $2 - \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = \frac{2\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{x - \sqrt{x} + 1} \geq 0$ $2 - \frac{2 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = \frac{2 {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{x - \sqrt{x} + 1} \geq 0$

Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện $x \neq 1$ $x \neq 1$ .

Nên Q < 2. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.

Bài 2: Cho $A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x -5\sqrt{x} + 6} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}}$ $A = \frac{2 \sqrt{x} - 9}{x - 5 \sqrt{x} + 6} + \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}}$ $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$ $(x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9)$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để $A = - \frac{1}{2}$ $A = - \frac{1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2}$ $A = \frac{2 \sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2}$

$= \frac{2\sqrt{x} - 9 + (2\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}$ $= \frac{2 \sqrt{x} - 9 + (2 \sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{2\sqrt{x} - 9 + 2x - 4\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 - x + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}$ $= \frac{2 \sqrt{x} - 9 + 2 x - 4 \sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 - x + 9}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{x - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ $= \frac{x - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$

Vậy $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ với $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$ $(x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9)$ .

b. Với $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$ $(x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9)$ Ta có:

$A = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = - \frac{1}{2}$ $A = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x} + 2 = - \sqrt{x} + 3$ $\Leftrightarrow 2 \sqrt{x} + 2 = - \sqrt{x} + 3$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$ $\Leftrightarrow 3 \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9} (t m)$

Vậy $A = - \frac{1}{2}$ $A = - \frac{1}{2}$ khi $x = \frac{1}{9}$ $x = \frac{1}{9}$ .

Bài 3: Cho biểu thức $A = 1 + (\frac{2x +\sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x\sqrt{x}}).\frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$ $A = 1 + (\frac{2 x + \sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2 x \sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x \sqrt{x}}) . \frac{x - \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} - 1}$ .

a) Tìm các giá trị của x để $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5}$ $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5}$ .

b) Chứng minh rằng $A > \frac{2}{3}$ $A > \frac{2}{3}$ với mọi x thoả mãn $x \geq 0,\ \ x \neq 1,\ x \neq \frac{1}{4}$ $x \geq 0, x \neq 1, x \neq \frac{1}{4}$ .

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $A = 1 + (\frac{2x + \sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x\sqrt{x}}).\frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$ $A = 1 + (\frac{2 x + \sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2 x \sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x \sqrt{x}}) . \frac{x - \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} - 1}$

$= 1 + \left\lbrack \frac{(2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x})\left( 1 + \sqrt{x} \right)} - \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)} \right\rbrack.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} - 1}$ $= 1 + [\frac{(2 \sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})} - \frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x}) (x + \sqrt{x} + 1)}] . \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{2 \sqrt{x} - 1}$

$= 1 - \left\lbrack 1 - \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{x + \sqrt{x} + 1} \right\rbrack.\sqrt{x}$ $= 1 - [1 - \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{x + \sqrt{x} + 1}] . \sqrt{x}$

$= 1 - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ $= 1 - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$

Ta có $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow x - \sqrt{6}.\sqrt{x} + 1 = 0$ $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow x - \sqrt{6} . \sqrt{x} + 1 = 0$ .

Từ đó giải được $x = 2 + \sqrt{3};\ x = 2 - \sqrt{3}$ $x = 2 + \sqrt{3}; x = 2 - \sqrt{3}$

b. Ta có:

$A > \frac{2}{3} \Leftrightarrow\frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} > \frac{2}{3}$ $A > \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} > \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$ $\Leftrightarrow x - 2 \sqrt{x} + 1 > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$

Do $x \neq 1$ $x \neq 1$ nên $\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$ $\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$ .

Vậy $A > \frac{2}{3}$ $A > \frac{2}{3}$ điều phải chứng minh.

Bài 4: Cho biểu thức:

$P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}+ \dfrac{8\sqrt{x} + 8}{x + 2\sqrt{x}} - \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}\right):\left( \dfrac{x + \sqrt{x} + 3}{x + 2\sqrt{x}} +\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)$ $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{8 \sqrt{x} + 8}{x + 2 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}) : (\frac{x + \sqrt{x} + 3}{x + 2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}})$

a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng $P \leq 1$ $P \leq 1$ .

b) Tìm x thoả mãn: $\left( \sqrt{x} + 1 \right).P = 1$ $(\sqrt{x} + 1) . P = 1$

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định x > 0

Ta có:

$P = \frac{(\sqrt{x})^{2} + (8\sqrt{x} + 8) - (\sqrt{x} + 2)^{2}}{\sqrt{x}.(\sqrt{x} + 2)}:\frac{(x + \sqrt{x} + 3) + (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}.(\sqrt{x} + 2)}$ $P = \frac{(\sqrt{x})^{2} + (8 \sqrt{x} + 8) - (\sqrt{x} + 2)^{2}}{\sqrt{x} . (\sqrt{x} + 2)} : \frac{(x + \sqrt{x} + 3) + (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} . (\sqrt{x} + 2)}$

$P = \frac{4\sqrt{x} + 4}{x + 2\sqrt{x} + 5}$ $P = \frac{4 \sqrt{x} + 4}{x + 2 \sqrt{x} + 5}$

$\Rightarrow P - 1 = \frac{4\sqrt{x} + 4}{x + 2\sqrt{x} + 5} - 1 = \frac{- \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2} + 4} \leq 0$ $\Rightarrow P - 1 = \frac{4 \sqrt{x} + 4}{x + 2 \sqrt{x} + 5} - 1 = \frac{- {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + 4} \leq 0$

$\Rightarrow P - 1 \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$ $\Rightarrow P - 1 \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$

Vậy $P \leq 1$ $P \leq 1$

b. Theo đề bài ta có:

$(\sqrt{x} + 1).P = 1$ $(\sqrt{x} + 1) . P = 1$

$\Leftrightarrow 4\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2} = x + 2\sqrt{x} + 5$ $\Leftrightarrow 4 {(\sqrt{x} + 1)}^{2} = x + 2 \sqrt{x} + 5$

$\Leftrightarrow 3x + 6\sqrt{x} - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 3 x + 6 \sqrt{x} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} = \dfrac{- 3 - 2\sqrt{3}}{3}(L) \\ \sqrt{x} = \dfrac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}(tm) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \dfrac{7 - 4\sqrt{3}}{3}$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{x} = \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3} (L) \\ \sqrt{x} = \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3} (t m) \end{matrix} \Leftrightarrow x = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{3}$

Vậy $\left( \sqrt{x} + 1 \right).P = 1$ $(\sqrt{x} + 1) . P = 1$ khi $x = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{3}$ $x = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{3}$

Bài 5. Cho biểu thức:

$A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right)$ $A = (1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1})$

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tính A biết $x = 4 + 2\sqrt{3}$ $x = 4 + 2 \sqrt{3}$

c. Tìm giá trị của x để A > 1.

Hướng dẫn giải

Cần chỉ rõ điều kiện xác định của A là: $x \geq 0;x \neq \pm 1.$ $x \geq 0; x \neq \pm 1.$

Rút gọn A từng phần ta như sau:

$A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right)$ $A = (1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1})$

$A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = (1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1}) : [\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x}}{x (\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} - 1)}]$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} : [\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2 \sqrt{x}}{(x + 1) (\sqrt{x} - 1)}]$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{x + 1 - 2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} : [\frac{x + 1 - 2 \sqrt{x}}{(x + 1) (\sqrt{x} - 1)}]$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} : [\frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(x + 1) (\sqrt{x} - 1)}]$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\frac{\sqrt{x} - 1}{x + 1}$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} : \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 1}$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x +1}.\frac{x + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} . \frac{x + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

b. Ta có: $x = 4 + 2\sqrt{3} = \left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}$ $x = 4 + 2 \sqrt{3} = {(\sqrt{3} + 1)}^{2}$

- Thay vào và rút gọn A ta có:

$A = \frac{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2} + \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} + 1}{\sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} - 1} = 2\sqrt{3} + 3$ $A = \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2} + \sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} - 1} = 2 \sqrt{3} + 3$

c. Xét hiệu: $A - 1 = \frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}.$ $A - 1 = \frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1} .$

Để A > 1 tức: A - 1 > 0 mà $x \geq 0$ $x \geq 0$ buộc $\sqrt{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.$ $\sqrt{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.$

IV. Bài tập tự luyện về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ $A = (\frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2 \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1}) : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \ge 0;x \ne 1$ $x \geq 0; x \neq 1$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A < 0

Bài 2: Cho biểu thức $A = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$ $A = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A > 0

Bài 3: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).{\left( {\frac{{1 - x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$ $A = (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2 \sqrt{x} + 1}) . {(\frac{1 - x}{\sqrt{2}})}^{2}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm x để A > 0

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}.\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) - 3$ $A = \frac{x^{2}}{x - 2} . (\frac{x^{2} + 4}{x} - 4) - 3$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm x để A = 0

c, Tìm x để A = 3x - 9

Bài 5: Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$ $P = (\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}) : (\frac{2 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1)$

a, Rút gọn P

b, Tìm x để $P < \frac{{ - 1}}{2}$ $P < \frac{- 1}{2}$

Bài 6: Cho biểu thức $P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$ $P = (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2 \sqrt{x} - 2}{x \sqrt{x} - \sqrt{x} + x - 1}) : (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1})$

a, Rút gọn P

b, Tìm x để |P| = P.

Bài 7. Cho biểu thức: $P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{x\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x + 1}}$ $P = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3}{x \sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - \sqrt{x} + 1}$

a. Rút gọn biểu thức P

b. Chứng minh rằng: 0 ≤ P ≤ 1.

-----------------

Ngoài chuyên đề tính giá trị của biểu thức tại một điểm cho trước Toán lớp 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán hay các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 như:

mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, đồng thời chuẩn bị tốt kiến thức để thi vào lớp 10 đạt được kết quả tốt nhất. Chúc các bạn ôn luyện và học tập tốt!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

17

12.615

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m

424,3 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán