Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)
• Tứ giác nội tiếp
• 6 Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập về cách chứng minh tứ giác nộ tiếp được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài liên qua đến việc chứng minh tứ giác nội tiếp và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách chứng minh tứ giác nội tiếp

+ Chứng minh tứ giác có hai góc vuông cùng nhìn một cạnh hoặc một đườn chéo (tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác được xác định là trung điểm của cạnh hoặc đường chéo đó)

+ Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180º

+ Chứng minh tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh

+ Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm

+ Chứng minh nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp, hoặc hai đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OA.OC = OB.OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp

II. Bài tập về cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài 1: Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Từ A kể hai tếp tuyến AB, AC với đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm). Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Xét tứ giác ABOC có:

Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180º)

Bài 2: Cho tam giác ABC không có góc tù. Đường cao AH và đường trung tuyến AM không trùng với nhau. Gọi N là trung điểm của AB. Cho biết . Chứng minh AMHN là tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Xét tam giác ABC có N là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC

(so le trong)

Mà

Suy ra (1)

Có tam giác ABH vuông tại H, N là trung điểm của AB

Suy ra HN = AN = BN cân tại N (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tứ giác AMHN có

nhìn cạnh AN

nhìn cạnh AN

Vậy tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

Bài 3: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc HC (M không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC tại P và Q. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

Lời giải:

Có AP vuông góc với PM 3 điểm A, P, M cùng thuộc đường tròn đường kính AM

Có MQ vuông góc với AQ 3 điểm A, Q, M cùng thuộc đường tròn đường kính AM

Vậy 4 điểm A, Q, M, P cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác AQMP nội tiếp đường tròn đường kính AM, tâm của đường tròn là trung điểm của AM

Bài 4: Cho (O) đường kính AB, trên tia AB lấy điểm C bên ngoài đường tròn. Từ C kẻ CD vuông góc với AC và CD = AC. Nối AD cắt đường tròn (O) tại M. Kẻ BD cắt đường tròn (O) tại N

a, Chứng minh ANCD là tứ giác nội tiếp

b, Xác định đường kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCD

Lời giải:

a, Có AD vuông góc với AC 3 điểm A, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD (1)

Có nhìn đường kính AB nên

Xét tam giác AND có Tam giác AND nội tiếp đường tròn đường kính AD, suy ra 3 điểm A, N, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, C, N, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD

b, Tứ giác ANCD nội tiếp đường tròn đường kính AD

Lại có M là trung điểm của AD nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCD là đường tròn tâm M, đường kính AD

Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC. Từ một điểm D trên AC, vẽ DE vuông góc với AB. Chứng minh rằng BCDE là tứ giác nội tiếp

Lời giải

Có nhìn đường kính AB

Có DE vuông góc với AB

Xét tứ giác BCDE có

Tứ giác BDCE nội tiếp đường tròn

III. Bài tập tự luyện chuyên đề chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài tập 1: Cho đường tròn tâm O và một điểm C ở ngoài đường tròn đó. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE ; CF (E và F là các tiếp điểm) và cát tuyến CMN ( N nằm giữa C và M ) tới đường tròn.Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF. Chứng minh rằng:

a, Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đường tròn

b, .

Bài tập 2. Cho tam giác ABC có = 45⁰ ; BC =a nội tiếp trong đường tròn tâm O; các đường cao BB’ và CC’. Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’.

a. Chứng minh rằng A; B’; C’; O’ cùng thuộc một đường tròn

b. Tính B’C’ theo a.

Bài tập 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn . Giả sử D là điểm thuộc cung BC không chứa A. Tính số đo góc BDC.

Bài tập 4. Tính số đo các góc của tứ giác nội tiếp ABCD trong hình vẽ

Bài tập 5. Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A; B; C; D sao cho A nằm giữa B và I; C nằm giữa D vàI. Chứng minh rằng và

Bài tập 6. Cho ABCD là tứ giác nội tiếp.

a) Chứng minh rằng .

b) AC cắt BD tại M. Chứng minh rằng: MA.MC = MB .MD.

Bài tập 7. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) ;

b)

c)

Bài tập 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn. Chứng minh hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài tập 9. Cho tam giác ABC có các đường cao AD; BE; CF. Chứng minh rằng các tứ giác ; ; là những tứ giác nội tiếp.

Bài tập 10. Cho tam giác nhọn ABC có AD; BE; CF là đường cao và H là trực tâm. Chứng minh rằng

a) Tứ giác ; ; là các tứ giác nội tiếp.

b) DA là đường phân giác của góc FDE.

Bài tập 11. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD cắt đường tròn (O) tại E. Trên AD lấy H sao cho D là trung điểm của EH, BH cắt AC tại K. Chứng minh tứ giác HKCD nội tiếp.

Hướng dẫn: Ta đưa về câu a, Bài tập16 bằng cách chứng minh .

Bài tập 12. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn: câu b cho hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, chứng minh đường thứ ba đi qua điểm đo.

Bài tập 14. Trong một đường tròn. Chứng minh rằng góc giữa tiếp tuyến một dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Bài tập 15. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O), các đường cao AD và CE cắt nhau tại H. BO cắt DE tại I và cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng tứ giác DIMC nội tiếp.

Bài tập 16. Cho tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính BC. Vẽ đường cao AH của tam giác. Trên cạnh BC lấy sao cho CF = CA. Vẽ tại I và CI cắt cạnh AB tại E. Chứng minh rằng tứ giác AIHC và BEIH nội tiếp.

Bài tập 17. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Kẻ DM và BN cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh tứ giác CBMD nội tiếp.

Bài tập 18. Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (B, C là tiếp điểm). Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC ở E, OE cắt AD ở . Chứng minh tứ giác AONC nội tiếp.

Bài tập 19. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không trùng với B ). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) ( D là tiếp điểm). Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại E. Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và đường tròn ( không trùng với B ).

a) Chứng minh:

b) Chứng minh: tứ giác nội tiếp.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1

Hình vẽ minh họa

a, Do CE là tiếp tuyến của (O) nên:

= (Cùng chắn cung ME)

Mặt khác do CE; CF là các tiếp tuyến của (O) nên AB ⊥ EF tại I vì vậy trong tam giác vuông CEO đường cao EI ta có:

Từ (1) và (2) suy ra CM.CN = CI.CO => =

∆CMI ~ ∆CON

Tứ giác OIMN nội tiếp

b Kéo dài NI cắt đường tròn tại M’.

Do tứ giác IONM nội tiếp nên :

suy ra cung AM bằng cung AM’

Do đó:

Bài tập 2.

Hình vẽ minh họa:

a. Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

= 2 = 90⁰

Từ đó suy ra các điểm O; B’; C’

Cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét tứ giác nội tiếp CC’OB’ có:

= 180⁰ -

= 180⁰ - ( 90⁰ - ) =135⁰.

Mà O’ đối xứng với O qua B’C’ nên:

= = 135⁰ =180⁰ -

Hay tứ giác AC’O’B’ nội tiếp.

b. Do = 45⁰ nên ∆BB’A vuông cân tại B’

Vì vậy B’ nằm trên đường trung trực của đoạn AB hay B’O ⊥ AB

C’OB’C là hình thang cân nên B’C’ = OC

Mặt khác ∆BOC vuông cân nên: B’C’ = OC =

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

---------------------------------------------------------------

Các bạn tham khảo thêm:

• 40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc

Ngoài Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt