VnDoc.com

Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Bất đẳng thức Cauchy lớp 9

Bất đẳng thức AM - GM (Cauchy) là một trong những bất đẳng thức cơ bản và quan trọng bậc nhất trong Toán học, đặc biệt hữu ích trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức và các bài toán cực trị. Đây cũng là kiến thức xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán THCS, các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết, cách áp dụng AM - GM đúng cách, cùng với nhiều ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

A. Bất đẳng thức AM - GM dạng tổng quát (n số không âm)

Cho $a_{1}a_{2},...a_{n}, \geq 0,$ $a_{1} a_{2}, . . . a_{n}, \geq 0,$ ta có

$\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1},a_{2},...a_{n}}.$ $\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}, a_{2}, . . . a_{n}} .$

Đẳng thức xảy ra khi: $a_{1} = a_{2} = ... = a_{n},$ $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n},$

B. Bất đẳng thức AM - GM dạng cụ thể (2 số, 3 số không âm)

1. Bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm

Cho hai số a, b ≥ 0 ta có: $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ .

Đẳng xảy ra khi: a = b.

Chứng minh

Xét hiệu, ta được:

$a + b - 2\sqrt{ab} = \left( \sqrt{a} \right)^{2} - 2\sqrt{ab} + \left( \sqrt{b} \right)^{2}$ $a + b - 2 \sqrt{a b} = {(\sqrt{a})}^{2} - 2 \sqrt{a b} + {(\sqrt{b})}^{2}$

$= \left( \sqrt{a} - \sqrt{b}\ \right)^{2} \geq 0\ \forall a,b \geq 0.$ $= {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 \forall a, b \geq 0.$

Đẳng thức xảy ra khi a = b;

2. Bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm

Cho ba số a, b, c ≥ 0 ta có: $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}.$ $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c} .$

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c

Chứng minh

Ta đặt $x^{3} = a,\ y^{3} = b,z^{3} = c\ (x,y,z) \geq 0$ $x^{3} = a, y^{3} = b, z^{3} = c (x, y, z) \geq 0$

Ta cần chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz;$ $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z;$

Thật vậy, ta có:

$x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz\ (x + y)^{3} + z^{3} - 3xy(x + y + z) \geq 0$ $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z (x + y)^{3} + z^{3} - 3 x y (x + y + z) \geq 0$

$(x + y + z)\lbrack(x + y)^{2} - (x + y)z + z^{2} - 3xy\rbrack \geq 0$ $(x + y + z) [(x + y)^{2} - (x + y) z + z^{2} - 3 x y] \geq 0$

$(x + y + z)\left\lbrack \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) - (xy + yz + zx) \right\rbrack \geq 0$ $(x + y + z) [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (x y + y z + z x)] \geq 0$

$\frac{1}{2}(x + y + z)\left\lbrack (x - y)^{2} + (y - x)^{2} + (z - x)^{2} \right\rbrack \geq 0,\ \forall x,y,z \geq 0$ $\frac{1}{2} (x + y + z) [(x - y)^{2} + (y - x)^{2} + (z - x)^{2}] \geq 0, \forall x, y, z \geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z\ hay\ a = b = c;$ $x = y = z h a y a = b = c;$

C. Bài tập bất đẳng thức AM-GM có lời giải

Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng: (a²+b²)(b²+c²)(c²+a²)≥8a²b²c²

Hướng dẫn giải

Sai lầm hay gặp: $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2ab \\ b^{2} + c^{2} \geq 2bc \\ c^{2} + a^{2} \geq 2ca \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \\ b^{2} + c^{2} \geq 2 b c \\ c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \end{matrix}$ $\Rightarrow (a^{2} + b^{2})(b^{2} + c^{2})(c^{2} + a^{2}) \geq 8a^{2}b^{2}ac^{2}$ $\Rightarrow (a^{2} + b^{2}) (b^{2} + c^{2}) (c^{2} + a^{2}) \geq 8 a^{2} b^{2} a c^{2}$ (sai)

Ví dụ 2. Cho a.b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$(a + b)(b + c)(c + a) \geq \frac{8}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $(a + b) (b + c) (c + a) \geq \frac{8}{9} (a + b + c) (a b + b c + c a)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $(a + b) (b + c) (c + a)$ $= (a^{2}b + a^{2}c) + (b^{2}a + b^{2}c) + (c^{2}a + c^{2}b) + 2abc$ $= (a^{2} b + a^{2} c) + (b^{2} a + b^{2} c) + (c^{2} a + c^{2} b) + 2 a b c$

Ta có: $(a + b + c) (a b + b c + c a)$ $= (a^{2}b + a^{2}c) + (b^{2}a + b^{2}c) + (c^{2}a + c^{2}b) + 3abc$ $= (a^{2} b + a^{2} c) + (b^{2} a + b^{2} c) + (c^{2} a + c^{2} b) + 3 a b c$

$\Rightarrow (a + b)(b + c)(c + a)$ $\Rightarrow (a + b) (b + c) (c + a)$ $= (a + b + c) (a b + b c + c a) - a b c$

Mặt khác, ta có:

$(a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9abc$ $(a + b + c) (a b + b c + c a) \geq 9 a b c$

$\ \Rightarrow \ - abc \geq - \frac{1}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $\Rightarrow - a b c \geq - \frac{1}{9} (a + b + c) (a b + b c + c a)$

Vậy: $(a + b)(b + c)(c + a) \geq \frac{8}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $(a + b) (b + c) (c + a) \geq \frac{8}{9} (a + b + c) (a b + b c + c a)$

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c.

Ví dụ 3. Cho a,b là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$ $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$ .

Hướng dẫn giải

Thực hiện xét hiệu, ta được.

$\frac{a^{3} + b^{3}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{3} = \frac{4(a^{3} + b^{3}) - (a + b)^{3}}{8}$ $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{3} = \frac{4 (a^{3} + b^{3}) - (a + b)^{3}}{8}$

$= \frac{3\left\lbrack a^{3} + b^{3} - ab(a + b) \right\rbrack}{8} \geq 0$ $= \frac{3 [a^{3} + b^{3} - a b (a + b)]}{8} \geq 0$

Mặt khác: a³+b³ ≥ ab.(a+b)

Vậy $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$ $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$

Đẳng thức đúng khi: a = b.

Nhận xét: Ta có thể viết dạng: $a^{3} + b^{3} \geq \frac{1}{4}(a + b)^{3}$ $a^{3} + b^{3} \geq \frac{1}{4} (a + b)^{3}$

Ví dụ 4. Cho a,b là hai số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$ $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{ab} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$ $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$

Vì: $0 < \ ab \leq \frac{(a + b)^{2}}{4} \Rightarrow \frac{1}{ab} \geq \frac{4}{(a + b)^{2}} \Leftrightarrow \frac{2}{ab} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$ $0 < a b \leq \frac{(a + b)^{2}}{4} \Rightarrow \frac{1}{a b} \geq \frac{4}{(a + b)^{2}} \Leftrightarrow \frac{2}{a b} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi: a = b

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài 1. Cho ab ≥ 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + ab}$ $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

Bài 2. Cho a, b là hai sô thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$ $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + a b}$ .

Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9$ $(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9$ .

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

---------------------------------------

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ bản chất và cách sử dụng bất đẳng thức AM - GM (Cauchy) trong giải toán. Đây là công cụ không thể thiếu trong kho tàng bất đẳng thức Toán học, đặc biệt khi xử lý các bài toán cực trị. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều bài tập ứng dụng để vận dụng linh hoạt bất đẳng thức này trong mọi tình huống. Đừng quên theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chuyên đề hay và tài liệu học tập chất lượng nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

15

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

386,3 KB

File word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Thi vào lớp 10

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Trắc nghiệm

Bài tập Cuối tuần

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán

Môn Ngữ văn