VnDoc.com

Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm giá trị của x thỏa mãn A > m, A < m hoặc A = m

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức
II. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức
III. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A nâng cao
IV. Bài tập tự luyện về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Bài tập tìm giá trị của x thỏa mãn A > m, A < m hoặc A = m được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức bất đẳng thức lớp 9, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Rút gọn biểu thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A = m

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần).
Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Bước 3: Lược bỏ mẫu.
Bước 4: Tìm giá trị của x.
Bước 5: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu.

Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần).
Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Bước 3: Biện luận để tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m.
Bước 4: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu.

II. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$. Tìm x để A > 0.

Hướng dẫn giải

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải chi tiết

$A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$

Điều kiện xác định: $x > 0,x \ne 1$ $x > 0,x \ne 1$

$= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$

$= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{1 + 2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \frac{{1 + 2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)$ $= \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)$

Để A > 0 thì $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$ $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$

Vì $x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0$ $x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0$ nên để $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$ $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$

$\Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1$ $\Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1$

Kết hợp với điều kiện $x > 0,x \ne 1 \Rightarrow x > 1$ $x > 0,x \ne 1 \Rightarrow x > 1$

Vậy với x > 1 thì A > 0

Bài 2: Cho biểu thức:

$A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

Tìm x để A < 0.

Hướng dẫn giải

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

Điều kiện xác định: $x \ge 0;x \ne 1$ $x \ge 0;x \ne 1$

$= \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $= \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

$= \frac{{x + 2 + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}}$ $= \frac{{x + 2 + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}$ $= \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}$

Để A < 0 thì $\frac{1}{{x - 2}} < 0$ $\frac{1}{{x - 2}} < 0$ (tử và mẫu trái dấu)

Vì 1 > 0 nên để A < 0 $\Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ $\Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 1 \Rightarrow x > 2$ $x \ge 0;x \ne 1 \Rightarrow x > 2$

Vậy với x > 2 thì A < 0.

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$ $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$. Tìm x để A = -2.

Hướng dẫn giải

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải chi tiết

Xét biểu thức: $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$ $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$

Điều kiện xác định: $x \ge 0;x \ne 3$ $x \ge 0;x \ne 3$

$= \frac{{x + \sqrt x + 5\sqrt x + 5}}{{x + \sqrt x - 3\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$ $= \frac{{x + \sqrt x + 5\sqrt x + 5}}{{x + \sqrt x - 3\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ $= \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$

Để A = -2 $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x - 3}}$ $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x - 3}}$

$\Leftrightarrow \sqrt x + 5 = - 2\sqrt x + 6$ $\Leftrightarrow \sqrt x + 5 = - 2\sqrt x + 6$

$\Leftrightarrow 3\sqrt x = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow 3\sqrt x = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 3 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$ $x \ge 0;x \ne 3 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Vậy với $x = \frac{1}{9}$ $x = \frac{1}{9}$ thì A = -2.

Bài tập 5. Cho biểu thức: $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} + \frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}}$ $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} + \frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}}$ với a > 0, a ≠ 1. Chứng minh rằng $M > 4.$

Hướng dẫn giải

Do a > 0, a ≠ 1 nên:

$\frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}$ $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}$ và

$\frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}} = \frac{(a + 1)(a - 1) - \sqrt{a}(a - 1)}{\sqrt{a}(1 - a)}$ $\frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}} = \frac{(a + 1)(a - 1) - \sqrt{a}(a - 1)}{\sqrt{a}(1 - a)}$

$= \frac{(a - 1)(a - \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(1 - a)} = \frac{- a + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$ $= \frac{(a - 1)(a - \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(1 - a)} = \frac{- a + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$

⇒ $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + 2$ $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + 2$

Do $a > 0;\ \ a \neq 1$ $a > 0;\ \ a \neq 1$ nên: $(\sqrt{a} - 1)^{2} > 0\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ a + 1 > 2\sqrt{a}$ $(\sqrt{a} - 1)^{2} > 0\ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ a + 1 > 2\sqrt{a}$

⇒ $M > \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 2 = 4$ $M > \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 2 = 4$

Bài tập 6. Cho biểu thức: $A = \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \right):\left( 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right)$ $A = \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \right):\left( 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right)$

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm các giá trị của x để $\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}$ $\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}$

Hướng dẫn giải

1. Rút gọn biểu thức A.

$A = \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \right):\left( 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right)$ $A = \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} \right):\left( 2 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right)$ (ĐK: x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9)

A = … = $\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}$ $\frac{\sqrt{x} + 1}{x - 4}$

2. Tìm các giá trị của x để $\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}$ $\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2}$

$\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 1} \leq - \frac{5}{2}$ $\frac{1}{A} \leq - \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 1} \leq - \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow 2x - 8 \leq - 5\sqrt{x} - 5$ $\Leftrightarrow 2x - 8 \leq - 5\sqrt{x} - 5$

$\Leftrightarrow 2x + 5\sqrt{x} - 3 \leq 0$ $\Leftrightarrow 2x + 5\sqrt{x} - 3 \leq 0$

$\Leftrightarrow - 3 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow - 3 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 0 \leq \sqrt{x} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq x \leq \frac{1}{4}$

Kết hợp với điều kiện ⇒ $0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ $0 \leq x \leq \frac{1}{4}$

III. Bài tập tìm giá trị của x để biểu thức A nâng cao

Bài 1: Cho biểu thức: $P = \frac{x^{2} - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2(x - 1)}{\sqrt{x} - 1}.$ $P = \frac{x^{2} - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2(x - 1)}{\sqrt{x} - 1}.$

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

c. Xét biểu thức: $Q = \frac{2\sqrt{x}}{P},$ $Q = \frac{2\sqrt{x}}{P},$ chứng tỏ rằng: 0 < Q < 2.

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định: $x > 0;x \neq 1.$ $x > 0;x \neq 1.$

$P = \frac{\sqrt{x}\left( x\sqrt{x} - 1 \right)}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}\left( 2\sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}} + \frac{2\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} - 1}$ $P = \frac{\sqrt{x}\left( x\sqrt{x} - 1 \right)}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}\left( 2\sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}} + \frac{2\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} - 1}$

$= \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right) - \left( 2\sqrt{x} + 1 \right) + 2\left( \sqrt{x} + 1 \right)$ $= \sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right) - \left( 2\sqrt{x} + 1 \right) + 2\left( \sqrt{x} + 1 \right)$

$= x - \sqrt{x} + 1$ $= x - \sqrt{x} + 1$

Vậy $P = x - \sqrt{x} + 1$ $P = x - \sqrt{x} + 1$, với $x > 0;x \neq 1.$ $x > 0;x \neq 1.$

b. $P = x - \sqrt{x} + 1 = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ $P = x - \sqrt{x} + 1 = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ ( thỏa mãn)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ khi $x = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4}$.

c. Với $x > 0;x \neq 1$ $x > 0;x \neq 1$ thì Q = $\frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$ $\frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}$ > 0. (1)

Xét $2 - \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = \frac{2\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{x - \sqrt{x} + 1} \geq 0$ $2 - \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = \frac{2\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{x - \sqrt{x} + 1} \geq 0$

Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện $x \neq 1$ $x \neq 1$ .

Nên Q < 2. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2.

Bài 2: Cho $A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x -5\sqrt{x} + 6} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}}$ $A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{x -5\sqrt{x} + 6} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}}$ $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$ $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để $A = - \frac{1}{2}$ $A = - \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2}$ $A = \frac{2\sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2}$

$= \frac{2\sqrt{x} - 9 + (2\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}$ $= \frac{2\sqrt{x} - 9 + (2\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{2\sqrt{x} - 9 + 2x - 4\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 - x + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}$ $= \frac{2\sqrt{x} - 9 + 2x - 4\sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 - x + 9}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{x - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ $= \frac{x - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$

Vậy $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ với $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$ $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$.

b. Với $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$ $(x \geq 0,x \neq 4,x \neq 9)$ Ta có:

$A = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = - \frac{1}{2}$ $A = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x} + 2 = - \sqrt{x} + 3$ $\Leftrightarrow 2\sqrt{x} + 2 = - \sqrt{x} + 3$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$ $\Leftrightarrow 3\sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$

Vậy $A = - \frac{1}{2}$ $A = - \frac{1}{2}$ khi $x = \frac{1}{9}$ $x = \frac{1}{9}$.

Bài 3: Cho biểu thức $A = 1 + (\frac{2x +\sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x\sqrt{x}}).\frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$ $A = 1 + (\frac{2x +\sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x\sqrt{x}}).\frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$.

a) Tìm các giá trị của x để $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5}$ $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5}$.

b) Chứng minh rằng $A > \frac{2}{3}$ $A > \frac{2}{3}$ với mọi x thoả mãn $x \geq 0,\ \ x \neq 1,\ x \neq \frac{1}{4}$ $x \geq 0,\ \ x \neq 1,\ x \neq \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $A = 1 + (\frac{2x + \sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x\sqrt{x}}).\frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$ $A = 1 + (\frac{2x + \sqrt{x} - 1}{1 - x} - \frac{2x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{1 - x\sqrt{x}}).\frac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$

$= 1 + \left\lbrack \frac{(2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x})\left( 1 + \sqrt{x} \right)} - \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)} \right\rbrack.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} - 1}$ $= 1 + \left\lbrack \frac{(2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x})\left( 1 + \sqrt{x} \right)} - \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)} \right\rbrack.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} - 1}$

$= 1 - \left\lbrack 1 - \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{x + \sqrt{x} + 1} \right\rbrack.\sqrt{x}$ $= 1 - \left\lbrack 1 - \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{x + \sqrt{x} + 1} \right\rbrack.\sqrt{x}$

$= 1 - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ $= 1 - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$

Ta có $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow x - \sqrt{6}.\sqrt{x} + 1 = 0$ $A = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{6 - \sqrt{6}}{5} \Leftrightarrow x - \sqrt{6}.\sqrt{x} + 1 = 0$.

Từ đó giải được $x = 2 + \sqrt{3};\ x = 2 - \sqrt{3}$ $x = 2 + \sqrt{3};\ x = 2 - \sqrt{3}$

b. Ta có:

$A > \frac{2}{3} \Leftrightarrow\frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} > \frac{2}{3}$ $A > \frac{2}{3} \Leftrightarrow\frac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} > \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$ $\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$

Do $x \neq 1$ $x \neq 1$nên $\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$ $\sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow (\sqrt{x} - 1)^{2} > 0$.

Vậy $A > \frac{2}{3}$ $A > \frac{2}{3}$ điều phải chứng minh.

Bài 4: Cho biểu thức:

$P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}+ \dfrac{8\sqrt{x} + 8}{x + 2\sqrt{x}} - \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}\right):\left( \dfrac{x + \sqrt{x} + 3}{x + 2\sqrt{x}} +\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)$ $P = \left( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}+ \dfrac{8\sqrt{x} + 8}{x + 2\sqrt{x}} - \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}\right):\left( \dfrac{x + \sqrt{x} + 3}{x + 2\sqrt{x}} +\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)$

a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng $P \leq 1$ $P \leq 1$.

b) Tìm x thoả mãn: $\left( \sqrt{x} + 1 \right).P = 1$ $\left( \sqrt{x} + 1 \right).P = 1$.

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định x > 0

Ta có:

$P = \frac{(\sqrt{x})^{2} + (8\sqrt{x} + 8) - (\sqrt{x} + 2)^{2}}{\sqrt{x}.(\sqrt{x} + 2)}:\frac{(x + \sqrt{x} + 3) + (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}.(\sqrt{x} + 2)}$ $P = \frac{(\sqrt{x})^{2} + (8\sqrt{x} + 8) - (\sqrt{x} + 2)^{2}}{\sqrt{x}.(\sqrt{x} + 2)}:\frac{(x + \sqrt{x} + 3) + (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}.(\sqrt{x} + 2)}$

$P = \frac{4\sqrt{x} + 4}{x + 2\sqrt{x} + 5}$ $P = \frac{4\sqrt{x} + 4}{x + 2\sqrt{x} + 5}$

$\Rightarrow P - 1 = \frac{4\sqrt{x} + 4}{x + 2\sqrt{x} + 5} - 1 = \frac{- \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2} + 4} \leq 0$ $\Rightarrow P - 1 = \frac{4\sqrt{x} + 4}{x + 2\sqrt{x} + 5} - 1 = \frac{- \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2} + 4} \leq 0$

$\Rightarrow P - 1 \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$ $\Rightarrow P - 1 \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$

Vậy $P \leq 1$ $P \leq 1$

b. Theo đề bài ta có:

$(\sqrt{x} + 1).P = 1$ $(\sqrt{x} + 1).P = 1$

$\Leftrightarrow 4\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2} = x + 2\sqrt{x} + 5$ $\Leftrightarrow 4\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2} = x + 2\sqrt{x} + 5$

$\Leftrightarrow 3x + 6\sqrt{x} - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 6\sqrt{x} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} = \dfrac{- 3 - 2\sqrt{3}}{3}(L) \\ \sqrt{x} = \dfrac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}(tm) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \dfrac{7 - 4\sqrt{3}}{3}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} = \dfrac{- 3 - 2\sqrt{3}}{3}(L) \\ \sqrt{x} = \dfrac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}(tm) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \dfrac{7 - 4\sqrt{3}}{3}$

Vậy $\left( \sqrt{x} + 1 \right).P = 1$ $\left( \sqrt{x} + 1 \right).P = 1$ khi $x = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{3}$ $x = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{3}$.

Bài 5. Cho biểu thức:

$A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right)$ $A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right)$

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tính A biết $x = 4 + 2\sqrt{3}$ $x = 4 + 2\sqrt{3}$.

c. Tìm giá trị của x để A > 1.

Hướng dẫn giải

Cần chỉ rõ điều kiện xác định của A là: $x \geq 0;x \neq \pm 1.$ $x \geq 0;x \neq \pm 1.$

Rút gọn A từng phần ta như sau:

$A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right)$ $A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1} \right)$

$A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right):\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{x + 1 - 2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{x + 1 - 2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\frac{\sqrt{x} - 1}{x + 1}$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1}:\frac{\sqrt{x} - 1}{x + 1}$

$A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x +1}.\frac{x + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ $A = \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x +1}.\frac{x + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

b. Ta có: $x = 4 + 2\sqrt{3} = \left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}$ $x = 4 + 2\sqrt{3} = \left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}$

- Thay vào và rút gọn A ta có:

$A = \frac{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2} + \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} + 1}{\sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} - 1} = 2\sqrt{3} + 3$ $A = \frac{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2} + \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} + 1}{\sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} - 1} = 2\sqrt{3} + 3$

c. Xét hiệu: $A - 1 = \frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}.$ $A - 1 = \frac{x + 2}{\sqrt{x} - 1}.$

Để A > 1 tức: A - 1 > 0 mà $x \geq 0$ $x \geq 0$ buộc $\sqrt{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.$ $\sqrt{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.$

IV. Bài tập tự luyện về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ $A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$ $x \ge 0;x \ne 1$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A < 0

Bài 2: Cho biểu thức $A = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$ $A = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tìm x để A > 0.

Bài 3: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).{\left( {\frac{{1 - x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$ $A = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).{\left( {\frac{{1 - x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.

b, Tìm x để A > 0.

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}.\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) - 3$ $A = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}.\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) - 3$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A.

b, Tìm x để A = 0.

c, Tìm x để A = 3x - 9.

Bài 5: Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$ $P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$

a, Rút gọn P.

b, Tìm x để $P < \frac{{ - 1}}{2}$ $P < \frac{{ - 1}}{2}$.

Bài 6: Cho biểu thức $P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$ $P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$

a, Rút gọn P.

b, Tìm x để |P| = P.

Bài 7. Cho biểu thức: $P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{x\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x + 1}}$ $P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{x\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x + 1}}$

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Chứng minh rằng: 0 ≤ P ≤ 1.

-------------------------------------------------------------------------

Qua bài viết trên, các em học sinh đã được tìm hiểu chi tiết về cách tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m – một trong những dạng toán cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là chuyên đề giúp rèn luyện tư duy phân tích điều kiện, so sánh biểu thức và củng cố kỹ năng giải bất phương trình, phương trình chứa tham số – những nội dung cốt lõi trong chương trình Toán THCS.

Khi học chuyên đề này, học sinh cần chú ý đến việc xác định điều kiện xác định của biểu thức A, áp dụng các phép biến đổi đại số chính xác, đồng thời linh hoạt khi so sánh với m để tìm ra tập giá trị x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đặc biệt, học sinh cần luyện tập nhiều dạng bài như: biểu thức chứa căn, phân thức, biểu thức chứa tham số m... để nâng cao khả năng xử lý trong nhiều tình huống.

Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi vào lớp 10, các em nên kết hợp học chuyên đề tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m với các chuyên đề quan trọng khác trong chương trình Toán lớp 9 như: phương trình – bất phương trình, hệ phương trình, hàm số – đồ thị, chứng minh bất đẳng thức... Việc học đều và ôn luyện theo chuyên đề sẽ giúp các em có nền tảng vững chắc, làm bài thi nhanh, chính xác và hiệu quả hơn.

Hãy lưu lại bài viết và chia sẻ cho bạn bè cùng học, đồng thời đừng quên theo dõi thêm nhiều chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 khác trên website để sẵn sàng bước vào kỳ thi tuyển sinh với sự tự tin và kiến thức toàn diện!

Tải về

Chọn file muốn tải về: