VnDoc.com

Giải và biện luận phương trình bậc 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Chuyên đề luyện thi vào 10: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2
II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$

– Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ∆ = b² – 4ac

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

– Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2: ∆' = b'² – ac với $b^{'} = \frac{b}{2}$

• Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b$ $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a}$ và ${x_2} = \frac{{ - b$ $x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a}$

• Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a}$

• Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình ${x^2} - 3x + m - 1 = 0$ $x^{2} - 3 x + m - 1 = 0$ . Giải và biện luận phương trình đã cho

Lời giải chi tiết:

Phương trình ${x^2} - 3x + m - 1 = 0$ $x^{2} - 3 x + m - 1 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 9 - 4(m - 1)

= – 4m + 13

• Với ∆ > 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}$ $\Leftrightarrow - 4 m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{13}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + \sqrt {13 - 4m} }}{2}$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{3 + \sqrt{13 - 4 m}}{2}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 - \sqrt {13 - 4m} }}{2}$ $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{3 - \sqrt{13 - 4 m}}{2}$

• Với ∆ = 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{4}$ $\Leftrightarrow - 4 m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{13}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2}$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} = \frac{3}{2}$

• Với ∆ > 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 < 0 \Leftrightarrow m> \frac{{13}}{4}$ $\Leftrightarrow - 4 m + 13 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{13}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình:

$\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$ $(m - 3) x^{2} - 2 m x + m - 6 = 0$

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: Với m – 3 = 0 ⇒ m = 3, phương trình trở thành phương trình bậc nhất:

– 6x – 3 = 0

⇒ $x = \frac{{ - 1}}{2}$ $x = \frac{- 1}{2}$

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{ - 1}}{2}$ $x = \frac{- 1}{2}$

Trường hợp 2: với m – 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3, phương trình là phương trình bậc hai:

$\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$ $(m - 3) x^{2} - 2 m x + m - 6 = 0$

Ta có: ∆' = b'² – ac = m² – (m – 3)(m – 6)

= 9m – 18

• Với ∆' > 0 ⇒ 9m – 18 > 0 ⇒ m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b$ $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a} = \frac{m + \sqrt{9 m - 18}}{m - 3}$ và ${x_2} = \frac{{ - b$ $x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a} = \frac{m - \sqrt{9 m - 18}}{m - 3}$

• Với ∆' = 0 ⇒ 9m – 18 = 0 ⇒ m = 2 thì phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b$ $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a} = \frac{m}{m - 3}$

• Với ∆ < 0 ⇒ 9m – 18 < 0 ⇒ m < 2 thì phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: ${x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 2m - 7 = 0$ $x^{2} - 2 (m - 3) x + 2 m - 7 = 0$ . Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\Delta$ $Δ^{'} = b^{' 2} - a c = {(m - 3)}^{2} - (2 m - 7)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow Δ^{'} = m^{2} - 6 m + 9 - 2 m + 7 \\ \Leftrightarrow Δ^{'} = m^{2} - 8 m + 16 \\ \Leftrightarrow Δ^{'} = {(m - 4)}^{2} \geq 0 \forall m \end{array}$

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 4: Cho phương trình $mx^{2} + 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ $m x^{2} + 2 (m + 1) x + m - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ 4 m + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m = - \frac{1}{4} \end{matrix} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ 4 m + 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m > - \frac{1}{4} \end{matrix}$

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} {\begin{matrix} a = 0 \\ b^{'} \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 0 \\ {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ 4 m + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4} \end{matrix}$

d) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 0; b^{'} = 0; c \neq 0 \\ a \neq 0; Δ^{'} < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0; m + 1 = 0; m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0, 4 m + 1 < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0; m = - 1; m \neq 2 \\ m \neq 0, m < \frac{1}{4} \end{matrix} \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

e) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = b^{'} = c = 0 \\ a = 0; b^{'} \neq 0 \\ a \neq 0; Δ^{'} \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 \\ m = 0; m + 1 \neq 0 \\ m \neq 0; 4 m + 1 \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$

Bài 5: Cho phương trình $mx^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0$ $m x^{2} - 2 (m - 1) x + m + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 \\ \Delta$ ${\begin{matrix} a = m; b = - (m - 1); c = m + 1 \\ Δ^{'} = (m - 1)^{2} - m (m + 1) = - 3 m + 1 \end{matrix}$

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3 m + 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m < \frac{1}{3} \end{matrix}$

Vậy $m \neq 0;m < \frac{1}{3}$ $m \neq 0; m < \frac{1}{3}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3 m + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \neq 0 \\ m = \frac{1}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

Vậy $m = \frac{1}{3}$ $m = \frac{1}{3}$ thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với $m = 0$ ta có phương trình $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ $2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với $m \neq 0$ $m \neq 0$ phương trình vô nghiệm nếu $- 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$ $- 3 m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Vậy $m > \frac{1}{3}$ $m > \frac{1}{3}$ thì phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình bậc hai ${x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m = 0$ $x^{2} + (2 m - 3) x + m^{2} - 2 m = 0$ . Giải và biện luận phương trình đã cho

Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: $m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m = 0$ $m x^{2} + (2 m - 1) x + m = 0$

Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau: $\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x - 1 = 0$ $(m - 1) x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Bài 4: Giải và biện luận phương trình theo tham số m: $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m + 2 = 0$ $(m - 1) x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$

Bài 5: Giải và biện luận phương trình $m{x^2} + 10x - m + 10$ $m x^{2} + 10 x - m + 10$

Bài 6: Cho phương trình bâc hai ${x^2} + \left( {2m - 7} \right)x - 2m = 0$ $x^{2} + (2 m - 7) x - 2 m = 0$ . Giải và biện luận phương trình đã cho

Bài 7: Giải và biện luận phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 = 0$ $(m - 2) x^{2} - 2 (m - 1) x + m + 5 = 0$

Bài 8: Cho phương trình ${x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0$ $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - m = 0$ . Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 9: Cho phương trình ${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$ $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ (với m là tham số). Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Bài 10: Cho phương trình bậc hai có ẩn x: ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ $x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = 0$ . Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Bài 11: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) $x^{2} - x + m - 2 = 0$ $x^{2} - x + m - 2 = 0$

b) $- 2x^{2} + 3x + m - 3 = 0$ $- 2 x^{2} + 3 x + m - 3 = 0$

c) $3x^{2} - 2x + m - 5 = 0$ $3 x^{2} - 2 x + m - 5 = 0$

d) $x^{2} - 8x + m^{2} = 0$ $x^{2} - 8 x + m^{2} = 0$

Bài 12: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) $2x^{2} - mx + 2 = 0$ $2 x^{2} - m x + 2 = 0$ b) $(m - 1)x^{2} + 2x + 3 = 0$ $(m - 1) x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Bài 13: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau vô nghiệm? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) $x^{2} - 3x - m - 5 = 0$ $x^{2} - 3 x - m - 5 = 0$ b) $mx^{2} + 3x + m = 0$ $m x^{2} + 3 x + m = 0$

Bài 14: Cho phương trình $mx^{2} - 3x + 1 = 0$ $m x^{2} - 3 x + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt.

b) Có nghiệm kép.

c) Vô nghiệm.

d) Có nghiệm.

-----------------

Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo từng trường hợp của delta. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt các môn Toán ở nhiều cấp học khác nhau. Đừng quên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải phương trình bậc hai hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những kiến thức bổ ích và dễ hiểu.

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

2

2.741

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bon

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Giải và biện luận phương trình bậc 2

182,8 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
181,1 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán