VnDoc.com

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa hai nghiệm

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập tìm m phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng

A. Phương pháp giải
B. Bài tập minh họa tìm tham số m để phương trình thỏa mãn biểu thức nghiệm
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Trong chương trình Toán 9, các bài toán liên quan đến tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa hai nghiệm thường xuất hiện trong chuyên đề ôn tập và đề thi vào 10. Đây là dạng toán vừa rèn luyện kỹ năng biến đổi, vừa giúp học sinh nắm vững các tính chất của nghiệm phương trình bậc hai. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải, kết hợp với ví dụ minh họa và lời giải chi tiết, giúp các em dễ dàng áp dụng khi làm bài.

A. Phương pháp giải

Bước 1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm.
Bước 2. Áp dụng hệ thức Viète tính $x_{1} + x_{2};x_{1}.x_{2}$ $x_{1} + x_{2};x_{1}.x_{2}$.
Bước 3. Biến đổi hệ thức đề bài cho về dạng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm rồi thay hệ thức Viète vào để tìm giá trị của tham số.

B. Bài tập minh họa tìm tham số m để phương trình thỏa mãn biểu thức nghiệm

Ví dụ 1. Cho phương trình $x^{2} - 4x + m - 1 = 0$ $x^{2} - 4x + m - 1 = 0$ (với m là tham số). Tìm tham số m để phương trình có nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn biểu thức ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}.x_{2} = 25$ ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}.x_{2} = 25$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta$ $\Delta' = ( - 2)^{2} - 1(m - 1) = 5 - m$

Phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ khi $\Delta$ $\Delta' \geq 0$ hay $5 - m \geq 0 \Rightarrow m \leq 5$ $5 - m \geq 0 \Rightarrow m \leq 5$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4\ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4\ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ (2) \end{matrix} \right.$

Theo bài ra ta có:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}.x_{2} = 25$ ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}.x_{2} = 25$

$\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}.x_{2} = 25$ $\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}.x_{2} = 25$

Thay (1) (2) vào (3) ta được: $- 3m = 6 \Rightarrow m = - 2(tm)$ $- 3m = 6 \Rightarrow m = - 2(tm)$.

Ví dụ 2. Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} - 4 = 0$ $x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} - 4 = 0$. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}\left( x_{1} - 3 \right) + x_{2}\left( x_{2} - 3 \right) = 6$ $x_{1}\left( x_{1} - 3 \right) + x_{2}\left( x_{2} - 3 \right) = 6$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta$ $\Delta' = - 2m + 5$

Phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ khi $\Delta$ $\Delta' \geq 0$ hay $- 2m + 5 \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{5}{2}$ $- 2m + 5 \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{5}{2}$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 2\ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m^{2} - 4\ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 2\ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m^{2} - 4\ \ (2) \end{matrix} \right.$

Theo bài ra ta có:

$x_{1}\left( x_{1} - 3 \right) + x_{2}\left( x_{2} - 3 \right) = 6$ $x_{1}\left( x_{1} - 3 \right) + x_{2}\left( x_{2} - 3 \right) = 6$

${x_{1}}^{2} - 3x_{1} + {x_{2}}^{2} - 3x_{2} = 6$ ${x_{1}}^{2} - 3x_{1} + {x_{2}}^{2} - 3x_{2} = 6$

$\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) = 6\ \ \ \ (3)$ $\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) = 6\ \ \ \ (3)$

Thay (1) (2) vào (3) ta được:

$(2m - 2)^{2} - 2\left( m^{2} - 4 \right) - 3(2m - 2) = 6$ $(2m - 2)^{2} - 2\left( m^{2} - 4 \right) - 3(2m - 2) = 6$

$4m^{2} - 8m + 4 - 2m^{2} + 8 - 6m + 6 = 0$ $4m^{2} - 8m + 4 - 2m^{2} + 8 - 6m + 6 = 0$

$2m^{2} - 14m + 12 = 0$ $2m^{2} - 14m + 12 = 0$

$m^{2} - 7m + 6 = 0$ $m^{2} - 7m + 6 = 0$

$\Rightarrow m_{1} = 1(tm);m_{2} = 6(ktm)$ $\Rightarrow m_{1} = 1(tm);m_{2} = 6(ktm)$

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho phương trình $x^{2} - 4x + m - 2 = 0$ $x^{2} - 4x + m - 2 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left( x_{1} - 2 \right)^{2} + \left( x_{2} - 2 \right)^{2} = 2$ $\left( x_{1} - 2 \right)^{2} + \left( x_{2} - 2 \right)^{2} = 2$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta$ $\Delta' = 6 - m$

Phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ khi $\Delta$ $\Delta' > 0$ hay $6 - m > 0 \Rightarrow m < 6$ $6 - m > 0 \Rightarrow m < 6$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4\ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 2\ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4\ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 2\ \ (2) \end{matrix} \right.$

Theo bài ra ta có:

$\left( x_{1} - 2 \right)^{2} + \left( x_{2} - 2 \right)^{2} = 2$ $\left( x_{1} - 2 \right)^{2} + \left( x_{2} - 2 \right)^{2} = 2$

${x_{1}}^{2} - 4x_{1} + 4 + {x_{2}}^{2} - 4x_{2} + 4 - 2 = 0$ ${x_{1}}^{2} - 4x_{1} + 4 + {x_{2}}^{2} - 4x_{2} + 4 - 2 = 0$

$\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 4\left( x_{1} + x_{2} \right) + 6 = 2\ \ \ \ (3)$ $\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 4\left( x_{1} + x_{2} \right) + 6 = 2\ \ \ \ (3)$

Thay (1) (2) vào (3) ta được:

$4^{2} - 2(m - 2) - 4.4 + 6 = 0$ $4^{2} - 2(m - 2) - 4.4 + 6 = 0$

$- 2m + 10 = 0$

$m = 5(tm)$

Vậy $m = 5$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4. Cho phương trình $x^{2} - 2x + m + 3 = 0$ $x^{2} - 2x + m + 3 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8$ $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 8$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta$ $\Delta' = - m - 2$

Phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ $x_{1};x_{2}$ khi $\Delta$ $\Delta' > 0$ hay $- m - 2 > 0 \Rightarrow m < - 2$ $- m - 2 > 0 \Rightarrow m < - 2$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2\ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m + 3\ \ (2) \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2\ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m + 3\ \ (2) \end{matrix} \right.$

Theo bài ra ta có:

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = 8$ ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = 8$

$\left( x_{1} + x_{2} \right)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} \right) = 8$ $\left( x_{1} + x_{2} \right)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} \right) = 8$

$\left( x_{1} + x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2} \right\rbrack = 8\ \ \ \ (3)$ $\left( x_{1} + x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2} \right\rbrack = 8\ \ \ \ (3)$

Thay (1) (2) vào (3) ta được:

$2\left\lbrack 2^{2} - 3(m + 3) \right\rbrack = 8$ $2\left\lbrack 2^{2} - 3(m + 3) \right\rbrack = 8$

$4 - 3m - 9 = 4$

$- 3m = 9$

$m = - 3(tm)$

Vậy $m = - 3$ là giá trị cần tìm.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1. Cho phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 3 = 0$ $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 3 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $\left| x_{1} \right| + \left| x_{2} \right| = 10$ $\left| x_{1} \right| + \left| x_{2} \right| = 10$.

Bài 2. Cho phương trình $x^{2} - mx + m - 4 = 0$ $x^{2} - mx + m - 4 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ thoả mãn: $\left( 5x_{1} - 1 \right)\left( 5x_{2} - 1 \right) < 0$ $\left( 5x_{1} - 1 \right)\left( 5x_{2} - 1 \right) < 0$.

Bài 3. Cho phương trình $x^{2} + mx + m - 2 = 0$ $x^{2} + mx + m - 2 = 0$ ( $m$ là tham số). Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$, chứng minh rằng: $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \geq 3$ $P = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \geq 3$.

Bài 4. Cho phương trình $x^{2} - (2m + 1)x + m^{2} + 1 = 0$ $x^{2} - (2m + 1)x + m^{2} + 1 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$ sao cho biểu thức $P = 2\left| x_{2} - x_{1} \right|$ $P = 2\left| x_{2} - x_{1} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Cho phương trình $x^{2} + 5x + m + 2 = 0$ $x^{2} + 5x + m + 2 = 0$ ( $m$ là tham số). Giả sử phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ $x_{1},x_{2}$, chứng minh rằng $P = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} + 8x_{1}x_{2} \leq 50$ $P = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} + 8x_{1}x_{2} \leq 50$.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

------------------------------------------------------------

Qua chuyên đề này, chúng ta đã cùng tìm hiểu cách tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa hai nghiệm cùng với những ví dụ minh họa cụ thể. Việc thành thạo dạng toán này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về phương trình bậc hai mà còn nâng cao kỹ năng phân tích, biến đổi và xử lý tham số. Đây là một trong những nội dung quan trọng của chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10, vì vậy các em nên thường xuyên luyện tập nhiều dạng bài khác nhau để đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra và kỳ thi tuyển sinh.

Tải về

Chọn file muốn tải về: