Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một dạng toán nâng cao có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 và giúp các bạn học sinh đạt được điểm 9, 10 trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Mời các bạn tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài liên quan đến bất đẳng thức Bunhia để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \frac{a}{c} = \frac{b}{d}

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số \left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right) ta có:

\left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

2. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

+ Có \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ac} \right)^2} + {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {bd} \right)^2} \ge {\left( {ac} \right)^2} + 2abcd + {\left( {bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} \ge 2abcd\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} - 2abcd + {\left( {bc} \right)^2} \ge 0 \end{array}

\Leftrightarrow {\left( {ad - bc} \right)^2} \ge 0(luôn đúng)

3. Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge 4abcd

II. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt 6

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

1.\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}}

\le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \right)}

\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt {3.2} = \sqrt 6 (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}

Lời giải:

A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}

Điều kiện: 2 \le x \le 4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

{\left[ {1.\sqrt {x - 2} + 1.\sqrt {4 - x} } \right]^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 4 - x} \right) = {2^2} = 4

\begin{array}{l} \Rightarrow {A^2} \le 4\\ \Leftrightarrow - 2 \le A \le 2 \end{array}

A max = 2 khi \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} \Leftrightarrow x - 2 = 4 - x \Leftrightarrow x = 3(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p}

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

1.\sqrt {p - a} + 1.\sqrt {p - b} + 1.\sqrt {p - c} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {p - a + p - b + p - c} \right)}

\Leftrightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3\left( {3p - 2p} \right)} = \sqrt {3p}(điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \frac{1}{{p - a}} = \frac{1}{{p - b}} = \frac{1}{{p - c}} \Leftrightarrow a = b = c hay tam giác là tam giác đều

III. Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, A = \sqrt {6 - x} + \sqrt {x + 2}

b, B = \sqrt x + \sqrt {2 - x}

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }}

(gợi ý: biến đổi vế trái thành \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}} rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

\sqrt {a - 1} + \sqrt {b - 1} + \sqrt {c - 1} \le \sqrt {c\left( {ab + 1} \right)}

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!

Đánh giá bài viết
1 710
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm