Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải và biện luận phương trình bậc 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2
II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2
IV. Đáp án bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$

– Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ∆ = b² – 4ac

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

– Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2: ∆' = b'² – ac với $b' = \frac{b}{2}$

• Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}$ và ${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}$

• Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$

• Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình x² - 3x + m - 1 = 0 (với m là tham số). Giải và biện luận phương trình đã cho

Lời giải chi tiết:

Phương trình x² - 3x + m - 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 9 - 4(m - 1) = – 4m + 13

• Với ∆ > 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + \sqrt {13 - 4m} }}{2}$ và ${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 - \sqrt {13 - 4m} }}{2}$

• Với ∆ = 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2}$

• Với ∆ > 0 $\Leftrightarrow - 4m + 13 < 0 \Leftrightarrow m> \frac{{13}}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình:

$\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: Với m – 3 = 0 ⇒ m = 3, phương trình trở thành phương trình bậc nhất:

– 6x – 3 = 0

⇒ $x = \frac{{ - 1}}{2}$

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{{ - 1}}{2}$

Trường hợp 2: với m – 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3, phương trình là phương trình bậc hai:

(m - 3)x² - 2mx + m - 6 = 0

Ta có: ∆' = b'² – ac = m² – (m – 3)(m – 6)

= 9m – 18

• Với ∆' > 0 ⇒ 9m – 18 > 0 ⇒ m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m + \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}$ và ${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{m - \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}$

• Với ∆' = 0 ⇒ 9m – 18 = 0 ⇒ m = 2 thì phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{m}{{m - 3}}$

• Với ∆ < 0 ⇒ 9m – 18 < 0 ⇒ m < 2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: x² - 2(m - 3)x + 2m - 7 = 0. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải chi tiết:

Ta có: Δ' = b'² - ac = (m - 3)² - (2m - 7)

⇔ Δ' = m² - 6m + 9 - 2m + 7

⇔ Δ' = m² - 8m + 16

⇔ Δ' = (m - 4)² ≥ 0 với mọi m.

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 4: Cho phương trình mx² + 2(m + 1)x + m - 2 = 0 với m là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép. b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất. d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a \neq 0 \\\Delta' = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\4m + 1 = 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\m = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

Vậy với m = -1/4 phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m > - \dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b' \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

d) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

e) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b' = c = 0 \\ a = 0;b' \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 \\ m = 0;m + 1 \neq 0 \\ m \neq 0;4m + 1 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$

Bài 5: Cho phương trình mx² - 2(m - 1)x + m + 1 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 \\ \Delta' = (m - 1)^{2} - m(m + 1) = - 3m + 1 \\ \end{matrix} \right.$

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m < \dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $m \neq 0;m < \frac{1}{3}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a \neq 0 \\\Delta' = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\- 3m + 1 = 0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\m = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

Vậy m = 1/3 thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với m = 0 ta có phương trình $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với m ≠ 0 phương trình vô nghiệm nếu $- 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Vậy m > 1/3 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 6. Cho phương trình x² - 2mx + 5m - 4 = 0 với m là tham số. Xác định các giá trị của m để phương trình có:

a. Nghiệm bằng 0.

b. Hai nghiệm phân biệt trái dấu.

c. Hai nghiệm phân biệt cùng dương.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình có nghiệm x = 0 nên thay vào phương trình ta được:

$5m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{4}{5}$

b. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi

$1(5m - 4) < 0 \Leftrightarrow m < \frac{4}{5}$

c. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khi

Δ' > 0

m² - (5m - 4) > 0

(m - 1)(m - 4) > 0

m > 4 hoặc m <1

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m \\ x_{1}.x_{2} = 5m - 4 \end{matrix} \right.$

Hai nghiệm của phương trình cùng dương khi 2m > 0 và 5m - 4 > 0

Suy ra m > 4/5

Kết hợp với điều kiện ta có: $\frac{4}{5} < m < 1$ hoặc m > 4.

Bài 7. Cho phương trình x² - x + 3m = 0 với m là tham số. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho x₁<1< x₂.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0

$1 - 12m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{12}$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1}.x_{2} = 3m \end{matrix} \right.$

Hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn x₁<1< x₂

Suy ra x₁ - 1 < 0 < x₂ - 1

Hay có thể hiểu x₁ - 1 và x₂ - 1 trái dấu. Khi đó:

$\left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2} - 1 \right) < 0$

$x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1 < 0$

3m - 1 + 1 < 0

m < 0

Kết hợp với điều kiện ta có m < 0 là các giá trị cần tìm.

Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) x² - 2(m - 1) + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) x² - 8x + 2m + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

c) x² - 6x + 2m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

d) x² - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 có đúng một nghiệm dương.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0 ⇔ m < -1.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Δ = 8² - 4(2m + 6) > 0 ⇔ m < 5

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 32 - 8m > 0 \\ 6 > 0 \\ 2m + 1 > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 4$

d) Vì $\Delta = 4(m - 1)^{2} - 4( - 3 - m) = (2m - 1)^{2} + 15 > 0$ với mọi $m\mathbb{\in Z}$

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có đúng một nghiệm dương ac = -3 - m < 0 ⇔ m > -3.

III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài tập 1. Cho phương trình x² + mx - 35 = 0.

a) Tìm biết rằng phương trình có một nghiệm bằng 7.

b) Giải phương trình với m vừa tìm được.

Hướng dẫn: x = 7 là nghiệm của phương trình x² + mx - 35 = 0 nên thay x = 7 vào phương trình, ta dược: 7² + m.7 - 35 = 0. Từ đó tìm được m.

Bài tập 2. Tìm giá trị tham số m để phương trình x² + 2mx + 1 = 0 có nghiệm.

Bài tập 3. Tìm giá trị tham số m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x² - 1 = 0 và x² - mx = 0.

Hướng dẫn: Tìm nghiệm của từng phương trình.

Bài tập 4. Giải và biện luận phương trình sau

a) x² + 2mx + m² - 1 = 0 (1)

b) mx² + (2m - 1)x + m + 2 = 0 (2)

Bài tập 5. Giải phương trình:

a) x² - 2(2m + 1)x + 4m² + 4m - 3 = 0

b) (m + 1)x² - 2(m - 1)x + m - 2 = 0

Bài tập 6. Với giá trị nào của phương trình sau đây vô nghiệm.

a) 3x² - 2x + m = 0 (1) b) 5x2 - 18x + m = 0 (2)

c) m² - 6x + 1 = 0 (3) d) x² - 2(m + 3)x + m² + 3 = 0 (4)

Hướng dẫn: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' < 0 \end{matrix} \right.$

Bài tập 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép:

a) $5x^{2} + 2mx - 2m + 5 = 0$ (1)

b) $mx^{2} - 4(m - 1)x - 8 = 0$ (2)

c) $mx^{2} - 100x + m = 0$ (3)

Hướng dẫn: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \end{matrix} \right.$ .

Bài tập 8. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.

a) $(m + 1)x^{2} + 4mx + 4m - 1 = 0$ (1)

b) $x^{2} - 2(m + 3)x + m^{2} + 3 = 0$ (2)

c) $x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} = 0$ (3)

d) $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + m - 1 = 0$ (4)

Hướng dẫn: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{matrix} \right.$

IV. Đáp án bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai

Bài tập 1.

a) Vì x= 7 là một nghiệm của phương trình đã cho, nên thay x = 7 vào phương trình, ta được:

$7^{2} + m.7 - 35 = 0$

$\Leftrightarrow 49 + 7\ m - 35 = 0$

$\Leftrightarrow 7\ m = - 14 \Leftrightarrow m = - 2$

b) Theo kết quả trên, với m = -2, phương trình đã cho trở thành:

$x^{2} - 2x - 35 = 0$ (*)

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 - 36 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 6^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x - 1)^{2}} = \sqrt{6^{2}} \Leftrightarrow |x - 1| = 6$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 6 \\ x - 1 = - 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 7 \\ x = - 5 \end{matrix} \right.\ \right.$

Cách khác: Ta có: (*) $\ \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 - 36 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} - 6^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1 - 6)(x - 1 + 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 7)(x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 7 = 0 \\ x + 5 - 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 7 \\ x = - 5 \end{matrix} \right.\ \right.$

Ta cūng có thể biến đổi như sau: (*) $\Leftrightarrow x^{2} + 5x - 7x - 35 = 0$

$\Leftrightarrow x(x + 5) - 7(x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 5)(x - 7) = 0$ (tiếp tục như trên).

Bài tập 2.

Ta có:

$\ x^{2} + 2mx + 1 = x^{2} + 2mx + m^{2} - m^{2} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x + m)^{2} = m^{2} - 1$

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m^{2} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{m^{2}} \geq \sqrt{1} \Leftrightarrow |m| \geq 1.$

Nhận xét: Ta có thể xét điểu kiện để phương trình vô nghiệm: .

Bài tập 3.

Ta có: $\ x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{1} \Leftrightarrow |x| = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

$x^{2} - mx = 0 \Leftrightarrow x(x - m) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \end{matrix} \right.$

là nghiệm của phương trình $x^{2} - mx = 0$ khi .

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

----------------------------------------------------------

FAQ – Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc 2

Biện luận phương trình bậc hai là gì?

Biện luận phương trình bậc hai là quá trình xét các giá trị của tham số để xác định số nghiệm, nghiệm kép hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình.

Vì sao cần học biện luận phương trình bậc hai?

Chuyên đề này giúp học sinh:

Hiểu sâu bản chất của phương trình.
Xử lý tốt các bài toán chứa tham số.
Nâng cao tư duy đại số.
Chuẩn bị cho các kỳ thi vào lớp 10 và học sinh giỏi.

Delta có vai trò gì trong việc biện luận phương trình bậc hai?

Biệt thức Delta là công cụ quan trọng để xác định:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình có nghiệm kép.
Phương trình vô nghiệm.

Đây là kiến thức cơ bản cần ghi nhớ khi học phương trình bậc hai.

Khi nào phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt?

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi biệt thức Delta thỏa mãn điều kiện thích hợp. Đây là dạng câu hỏi thường gặp trong các đề thi tuyển sinh lớp 10.

Những dạng bài biện luận phương trình bậc hai thường gặp là gì?

Các dạng toán phổ biến gồm:

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình vô nghiệm.
Tìm điều kiện để có nghiệm kép.
Tìm tham số để hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Biện luận số nghiệm theo tham số.

Hệ thức Viète được sử dụng trong trường hợp nào?

Hệ thức Viète thường được áp dụng khi:

Không cần giải trực tiếp phương trình.
Tìm tổng và tích hai nghiệm.
Thiết lập điều kiện liên hệ giữa các nghiệm.
Giải các bài toán chứa tham số.

------------------------

Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo từng trường hợp của delta. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt các môn Toán ở nhiều cấp học khác nhau. Đừng quên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải phương trình bậc hai hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những kiến thức bổ ích và dễ hiểu.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: