Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau hoặc vuông góc với nhau

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

6 29.356

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau

I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông góc
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc
III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc hoặc trùng nhau là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Tìm m thỏa mãn điều kiện vị trí tương đối của hai đường thẳng", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông góc

+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b

- Hai đường thẳng cắt nhau (d cắt d’) khi a ≠a'

- Hai đường thẳng song song với nhau (d // d’) khi a = a' và b ≠b'

- Hai đường thẳng vuông góc (d ⊥ d') khi a.a’ = -1

- Hai đường thẳng trùng nhau khi a = a' và b = b'

+ Nếu bài toán cho 2 hàm số bậc nhất y = ax + b và y = a’x + b’ thì phải thêm điều kiện a ≠0 và a' ≠0

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc

Bài 1: Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = (5 - k).x + (4 - m). Tìm m, k để đồ thị của hai hàm số:

a, Trùng nhau

b, Song song với nhau

c, Cắt nhau

Lời giải:

Để hàm số y = kx + m - 2 là hàm số bậc nhất khi k ≠0

Để hàm số y = (5 - k)x + (4 - m) là hàm số bậc nhất khi 5 - k ≠0 ⇔ k ≠5

a, Để đồ thị của hai hàm số trùng nhau

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 5 - k\\ m - 2 = 4 - m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2k = 5\\ 2m = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{5}{2}\left( {tm} \right)\\ m = 3\left( {tm} \right) \end{array} \right.$

Vậy với $k = \frac{5}{2}$ ; m = 3 thì đồ thị của hai hàm số trùng nhau

b, Để đồ thị của hai hàm số song song với nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = 5 - k\\ m - 2 \ne 4 - m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k = \frac{5}{2}\\ m \ne 3 \end{array} \right.$

Vậy với $k = \frac{5}{2}$ ; m ≠3 thì đồ thị của hai hàm số song song với nhau

c, Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau ⇔ k ≠5 - k ⇔ 2k ≠5 ⇔ $k \ne \frac{5}{2}$

Vậy với $k \ne \frac{5}{2}$ thì hai đồ thị hàm số cắt nhau

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b, Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên Oy

c, Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên Ox

Lời giải:

Để hàm số là hàm số bậc nhất ⇔ 2m - 3 ≠0 ⇔ $m \ne \frac{3}{2}$

a, Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A. Tọa độ của điểm A là $A\left( {\frac{{5 - m}}{{2m - 3}};0} \right)$

Độ dài của đoạn $OA = \left| {\frac{{5m}}{{2m - 3}}} \right|$

Gọi giao điểm của hàm số với trục Oy là B. Tọa độ của điểm B là B (0; m - 5)

Độ dài của đoạn OB = | m - 5 |

Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại A

Để tam giác OAB là tam giác vuông cân $\Leftrightarrow \left| {\frac{{5 - m}}{{2m - 3}}} \right| = \left| {m - 5} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\left( {tm} \right)\\ m = 2\left( {tm} \right) \end{array} \right.$

Vậy với m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân

b, Gọi A là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục Oy (trục tung)

⇒ A (0; b)

Thay tọa độ điểm A vào đồ thị hàm số y = 3x - 4 ta có b = 4

Điểm A(0; 4) thuộc đồ thị hàm số y = (2m - 3)x + m - 5 nên ta có

4 = (2m - 3). 0 + m - 5 ⇔ m - 5 = 4 ⇔ m = 9 (thỏa mãn)

Vậy với m = 9 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục tung

c, Gọi B là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - x - 3 tại một điểm trên trục Ox (trục hoành)

⇒ B (a; 0)

Thay tọa độ điểm B vào đồ thị hàm số y = - x - 3 ta có a = - 3

Điểm B (-3; 0) thuộc đồ thị hàm số y = -x - 3 nên ta có:

0 = (-3). (2m - 3) + m - 5 ⇔ -5m + 4 = 0 ⇔ m = $\frac{4}{5}$ (thỏa mãn)

Vậy với thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên trục hoành

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d₁): y = (m + 1)x + 2 và (d₂): y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu

Lời giải:

Để hai đường thẳng cắt nhau thì m + 1 ≠2 ⇔ m ≠1

Phương trình hoành độ giao điểm:

(m + 1) x + 2 = 2x + 1

⇔ mx + x + 2 = 2x + 1

⇔ x (m + 1 - 2) = -1

⇔ x (m - 1) = -1

$\Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{{m - 1}}$

Với $x = \frac{{ - 1}}{{m - 1}} \Rightarrow y = 2.\left( {\frac{{ - 1}}{{m - 1}}} \right) + 1 = \frac{{m - 3}}{{m - 1}}$

Để hoành độ và tung độ trái dấu thì x.y < 0

$\Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{m - 1}}.\frac{{m - 3}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - m}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} < 0$ (tử và mẫu trái dấu)

Mà (m - 1)² ≥ 0 với mọi m ≠1 ⇒ m > 3

Vậy với m > 3 thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu

Bài 4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = (m - 2)x + m + 3 và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1 đồng quy

Lời giải:

Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1. Khi đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} y = - x + 2\\ y = 2x - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right.$

Vậy A(1; 1)

Ba đường thẳng đồng quy nên đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m + 3 đi qua điểm A(1; 1)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có: 1 = 1.(m - 2) + m + 3 hay m = 0

Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng đồng quy

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài 1: Cho hàm số y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2k - 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là:

a, Hai đường thẳng cắt nhau

b, Hai đường thẳng song song với nhau

c, Hai đường thẳng trùng nhau

Bài 2: Cho hàm số y = mx + 4 và y = (2m - 3)x - 2. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a, Hai đường thẳng song song với nhau

b, Hai đường thẳng cắt nhau

c, Hai đường thẳng trùng nhau

d, Hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung

Bài 3: Cho hai hàm số y = 2x + m - 3 và y = 5x + 5 - 3m. Tìm m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Bài 4: Cho hai hàm số y = (m - 1)x + 3 và y = (3 - m)x + 1

a, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm só là hai đường thẳng song song với nhau

b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của 2 hàm số là hai đường thẳng cắt nhau

Bài 5: Cho hàm số y = mx - 2 (m khác 0). Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

Bài 6: Cho hàm số y = x + m. Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng x - y + 3 = 0

Bài 7: Tìm m để đường thẳng y = x + m² + 1 và đường thẳng y = 5 + (m - 1)x cắt nhau tại

a, Một điểm trên trục hoành

b, Một điểm trên trục tung

Bài 8: Cho hai hàm số bậc nhất y = (m - 1)x + 3 và y = (3 - m)x + 1

a, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau

b, Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau

Bài 9: Cho đường thẳng (d₁): y = x + 2 và đường thẳng (d₂): y = -2x + 2

a, Tìm tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂) bằng phép tính

b, Gọi giao điểm của (d₁) và (d₂) với trục Ox lần lượt là A và B. Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

Bài 10: Cho hàm số y = (2m - 1)x + n. Tìm m và n để đồ thị hàm số trên song song với đường thẳng y = 2x và đi qua A (1; 2)

Bài 11: Cho hàm số y = (m -1)x + 5 có đồ thị là đường thẳng (d) và đường thẳng (d₁): y = -x + 3, (d₂): y = x - 1. Tìm m để ba đường thẳng (d₁), (d₂), (d) đồng quy

-----------------

Ngoài chuyên đề tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau hoặc vuông góc với nhau Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm: