VnDoc.com

Giải và biện luận phương trình bậc 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2
II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
IV. Đáp án bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$

– Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ∆ = b² – 4ac

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

– Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2: ∆' = b'² – ac với $b' = \frac{b}{2}$

• Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$ và ${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

• Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$

• Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình ${x^2} - 3x + m - 1 = 0$ . Giải và biện luận phương trình đã cho

Lời giải chi tiết:

Phương trình ${x^2} - 3x + m - 1 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 9 - 4(m - 1)

= – 4m + 13

• Với ∆ > 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + \sqrt {13 - 4m} }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 - \sqrt {13 - 4m} }}{2}$

• Với ∆ = 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2}$

• Với ∆ > 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 < 0 \Leftrightarrow m> \frac{{13}}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình:

$\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: Với m – 3 = 0 ⇒ m = 3, phương trình trở thành phương trình bậc nhất:

– 6x – 3 = 0

⇒ $x = \frac{{ - 1}}{2}$

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{ - 1}}{2}$

Trường hợp 2: với m – 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3, phương trình là phương trình bậc hai:

$\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$

Ta có: ∆' = b'² – ac = m² – (m – 3)(m – 6)

= 9m – 18

• Với ∆' > 0 ⇒ 9m – 18 > 0 ⇒ m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m + \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}$ và ${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m - \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}$

• Với ∆' = 0 ⇒ 9m – 18 = 0 ⇒ m = 2 thì phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{m}{{m - 3}}$

• Với ∆ < 0 ⇒ 9m – 18 < 0 ⇒ m < 2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: ${x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 2m - 7 = 0$ . Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2m - 7} \right)$

$\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 6m + 9 - 2m + 7$

$\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 8m + 16$

$\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 4: Cho phương trình $mx^{2} + 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ với là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép. b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất. d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a \neq 0 \\\Delta' = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\4m + 1 = 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\m = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

Vậy với m = -1/4 phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m > - \dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b' \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

d) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

e) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b' = c = 0 \\ a = 0;b' \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 \\ m = 0;m + 1 \neq 0 \\ m \neq 0;4m + 1 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$

Bài 5: Cho phương trình $mx^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 \\ \Delta' = (m - 1)^{2} - m(m + 1) = - 3m + 1 \\ \end{matrix} \right.$

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m < \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $m \neq 0;m < \frac{1}{3}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a \neq 0 \\\Delta' = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\- 3m + 1 = 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\m = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

Vậy $m = \frac{1}{3}$ thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với ta có phương trình $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với $m \neq 0$ phương trình vô nghiệm nếu $- 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Vậy $m > \frac{1}{3}$ thì phương trình vô nghiệm.

Bài 6. Cho phương trình $x^{2} - 2mx + 5m - 4 = 0$ với m là tham số. Xác định các giá trị của m để phương trình có:

a. Nghiệm bằng 0.

b. Hai nghiệm phân biệt trái dấu.

c. Hai nghiệm phân biệt cùng dương.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình có nghiệm nên thay vào phương trình ta được:

$5m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{4}{5}$

b. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi

$1(5m - 4) < 0 \Leftrightarrow m < \frac{4}{5}$

c. Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ khi

$\Delta' > 0$

$m^{2} - (5m - 4) > 0$

hoặc

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m \\ x_{1}.x_{2} = 5m - 4 \end{matrix} \right.$

Hai nghiệm của phương trình cùng dương khi và

Suy ra $m > \frac{4}{5}$

Kết hợp với điều kiện ta có: $\frac{4}{5} < m < 1$ hoặc .

Bài 7. Cho phương trình $x^{2} - x + 3m = 0$ với m là tham số. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ sao cho $x_{1} < 1 < x_{2}$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$

$1 - 12m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{12}$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1}.x_{2} = 3m \end{matrix} \right.$

Hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < 1 < x_{2}$

Suy ra $x_{1} - 1 < 0 < x_{2} - 1$

Hay có thể hiểu $x_{1} - 1$ và $x_{2} - 1$ trái dấu. Khi đó:

$\left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2} - 1 \right) < 0$

$x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1 < 0$

Kết hợp với điều kiện ta có m < 0 là các giá trị cần tìm.

Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) $x^{2} - 2(m - 1) + m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) $x^{2} - 8x + 2x + 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) $x^{2} - 6x + 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

d $x^{2} - 2(m - 1)x - 3 - m = 0$ có đúng một nghiệm dương.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac < 0 \Leftrightarrow m < - 1$ .

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\Delta = 8^{2} - 4(2m + 6) > 0 \Leftrightarrow m < 5$

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 32 - 8m > 0 \\ 6 > 0 \\ 2m + 1 > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 4$

d) Vì $\Delta = 4(m - 1)^{2} - 4( - 3 - m) = (2m - 1)^{2} + 15 > 0$ với mọi $m\mathbb{\in Z}$

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có đúng một nghiệm dương $ac = - 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 3$ .

III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài tập 1. Cho phương trình $x^{2} + mx - 35 = 0$ .

a) Tìm biết rằng phương trình có một nghiệm bằng 7.

b) Giải phương trình với vừa tìm được.

Hướng dẫn: là nghiệm của phương trình $x^{2} + mx - 35 = 0$ nên thay vào phương trình, ta dược: $7^{2} + m.7 - 35 = 0$ . Từ đó tìm được .

Bài tập 2. Tìm để phương trình $x^{2} + 2mx + 1 = 0$ có nghiệm.

Bài tập 3. Tìm để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: $x^{2} - 1 = 0$ và $x^{2} - mx = 0$ .

Hướng dẫn: Tìm nghiệm của từng phương trình.

Bài tập 4. Giải và biện luận phương trình sau

a) $x^{2} + 2mx + m^{2} - 1 = 0$ (1)

b) $mx^{2} + (2m - 1)x + m + 2 = 0$ (2)

Bài tập 5. Giải phương trình:

a) $x^{2} - 2(2m + 1)x + 4m^{2} + 4m - 3 = 0$

b) $(m + 1)x^{2} - 2(m - 1)x + m - 2 = 0$

Bài tập 6. Với giá trị nào của phương trình sau đây vô nghiệm.

a) $3x^{2} - 2x + m = 0$ (1) b) $5x^{2} - 18x + m = 0$ (2)

c) $m^{2} - 6x + 1 = 0$ (3) d) $x^{2} - 2(m + 3)x + m^{2} + 3 = 0$ (4)

Hướng dẫn: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' < 0 \end{matrix} \right.$

Bài tập 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép:

a) $5x^{2} + 2mx - 2m + 5 = 0$ (1)

b) $mx^{2} - 4(m - 1)x - 8 = 0$ (2)

c) $mx^{2} - 100x + m = 0$ (3)

Hướng dẫn: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \end{matrix} \right.$ .

Bài tập 8. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.

a) $(m + 1)x^{2} + 4mx + 4m - 1 = 0$ (1)

b) $x^{2} - 2(m + 3)x + m^{2} + 3 = 0$ (2)

c) $x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} = 0$ (3)

d) $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + m - 1 = 0$ (4)

Hướng dẫn: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{matrix} \right.$

IV. Đáp án bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai

Bài tập 1.

a) Vì là một nghiệm của phương trình đã cho, nên thay vào phương trình, ta được:

$7^{2} + m.7 - 35 = 0$

$\Leftrightarrow 49 + 7\ m - 35 = 0$

$\Leftrightarrow 7\ m = - 14 \Leftrightarrow m = - 2$

b) Theo kết quả trên, với , phương trình đã cho trở thành:

$x^{2} - 2x - 35 = 0$ (*)

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 - 36 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 6^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x - 1)^{2}} = \sqrt{6^{2}} \Leftrightarrow |x - 1| = 6$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 6 \\ x - 1 = - 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 7 \\ x = - 5 \end{matrix} \right.\ \right.$

Cách khác: Ta có: (*) $\ \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 - 36 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} - 6^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1 - 6)(x - 1 + 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 7)(x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 7 = 0 \\ x + 5 - 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 7 \\ x = - 5 \end{matrix} \right.\ \right.$

Ta cūng có thể biến đổi như sau: (*) $\Leftrightarrow x^{2} + 5x - 7x - 35 = 0$

$\Leftrightarrow x(x + 5) - 7(x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 5)(x - 7) = 0$ (tiếp tục như trên).

Bài tập 2.

Ta có:

$\ x^{2} + 2mx + 1 = x^{2} + 2mx + m^{2} - m^{2} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x + m)^{2} = m^{2} - 1$

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m^{2} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{m^{2}} \geq \sqrt{1} \Leftrightarrow |m| \geq 1.$

Nhận xét: Ta có thể xét điểu kiện để phương trình vô nghiệm: .

Bài tập 3.

Ta có: $\ x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{1} \Leftrightarrow |x| = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

$x^{2} - mx = 0 \Leftrightarrow x(x - m) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \end{matrix} \right.$

là nghiệm của phương trình $x^{2} - mx = 0$ khi .

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

----------------------------------------------------------

Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo từng trường hợp của delta. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt các môn Toán ở nhiều cấp học khác nhau. Đừng quên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải phương trình bậc hai hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những kiến thức bổ ích và dễ hiểu.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: