Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Giải và biện luận phương trình bậc 2

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Nhắc lại về công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình: a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)ax2+bx+c=0(a0)

– Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ∆ = b2 – 4ac

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}x1=b+Δ2a{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}x2=bΔ2a

• Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: {x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}x1=x2=b2a

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

– Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2: ∆' = b'2 – ac với bb=b2

• Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

{x_1} = \frac{{ - bx1=b+Δa{x_2} = \frac{{ - bx2=bΔa

• Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép {x_1} = {x_2} = \frac{{ - bx1=x2=ba

• Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình {x^2} - 3x + m - 1 = 0x23x+m1=0. Giải và biện luận phương trình đã cho

Lời giải chi tiết:

Phương trình {x^2} - 3x + m - 1 = 0x23x+m1=0 là phương trình bậc hai một ẩn

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 9 - 4(m - 1)

= – 4m + 13

• Với ∆ > 0  \Leftrightarrow  - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}4m+13>0m<134 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{3 + \sqrt {13 - 4m} }}{2}x1=b+Δ2a=3+134m2{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{3 - \sqrt {13 - 4m} }}{2}x2=bΔ2a=3134m2

• Với ∆ = 0 \Leftrightarrow  - 4m + 13 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{4}4m+13=0m=134 thì phương trình có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{2}x1=x2=b2a=32

• Với ∆ > 0 \Leftrightarrow  - 4m + 13 < 0 \Leftrightarrow m> \frac{{13}}{4}4m+13<0m>134 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình:

\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0(m3)x22mx+m6=0

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: Với m – 3 = 0 ⇒ m = 3, phương trình trở thành phương trình bậc nhất:

– 6x – 3 = 0

x = \frac{{ - 1}}{2}x=12

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = \frac{{ - 1}}{2}x=12

Trường hợp 2: với m – 3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3, phương trình là phương trình bậc hai:

\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0(m3)x22mx+m6=0

Ta có: ∆' = b'2 – ac = m2 – (m – 3)(m – 6)

= 9m – 18

• Với ∆' > 0 ⇒ 9m – 18 > 0 ⇒ m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

{x_1} = \frac{{ - bx1=b+Δa=m+9m18m3{x_2} = \frac{{ - bx2=bΔa=m9m18m3

• Với ∆' = 0 ⇒ 9m – 18 = 0 ⇒ m = 2 thì phương trình có nghiệm kép:

{x_1} = {x_2} = \frac{{ - bx1=x2=ba=mm3

• Với ∆ < 0 ⇒ 9m – 18 < 0 ⇒ m < 2 thì phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số: {x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 2m - 7 = 0x22(m3)x+2m7=0. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \Delta Δ=b2ac=(m3)2(2m7)

\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta Δ=m26m+92m+7Δ=m28m+16Δ=(m4)20m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 4: Cho phương trình mx^{2} + 2(m +
1)x + m - 2 = 0mx2+2(m+1)x+m2=0 với mm là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \neq 0 \\
\Delta{a0Δ=0 {m04m+1=0 {m0m=14 m=14

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \neq 0 \\
\Delta{a0Δ>0 {m04m+1>0 {m0m>14

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b[{a=0b0 {m=0m+10 m=0{a0Δ=0 {m04m+1=0 m=14

d) Phương trình vô nghiệm.

\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
a = 0;b[a=0;b=0;c0a0;Δ<0

\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\
m \neq 0,4m + 1 < 0 \\
\end{matrix} \right.[m=0;m+1=0;m20m0,4m+1<0

\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\
m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}[m=0;m=1;m2m0,m<14 m<14

e) Phương trình vô nghiệm.

\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
a = b[a=b=c=0a=0;b0a0;Δ0 [m=m+1=m+2=0m=0;m+10m0;4m+10 m14

Bài 5: Cho phương trình mx^{2} - 2(m -
1)x + m + 1 = 0mx22(m1)x+m+1=0 với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: \left\{ \begin{matrix}
a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 \\
\Delta{a=m;b=(m1);c=m+1Δ=(m1)2m(m+1)=3m+1

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \neq 0 \\
\Delta{a0Δ>0 {m03m+1>0 {m0m<13

Vậy m \neq 0;m < \frac{1}{3}m0;m<13 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \neq 0 \\
\Delta{a0Δ=0 {m03m+1=0 {m0m=13 m=13

Vậy m = \frac{1}{3}m=13 thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với m = 0m=0 ta có phương trình 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -
\frac{1}{2}2x+1=0x=12

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với m \neq 0m0 phương trình vô nghiệm nếu - 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m
> \frac{1}{3}3m+1<0m>13

Vậy m > \frac{1}{3}m>13thì phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

III. Bài tập tự luyện về bài toán giải và biện luận phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình bậc hai {x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m = 0x2+(2m3)x+m22m=0. Giải và biện luận phương trình đã cho

Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau: m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m = 0mx2+(2m1)x+m=0

Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau: \left( {m - 1} \right){x^2} + 2x - 1 = 0(m1)x2+2x1=0

Bài 4: Giải và biện luận phương trình theo tham số m: \left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m + 2 = 0(m1)x22mx+m+2=0

Bài 5: Giải và biện luận phương trình m{x^2} + 10x - m + 10mx2+10xm+10

Bài 6: Cho phương trình bâc hai {x^2} + \left( {2m - 7} \right)x - 2m = 0x2+(2m7)x2m=0. Giải và biện luận phương trình đã cho

Bài 7: Giải và biện luận phương trình \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 = 0(m2)x22(m1)x+m+5=0

Bài 8: Cho phương trình {x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m = 0x2+(2m1)x+m2m=0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 9: Cho phương trình {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0x2(m+1)x+m=0 (với m là tham số). Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Bài 10: Cho phương trình bậc hai có ẩn x: {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0x22mx+2m1=0. Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Bài 11: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) x^{2} - x + m - 2 = 0x2x+m2=0

b) - 2x^{2} + 3x + m - 3 =
02x2+3x+m3=0

c) 3x^{2} - 2x + m - 5 = 03x22x+m5=0

d) x^{2} - 8x + m^{2} = 0x28x+m2=0

Bài 12: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) 2x^{2} - mx + 2 = 02x2mx+2=0                       b) (m - 1)x^{2} + 2x + 3 =
0(m1)x2+2x+3=0

Bài 13: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau vô nghiệm? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) x^{2} - 3x - m - 5 = 0x23xm5=0                       b) mx^{2} + 3x + m = 0mx2+3x+m=0

Bài 14: Cho phương trình mx^{2} - 3x + 1
= 0mx23x+1=0 với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt.

b) Có nghiệm kép.

c) Vô nghiệm.

d) Có nghiệm.

-----------------

Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo từng trường hợp của delta. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt các môn Toán ở nhiều cấp học khác nhau. Đừng quên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải phương trình bậc hai hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những kiến thức bổ ích và dễ hiểu.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
2
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng