VnDoc.com

Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bất đẳng thức Cauchy lớp 9

A. Bất đẳng thức AM - GM dạng tổng quát (n số không âm)
B. Bất đẳng thức AM - GM dạng cụ thể (2 số, 3 số không âm)
- 1. Bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm
- 2. Bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm
C. Bài tập bất đẳng thức AM-GM có lời giải
D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bất đẳng thức AM - GM (Cauchy) là một trong những bất đẳng thức cơ bản và quan trọng bậc nhất trong Toán học, đặc biệt hữu ích trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức và các bài toán cực trị. Đây cũng là kiến thức xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán THCS, các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết, cách áp dụng AM - GM đúng cách, cùng với nhiều ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

A. Bất đẳng thức AM - GM dạng tổng quát (n số không âm)

Cho $a_{1}a_{2},...a_{n}, \geq 0,$ $a_{1}a_{2},...a_{n}, \geq 0,$ ta có

$\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1},a_{2},...a_{n}}.$ $\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1},a_{2},...a_{n}}.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a_{1} = a_{2} = ... = a_{n},$ $a_{1} = a_{2} = ... = a_{n},$

B. Bất đẳng thức AM - GM dạng cụ thể (2 số, 3 số không âm)

1. Bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm

Cho hai số a, b ≥ 0 ta có: $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$ $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$.

Đẳng xảy ra khi: a = b.

Chứng minh

Xét hiệu, ta được:

$a + b - 2\sqrt{ab} = \left( \sqrt{a} \right)^{2} - 2\sqrt{ab} + \left( \sqrt{b} \right)^{2}$ $a + b - 2\sqrt{ab} = \left( \sqrt{a} \right)^{2} - 2\sqrt{ab} + \left( \sqrt{b} \right)^{2}$

$= \left( \sqrt{a} - \sqrt{b}\ \right)^{2} \geq 0\ \forall a,b \geq 0.$ $= \left( \sqrt{a} - \sqrt{b}\ \right)^{2} \geq 0\ \forall a,b \geq 0.$

Đẳng thức xảy ra khi a = b;

2. Bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm

Cho ba số a, b, c ≥ 0 ta có: $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}.$ $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}.$

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c

Chứng minh

Ta đặt $x^{3} = a,\ y^{3} = b,z^{3} = c\ (x,y,z) \geq 0$ $x^{3} = a,\ y^{3} = b,z^{3} = c\ (x,y,z) \geq 0$

Ta cần chứng minh: $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz;$ $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz;$

Thật vậy, ta có:

$x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz\ (x + y)^{3} + z^{3} - 3xy(x + y + z) \geq 0$ $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz\ (x + y)^{3} + z^{3} - 3xy(x + y + z) \geq 0$

$(x + y + z)\lbrack(x + y)^{2} - (x + y)z + z^{2} - 3xy\rbrack \geq 0$ $(x + y + z)\lbrack(x + y)^{2} - (x + y)z + z^{2} - 3xy\rbrack \geq 0$

$(x + y + z)\left\lbrack \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) - (xy + yz + zx) \right\rbrack \geq 0$ $(x + y + z)\left\lbrack \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) - (xy + yz + zx) \right\rbrack \geq 0$

$\frac{1}{2}(x + y + z)\left\lbrack (x - y)^{2} + (y - x)^{2} + (z - x)^{2} \right\rbrack \geq 0,\ \forall x,y,z \geq 0$ $\frac{1}{2}(x + y + z)\left\lbrack (x - y)^{2} + (y - x)^{2} + (z - x)^{2} \right\rbrack \geq 0,\ \forall x,y,z \geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z\ hay\ a = b = c;$ $x = y = z\ hay\ a = b = c;$

C. Bài tập bất đẳng thức AM-GM có lời giải

Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng: (a²+b²)(b²+c²)(c²+a²)≥8a²b²c²

Hướng dẫn giải

Sai lầm hay gặp: $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2ab \\ b^{2} + c^{2} \geq 2bc \\ c^{2} + a^{2} \geq 2ca \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2ab \\ b^{2} + c^{2} \geq 2bc \\ c^{2} + a^{2} \geq 2ca \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow (a^{2} + b^{2})(b^{2} + c^{2})(c^{2} + a^{2}) \geq 8a^{2}b^{2}ac^{2}$ $\Rightarrow (a^{2} + b^{2})(b^{2} + c^{2})(c^{2} + a^{2}) \geq 8a^{2}b^{2}ac^{2}$ (sai)

Ví dụ 2. Cho a. b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$(a + b)(b + c)(c + a) \geq \frac{8}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $(a + b)(b + c)(c + a) \geq \frac{8}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$(a + b)(b + c)(c + a)$

$= (a^{2}b + a^{2}c) + (b^{2}a + b^{2}c) + (c^{2}a + c^{2}b) + 2abc$ $= (a^{2}b + a^{2}c) + (b^{2}a + b^{2}c) + (c^{2}a + c^{2}b) + 2abc$

Ta có:

$(a + b + c)(ab + bc + ca)$

$= (a^{2}b + a^{2}c) + (b^{2}a + b^{2}c) + (c^{2}a + c^{2}b) + 3abc$ $= (a^{2}b + a^{2}c) + (b^{2}a + b^{2}c) + (c^{2}a + c^{2}b) + 3abc$

$\Rightarrow (a + b)(b + c)(c + a)$ $\Rightarrow (a + b)(b + c)(c + a)$ $= (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$

Mặt khác, ta có:

$(a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9abc$ $(a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9abc$

$\ \Rightarrow \ - abc \geq - \frac{1}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $\ \Rightarrow \ - abc \geq - \frac{1}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$

Vậy: $(a + b)(b + c)(c + a) \geq \frac{8}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$ $(a + b)(b + c)(c + a) \geq \frac{8}{9}(a + b + c)(ab + bc + ca)$

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c.

Ví dụ 3. Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$ $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$.

Hướng dẫn giải

Thực hiện xét hiệu, ta được.

$\frac{a^{3} + b^{3}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{3} = \frac{4(a^{3} + b^{3}) - (a + b)^{3}}{8}$ $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} - (\frac{a + b}{2})^{3} = \frac{4(a^{3} + b^{3}) - (a + b)^{3}}{8}$

$= \frac{3\left\lbrack a^{3} + b^{3} - ab(a + b) \right\rbrack}{8} \geq 0$ $= \frac{3\left\lbrack a^{3} + b^{3} - ab(a + b) \right\rbrack}{8} \geq 0$

Mặt khác: a³+b³ ≥ ab.(a+b)

Vậy $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$ $\frac{a^{3} + b^{3}}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^{3}$

Đẳng thức đúng khi: a = b.

Nhận xét: Ta có thể viết dạng: $a^{3} + b^{3} \geq \frac{1}{4}(a + b)^{3}$ $a^{3} + b^{3} \geq \frac{1}{4}(a + b)^{3}$

Ví dụ 4. Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$ $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{ab} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$ $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{ab} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$

Vì: $0 < \ ab \leq \frac{(a + b)^{2}}{4} \Rightarrow \frac{1}{ab} \geq \frac{4}{(a + b)^{2}} \Leftrightarrow \frac{2}{ab} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$ $0 < \ ab \leq \frac{(a + b)^{2}}{4} \Rightarrow \frac{1}{ab} \geq \frac{4}{(a + b)^{2}} \Leftrightarrow \frac{2}{ab} \geq \frac{8}{(a + b)^{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi: a = b

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài 1. Cho ab ≥ 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + ab}$ $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + ab}$.

Bài 2. Cho a, b là hai sô thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$ $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$.

Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $(a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9$ $(a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9$.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài 1:

Thực hiện xét hiệu, ta được: $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} - \frac{2}{1 + ab}$ $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} - \frac{2}{1 + ab}$

$= (\frac{1}{1 + a^{2}} - \frac{1}{1 + ab}) + (\frac{1}{1 + b^{2}} - \frac{1}{1 + ab})$ $= (\frac{1}{1 + a^{2}} - \frac{1}{1 + ab}) + (\frac{1}{1 + b^{2}} - \frac{1}{1 + ab})$ $= \frac{a(b - a)}{(1 + a^{2})(1 + ab)} + \frac{b(a - b)}{(1 + b^{2})(1 + ab)}$ $= \frac{a(b - a)}{(1 + a^{2})(1 + ab)} + \frac{b(a - b)}{(1 + b^{2})(1 + ab)}$

$= (a - b)\left\lbrack \frac{b(1 + a^{2}) - a(1 + b^{2})}{(1 + a^{2})(1 + b^{2})(1 + ab)} \right\rbrack$ $= (a - b)\left\lbrack \frac{b(1 + a^{2}) - a(1 + b^{2})}{(1 + a^{2})(1 + b^{2})(1 + ab)} \right\rbrack$ $= (a - b)^{2}.\frac{(ab - 1)}{(1 + a^{2})(1 + b^{2})(1 + ab)}$ $= (a - b)^{2}.\frac{(ab - 1)}{(1 + a^{2})(1 + b^{2})(1 + ab)}$

Vậy với ab ≥1 thì $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + ab}$ $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + ab}$

Nhận xét: Với -1 <a.b ≤ 1 thì: $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \leq \frac{2}{1 + ab}$ $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \leq \frac{2}{1 + ab}$

Bài 2:

Thực hiện phép biến đổi tương đương, ta có:

$\frac{(a + 1)^{2} + (b + 1)^{2}}{(ab + a + b + 1)^{2}} \geq \frac{1}{ab+ 1}$ $\frac{(a + 1)^{2} + (b + 1)^{2}}{(ab + a + b + 1)^{2}} \geq \frac{1}{ab+ 1}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack (a + 1)^{2} + (b + 1)^{2} \right\rbrack(ab+ 1) \geq (ab + a + b + 1)^{2}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack (a + 1)^{2} + (b + 1)^{2} \right\rbrack(ab+ 1) \geq (ab + a + b + 1)^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} + 2a + 2b + 2)(ab + 1)^{} \geq (ab + a +b)^{2} + 2(ab + a + b) + 1$ $\Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} + 2a + 2b + 2)(ab + 1)^{} \geq (ab + a +b)^{2} + 2(ab + a + b) + 1$

Mặt khác, ta lại có:

$(a^{2} + b^{2} + 2a + 2b + 2)(ab + 1)$ $(a^{2} + b^{2} + 2a + 2b + 2)(ab + 1)$

$=(a^{3}b + ab^{3} + 2a^{2}b + 2ab^{2} + 2ab) + (a^{2} + b^{2} + 2a + 2b +2).$ $=(a^{3}b + ab^{3} + 2a^{2}b + 2ab^{2} + 2ab) + (a^{2} + b^{2} + 2a + 2b +2).$

Ta cũng có được:

(ab + a + b)²+2(ab + a + b)+1 = a²b² + a² + b² +2a²b + 2ab²+ 4ab +2a +2b +1

Thực hiện xét hiệu, ta được:

(a² + b² +2a+ 2b +2)(ab + 1) - [(ab+a+b)²+2(ab+a+b)+1]

= a³b + ab³+ 1 - 2ab - a²b² = ab(a²-2ab+b²)+(a²b²-2ab+1)

= ab(a-b)²+(ab-1)²≥0, với mọi a,b>0.

Đẳng thức xảy ra khi: a=b=1

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

---------------------------------------

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ bản chất và cách sử dụng bất đẳng thức AM - GM (Cauchy) trong giải toán. Đây là công cụ không thể thiếu trong kho tàng bất đẳng thức Toán học, đặc biệt khi xử lý các bài toán cực trị. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều bài tập ứng dụng để vận dụng linh hoạt bất đẳng thức này trong mọi tình huống. Đừng quên theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chuyên đề hay và tài liệu học tập chất lượng nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: