Giải và biện luận phương trình bậc 2
Chuyên đề luyện thi vào 10: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m
Giải và biện luận phương trình bậc 2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
- Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
- Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án
- Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét
I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Phương trình: 
\(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\)
– Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ∆ = b2 – 4ac
• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
– Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2: ∆' = b'2 – ac với \(b' = \frac{b}{2}\)
• Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}\) và \({x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
• Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}\)
• Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm
II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
Bài 1: Cho phương trình \({x^2} - 3x + m - 1 = 0\). Giải và biện luận phương trình đã cho
Lời giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} - 3x + m - 1 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 9 - 4(m - 1)
= – 4m + 13
• Với ∆ > 0 \(\Leftrightarrow - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + \sqrt {13 - 4m} }}{2}\) và \({x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 - \sqrt {13 - 4m} }}{2}\)
• Với ∆ = 0 \(\Leftrightarrow - 4m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{4}\) thì phương trình có nghiệm kép:
\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2}\)
• Với ∆ > 0 \(\Leftrightarrow - 4m + 13 < 0 \Leftrightarrow m> \frac{{13}}{4}\) thì phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải và biện luận phương trình:
\(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\)
Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1: Với m – 3 = 0 ⇒ m = 3, phương trình trở thành phương trình bậc nhất:
– 6x – 3 = 0
⇒ \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)
Trường hợp 2: với m – 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3, phương trình là phương trình bậc hai:
\(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\)
Ta có: ∆' = b'2 – ac = m2 – (m – 3)(m – 6)
= 9m – 18
• Với ∆' > 0 ⇒ 9m – 18 > 0 ⇒ m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m + \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}\) và \({x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m - \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}\)
• Với ∆' = 0 ⇒ 9m – 18 = 0 ⇒ m = 2 thì phương trình có nghiệm kép:
\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{m}{{m - 3}}\)
• Với ∆ < 0 ⇒ 9m – 18 < 0 ⇒ m < 2 thì phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 2m - 7 = 0\). Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2m - 7} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 6m + 9 - 2m + 7\\
\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 8m + 16\\
\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m
\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
Bài 1: Cho phương trình bậc hai \({x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m = 0\). Giải và biện luận phương trình đã cho
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: \(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m = 0\)
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau: \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x - 1 = 0\)
Bài 4: Giải và biện luận phương trình theo tham số m: \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m + 2 = 0\)
Bài 5: Giải và biện luận phương trình \(m{x^2} + 10x - m + 10\)
Bài 6: Cho phương trình bâc hai \({x^2} + \left( {2m - 7} \right)x - 2m = 0\). Giải và biện luận phương trình đã cho
Bài 7: Giải và biện luận phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 = 0\)
Bài 8: Cho phương trình \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0\). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Bài 9: Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\) (với m là tham số). Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Bài 10: Cho phương trình bậc hai có ẩn x: \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\). Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
-----------------
