Giải và biện luận phương trình bậc 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

2 1.961

Chuyên đề luyện thi vào 10: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2
II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải và biện luận phương trình bậc hai" hoặc "Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hoặc luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$

+ Công thức nghiệm của phương trình bậc hai : $\Delta = {b^2} - 4ac$

- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$

- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm

+ Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2: $\Delta ' = b{'^2} - ac$ với $b' = \frac{b}{2}$

- Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$ và ${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$

- Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình ${x^2} - 3x + m - 1 = 0$ . Giải và biện luận phương trình đã cho

Lời giải:

Phương trình ${x^2} - 3x + m - 1 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn

Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = 9 - 4.\left( {m - 1} \right) = - 4m + 13$

+ Với $\Delta > 0 \Leftrightarrow - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + \sqrt {13 - 4m} }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 - \sqrt {13 - 4m} }}{2}$

+ Với $\Delta = 0 \Leftrightarrow - 4m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2}$

+ Với $\Delta < 0 \Leftrightarrow - 4m + 13 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{{13}}{4}$ thì phương trình vô nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận phương trình:

Lời giải:

Trường hợp 1: với $m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3$ , phương trình trở thành phương trình bậc nhất:

$- 6x - 3 = 0$

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{ - 1}}{2}$

Trường hợp 2: với $m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3$ , phương trình là phương trình bậc hai:

$\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$

Ta có $\Delta ' = b{'^2} - ac = {m^2} - \left( {m - 3} \right)\left( {m - 6} \right) = {m^2} - {m^2} + 9m - 18 = 9m - 18$

+ Với $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9m - 18 > 0 \Leftrightarrow m > 2$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m + \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}$ và ${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m - \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}$

+ Với $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow 9m - 18 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ thì phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{m}{{m - 3}}$

+ Với $\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 9m - 18 < 0 \Leftrightarrow m < 2$ thì phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: ${x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 2m - 7 = 0$ . Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải:

${x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 2m - 7 = 0$ có $\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2m - 7} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 6m + 9 - 2m + 7\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 8m + 16\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \end{array}$

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình bậc hai ${x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m = 0$ . Giải và biện luận phương trình đã cho

Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: $m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m = 0$

Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau: $\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x - 1 = 0$

Bài 4: Giải và biện luận phương trình theo tham số m: $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m + 2 = 0$

Bài 5: Giải và biện luận phương trình $m{x^2} + 10x - m + 10$

Bài 6: Cho phương trình bâc hai ${x^2} + \left( {2m - 7} \right)x - 2m = 0$ . Giải và biện luận phương trình đã cho

Bài 7: Giải và biện luận phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 = 0$

Bài 8: Cho phương trình ${x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0$ . Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 9: Cho phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$ (với m là tham số). Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Bài 10: Cho phương trình bậc hai có ẩn x: ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ . Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

-----------------

Ngoài giải và biện luận phương trình bậc hai Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!