VnDoc.com

Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm giá trị của x thỏa mãn A > m, A < m hoặc A = m

I. Nhắc lại về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức
II. Bài tập ví dụ về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức
III. Bài tập tự luyện về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 9. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bài tập tìm giá trị của x thỏa mãn A > m, A < m hoặc A = m được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng toán tìm giá trị của x để biểu thức thỏa mãn đẳng thức bất đẳng thức lớp 9, vốn là bài tập thường gặp trong câu hỏi phụ của phần Rút gọn biểu thức. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhắc lại về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

+ Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A = m

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần)

- Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

- Bước 3: Lược bỏ mẫu

- Bước 4: Tìm giá trị của x

- Bước 5: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu

+ Các bước khi giải bài toán tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức, rút gọn biểu thức (nếu cần)

- Bước 2: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

- Bước 3: Biện luận để tìm giá trị của x thỏa mãn A > m hoặc A < m

- Bước 4: Đối chiếu các giá trị của x vừa tìm được với điều kiện xác định ban đầu

II. Bài tập ví dụ về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$. Tìm x để A > 0

Hướng dẫn:

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải:

$A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $A = \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$

Điều kiện xác định: $x > 0,x \ne 1$ $x > 0,x \ne 1$

$= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$ $= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{2}{{x - \sqrt x }}$

$= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \left( {\frac{{1 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{1 + 2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \frac{{1 + 2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ $= \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)$ $= \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)$

Để A > 0 thì $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$ $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$

Vì $x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0$ $x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0$ nên để $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$ $\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) > 0$

$\Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1$ $\Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1$

Kết hợp với điều kiện $x > 0,x \ne 1 \Rightarrow x > 1$ $x > 0,x \ne 1 \Rightarrow x > 1$

Vậy với x > 1 thì A > 0

Bài 2: Cho biểu thức:

$A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

Tìm x để A < 0.

Hướng dẫn:

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải:

$A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $A = \left( {\frac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\left( {1 + \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

Điều kiện xác định: $x \ge 0;x \ne 1$ $x \ge 0;x \ne 1$

$= \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ $= \left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + \sqrt x + 1}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)$

$= \frac{{x + 2 + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}}$ $= \frac{{x + 2 + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}$ $= \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}$

Để A < 0 thì $\frac{1}{{x - 2}} < 0$ $\frac{1}{{x - 2}} < 0$ (tử và mẫu trái dấu)

Vì 1 > 0 nên để A < 0 $\Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ $\Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 1 \Rightarrow x > 2$ $x \ge 0;x \ne 1 \Rightarrow x > 2$

Vậy với x > 2 thì A < 0

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$ $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$. Tìm x để A = -2

Hướng dẫn:

Bước 1: bài toán chưa cho điều kiện để biểu thức có nghĩa nên trước tiên ta sẽ tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Bước 2: rút gọn biểu thức.

Bước 3: lập luận để biểu thức thỏa mãn yêu cầu đều bài.

Lời giải:

$A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$ $A = \frac{{x + 6\sqrt x + 5}}{{x - 2\sqrt x - 3}}$

Điều kiện xác định: $x \ge 0;x \ne 3$ $x \ge 0;x \ne 3$

$= \frac{{x + \sqrt x + 5\sqrt x + 5}}{{x + \sqrt x - 3\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$ $= \frac{{x + \sqrt x + 5\sqrt x + 5}}{{x + \sqrt x - 3\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$ $= \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$

Để A = -2 $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x - 3}}$ $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x - 3}}$

$\Leftrightarrow \sqrt x + 5 = - 2\sqrt x + 6$ $\Leftrightarrow \sqrt x + 5 = - 2\sqrt x + 6$

$\Leftrightarrow 3\sqrt x = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$ $\Leftrightarrow 3\sqrt x = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 3 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$ $x \ge 0;x \ne 3 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Vậy với $x = \frac{1}{9}$ $x = \frac{1}{9}$ thì A = -2

III. Bài tập tự luyện về cách tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng thức

Bài 1: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ $A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$ $x \ge 0;x \ne 1$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A < 0

Bài 2: Cho biểu thức $A = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$ $A = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tìm x để A > 0

Bài 3: Cho biểu thức $A = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).{\left( {\frac{{1 - x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$ $A = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).{\left( {\frac{{1 - x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm x để A > 0

Bài 4: Cho biểu thức $A = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}.\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) - 3$ $A = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}.\left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) - 3$

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b, Tìm x để A = 0

c, Tìm x để A = 3x - 9

Bài 5: Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$ $P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$

a, Rút gọn P

b, Tìm x để $P < \frac{{ - 1}}{2}$ $P < \frac{{ - 1}}{2}$

Bài 6: Cho biểu thức $P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$ $P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$

a, Rút gọn P

b, Tìm x để |P| = P

-----------------

Ngoài chuyên đề tính giá trị của biểu thức tại một điểm cho trước Toán lớp 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán hay các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 như:

mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, đồng thời chuẩn bị tốt kiến thức để thi vào lớp 10 đạt được kết quả tốt nhất. Chúc các bạn ôn luyện và học tập tốt!