Chứng minh các tứ giác đặc biệt trong đường tròn

Chứng minh các tứ giác đặc biệt trong đường tròn là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học
• Các dạng Toán thi vào 10
• Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10

Tài liệu dưới đây được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài "Chứng minh tứ giác là hình ..." và tổng hợp các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập thêm. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Cách chứng minh các tứ giác đặc biệt

1. Hình thang

+ Tứ giác có hai cạnh song song thì tứ giác ấy là hình thang

2. Hình thang cân

+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau

+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

+ Hình thang nội tiếp trong đường tròn

3. Hình thang vuông

+ Hình thang có một góc vuông

4. Hình bình hành

+ Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song

+ Tứ giác có 2 cặp cạnh đối bằng nhau

+ Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau

+ Tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

5. Hình chữ nhật

+ Tứ giác có 3 góc vuông

+ Hình bình hành có một góc vuông

+ Hình bình hàng có hai đường chéo bằng nhau

+ Hình thang cân có một góc vuông

6. Hình thoi

+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau

+ Hình bình hàng có một đường chéo là tia phân giác của một góc

7. Hình vuông

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là tia phân giác

+ Hình thoi có một góc vuông

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau

II. Bài tập ví dụ cho bài toán chứng minh các tứ giác đặc biệt

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ BC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

Lời giải:

+ Có \(\widehat {BEH}\) nhìn đường kính BH nên \(\widehat {BEH} = {90^0}\)

+ Có \(\widehat {CFH}\) nhìn đường kính CH nên \(\widehat {CFH} = {90^0}\)

+ Xét tứ giác AEHF có:

\(\widehat {BAC} = {90^0};\widehat {BEH} = {90^0};\widehat {CFH} = {90^0}\)

Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật

Bài 2: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Nối MA cắt OC tại E. Nối MB cắt OD tại F. Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật

Lời giải:

+ Có Ax và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C suy ra OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

+ Có By và MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là tia phân giác của  \(\widehat {BOM}\)

+ Xét tam giác AOM có:

OA = OM nên tam giác AOM là tam giác cân

OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

Suy ra OE vuông góc MA nên \(\widehat {OEM} = {90^0}\)

+ Xét tam giác BOM có:

OM = OB nên tam giác MOB là tam giác cân

OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Suy ra OF vuông góc MF nên \(\widehat {OFM} = {90^0}\)

+ Có \(\widehat {AMB}\) nhìn đường kính AB nên \(\widehat {AMB} = {90^0}\)

+ Xét tứ giác MEOF có:

\(\widehat {OEM} = {90^0};\widehat {OFM} = {90^0};\widehat {AMB} = {90^0}\)

Suy ra tứ giác MEOF là hình chữ nhật

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh các tứ giác đặc biệt

Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ AB kẻ tiếp tuyến Ax, By. Qua M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt 2 tiếp tuyến Ax, By tại C và D. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H, tia AO cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh:

a, Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn

b, Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B; C là các tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với Ob tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M. Chứng minh;

a, Tứ giác AMON là hình thoi

b, Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, Tính diện tích hình thoi AMON

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB trên nửa đường tròn lấy C (CA < CB). Hạ CH vuông góc với AB tại H. Đường tròn đường kính CH cắt CA và CB tại M và N. Chứng minh:

a, Tứ giác HMCN là hình chữ nhật

b, Tứ giác AMNB nội tiếp

Bài 5: Cho đường tròn tâm O. Gọi I là trung điểm của bán kính OA. Qua I kẻ dây BC vuông góc với OA. Chứng minh tứ giác ABOC là hình thoi

Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy M, đường thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến N của đường tròn tại P. Chứng minh:

a, Tứ giác OMNP nội tiếp

b, Tứ giác CMPO là hình bình hành

c, Tích CM.CN không đối

Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA. Bán kính OC của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại D.Vẽ CH vuông góc với AB. Chứng minh ACDH là hình thang cân

-------------------

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt!