VnDoc.com

Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau hoặc vuông góc với nhau

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Ôn vào 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Đề thi

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau hoặc vuông góc với nhau là một dạng toán điển hình và thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra cũng như đề thi vào lớp 10. Đây là dạng toán ứng dụng kiến thức về hệ số góc, phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, từ đó xác định mối quan hệ hình học giữa hai đường thẳng.

Việc nắm vững cách tìm tham số mm m để các đường thẳng có vị trí đặc biệt (song song, vuông góc, trùng nhau, cắt nhau) không chỉ giúp học sinh giải quyết nhanh các bài tập cơ bản mà còn hỗ trợ rất nhiều trong các bài toán nâng cao liên quan đến hệ phương trình, hình học giải tích và ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải chi tiết và hệ thống bài tập minh họa có đáp án, giúp quá trình ôn luyện trở nên khoa học và hiệu quả.

Hình ảnh minh họa tài liệu:

Luyện thi vào lớp 10 môn Toán

I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông góc

+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b

- Hai đường thẳng cắt nhau (d cắt d’) khi $a \neq a'$

- Hai đường thẳng song song với nhau (d // d’) khi $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.$

- Hai đường thẳng vuông góc ( $d\bot d'$ ) khi a.a’

- Hai đường thẳng trùng nhau khi $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b = b' \\ \end{matrix} \right.$

+ Nếu bài toán cho 2 hàm số bậc nhất y = ax + b và y = a’x + b’ thì phải thêm điều kiện $a \neq 0,a' \neq 0$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc

Bài 1: Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = (5 - k).x + (4 - m). Tìm m, k để đồ thị của hai hàm số:

a, Trùng nhau b, Song song với nhau c, Cắt nhau

Lời giải:

Để hàm số y = kx + m - 2 là hàm số bậc nhất khi $k \neq 0$

Để hàm số y = (5 - k)x + (4 - m) là hàm số bậc nhất khi $5 - k \neq 0 \Leftrightarrow k \neq 5$

a, Để đồ thị của hai hàm số trùng nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 5 - k \\ m - 2 = 4 - m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2k = 5 \\ 2m = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = \frac{5}{2}(tm) \\ m = 3(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy với $k = \frac{5}{2};m = 3$ thì đồ thị của hai hàm số trùng nhau

b, Để đồ thị của hai hàm số song song với nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 5 - k \\ m - 2 \neq 4 - m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = \frac{5}{2} \\ m \neq 3 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy với $k = \frac{5}{2};m \neq 3$ thì đồ thị của hai hàm số song song với nhau

c, Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau $\Leftrightarrow k \neq 5 - k \Leftrightarrow 2k \neq 5 \Leftrightarrow k \neq \frac{5}{2}$

Vậy với $k \neq \frac{5}{2}$ thì hai đồ thị hàm số cắt nhau

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân.

b, Cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên Oy.

c, Cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên Ox.

Hướng dẫn giải

Để hàm số là hàm số bậc nhất $\Leftrightarrow 2m - 3 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{3}{2}$

Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A. Tọa độ của điểm A là $A\left( \frac{5 - m}{2m - 3};0 \right)$

Độ dài của đoạn $OA = \left| \frac{5m}{2m - 3} \right|$

Gọi giao điểm của hàm số với trục Oy là B. Tọa độ của điểm B là

Độ dài của đoạn

Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại A

Để tam giác OAB là tam giác vuông cân $\Leftrightarrow \left| \frac{5 - m}{2m - 3} \right| = |m - 5| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1(tm) \\ m = 2(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy với m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân

b, Gọi A là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục Oy (trục tung) $\Rightarrow A(0;b)$

Thay tọa độ điểm A vào đồ thị hàm số y = 3x - 4 ta có b = 4

Điểm A(0; 4) thuộc đồ thị hàm số y = (2m - 3)x + m - 5 nên ta có

$4 = (2m - 3).0 + m - 5 \Leftrightarrow m - 5 = 4 \Leftrightarrow m = 9(tm)$

Vậy với m = 9 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x - 4 tại một điểm trên trục tung

c, Gọi B là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - x - 3 tại một điểm trên trục Ox (trục hoành) $\Rightarrow B(a;0)$

Thay tọa độ điểm B vào đồ thị hàm số y = - x - 3 ta có a = - 3

Điểm B(-3; 0) thuộc đồ thị hàm số y = -x - 3 nên ta có:

$0 = ( - 3)(2m - 3) + m - 5 \Leftrightarrow - 5m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{4}{5}(tm)$

Vậy với $m = \frac{4}{5}$ thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x - 3 tại một điểm trên trục hoành.

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1): y = (m + 1)x + 2 và (d2): y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu.

Hướng dẫn giải

Để hai đường thẳng cắt nhau thì $m + 1 \neq 2 \Leftrightarrow m \neq 1$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\Leftrightarrow mx + x + 2 = 2x + 1$

$\Leftrightarrow x(m + 1 - 2) = - 1$

$\Leftrightarrow x(m - 1) = - 1$

$\Rightarrow x = \frac{- 1}{m - 1}x = \frac{- 1}{m - 1}$

$\Rightarrow y = 2.\left( \frac{- 1}{m - 1} \right) + 1 = \frac{m - 3}{m - 1}$

Để hoành độ và tung độ trái dấu thì x.y < 0

$\Leftrightarrow \frac{- 1}{m - 1}.\frac{m - 3}{m - 1} < 0 \Leftrightarrow \frac{3 - m}{(m - 1)^{2}} < 0$ (tử và mẫu trái dấu)

Mà $(m - 1)^{2} \geq 0\ \ \forall m \neq 1 \Rightarrow 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3$

Vậy với m > 3 thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu.

Bài 4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = (m - 2)x + m + 3 và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1 đồng quy.

Hướng dẫn giải

Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số y = -x + 2 và y = 2x - 1.

Khi đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} y = - x + 2 \\ y = 2x - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix} \right.$

Vậy A(1; 1)

Ba đường thẳng đồng quy nên đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m + 3 đi qua điểm A(1; 1)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có: 1 = 1.(m - 2) + m + 3 hay m = 0

Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng đồng quy.

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài tập 1. Cho hàm số bậc nhất : y = ( 2m – 5 )x + 3 với $m \neq \frac{5}{2}$ có đồ thị là đường thẳng d .Tìm giá trị của m để

a) Góc tạo bởi (d) và và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến, nghịch biến)

b) (d) đi qua điểm (2 ; -1)

c) (d) song song với đường thẳng y = 3x – 4

d) (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1

e) (d) luôn cắt đường thẳng 2x – 4y – 3 = 0

f) (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoành độ là -2

g) (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoành độ âm)

h) (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)

i) (d) cắt đường thẳng y = 5x – 3 tại điểm có tung độ dương ( hoặc ở trên trục hoành).

Bài tập 2. Cho đường thẳng d có phương trình y = ( m + 1)x – 3n + 6 . Tìm m và n để:

a) (d) song song với đường thẳng y = -2x + 5 và đi qua điểm (2; -1)

b) (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1.

c)(d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là $\frac{3}{2}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1.

d) (d) song song với đường thẳng y = 2x + 3 và cắt đường thẳng y= 3x + 2 tại điểm có hoành độ là 1

e) (d) đi qua diểm (-3; -3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.

Bài tập 3. Cho hai hàm số bậc nhất y = ( m + 3 )x + 2m + 1 và y = 2mx - 3m - 4 có đồ thị tương ứng là (d₁) và (d₂). Tìm m để :

a. (d₁) và (d₂) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau

b. (d₁) và (d₂) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung

c. (d₁) cắt (d₂) tại một điểm trên trục hoành

d. (d₁) cắt (d₂) tại một điểm nằm bên phải trục tung

e. (d₁) cắt (d₂) tại một điểm nằm bên dưới trục hoành

f. (d₁) cắt (d₂) tại điểm ( 1 ; -2 )

g. Chứng tỏ khi m thay đổi thì đường thẳng (d₁) luôn đi qua một điểm cố định , đường thẳng (d₂) luôn đi qua một điểm cố định.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Hàm số có a = 2m – 5 ; b = 3

a) Góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc nhọn, góc tù

Góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc nhọn khi đường thẳng d có hệ số a > 0

$\Leftrightarrow$ 2m – 5 >0 $\Leftrightarrow$ m > $\frac{5}{2}$ (thỏa mãn)

Góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc tù khi đường thẳng d có hệ số a < 0

$\Leftrightarrow$ 2m – 5 < 0 $\Leftrightarrow$ m < $\frac{5}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc nhọn khi m > $\frac{5}{2}$

góc tạo bởi đường thẳng d và và trục Ox là góc tù khi m < $\frac{5}{2}$

a) (d) đi qua điểm (2; -1)

Thay x = 2; y = -1 vào phương trình đường thẳng d ta có

-1 = 2. (2m - 5) + 3 $\Leftrightarrow$ 4m – 10 + 3 = -1 $\Leftrightarrow$ m = $\frac{3}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy với m = $\frac{3}{2}$ thì (d) đi qua điểm (2; -1)

Chú ý : Phải viết là “Thay x = 2; y = -1 vào phương trình đường thẳng d”, không được viết là “Thay x = 2; y = -1 vào đường thẳng d”

a) (d) song song với đường thẳng y = 3x - 4

(d) song song với đường thẳng y = 3x - 4 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m - 5 = 3 \\ 3 \neq - 4 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 4 \\ 3 \neq - 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 4$ (thỏa mãn)

Vậy m = 4 là giá trị cần tìm

b) (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1

Ta có 3x + 2y = 1 $\Leftrightarrow y = - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

(d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 $\Leftrightarrow$ (d) song song với đường thẳng $y = - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - 5 = - \frac{3}{2} \\ 3 \neq \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \frac{7}{4} \\ 3 \neq \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \frac{7}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $m = \frac{7}{4}$ là giá trị cần tìm

c) (d) luôn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0

Ta có: 2x - 4y - 3 = 0 $\Leftrightarrow$ $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}$

(d) luôn cắt đường thẳng 2x - 4y - 3 = 0 $\Leftrightarrow$ (d) luôn cắt đường thẳng $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 2m - 5 \neq \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \neq \frac{11}{4}$ .

Kết hợp với điều kiên ta có $m \neq \frac{5}{2}$ và $m \neq \frac{11}{4}$ là giá trị cần tìm.

d) (d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoành độ là -2

Thay x = -2 vào phương trình đường thẳng 2x + y = -3 ta được 2. (-2) + y = -3

$\Leftrightarrow$ y = 1

(d) cắt đường thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2; 1).

Thay x = -2; y = 1 vào phương trình đường thẳng d ta có:

$\Leftrightarrow$ 1 = (2m – 5). (-2) + 3 $\Leftrightarrow$ -4m + 10 +3 = 1 $\Leftrightarrow$ m = 3 (thỏa mãn).

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

e) (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoành độ âm)

Thay y = 0 vào phương trình đường thẳng d ta có 0 = (2m - 5)x + 3 $\Leftrightarrow x = \frac{- 3}{2m - 5}$

(d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung $\Leftrightarrow \frac{- 3}{2m - 5} < 0 \Leftrightarrow 2m - 5 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{5}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $m > \frac{5}{2}$ là giá trị cần tìm.

f) (d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm (hoặc ở bên trái trục tung)

(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 $\Leftrightarrow$ 2m – 5 ≠ 3 $\Leftrightarrow$ $m \neq 4$

Hoành độ giao điểm của (d) và đường thẳng y = 3x + 1 là nghiệm của phương trình ẩn x sau :

( 2m – 5 )x + 3 = 3x + 1 $\Leftrightarrow$ ( 2m - 8)x = -2 $\Leftrightarrow x = \frac{- 2}{2m - 8}$ ( vì $m \neq 4$ )

(d) cắt đường thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm

$\Leftrightarrow \frac{- 2}{2m - 8} < 0 \Leftrightarrow 2m - 8 > 0 \Leftrightarrow m > 4$ ( thỏa mãn các điều kiện m $\neq$ $\frac{5}{2}$ và $m \neq 4$ )

Vậy m > 4 là giá trị cần tìm.

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!

-------------------------------------------------------------

Tóm lại, dạng toán Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau hoặc vuông góc với nhau là một trong những chuyên đề quan trọng của Toán 9 luyện thi vào lớp 10. Khi học sinh nắm vững điều kiện về hệ số góc, điều kiện vuông góc và song song, cùng với kỹ năng biến đổi phương trình, việc giải dạng toán này sẽ trở nên đơn giản và dễ dàng hơn rất nhiều.

Để đạt kết quả cao trong các kỳ thi, học sinh cần kết hợp việc học lý thuyết, luyện tập với nhiều dạng bài có đáp án chi tiết, đồng thời rèn luyện tư duy phân tích và phương pháp giải nhanh. Đây chính là nền tảng vững chắc không chỉ để chinh phục các đề thi vào 10 mà còn để học tốt môn Toán ở bậc THPT.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: